初中數(shù)學(xué)習(xí)題的重構(gòu)與再設(shè)計(jì)

闕 成 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校 215100)

1 問(wèn)題提出

2021年7月24日，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》，文件明確要求減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過(guò)重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān).其中減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)的關(guān)鍵是提高作業(yè)質(zhì)量.因此，研究“雙減”背景下的作業(yè)設(shè)計(jì)勢(shì)在必行.

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在每日作業(yè)中產(chǎn)生的很多錯(cuò)誤都對(duì)應(yīng)著單一的知識(shí)點(diǎn).在作業(yè)的講評(píng)過(guò)程中，由于時(shí)間有限，教師很容易“就題論題”，脫離知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生和應(yīng)用的情境.這樣，學(xué)生在訂正和復(fù)習(xí)過(guò)程中依然無(wú)法逃離碎片化知識(shí)的反復(fù)記憶與機(jī)械練習(xí)，教師也會(huì)陷入到重復(fù)講解的困境中.長(zhǎng)此以往，很難使學(xué)生從知識(shí)間的聯(lián)系出發(fā)理解所學(xué)內(nèi)容，也無(wú)法真正做到“減負(fù)提質(zhì)”.

因此，本文從“二元一次方程組”課后作業(yè)的兩道易錯(cuò)題出發(fā)，根據(jù)考查目標(biāo)的不同，闡述習(xí)題重構(gòu)的設(shè)計(jì)思路和實(shí)施流程，并結(jié)合實(shí)際教學(xué)效果進(jìn)行調(diào)整，做到“教、學(xué)、做合一”.希望能借此提升學(xué)生在課前、課堂、課后的學(xué)習(xí)效率，在減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)的同時(shí)，達(dá)到“學(xué)科育人”的目的.

2 習(xí)題的重構(gòu)與再設(shè)計(jì)

下文中的兩道習(xí)題來(lái)自蘇科版數(shù)學(xué)七下10.2節(jié)“二元一次方程組”對(duì)應(yīng)的課后作業(yè)，一題為概念題，一題為開(kāi)放型問(wèn)題.學(xué)生在完成過(guò)程中都出現(xiàn)了不少錯(cuò)誤與困惑.筆者根據(jù)學(xué)生情況與教學(xué)目標(biāo)的不同進(jìn)行再設(shè)計(jì)，將其分別以課前作業(yè)、課堂作業(yè)的形式呈現(xiàn)，提升這兩道題的育人價(jià)值.

2.1 課前作業(yè)的思考與設(shè)計(jì)

·題目呈現(xiàn)

下列方程組中，屬于二元一次方程組的是( ).

·題目反思

·課前作業(yè)設(shè)計(jì)

請(qǐng)結(jié)合上一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容、課本新課的預(yù)習(xí)、課外資料的查找、同學(xué)間交流，判斷下列方程組是否是二元一次方程組：

G.口袋中有x個(gè)紅球、y個(gè)白球，共10個(gè)球，可建立方程x+y=10；班級(jí)里有x名男生、y名女生，共40名學(xué)生，可建立方程x+y=40.將兩方程聯(lián)立所得的方程組.

·設(shè)計(jì)思路

該課前作業(yè)從小型化、精準(zhǔn)化、過(guò)程化、梯度化四個(gè)角度進(jìn)行設(shè)計(jì)，思路如圖1.

圖1

①小型化

課前作業(yè)的設(shè)計(jì)初衷是幫助學(xué)生提前為新課做好準(zhǔn)備，提高上課效率，從而減輕掌握知識(shí)的困難.這就意味著其本身不能加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，因此，該作業(yè)就必須是小型的，能夠在10分鐘內(nèi)完成.本例中，需要學(xué)生提前預(yù)習(xí)的切口很小，就是課本“二元一次方程組”的判定.

②精準(zhǔn)化

為了使課前作業(yè)更為有效，需要給學(xué)生提出具體明確的任務(wù).本例中的7種情況，相對(duì)于書(shū)本的描述性定義，給學(xué)生提供了更豐富的資源去探究.并且每種情況對(duì)應(yīng)一個(gè)需要注意的點(diǎn)：選項(xiàng)A—方程的次數(shù)為1；選項(xiàng)B—方程組中未知數(shù)的數(shù)量不能超過(guò)2個(gè)；選項(xiàng)C—必須是整式方程；選項(xiàng)D—方程組中不是每個(gè)方程都必須含有兩個(gè)未知數(shù)；選項(xiàng)E—是選項(xiàng)D的更特殊的情況；選項(xiàng)F—可以超過(guò)兩個(gè)方程聯(lián)立；選項(xiàng)G—各方程中的每個(gè)字母必須代表同一數(shù)量才能聯(lián)立.學(xué)生在判斷的過(guò)程中可以清楚地體會(huì)出自己通過(guò)預(yù)習(xí)已掌握或仍模糊的點(diǎn).

③過(guò)程化

課前作業(yè)并不是獨(dú)立存在的作業(yè)，它需要與之前學(xué)過(guò)的內(nèi)容關(guān)聯(lián)，并指向未來(lái)將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，起到承上啟下的作用.本題的選項(xiàng)A～C在上一節(jié)課“二元一次方程”中就有所涉及，在完成的過(guò)程中要求學(xué)生回顧上節(jié)課的內(nèi)容，可以起到復(fù)習(xí)的功能.同時(shí)，需要學(xué)生利用舊知解決新問(wèn)題，鍛煉了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建起知識(shí)體系，也為之后研究“三元一次方程組”等其他問(wèn)題打下基礎(chǔ).

本題的選項(xiàng)D～G是學(xué)生用已有知識(shí)比較難以判斷的情況，這也激發(fā)了學(xué)生探究的興趣.部分學(xué)生能夠通過(guò)對(duì)定義的深刻理解、同學(xué)間討論、課外資料的查找解決其中部分或全部問(wèn)題.這個(gè)過(guò)程進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.實(shí)際作業(yè)中，鼓勵(lì)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行資料查找，這符合2022版新課標(biāo)[1]對(duì)于“利用信息技術(shù)，豐富學(xué)習(xí)資源.在實(shí)際問(wèn)題解決中，創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，提升學(xué)生的探究熱情，開(kāi)闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象力，提高學(xué)生的信息素養(yǎng)”的要求.

即使學(xué)生在完成作業(yè)過(guò)程中無(wú)法判斷部分情況，這也使得這部分學(xué)生可以帶著疑問(wèn)進(jìn)入新課課堂，更容易投入到新課學(xué)習(xí)中.

④梯度化

本例中的作業(yè)雖然以小型化作為目標(biāo)，但依然有很明顯的梯度設(shè)置.選項(xiàng)A～C著重基礎(chǔ)性，學(xué)生上手比較容易；選項(xiàng)D～G有一定拓展性，在規(guī)定的10分鐘時(shí)間內(nèi)可能有一部分學(xué)生無(wú)法完成.這保證了所有學(xué)生都對(duì)新課有一定的準(zhǔn)備，同時(shí)讓部分學(xué)生進(jìn)一步挖掘，在過(guò)程中體驗(yàn)成就感與解決問(wèn)題的滿足感.

2.2 課堂作業(yè)的思考與設(shè)計(jì)

·題目呈現(xiàn)

·題目反思

我們現(xiàn)在解二元一次方程組主要靠的是列舉兩個(gè)方程的解，尋找公共解(當(dāng)時(shí)并未開(kāi)始學(xué)解二元一次方程組).但是列舉的話會(huì)不會(huì)出現(xiàn)遺漏？因?yàn)槊恳粋€(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)個(gè)解.所以說(shuō)兩個(gè)二元一次方程聯(lián)立在一起可不可能出現(xiàn)多個(gè)解？可不可能無(wú)解？如果這兩個(gè)猜想成立，就和兩條直線的交點(diǎn)情況非常相似了.

這位學(xué)生的疑問(wèn)和猜想，實(shí)際上就非常好地將二元一次方程組解的情況與兩直線的交點(diǎn)情況進(jìn)行了類(lèi)比，結(jié)合了“二元一次方程組的解”中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決新問(wèn)題.這也是課標(biāo)對(duì)學(xué)生“四能”的要求.如果能將其設(shè)計(jì)為概念教學(xué)后的課堂作業(yè)，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)能力在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上生長(zhǎng)，經(jīng)歷假設(shè)再到驗(yàn)證的過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

·課堂作業(yè)設(shè)計(jì)

(教師介紹完“二元一次方程組的解”的概念后)

(1)請(qǐng)同學(xué)們回憶已學(xué)過(guò)的知識(shí)，并試著畫(huà)示意圖填寫(xiě)表1中左邊的部分：

表1

附學(xué)生完成的課堂作業(yè)如表2：

表2

·設(shè)計(jì)思路

該課堂作業(yè)從生長(zhǎng)性、過(guò)程性、階梯性、方法性四個(gè)角度進(jìn)行設(shè)計(jì).

①生長(zhǎng)性

本例中的作業(yè)設(shè)計(jì)，首先請(qǐng)學(xué)生回憶兩直線交點(diǎn)的情況，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比猜想，結(jié)合二元一次方程組的知識(shí)進(jìn)行歸納.這不僅構(gòu)建了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，也是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題研究路徑的自發(fā)重走.學(xué)生在填寫(xiě)表格的過(guò)程中自然能夠體會(huì)數(shù)學(xué)不僅是知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，能感受到分類(lèi)討論的研究方法也是有共通之處的.然后，再將研究成果指向具體問(wèn)題的解決，學(xué)生就會(huì)關(guān)注到兩方程間的關(guān)系.借此，學(xué)生不僅很好地操練了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更積累了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，核心素養(yǎng)得以生長(zhǎng).

②過(guò)程性

本例的作業(yè)設(shè)計(jì)并不是與課堂教學(xué)內(nèi)容割裂的，而是融入在新知識(shí)的講授中，幫助知識(shí)與技能的生成.同時(shí)，在課堂實(shí)際布置中也不是讓學(xué)生在固定時(shí)間從頭填到尾，它需要教師將其拆分，幫助學(xué)生更好地體驗(yàn)其中的過(guò)程.比如在“兩直線交點(diǎn)情況”部分填寫(xiě)完后，就需要給學(xué)生對(duì)照新學(xué)內(nèi)容思考的時(shí)間.在方程組的舉例部分，也要鼓勵(lì)學(xué)生在組內(nèi)分享，盡可能選取更具代表性的方程組.最后，在表格完成后，需要學(xué)生在班內(nèi)進(jìn)行分享，互相點(diǎn)評(píng)是否有錯(cuò)誤或亮點(diǎn).

在這一過(guò)程中，教師要在學(xué)生間積極走動(dòng)，關(guān)注學(xué)生的投入情況.對(duì)于無(wú)法融入討論或進(jìn)展受阻的學(xué)生，應(yīng)給予“支架”幫助.

③階梯性

這一課堂作業(yè)的圓滿完成，不僅需要學(xué)生對(duì)之前已學(xué)幾何內(nèi)容有比較清晰的記憶、對(duì)新知識(shí)有比較深刻的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也對(duì)探究問(wèn)題的方法和能力有一定的要求.所以設(shè)計(jì)作業(yè)以及輔導(dǎo)作業(yè)的過(guò)程中，教師需要注意梯度的設(shè)置.

對(duì)于能力不足的學(xué)生，要給予一定數(shù)量的“支架”幫助其回憶舊知、應(yīng)用新知，甚至可以給出“方程組解的情況”的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，幫助其獲得解決問(wèn)題的成就感.對(duì)于知識(shí)掌握扎實(shí)、有一定探究經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生，可以鼓勵(lì)其探究如何舉出更具代表性的例子.另外，在完成表格的基礎(chǔ)上，再次回顧這兩個(gè)問(wèn)題的探究方式，尋找其他類(lèi)似的情境，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的延續(xù)性.

④方法性

課堂作業(yè)的設(shè)計(jì)不僅是為了鞏固新知，也是在探究中讓學(xué)生不斷體驗(yàn)提出問(wèn)題、觀察思考、合情猜想、推理驗(yàn)證、解決問(wèn)題的過(guò)程.只有不斷讓學(xué)生主動(dòng)去經(jīng)歷這樣的過(guò)程，才能真正使學(xué)生獲得理性思維和科學(xué)精神，做到用數(shù)學(xué)的思維去思考.

比如，有學(xué)生將表格中的討論方式發(fā)散到一元一次不等式組解集的情況，生成表3：

表3

這道課堂作業(yè)的設(shè)計(jì)可歸結(jié)為圖2.

圖2 “二元一次方程組的解”課堂作業(yè)設(shè)計(jì)

3 關(guān)于作業(yè)資源有效利用的思考

筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)作業(yè)資源的有效利用比新資源的開(kāi)發(fā)更為重要.如果僅僅是把作業(yè)“丟”給學(xué)生，不結(jié)合學(xué)情進(jìn)行調(diào)整與設(shè)計(jì)，那再高質(zhì)量的題目也起不到“減負(fù)提質(zhì)”的“雙減”要求.

數(shù)學(xué)作業(yè)是學(xué)生開(kāi)展自主學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要載體，經(jīng)歷這一過(guò)程，學(xué)生能夠收獲自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力.教師也可以促進(jìn)學(xué)生成為自主學(xué)習(xí)者.同時(shí)，數(shù)學(xué)作業(yè)承載著學(xué)科特殊的育人功能，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，指向綜合能力的發(fā)展.如果在設(shè)計(jì)中能以數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)為基礎(chǔ)，以學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式為抓手，以思維發(fā)展為內(nèi)在本質(zhì)，就能指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(圖3).

圖3

因此，學(xué)生作業(yè)資源可以根據(jù)學(xué)生情況、教學(xué)目標(biāo)的不同進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，在課前、課中、課后發(fā)揮它們的價(jià)值，并在教學(xué)活動(dòng)中不斷改進(jìn)、更新，真正做到“教學(xué)做合一”(圖4).

圖4