平拋運(yùn)動(dòng)與斜面結(jié)合問(wèn)題的剖析

郝占忠

平拋運(yùn)動(dòng)經(jīng)常和斜面結(jié)合起來(lái)命題，求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是挖掘隱含的幾何關(guān)系。下面舉例說(shuō)明，供同學(xué)們參考。

一、物體從斜面頂端平拋，最終落回到斜面上

解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于深刻理解通過(guò)與斜面的關(guān)聯(lián)而給出的隱含條件，隱含條件的本質(zhì)是給出了位移的方向，即位移方向與水平方向間的夾角與斜面的傾角相等，進(jìn)而已知，則可以利用該式算出物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

1．研究從斜面頂端開(kāi)始平拋并落回到斜面上的時(shí)刻。

（1）全過(guò)程中物體的位移方向沿斜面方向，即物體的豎直分位移與水平分位移之比等于斜面傾角的正切值。

（2）物體的豎直分速度與水平分速度之比等于斜面傾角正切值的兩倍。

例1 如圖1所示，在傾角為θ的光滑斜面頂端，以初速度v1水平拋出一個(gè)小物體a，同時(shí)小物體b以初速度v2沿斜面下滑，兩物體同時(shí)到達(dá)斜面上的P點(diǎn)，則二者的初速度v1和v2大小之比為（? ? ?）。

A．1：1

B．1：cos θ

C．cos θ：1

D．1：cos2θ

解析：物體b沿光滑斜面下滑，初速度大小為v2，加速度大小為gsinθ。物體a做平拋運(yùn)動(dòng)，將其沿斜面方向和垂直于斜面方向進(jìn)行分解，則沿斜面方向的初速度大小為v1cosθ，加速度大小為gsinθ（與物體6的加速度相同）。兩物體要想在斜面上的某點(diǎn)相遇，則必須保持二者沿斜面方向的初速度大小相等，即v1cosθ=v2，因此v1：v2=1：cosθ。

答案：B

說(shuō)明：當(dāng)兩物體同時(shí)從同一高度（或同一點(diǎn)）拋出時(shí)，兩物體在豎直方向上均做白由落體運(yùn)動(dòng)，始終在同一高度上，二者的間距只取決于兩物體的水平分運(yùn)動(dòng)。

2．研究速度與斜面平行的時(shí)刻。

（1）物體的豎直分速度與水平分速度之比等于斜面傾角的正切值。

（2）該時(shí)刻是全運(yùn)動(dòng)過(guò)程的中間時(shí)刻。

（3）該時(shí)刻之前與該時(shí)刻之后物體沿豎直方向的位移之比為1：3。

（4）該時(shí)刻之前與該時(shí)刻之后物體沿斜面方向的位移之比不是1：3。

例2如圖2所示，在傾角為臼的斜面頂端以初速度v0水平拋出一小球，該斜面足夠長(zhǎng)，則從拋出開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球離開(kāi)斜面的距離達(dá)到最大，最大距離為多少？

解析：將小球的平拋運(yùn)動(dòng)分解為沿斜面向下和垂直于斜面向上的分運(yùn)動(dòng)，觀察分運(yùn)動(dòng)的情況可以凸顯小球離開(kāi)斜面距離達(dá)到最大的物理本質(zhì)。取沿斜面向下為x軸的正方

二、物體平拋后垂直撞擊斜面

物體在垂直撞擊斜面的時(shí)刻滿(mǎn)足的幾何關(guān)系是速度方向與水平方向間的夾角與斜面的傾角互余。

例3 如圖4所示，以初速度v0=10 m/s水平拋出的物體，飛行一段時(shí)間后，垂直地撞在傾角θ=30°的斜面上，取重力加速度g=10 m/s2，則物體完成這段飛行所用的時(shí)間是（? ? ）。

答案：C

說(shuō)明：對(duì)于一個(gè)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體來(lái)說(shuō)，如果知道了某一時(shí)刻的速度方向，那么往往可以從分解速度的角度來(lái)研究問(wèn)題；如果知道了某一時(shí)刻的位移方向，那么往往可以從分解位移的角度來(lái)研究問(wèn)題。

三、物體在斜面上做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)

平拋運(yùn)動(dòng)是一種典型的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，如果物體所受的恒力并非重力，但其初速度也與加速度垂直，則該物體的運(yùn)動(dòng)也是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，其軌跡也是拋物線．其運(yùn)動(dòng)規(guī)律與平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律很類(lèi)似，那么可以將其稱(chēng)為“類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)”，比如小球在光滑斜面上沿水平方向或沿斜面拋出后在斜面上的運(yùn)動(dòng)就是類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)。

例4如圖6所示，光滑斜面的傾角為θ，斜邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，斜面頂端有一小球以平行于底邊的初速度v0水平拋出，則小球滑到斜面底端時(shí)，在水平方向上的位移為多大？小球到達(dá)斜面底端時(shí)的速度為多大？

說(shuō)明：求解物體在斜面上的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，靈活運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律和方法技巧。

跟蹤訓(xùn)練 1．如圖7所示，在一同定斜面體的頂點(diǎn)以大小相同的初速度v0同時(shí)水平向左與水平向右拋出兩個(gè)小球A和B，已知斜面體兩側(cè)斜坡的傾角分別為37°和53°，小球均落在坡面上。若不計(jì)空氣阻力，則A、B兩小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為（? ? ）。

A．1：1

B．4：3

C．16：9

D．9：16

2．如圖8所示，一固定斜面的傾角為a，高為h，一小球從斜面頂端沿水平方向拋出，最終落至斜面底端，不計(jì)小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的空氣阻力，設(shè)重力加速度為g，則小球從拋出到離開(kāi)斜面距離最大所經(jīng)歷的時(shí)間為（? ? ?）。

3．一水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時(shí)，其速度方向與斜面垂直，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖9中虛線所示。小球在豎直方向上下落的距離與在水平方向上通過(guò)的距離之比為（? ? ）。

4．如圖10所示，A、B兩質(zhì)點(diǎn)以相同的水平速度從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正方向拋出，質(zhì)點(diǎn)A在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為P1，質(zhì)點(diǎn)B緊貼光滑的斜面運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為P2，P1和P2對(duì)應(yīng)的x軸坐標(biāo)分別為x1和x2，不計(jì)空氣阻力，下列說(shuō)法中正確的是（? ? ）。

參考答案：

1．D提示：小球A落在左側(cè)坡面上時(shí)，其位移與水平方向之間的夾角等于左側(cè)斜坡的傾角37°；小球B落在右側(cè)坡面上時(shí)，其位移與水平方向之間的夾角等于右側(cè)斜坡的傾角53°。根據(jù)位移與水平方向之間的夾角的

2．A 提示：小球從斜面頂端沿水平方向拋出，最終落至斜面底端，將小球的初速度分解為沿斜面向下的分速度vx和垂直于斜面向上的分速度xy，則當(dāng)小球的豎直分速度vyt=0時(shí)，小球離開(kāi)斜面的距離最大。

3．D提示：做平拋運(yùn)動(dòng)的小球垂直撞擊斜面時(shí)，其速度與豎直方向之間的夾角等

4．C提示：A、B兩質(zhì)點(diǎn)的初速度（設(shè)為u0）相同，則二者沿x軸方向的分運(yùn)動(dòng)均為速度為v0的勻速直線運(yùn)動(dòng)，二者沿x軸方向的位移大小取決于運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)B沿斜面滑行的加速度a（a = gsinθ）小于g，沿斜面方向的分位移比質(zhì)點(diǎn)A沿豎直方向的分位移大，所以質(zhì)點(diǎn)B落地所用的時(shí)間較長(zhǎng)，即x2>x1。