形似質(zhì)異 相得益彰
——例談質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理與質(zhì)心動(dòng)能定理的應(yīng)用

許冬保(特級(jí)教師、正高級(jí)教師)

(江西省九江市第一中學(xué))

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理是中學(xué)物理課程中的重要內(nèi)容.然而,有些力學(xué)問題,應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理求解,會(huì)帶來一些疑惑.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理與質(zhì)心動(dòng)能定理作為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的拓展,具有釋疑解惑、優(yōu)化思維品質(zhì)的功能.二者形似質(zhì)異,內(nèi)涵不同,用于解題,相得益彰.

1 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成,則第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能變化量應(yīng)等于作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的外力的功和內(nèi)力的功之和,即Wi外＋Wi內(nèi)＝ΔEki.

對(duì)i求和,得到質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理數(shù)學(xué)表達(dá)式為

因此,作用于質(zhì)點(diǎn)系所有外力所做的功與所有內(nèi)力所做的功的總和等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化量.

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理適用于質(zhì)點(diǎn)系,與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理一樣,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理也只能在慣性系中成立.其功包括內(nèi)力功與外力功兩部分,其中外力功中的位移為力的作用點(diǎn)的位移.

2 質(zhì)心動(dòng)能定理

質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)系的平均位置,是各質(zhì)點(diǎn)以質(zhì)量為權(quán)的加權(quán)平均位置.幾何上質(zhì)心是一個(gè)點(diǎn),沒有內(nèi)部結(jié)構(gòu),在慣性系中不存在自身的轉(zhuǎn)動(dòng).因此,質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可以在某些方面代表整體的運(yùn)動(dòng).

若質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量及位置坐標(biāo)分別為mi、ri,則質(zhì)心位置一般公式為

對(duì)低速宏觀世界中的一切物體,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律有

式中,∑F為系統(tǒng)受到的外力之和,aC為質(zhì)心加速度.

上式兩邊點(diǎn)乘質(zhì)心位移drC,有

上式表明,合外力對(duì)質(zhì)心所做的功等于質(zhì)心動(dòng)能的變化量.此為質(zhì)心動(dòng)能定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式或質(zhì)心動(dòng)能方程.

質(zhì)心動(dòng)能定理描述的是作用于質(zhì)心上的諸外力做的總功與質(zhì)心動(dòng)能變化之間的關(guān)系.顯然,等號(hào)左邊是所有外力做功的代數(shù)和,不含內(nèi)力功;外力功的表達(dá)式中,合外力與質(zhì)心位移的乘積的意思是將合外力平移到質(zhì)心后對(duì)質(zhì)心所做的功,該功并不一定對(duì)應(yīng)真實(shí)的功,往往叫作虛功或質(zhì)心功.外力功中的位移是質(zhì)心的位移,不是力的作用點(diǎn)的位移;質(zhì)心動(dòng)能是指質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能,不含轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.

3 應(yīng)用分析

3.1 地面對(duì)運(yùn)動(dòng)員做功的質(zhì)疑

例1一位質(zhì)量為m的運(yùn)動(dòng)員從下蹲狀態(tài)向上起跳,經(jīng)Δt時(shí)間,身體伸直并剛好離開地面,速度為v.重力加速度為g,在此過程中( ).

A.地面對(duì)他的沖量為mv＋mgΔt,地面對(duì)他做的功為

B.地面對(duì)他的沖量為mv＋mgΔt,地面對(duì)他做的功為零

C.地面對(duì)他的沖量為mv,地面對(duì)他做的功為

D.地面對(duì)他的沖量為mv－mgΔt,地面對(duì)他做的功為零

解析設(shè)地面對(duì)運(yùn)動(dòng)員的沖量為I,取豎直向上為正方向,則由動(dòng)量定理有I－mgΔt＝mv,解得I＝mv＋mgΔt.

由于地面對(duì)人的支持力與地面垂直,且支持力的作用點(diǎn)未發(fā)生位移,因此,支持力對(duì)運(yùn)動(dòng)員不做功.選項(xiàng)B正確.

討論該題的疑惑在于,既然地面對(duì)運(yùn)動(dòng)員未做功,但運(yùn)動(dòng)員為何獲得了動(dòng)能? 下面通過質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理及質(zhì)心動(dòng)能定理列方程進(jìn)行分析.

1)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理分析

運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)系,若內(nèi)力功為W,運(yùn)動(dòng)員重心(或質(zhì)心)升高d.由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理有W－mgd＝,解得

2)質(zhì)心動(dòng)能定理分析

設(shè)運(yùn)動(dòng)員受到地面的支持力大小為FN,由質(zhì)心動(dòng)能定理有,解得

綜上分析得W＝FN·d.

此處FN·d并非功量.如上所述,實(shí)際上支持力FN的作用點(diǎn)并未發(fā)生位移,FN不做功;FN·d可理解為虛功.表達(dá)式W＝FN·d的物理意義是內(nèi)力功大小等于支持力與質(zhì)心位移的乘積.類似的還有汽車牽引力做功的問題,分析方法相同.

3.2 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題不宜用質(zhì)心動(dòng)能定理來處理

例2一長為L、質(zhì)量不計(jì)的剛性硬桿,左端通過鉸鏈固定于O點(diǎn),中點(diǎn)及右端分別固定質(zhì)量為m和質(zhì)量為2m的小球,兩球與桿可在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng).開始時(shí)使桿處于水平狀態(tài)并由靜止釋放,如圖1所示,當(dāng)桿下落到豎直位置時(shí),求在桿中點(diǎn)的球的速率.

圖1

解析兩球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同,則由圓周運(yùn)動(dòng)角速度與線速度的關(guān)系知,桿中點(diǎn)的小球的速度為外端小球速度的一半.設(shè)中點(diǎn)的小球的速度大小為v,由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理(或系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律)有

討論若用質(zhì)心動(dòng)能定理求解,過程如下:找到兩球的質(zhì)心位置,由質(zhì)心動(dòng)能定理,有

可見,質(zhì)心動(dòng)能定理與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理所求結(jié)果不同.原因何在? 原因是質(zhì)心動(dòng)能定理不適用于轉(zhuǎn)動(dòng)的情形.本題描述的是剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),并非質(zhì)點(diǎn)系的平動(dòng)問題.

柯尼希定理表明,轉(zhuǎn)動(dòng)體的動(dòng)能等于質(zhì)心的動(dòng)能與相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能(或相對(duì)動(dòng)能)之和.計(jì)入相對(duì)動(dòng)能,由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理有

3.3 用兩個(gè)動(dòng)能定理聯(lián)合處理問題更簡(jiǎn)潔

例3有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球,用長為2L的輕繩連接起來(球的直徑相比L可忽略),置于光滑水平面上,繩恰好處于伸直狀態(tài),如圖2所示,今用一個(gè)恒力F作用在繩的中點(diǎn),F的方向水平且垂直于繩的初始長度方向,原為靜止的兩個(gè)小球因此運(yùn)動(dòng).試問,在兩個(gè)小球第一次相碰前的瞬間,小球在垂直于F作用線方向上的分速度為多大?

圖2

解析 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理

在F作用線方向(設(shè)為x方向)上,當(dāng)繩與作用線成θ角時(shí),如圖3 所示,繩中張力為小球受到作用力大小為FT,x方向的分力為,故FTx也是恒量,小球在x方向的加速度為即小球在x方向上做勻加速運(yùn)動(dòng).設(shè)兩球第一次相碰前瞬間,小球的x方向分速度為vx,恒力F作用點(diǎn)已有的位移量為s,則小球在x方向位移為s－L,有

圖3

此時(shí)恒力F做的功為Fs.設(shè)小球垂直于x方向的分速度大小為vy,則由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理有

質(zhì)心動(dòng)能定理

如圖4所示,由質(zhì)心動(dòng)能定理有F(s－L)＝2×.由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理有聯(lián)立求解,結(jié)果同上.

圖4

點(diǎn)評(píng)對(duì)比兩種求解方法,應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理與牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解,過程煩瑣;應(yīng)用質(zhì)心動(dòng)能定理與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理聯(lián)合求解,過程簡(jiǎn)潔明了.

3.4 用質(zhì)心動(dòng)能定理處理問題更高效

例4如圖5所示,水平面上3 個(gè)質(zhì)量均為m的小物塊,彼此相距d,在水平恒力F作用下,第1個(gè)物塊由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)距離d,與第2個(gè)物塊發(fā)生完全非彈性碰撞,二者共同運(yùn)動(dòng)距離d后,又與第3個(gè)物塊發(fā)生完全非彈性碰撞.求水平面光滑和粗糙兩種情況下碰撞后3個(gè)物塊共同運(yùn)動(dòng)的速度.

圖5

解析質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理

水平面光滑.設(shè)第1個(gè)物塊以速度v1與第2個(gè)物塊發(fā)生碰撞,碰后共同速度為v2;第1、2物塊組合體以速度v3與第3個(gè)物塊發(fā)生碰撞,碰后3個(gè)物塊共同運(yùn)動(dòng)的速度即系統(tǒng)的質(zhì)心速度,設(shè)為vC.由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理有,由動(dòng)量守恒定律有mv1＝2mv2.同理,1、2整體與3發(fā)生碰撞過程,有

水平面粗糙.設(shè)第1個(gè)物塊以速度與第2個(gè)物塊發(fā)生碰撞,碰后共同速度為;第1、2物塊組合體以速度與第3個(gè)物塊發(fā)生碰撞,碰后3個(gè)物塊共同運(yùn)動(dòng)的速度即系統(tǒng)的質(zhì)心速度,設(shè)為.由動(dòng)能定理有由動(dòng)量守恒定律有.同理,1、2整體與3發(fā)生碰撞,有

質(zhì)心動(dòng)能定理

式中,物塊1所受摩擦力對(duì)應(yīng)系統(tǒng)質(zhì)心位移為d,物塊2所受摩擦力對(duì)應(yīng)系統(tǒng)質(zhì)心位移為

方程求解結(jié)果同上.

點(diǎn)評(píng)本題分別應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理及質(zhì)心動(dòng)能定理建立方程求解.如果水平面光滑,考查第1、2物塊的碰撞,則質(zhì)心動(dòng)能定理方程為;系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律方程為2mvC1＝3mvC,所得結(jié)果相同.通過對(duì)比,體會(huì)應(yīng)用質(zhì)心動(dòng)能定理解題的優(yōu)越性.

3.5 2022年高考全國乙卷壓軸題功能分析

例5(2022年全國乙卷)如圖6-甲所示,一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接,靜止在光滑水平面上;物塊B向A運(yùn)動(dòng),t＝0時(shí)與彈簧接觸,到t＝2t0時(shí)與彈簧分離,第一次碰撞結(jié)束,A、B的v-t圖像如圖6-乙所示.已知從t＝0到t＝t0時(shí)間內(nèi),物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0.A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運(yùn)動(dòng)的B再次碰撞.之后A再次滑上斜面,達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同.斜面傾角為θ(sinθ＝0.6),與水平面光滑連接.碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi).求:

圖6

(1)第一次碰撞過程中,彈簧彈性勢(shì)能的最大值;

(2)第一次碰撞過程中,彈簧壓縮量的最大值;

(3)物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù).

解析僅對(duì)第(2)問進(jìn)行分析.

由系統(tǒng)動(dòng)量守恒可求得B的質(zhì)量為5m.設(shè)A、B之間相互作用的平均力為,由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理有

式中,vB0為碰前B的速度,由圖知vB0＝1.2v0.已知xA＝0.36v0t0,則xB＝0.792v0t0.

因此,彈簧壓縮量的最大值

討論審視上述過程,很難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤.可答案是錯(cuò)誤的,原因何在?

拋開平均力,用積分式表示功量.對(duì)A,由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理有

對(duì)B,由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理,有

設(shè)0～t0時(shí)間內(nèi),B相對(duì)A的元位移為dx,即

聯(lián)立式③④得

設(shè)0～t0時(shí)間內(nèi),彈簧壓縮量為x,則式⑤左邊為彈簧彈性勢(shì)能

式⑤表明:彈簧彈性勢(shì)能的增加等于系統(tǒng)動(dòng)能的減少.若將彈簧與A視為系統(tǒng)建立質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理方程,應(yīng)為

聯(lián)立式④⑥求解,所得結(jié)果與式⑤相同.

再審視方程①②,不難發(fā)現(xiàn),出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是力對(duì)位移的平均值的理解有誤,認(rèn)為彈簧對(duì)物塊A、B的平均力大小相等,而實(shí)際上彈簧彈力在兩個(gè)不同的位移上,其力對(duì)位移的平均值不等.

綜上,兩個(gè)動(dòng)能定理的聯(lián)合使用,相得益彰,可使問題的分析更加深入,對(duì)概念的理解更加透徹,有效提高思維的深刻性、批判性和敏捷性.

(完)