蒙特卡洛法合成的風(fēng)扇能效測試不確定度評定

趙一帆，程銀寶，吳 軍，羅 哉，王學(xué)影

(1.中國計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.安徽省計(jì)量科學(xué)研究院，安徽 合肥 230051)

0 引言

家用電器數(shù)量的迅速增長，不僅帶來巨大的能源消耗，也加重對環(huán)境的污染，中國在提高家用電器的能源效率、落實(shí)能效標(biāo)識管理方面尤為重視[1]。研究對象風(fēng)扇為典型的能效標(biāo)識管理產(chǎn)品，單個產(chǎn)品雖小，但銷量高，耗能量加起來不可忽略，對于其能源效率的測量與評定可以檢驗(yàn)其是否符合標(biāo)準(zhǔn)[2]。

目前，文獻(xiàn)[3]依據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)[4]假設(shè)各測量點(diǎn)輸出風(fēng)量為強(qiáng)相關(guān)，對風(fēng)扇能效測試進(jìn)行評定，但是測量不確定度表示指南(guide to the expression of uncertainty in measurement, GUM)方法在處理測量模型非線性、輸入量具有相關(guān)性等測量系統(tǒng)的不確定度評定時存在一定的不足[5-6]，評定結(jié)果可信度不高。文獻(xiàn)[7]通過分析影響電風(fēng)扇風(fēng)量測試結(jié)果的因素，認(rèn)為各點(diǎn)測量風(fēng)速值相互獨(dú)立，只對風(fēng)量測試系統(tǒng)進(jìn)行評定，沒有對其能源效率進(jìn)行分析?；诿商乜宸椒?Monte Carlo method, MCM)[8]進(jìn)行復(fù)雜系統(tǒng)的不確定度評定能有效解決上述難題。MCM法是通過概率分布影響不確定性輸入的先驗(yàn)信息來進(jìn)行評定，可有效彌補(bǔ)GUM方法的局限性[9-10]，同時對GUM方法的適用性進(jìn)行驗(yàn)證。文獻(xiàn)[11]基于計(jì)算機(jī)模擬的優(yōu)勢，利用MCM對A類評定方法進(jìn)行驗(yàn)證，分析A類評定中3種方法的可靠性程度。文獻(xiàn)[12]利用MCM對動態(tài)測量進(jìn)行評定，其測量模型的輸入量是非線性的，利用MCM評定可避免非線性模型的干擾。本文在交流電風(fēng)扇的風(fēng)量測量和能源效率測試的基本原理上，采用兩種方法分別對風(fēng)扇能效測試系統(tǒng)的風(fēng)量值和能效值的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行測量不確定度評定，以驗(yàn)證風(fēng)量測量不確定度評定時是否考慮各測量點(diǎn)風(fēng)速的相關(guān)性。

1 測量方法

在試驗(yàn)過程中，選用精確度等級為0.3級的功率計(jì)獲取風(fēng)扇的功率值，將兩臺風(fēng)速儀放置在扇葉軸線兩側(cè)，并與扇葉軸線上的的水平導(dǎo)軌垂直，測量前，設(shè)置風(fēng)扇起始位置位于風(fēng)速儀的0.02 m處，通過伺服電機(jī)帶動風(fēng)速儀向后移動，為了精準(zhǔn)評定，測量間距設(shè)定為0.04 m。

以直徑為300 mm的落地扇進(jìn)行測試，實(shí)驗(yàn)室的環(huán)境溫度應(yīng)為(20±3)℃，為了使試驗(yàn)效果顯著，選擇最高轉(zhuǎn)速檔位的風(fēng)速值作為能效值測量的輸入風(fēng)量，保持風(fēng)速方向不變。試驗(yàn)開始前，進(jìn)行預(yù)熱運(yùn)轉(zhuǎn)，試驗(yàn)過程中，風(fēng)速儀的葉片與被測試電風(fēng)扇的扇葉應(yīng)相互平行，保持風(fēng)扇軸心線與風(fēng)速測量儀正中心在同一水平線上，直線導(dǎo)軌控制風(fēng)速儀向后移動，直到所測得的平均風(fēng)速低于 0.4 m/s時為止。

2 測量模型

各點(diǎn)在n秒測量期間，采集到的風(fēng)速值用Vi來表示，則風(fēng)速的計(jì)算公式為[13]：

(1)

其中：VL為左邊風(fēng)速儀測量的風(fēng)速值，m·min-1；VR為右邊風(fēng)速儀測量的風(fēng)速值m·min-1；vi為每秒采集的風(fēng)速值m·min-1。

定義測量點(diǎn)i處的平均風(fēng)速Vi，用測得的左、右風(fēng)速的均值來表示，

(2)

總輸出風(fēng)量是風(fēng)速值不低于限度的所有圓環(huán)面積的總風(fēng)量和，測量總風(fēng)量F的數(shù)學(xué)模型為[13]：

(3)

其中：Vi為測量點(diǎn)i處的平均風(fēng)速，m/min；Si為測量點(diǎn)i處的圓環(huán)的面積，m2，Si=2πrid；ri為測量點(diǎn)i處圓環(huán)的半徑，m；d為各測量點(diǎn)的圓環(huán)寬度，由試驗(yàn)時風(fēng)扇扇葉的長度決定，試驗(yàn)取0.04 m。

能源效率的數(shù)學(xué)模型為：

(4)

其中：η為試驗(yàn)所得能效值，m3/(W·min)；F為試驗(yàn)測得的總風(fēng)量，m3/min；P為電動機(jī)的輸入功率，W。

3 風(fēng)量測量的不確定度評定

依據(jù)上述數(shù)學(xué)模型，試驗(yàn)得到的部分測量數(shù)據(jù)以及偏導(dǎo)數(shù)列見表1。

表1 試驗(yàn)測量得到的數(shù)據(jù)

3.1 GUM方法評定

3.1.1 風(fēng)量測量重復(fù)性引入的不確定度分量

對輸出風(fēng)量進(jìn)行10次獨(dú)立重復(fù)測量，測量結(jié)果分別是：34.715 6 m3/min，34.805 7 m3/min，35.018 8 m3/min，34.805 4 m3/min，35.024 8 m3/min，34.704 7 m3/min，34.841 5 m3/min，34.822 8 m3/min，依據(jù)貝塞爾(Bessel)公式計(jì)算風(fēng)量重復(fù)性引入的不確定度分量為：

(5)

3.1.2 風(fēng)速儀引入的不確定度分量

風(fēng)速儀的相關(guān)資料中給出Urel=2.5%(k=2)，由兩臺風(fēng)速儀組成的風(fēng)速測量系統(tǒng)的相對不確定度為：

(6)

① 假設(shè)左右風(fēng)速儀測得的平均風(fēng)速為強(qiáng)相關(guān)。

強(qiáng)相關(guān)時，相關(guān)系數(shù)rij=1，則風(fēng)速測量相關(guān)時引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量公式為：

(7)

式(7)經(jīng)過化簡后，將表1中的數(shù)據(jù)代入式(8)，風(fēng)速儀測量強(qiáng)相關(guān)時引入的不確定度分量為：

(8)

② 假設(shè)左右風(fēng)速儀測得的平均風(fēng)速為獨(dú)立不相關(guān)。

不相關(guān)時，相關(guān)系數(shù)rij=0，將表1中的數(shù)據(jù)代入式(9)，風(fēng)速儀測量不相關(guān)時引入的不確定度分量為：

(9)

3.1.3 圓環(huán)面積引入的不確定度分量

風(fēng)速儀探頭導(dǎo)軌的校準(zhǔn)證書中給出Urel(L)=2×10-5m (k=2)，測量點(diǎn)i處圓環(huán)平均半徑ri的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

(10)

已知Si=2πrid，單位m2。在測量點(diǎn)i處圓環(huán)面積Si引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uB(Si)為：

(11)

則圓環(huán)面積測量引入的不確定度分量為：

(12)

3.1.4 風(fēng)量測量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

將上述不確定度分量進(jìn)行合成，當(dāng)左、右風(fēng)速強(qiáng)相關(guān)時，u1(F)=0.32 m3/min；當(dāng)左、右風(fēng)速無關(guān)時，u2(F)=0.13 m3/min。

3.2 MCM評定

蒙特卡洛方法[14]是通過計(jì)算機(jī)模擬對輸入量進(jìn)行離散隨機(jī)抽樣，利用測量模型傳遞輸入量的概率分布，獲得輸出量的特征信息，適合多個輸入量、單一輸出量的模型[15]。在已知輸入量的概率密度函數(shù)(probability density function, PDF)分布下，可預(yù)測到輸出量的實(shí)際分布[16]。利用蒙特卡洛方法模擬服從期望為各輸入量的測量值，方差為各輸入量服從概率分布的隨機(jī)數(shù)，從而進(jìn)行不確定度評定[17]。 操作步驟如下所示：

(Ⅰ)構(gòu)造測量模型。分析所求問題的原理，考慮測量過程中的主要誤差來源，建立恰當(dāng)合理的不確定度評定模型Y=f(Xi)[18]。

(Ⅱ)輸入量的抽樣。測量模型確定后，利用已有信息、試驗(yàn)數(shù)據(jù)、相關(guān)的計(jì)量學(xué)知識，基于貝葉斯(Bayes)原理或最大熵原理，設(shè)定輸入量Xi的概率密度函數(shù)。選擇試驗(yàn)樣本量的仿真次數(shù)M，對輸入量Xi抽樣M次，擴(kuò)大樣本量，常見的概率分布有矩形分布、正態(tài)分布、三角分布、t分布和反正弦分布[19-20]。依據(jù)實(shí)際情況，判斷輸入量服從的分布類型，多數(shù)情況下默認(rèn)服從正態(tài)分布。

(Ⅲ)輸出量的模擬。輸出量Y分布函數(shù)的確定，主要是將抽樣后的輸入量Xi代入測量模型，得到M個輸出值及其分布函數(shù)信息，對得到的M個輸出值嚴(yán)格按照遞增順序排序，繪制出頻率分布直方圖[21]。結(jié)合包含概率給定包含區(qū)間，判斷其分布類型，得到其相關(guān)特性，比如估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

測量結(jié)果的估計(jì)值按式(13)計(jì)算:

(13)

標(biāo)準(zhǔn)不確定度按式(14)計(jì)算[22]：

(14)

由式(3)分析可知，總風(fēng)量F與Vi、Si有關(guān)，而Si與ri有確定的關(guān)系，故對Vi，ri的PDF進(jìn)行設(shè)定。

3.2.1 測量點(diǎn)i處平均風(fēng)速Vi

根據(jù)最大熵原理，Vi設(shè)為正態(tài)分布，輸入量風(fēng)速測量得到10組數(shù)據(jù)，測量點(diǎn)是彼此獨(dú)立的，針對每點(diǎn)逐一進(jìn)行PDF設(shè)定，求出各測量點(diǎn)平均風(fēng)速的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差，即V1～N(98.983 6，0.872)，V2～N(113.543 8，1.002)，…，V10～N(34.087 5，0.302)，分別對各個組測得的Vi在設(shè)定的樣本量下進(jìn)行大樣本抽樣，得到Vi的M個隨機(jī)數(shù)值，V1，V2，…，VM。

3.2.2 測量點(diǎn)i處平均半徑ri

由式(10)可知，ri的標(biāo)準(zhǔn)不確定度已計(jì)算出，為0.000 01 m。根據(jù)最大熵原理，確定概率密度函數(shù)，ri設(shè)為正態(tài)分布，則r1～N(0.02，0.000 012)，r2～N(0.06，0.000 012)，…，r10～N(0.38，0.000 012)。得到ri的M個隨機(jī)數(shù)值，r1，r2，…，rM。

對輸入量取樣設(shè)定，依據(jù)MCM評定步驟，利用MATLAB軟件[23]對數(shù)學(xué)模型中的輸入量ri、Vi進(jìn)行M=1×106次隨機(jī)模擬抽樣，并根據(jù)總風(fēng)量F測量模型，將各點(diǎn)總風(fēng)量抽樣后累加計(jì)算得到M=1×106個輸出量，將測量結(jié)果從小到大遞增排列，繪制出總風(fēng)量的頻率分布直方圖，如圖1所示。

圖1 總風(fēng)量概率分布直方圖

4 能源效率測量的不確定度評定

4.1 GUM方法評定

4.1.1 電能量測量引入的不確定度分量

對輸入功率進(jìn)行10次獨(dú)立重復(fù)測量，測量結(jié)果分別為：32.7 W、32.5 W、32.7 W、32.9 W、32.7 W、32.7 W、32.6 W、32.7 W、32.8 W、32.7 W。風(fēng)扇能效值A(chǔ)類標(biāo)準(zhǔn)不確定度引入的不確定度分量為：

(15)

功率計(jì)的校準(zhǔn)證書給出U=0.08%(k=2)，且試驗(yàn)的電能量測量示值P=32.7 W，則由電能量測量引入的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為：

(16)

則合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

(17)

4.1.2 總風(fēng)量測量引入的不確定度分量

4.1.3 能效測量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

根據(jù)方差合成定理將總風(fēng)量和功率的不確定度分量合成，能源效率的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：風(fēng)量不相關(guān)時u1(η)=0.009 8 m3/(W·min)；風(fēng)量相關(guān)時u2(η)=0.004 3 m3/(W·min)。

4.2 MCM評定

能源效率依賴兩個互相獨(dú)立的輸入量：P、F。由式(17)可知，P的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.06 W。根據(jù)最大熵原理，為P設(shè)定正態(tài)分布P～N(32.7，0.062)，風(fēng)量測量的概率分布以及不確定度在3.2節(jié)中已求出，將其代入到能源效率測試模型中，利用數(shù)據(jù)模擬軟件對數(shù)學(xué)模型中的輸入量進(jìn)行M=1×106次隨機(jī)模擬抽樣，根據(jù)公式計(jì)算得到M=1×106個輸出量，能效值按遞增順序排列繪制出頻率分布直方圖，如圖2所示。

圖2 能效值概率分布直方圖

4.3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

由以上數(shù)據(jù)分析可知，圓環(huán)面積引入的不確定度分量與重復(fù)性及風(fēng)速測量引入的不確定度相比影響較小，可以忽略。經(jīng)典GUM方法中輸入量相關(guān)性的兩種假設(shè)的評定結(jié)果，與MCM的評定結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如表2所示。由表2可知：MCM得到的風(fēng)量的不確定度和能效測試的不確定度，與GUM方法評定時假定左、右風(fēng)速儀測得的各點(diǎn)平均風(fēng)速不相關(guān)的評定結(jié)果接近。

表2 GUM與MCM評定方法得到的結(jié)果比較 m3/(W·min)

5 結(jié)論

(1)MCM得到的能效不確定度0.003 7 m3/W·min，更靠近各測量點(diǎn)平均風(fēng)速不相關(guān)時的能效不確定度0.004 3 m3/W·min，表明各測量點(diǎn)平均風(fēng)速不相關(guān)。

(2)運(yùn)用GUM方法對測量模型進(jìn)行評定時，無法判定左、右風(fēng)速是否相關(guān)，如若假設(shè)為強(qiáng)相關(guān)時，會使得能效的不確定度偏大，可靠性不高。

(3)通過MCM和GUM方法進(jìn)行分析，可以看出MCM計(jì)算簡便，通過編程易于實(shí)現(xiàn)，無需考慮輸入量相關(guān)性、模型非線性的影響，運(yùn)算過程簡便，評定復(fù)雜模型時更快速、可靠。