“形”中挖“同” “數(shù)”中尋“構(gòu)”
——記“同構(gòu)思想”在解析幾何中的應(yīng)用

常梨君 金一鳴 (江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué) 213001)

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)的一大重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算有著較高的要求，學(xué)生普遍具有“畏算”心理.而新高考背景下對(duì)運(yùn)算能力提出了高要求，運(yùn)算是大量的，而且是實(shí)的，不僅要有精細(xì)迅速的運(yùn)算技能，還需依據(jù)條件和目標(biāo)不斷確定和調(diào)整運(yùn)算方法和路徑，在運(yùn)算中彰顯能力.現(xiàn)實(shí)與目標(biāo)的反差，促使我們重新審視解析幾何運(yùn)算，從新的視角切入，引入新思想，另辟蹊徑，才會(huì)“另有一番天地”.

1 優(yōu)化解題，聯(lián)想“同構(gòu)”

此題是21題的第一問，變量多，運(yùn)算量大，學(xué)生在考試過程中不易做對(duì).“由雙曲線上的一點(diǎn)引兩條斜率和為零的直線，則這兩條直線與雙曲線交點(diǎn)連線的斜率為定值”，這是本問的出題依據(jù).學(xué)生常見的做法有如下兩種：

k=-1.

這兩種解法分別體現(xiàn)了解析幾何解題的兩種思想：“設(shè)而不求”與“設(shè)而求之(點(diǎn)P,Q可求)”，學(xué)生常是有思路但算不到底，反映其對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的設(shè)計(jì)和選擇能力偏弱.能否優(yōu)化呢？筆者注意到點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)結(jié)構(gòu)相同，與“同構(gòu)”似乎有著某種聯(lián)系，不妨作一些嘗試，對(duì)運(yùn)算進(jìn)行優(yōu)化.

2 解析“同構(gòu)”，遷移應(yīng)用

“同構(gòu)”是抽象代數(shù)中的專業(yè)術(shù)語，指的是一個(gè)保持結(jié)構(gòu)的雙射.數(shù)學(xué)中的同構(gòu)式是指變量不同，但結(jié)構(gòu)相同的兩個(gè)表達(dá)式.所謂用同構(gòu)思想解題，它來源于一個(gè)基礎(chǔ)結(jié)論：若f(x)是定義在區(qū)間D上的增函數(shù)，則f(x)>f(y)?x>y(減函數(shù)結(jié)論類似).利用這個(gè)結(jié)論，構(gòu)建同構(gòu)式，抽象母函數(shù)，把函數(shù)值的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系，脫去嵌套的外衣，實(shí)現(xiàn)化繁為簡.因此，“同構(gòu)”的本質(zhì)是構(gòu)造函數(shù)的思想，對(duì)學(xué)生的高階思維有較高的要求.

解析幾何問題中，常有一些點(diǎn)、線具有相同的特征(如，點(diǎn)A,B在曲線f(x,y)=0上)，將這些“形”的共性坐標(biāo)化，得到的代數(shù)式結(jié)構(gòu)也相同，這為“同構(gòu)法”的使用提供了可能.本文探究了“同構(gòu)思想”在解析幾何中的一些妙用，以期拓展思維，培養(yǎng)學(xué)生抽象和化歸的思維能力，提升綜合素養(yǎng).

3 形相似切入，尋找同構(gòu)點(diǎn)

3.1 同構(gòu)點(diǎn)1——二次曲線上的兩個(gè)點(diǎn)在同一條直線上

即k1,k2為方程(6+4k+2m)x2-(4+4k)x+2k-m+1=0的兩個(gè)不等實(shí)根，

方向2 從點(diǎn)P,Q既是直線與雙曲線的交點(diǎn)，又是兩直線的交點(diǎn)入手，“算兩次”：

由①②可得k1,k2為方程(2+4k+2m)x2-(4+4k)x+2k-m+1=0的兩個(gè)不等實(shí)根，

點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)是關(guān)于k1,k2的二次式，且結(jié)構(gòu)相同，代入直線PQ方程，得到了兩個(gè)同構(gòu)式，以k1,k2為主元整理，抽象出母方程(一元二次方程f(x)=0)，由韋達(dá)定理得到結(jié)果.設(shè)而不求，避免了繁瑣運(yùn)算.“雙曲線上的兩個(gè)點(diǎn)在同一條直線上”這一“形似”，是構(gòu)造同構(gòu)式的關(guān)鍵.已知點(diǎn)P,Q坐標(biāo)的前提下，“設(shè)直線、點(diǎn)代入”和“算兩次”這一視角的轉(zhuǎn)換也是難點(diǎn).

3.2 同構(gòu)點(diǎn)2——兩個(gè)點(diǎn)在同一條二次曲線上

圖1

能否用“同構(gòu)”解答呢？我們作如下聯(lián)想：①由“λ1+λ2”聯(lián)想到什么？(韋達(dá)定理)→②如何構(gòu)造λ的二次方程？→③題中有二次式嗎？(橢圓方程)→④如何構(gòu)造同構(gòu)方程？(點(diǎn)A,B在橢圓上)→⑤如何求A,B坐標(biāo)？(將上述方程①②中用λ表示x,y).

點(diǎn)評(píng) 直線MF上的點(diǎn)A,B(坐標(biāo)結(jié)構(gòu)相同)在二次曲線(橢圓)上，這是形似，以λ為主元構(gòu)造出同構(gòu)方程.此法擺脫了“直線與橢圓相交、聯(lián)立、韋達(dá)定理”的固化思維，同構(gòu)式以λ的新視角研究問題，不僅減少了大量運(yùn)算，也彰顯了思維的整體性和靈活性.

3.3 同構(gòu)點(diǎn)3——兩條直線與二次曲線有相同位置關(guān)系

圖2

點(diǎn)評(píng) 這是拋物線中的阿基米德三角形，以極點(diǎn)(焦點(diǎn))、極線(準(zhǔn)線)為載體,“聯(lián)立直線與圓錐曲線，消元，由相切得Δ=0”，是判定直線與圓錐曲線相切的通法.兩條切線得到的兩個(gè)判別式恰為關(guān)于k1,k2的同構(gòu)式，采用整體消元，簡化運(yùn)算.

3.4 同構(gòu)點(diǎn)4——兩條直線過同一個(gè)點(diǎn)

再看問題3，開口向上的拋物線的切線問題，還可以用導(dǎo)數(shù)法解決.

點(diǎn)評(píng) 兩條切線的方程結(jié)構(gòu)相同，利用點(diǎn)D在兩條切線上得到同構(gòu)式，(**)式如何消元是關(guān)鍵.由目標(biāo)直線方程的定義出發(fā)，消x2，直接構(gòu)建x1,y1和x2,y2滿足的方程(二元一次方程f(x,y)=0)，出其不意，一步到位，且直線AB為拋物線的切點(diǎn)弦方程.

利用“同構(gòu)”二元一次方程f(x,y)=0的方法，還可以推廣到圓、橢圓、雙曲線切點(diǎn)弦方程，結(jié)論如下：

(1)自圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓C的切線，切點(diǎn)為A,B，則切點(diǎn)弦AB的方程為：(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.

4 總結(jié)內(nèi)化，提升素養(yǎng)

4.1 “同構(gòu)法”解題的流程

根據(jù)上述三個(gè)例子，可以概括出使用“同構(gòu)法”解題的流程為：

點(diǎn)(或線)滿足的公共特征→構(gòu)造“同構(gòu)”→確定主元→抽象母方程→求解目標(biāo).

“同構(gòu)法”解題是由幾何特征的形似，抽象出代數(shù)式的同構(gòu)，利用“整體消元”解決問題.學(xué)生在解決問題的過程中，明了同構(gòu)是什么，同構(gòu)能解決什么問題.同時(shí)，“確定主元”中主元的選擇很重要，需要視問題的需要而定，可以是斜率、參數(shù)和坐標(biāo)等.“同是形式、構(gòu)是內(nèi)涵”，思想方法的改變帶來了低階數(shù)學(xué)運(yùn)算的大量簡化，令人拍案叫絕，對(duì)學(xué)生高階數(shù)學(xué)運(yùn)算的提升很有裨益.同時(shí)，同構(gòu)式也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、和諧美.

4.2 “同構(gòu)點(diǎn)”的尋找

要想真正掌握并靈活運(yùn)用“同構(gòu)”，就必須選擇好“同構(gòu)點(diǎn)”，即同構(gòu)式怎么構(gòu)造？筆者分析研究整理出近年高考題中的部分“同構(gòu)點(diǎn)”，如圖3所示.

圖3

形相似是使用同構(gòu)的標(biāo)志，在形數(shù)轉(zhuǎn)化的過程中，“同構(gòu)”實(shí)現(xiàn)了數(shù)形的完美結(jié)合.利用“式子結(jié)構(gòu)”的整體性，實(shí)現(xiàn)了“設(shè)而不求”；“同構(gòu)主元”的選擇，突破了x,y的桎梏，新視角帶來了不同的解題體驗(yàn).

4.3 提升高水平的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》要求學(xué)生具有理解運(yùn)算對(duì)象、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，并且將數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)分為能夠在熟悉的情境中了解運(yùn)算對(duì)象，提出運(yùn)算問題；能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運(yùn)算對(duì)象，提出運(yùn)算問題；在綜合情境中能夠把問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題，確定運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算法則，明確運(yùn)算方向這三個(gè)水平.

以問題1的“同構(gòu)解法”為例，由雙曲線上點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)結(jié)構(gòu)的相似性，設(shè)直線方程，構(gòu)造出同構(gòu)式，是簡化整個(gè)計(jì)算的關(guān)鍵步驟，對(duì)素養(yǎng)要求很高，是“水平三”；由同構(gòu)式抽象出母方程，聯(lián)系韋達(dá)定理，屬于“水平二”；求點(diǎn)M,N的坐標(biāo)則為“水平一”.由幾何特征到同構(gòu)式的轉(zhuǎn)化為后續(xù)的計(jì)算指明了方向，轉(zhuǎn)化的過程中不僅需要運(yùn)算能力，更需要有反向推演的能力，高水平的數(shù)學(xué)運(yùn)算一定有邏輯推理的參與.

將解析幾何從“聯(lián)立求解”轉(zhuǎn)移到“識(shí)圖析圖”，從繁瑣的數(shù)式運(yùn)算轉(zhuǎn)向分析推理型運(yùn)算，讓學(xué)生體會(huì)更多“設(shè)而不求”的計(jì)算精髓，才能真正提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生不怕算的毅力，進(jìn)而將解析幾何運(yùn)算進(jìn)行到底.