重差術(shù)：古人之智 幾何之美

陳宇航 沙思遠 (江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學(xué)校初三(2)班 215151)

指導(dǎo)教師 胡永強 (江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學(xué)校 215151)

近期，我們學(xué)習(xí)了相似三角形，在這一章的最后，學(xué)習(xí)了用相似三角形的相關(guān)知識解決中心投影下實際計算問題.我們從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識可以解決許多實際問題，數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用價值.下面選取一道典型例題作具體介紹.

例1如圖1，AB為路燈，小明站在D處，影子是DF，他往前走到H處，影子是HI，若小明身高CD=GH=hm，影子DF=am，影子HI=bm，DH=dm，求路燈的高(用含a,b,h,d的代數(shù)式表示).

圖1

在學(xué)完課本中的方法后，老師告訴我們：我國古代數(shù)學(xué)中沒有角的概念，也沒有相似三角形的相關(guān)定理，但是我國古人對此類問題卻有比較巧妙的解法.隨后，老師讓我們猜測：我國古代數(shù)學(xué)家在不用相似三角形知識的背景下，如何解決這種問題？同學(xué)們一時都不知道古人的方法.老師提醒道：“在勾股定理一章，我們見識了趙爽、劉徽等古代數(shù)學(xué)家用面積法解決許多問題，這種解決問題的思想方法叫‘出入相補原理’.大家可以從面積法的角度思考解決辦法.”

在老師的引導(dǎo)和幫助下，我們一起見識與探究了我國古代數(shù)學(xué)家對此類問題的解法.具體如下：

首先，讓我們一起了解一個重要的原理：如圖2，矩形ABCD中，如果I為對角線BD上一點，GH和EF過點I，GH⊥AB，GH⊥CD，垂足分別為點G,H，EF⊥BC，EF⊥AD，垂足分別為點E,F，那么S1=S2.

圖2

證明因為對角線平分矩形面積，所以S1+S3+S5=S2+S4+S6.同理可得S3=S4，S5=S6.所以S1=S2.

我國古代數(shù)學(xué)家將這個原理稱作“勾中容橫，股中容直原理”.根據(jù)這個原理可以推算出計算AB高度的公式.

如圖3，設(shè)CD=GH=BE=h，DF=a，HI=b，DH=d，我們用XBC表示矩形BDCE的面積.

圖3

古人在一次又一次的演算與思考中獲得真理，他們的智慧與鉆研精神著實令人欽佩.不難發(fā)現(xiàn)，古今中外人們對測量問題都有研究，方法與原理也各不相同，各具特色，各有優(yōu)勢.我國古人更善于從一類問題中總結(jié)出一般性的結(jié)論與規(guī)律，并運用這些結(jié)論與規(guī)律解決同類問題.

指導(dǎo)老師點評中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化是中華民族共同的精神財富，其間蘊含著豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材.在我國古代，與測量相關(guān)的技術(shù)稱為“測望之術(shù)”，包括測高、測深、測遠等.根據(jù)測望次數(shù)，又分為“一望”“二望”“三望”“四望”等.重差術(shù)公式主要用于解決“二望”問題.兩位小作者研究了教材中的測量建筑物高度的方法和我國古代的“重差術(shù)”，發(fā)現(xiàn)古代數(shù)學(xué)家利用“勾中容橫，股中容直原理”推算出解決這類問題的公式，只要測量出公式中的幾個量，代入公式即可計算出物體的高度.同時，兩位小作者還體會到我國古代數(shù)學(xué)家善于從一類問題中總結(jié)出一般性的規(guī)律與方法，并用其解決同類問題.這種機械化的算法思想是我國古代數(shù)學(xué)的一大特色.中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化博大精深，我們要認(rèn)真研究，將其傳承和發(fā)揚下去.