再探2022年的中考數(shù)學(xué)文化試題*

羅 偉 (江蘇省徐州市第二十四中學(xué) 221004)

呂中學(xué) (江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 221116)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱《課標(biāo)2022》)指出，課程內(nèi)容的選擇要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化[1]2.對于優(yōu)秀的外國傳統(tǒng)文化，也可以借鑒吸收.對于試題的命制，《課標(biāo)2022》指出，可以設(shè)計合理的生活情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境，適當(dāng)引入數(shù)學(xué)文化[1]92.文[2]對2021年中考數(shù)學(xué)文化試題從基本數(shù)學(xué)思想、中國古代名著、經(jīng)典成語故事、趣味數(shù)學(xué)拼圖、著名文化遺產(chǎn)、國際數(shù)學(xué)視野進(jìn)行了賞析，本文擬從數(shù)學(xué)史書、數(shù)學(xué)名人、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)交流等方面再探2022年各地中考數(shù)學(xué)文化試題.

1 數(shù)學(xué)史書

例1(株洲)中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”.“方田一段，一角圓池占之.”意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切，如圖2所示).”問題：在此圖中，正方形一條對角線AB與⊙O相交于點M,N(點N在點M的右上方)，若AB的長度為10丈，⊙O的半徑為2丈，則BN的長度為______丈.

評析本題通過圓、正方形及相似三角形性質(zhì)解決問題，難度中等，能培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力.《四元玉鑒》是中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰闡述多年研究成果的一部力著，全書共分3卷，24門，288問，書中所有問題都與求解方程(組)有關(guān).《算學(xué)啟蒙》也是朱世杰所著，內(nèi)容由淺入深，循序漸進(jìn)，自成系統(tǒng)，是一部很好的數(shù)學(xué)啟蒙讀物.隨州卷考查了書中的追及問題，要求列一元一次方程.

在各地中考中還頻頻出現(xiàn)了一些其他的名著.

《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世紀(jì)，在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理，湘潭卷考查了書中的弦圖與三角函數(shù)；黃岡卷考查了勾股弦的規(guī)律及代數(shù)式表示.

《九章算術(shù)》是我國漢代的數(shù)學(xué)名著，在中考中出現(xiàn)的次數(shù)最多，多與方程(組)有關(guān)，寧波、眉山卷考查的是書中的二元一次方程組；武威卷考查一元一次方程；遵義卷考查“塹堵”的左視圖；宜昌卷考查負(fù)數(shù).

《孫子算經(jīng)》是中國南北朝時期重要的數(shù)學(xué)著作，是一部最具智慧且激發(fā)人探尋數(shù)學(xué)奧妙的書，南充卷考查了書中著名的雞兔同籠問題，但是要求列一元一次方程；岳陽卷考查百鹿進(jìn)城，實際上列一元一次方程容易求解.《數(shù)書九章》由南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著.全書采用問題集的形式，共列算題81問，分為9類.宜賓卷考查了書中根據(jù)公式由三邊求三角形的面積.

《算法統(tǒng)宗》是由明代數(shù)學(xué)家程大位編著的一部應(yīng)用數(shù)學(xué)書，該書曾傳入日本、朝鮮、東南亞和歐洲，成為東方古代數(shù)學(xué)的名著.成都卷考查了書中列二元一次方程組.《御制數(shù)理精蘊(yùn)》于清康熙年間編著而成，是一部介紹包括西方數(shù)學(xué)知識在內(nèi)的數(shù)學(xué)百科全書.畢節(jié)、達(dá)州卷考查了書中列二元一次方程組.武威卷還考查了清末教科書《最新中學(xué)教科書用器畫》中的尺規(guī)作圖、計算及證明問題.

數(shù)學(xué)史書是數(shù)學(xué)的瑰寶，反映了古代數(shù)學(xué)家及勞動人民的智慧，對現(xiàn)在的學(xué)生及教師來說，仍有很大的學(xué)習(xí)價值，我們?nèi)砸橙∑渲袪I養(yǎng)，以豐富自己的人文底蘊(yùn).

2 數(shù)學(xué)名人

例2(大慶)函數(shù)y=[x]叫做高斯函數(shù)，其中x為任意實數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù).定義{x}=x-[x]，則下列說法正確的個數(shù)為( ).

①[-4.1]=-4；② {3.5}=0.5；③高斯函數(shù)y=[x]中，當(dāng)y=-3時，x的取值范圍是-3≤x<-2；④函數(shù)y={x}中，當(dāng)2.5

A.0 B.1 C.2 D.3

解根據(jù)高斯函數(shù)的定義，[-4.1]表示不超過-4.1的最大整數(shù)，結(jié)果為-5，①錯誤；{3.5}=3.5-[3.5]=3.5-3=0.5，②正確；當(dāng)-3≤x<-2時，y=[x]=-3，③正確；y={x}=x-[x]，當(dāng)x=2.5時，y=2.5-[2.5]=2.5-2=0.5，當(dāng)x=3.5時，y=0.5，當(dāng)x=3時，y=3-[3]=3-3=0，當(dāng)x從2越來越大，不斷接近于3時，此時y接近于1，④正確，故選D.

評析函數(shù)y=[x]稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，它的圖象很美，成周期分布.本題能培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，做到用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界.高斯是德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、幾何學(xué)家、大地測量學(xué)家，是世界上最重要的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù).

例3(瀘州)菲爾茲獎是國際上享有崇高聲譽(yù)的一個數(shù)學(xué)獎項，每四年評選一次，主要授予年輕的數(shù)學(xué)家.下面數(shù)據(jù)是部分獲獎?wù)攉@獎時的年齡(單位：歲)：29,32,33,35,35,40，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( ).

A.35,35 B.34,33 C.34,35 D.35,34

評析 一方面，這個題目難度不大，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念，另一方面從題目中我們看出年輕數(shù)學(xué)家取得卓越的成果，讓我們欽佩.菲爾茲獎，是加拿大數(shù)學(xué)家菲爾茲倡議設(shè)立的國際性數(shù)學(xué)獎項，于1936年首次頒發(fā).菲爾茲獎是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的國際最高獎項之一.因諾貝爾獎未設(shè)置數(shù)學(xué)獎，故該獎被譽(yù)為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎”.

數(shù)學(xué)名人一般指著名的中外數(shù)學(xué)家，他們解決了數(shù)學(xué)難題，對數(shù)學(xué)的發(fā)展與傳播作出了巨大的貢獻(xiàn).高斯和菲爾茲是外國數(shù)學(xué)家的代表，中國也有數(shù)學(xué)家為世人所敬仰，比如程大位和華羅庚等.以數(shù)學(xué)家為背景命題，能使學(xué)生確立學(xué)習(xí)榜樣，樹立遠(yuǎn)大理想，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

3 數(shù)學(xué)游戲

例4(武漢)幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格.將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及每條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖4就是一個幻方.圖5是一個未完成的幻方，則x與y的和是( ).

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5 圖6

A.9 B.10 C.11 D.12

解幻方的特點是每一橫行、每一豎列以及每條對角線上的3個數(shù)之和相等，此外，還有一個特點，最中間一個數(shù)是包含這個數(shù)的每一行、每一列、每條對角線三個數(shù)的平均數(shù).包含x的第一行、第一列三個數(shù)的和相等，可得第一列最下面一個數(shù)是6+20-22=4，4和20的平均數(shù)為12，所以最中間一個數(shù)是12.對角線上這三個數(shù)的和為12×3=36，所以x=36-4-22=10，y=36-22-12=2，x+y=10+2=12，如圖6所示.

評析圖4中只知道三個數(shù)，根據(jù)九宮格的本質(zhì)就可以求出剩下的六個數(shù)，實際上是運(yùn)用方程的思想.九宮格(或者叫三階幻方)也可以看做數(shù)學(xué)游戲，在規(guī)則下，能培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力、模型思想，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界的能力.另外威海卷也考查了三階幻方；江西卷考查了七巧板拼圖及相關(guān)的計算.

數(shù)學(xué)游戲比純粹的數(shù)學(xué)有趣，學(xué)生都喜歡也更易入手.因此數(shù)學(xué)游戲可以輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).在游戲的過程中，如果走不下去，可以請同學(xué)互相幫助，進(jìn)行點撥，這一過程能培養(yǎng)思維與能力，達(dá)到寓教于樂的效果，做到學(xué)會學(xué)習(xí).

4 數(shù)學(xué)應(yīng)用

例5(廣西北部灣)古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔的影子頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度.如圖7，木桿EF長 2 m，它的影長FD是4 m，同一時刻測得OA是268 m，則金字塔的高度BO是m.

圖7

評析我們知道，直接測量金字塔的高度不好辦，數(shù)學(xué)家泰勒斯利用立桿測影的方法通過列比例式巧妙地解決了這個問題.此外，婁底卷的結(jié)繩計數(shù)也體現(xiàn)了古代勞動人民的智慧，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

數(shù)學(xué)應(yīng)用，就是在生活中通過數(shù)學(xué)知識去解決實際問題，顯示了數(shù)學(xué)的實用價值.對于人們來說，能解決問題才是目的，這也說明了數(shù)學(xué)是解決實際問題的有效工具，能培養(yǎng)實踐創(chuàng)新素養(yǎng).

5 數(shù)學(xué)探索

例6(德陽)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對整數(shù)進(jìn)行了深入的研究，尤其注意形與數(shù)的關(guān)系，“多邊形數(shù)”也稱為“形數(shù)”，就是形與數(shù)的結(jié)合物.用點排成的圖形如圖所示.

其中，圖8的點數(shù)叫做三角形數(shù)，從上至下第一個三角形數(shù)是1，第二個三角形數(shù)是1+2=3，第三個三角形數(shù)是1+2+3=6……圖9的點數(shù)叫做正方形數(shù)，從上至下第一個正方形數(shù)是1，第二個正方形數(shù)是1+3=4，第三個正方形數(shù)是1+ 3+5=9……由此類推，圖11中第五個六邊形數(shù)是.

圖8 圖9 圖10 圖11

解我們仔細(xì)看題，結(jié)合圖形尋找規(guī)律.圖11的點數(shù)叫做六邊形數(shù)，從上至下第一個六邊形數(shù)是1，第二個六邊形數(shù)是1+5=6，第三個六邊形數(shù)是1+5+9=15，第四個六邊形數(shù)是1+5+ 9+13=28，第五個六邊形數(shù)是1+5+9+13+ 17=45，故答案為45.

評析畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對整數(shù)的研究比較深入，本題的思路就是數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合圖8～10告訴的結(jié)論去尋求規(guī)律，最后得出結(jié)論.

例7(遂寧)“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩條直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似一顆樹而得名.假設(shè)如圖12所示分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理，第六代勾股樹中正方形的個數(shù)為.

圖12

解第一代勾股樹中正方形的個數(shù)是1+2+3(或20+21=3)，第二代勾股樹中正方形的個數(shù)是1+2+4=7(或20+21+22=7)，第三代勾股樹中正方形的個數(shù)是1+2+4+8=15(或20+21+22+23=15)，猜測第六代勾股樹中正方形的個數(shù)是1+2+4+8+16+32+64=127(或20+21+22+23+24+25+26=127)，故答案為127.

評析通過觀察、總結(jié)、歸納，可以看出規(guī)律，真沒想到，勾股樹中還有如此美妙的算式.不論是數(shù)學(xué)家還是教師、學(xué)生，都需要數(shù)學(xué)探索，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，過程雖然艱辛，但在追求真理的過程中能感受到數(shù)學(xué)的力量以及成功后的喜悅感，增強(qiáng)了科學(xué)精神.

6 數(shù)學(xué)交流

例8(遵義)圖13是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME)會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖14所示的四邊形OABC.若AB=BC=1，∠AOB=30°，則點B到OC的距離為( ).

圖13 圖14

圖15

評析這個會徽展示的就是勾股定理的連續(xù)應(yīng)用，得到了美麗的圖案.在教材中，就是通過此方法不斷產(chǎn)生無理數(shù).國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME)正是數(shù)學(xué)家交流數(shù)學(xué)成果的會議，大家通過交流，能了解數(shù)學(xué)的最新成果，互相學(xué)習(xí)，增進(jìn)友誼，為攀登數(shù)學(xué)高峰共同努力.

例9(遂寧)圖16中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( ).

圖16

A.科克曲線 B.笛卡爾心形線

C.阿基米德螺旋線 D.趙爽弦圖

解軸對稱圖形是一個圖形沿著一條直線折疊，兩旁的部分能完全重合，中心對稱圖形是一個圖形繞著一個點旋轉(zhuǎn)180°，與原來的圖形能完全重合，本題選A.

評析軸對稱圖形和中心對稱圖形的判斷屬于基本技能，難度不大，我們還要了解題目中三線一圖，科克曲線是一種典型的分形曲線，它是瑞典數(shù)學(xué)家科克于1904年構(gòu)造出來的；笛卡爾心形線傳說是瑞典的小公主根據(jù)法國著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾給她寫的信中的一個公式r=a(1-sinθ)，畫出的圖形像心形而得名；阿基米德是古希臘數(shù)學(xué)家，阿基米德螺旋線是一個點勻速離開一個固定點的同時又以固定的角速度繞該固定點轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生的軌跡；三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時創(chuàng)制了一幅圖，以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成，被稱為趙爽弦圖，它經(jīng)典而久遠(yuǎn)，被譽(yù)為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”.本題中的四個圖形三曲一直背景深厚，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)味濃，說明中外數(shù)學(xué)家的積極貢獻(xiàn)得到了國際認(rèn)同，促進(jìn)了人類的文明與繁榮.

數(shù)學(xué)交流不僅是中外交流、古今交流，也可以是師生交流，通過交流，我們?nèi)シ窒?、聆聽和討論?shù)學(xué)的思想、方法，感受、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的文化，豐富自己的底蘊(yùn)，培養(yǎng)責(zé)任擔(dān)當(dāng).

7 結(jié)語

通過對2022年的中考數(shù)學(xué)文化試題分析可以看到，數(shù)學(xué)史書能開闊視野，數(shù)學(xué)名人樹榜樣力量，數(shù)學(xué)游戲能激發(fā)興趣，數(shù)學(xué)應(yīng)用顯實用價值，數(shù)學(xué)探索呈艱辛之路，數(shù)學(xué)交流促專業(yè)成長.在以后的教學(xué)中，根據(jù)陶行知先生“做中學(xué)”的教育思想，教師可以適時開展數(shù)學(xué)文化講座，讓學(xué)生多閱讀與賞析數(shù)學(xué)文化相關(guān)書籍，參加數(shù)學(xué)文化實踐活動、數(shù)學(xué)文化知識競賽、繪制數(shù)學(xué)文化手抄報等，不斷提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).