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    日本初中教科書尺規(guī)作圖編排及啟示

    2022-11-16 14:44:29何煜晶蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院215006
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年2期
    關(guān)鍵詞:尺規(guī)作圖章節(jié)

    何煜晶 周 超 (蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215006)

    1 前言

    尺規(guī)作圖,即有限次使用直尺和圓規(guī),解決平面幾何的作圖問題[1].它是將想象中的幾何概念變成看得見的幾何的重要手段,幫助學(xué)生直觀理解幾何概念及其關(guān)系,形成初步的幾何直覺.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下文簡稱《課標(biāo)》)將尺規(guī)作圖置于基本幾何概念(點(diǎn)線面角、相交線平行線、垂線、三角形、四邊形、圓等)之后[2].盡管《課標(biāo)》并未規(guī)定教科書中知識(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序,但實(shí)際的教科書編寫還是受到《課標(biāo)》中尺規(guī)作圖后置的影響,初中數(shù)學(xué)教科書中有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容也出現(xiàn)較晚.因此,尺規(guī)作圖成為了一種學(xué)習(xí)任務(wù),其在幫助學(xué)生理解幾何概念與實(shí)際操作等方面的功能被大大削弱,影響了早期的直觀運(yùn)用.

    2017年,日本開始了最新一輪的數(shù)學(xué)教育課程改革.2017年3月,日本文部科學(xué)省頒布了《初中學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》(相當(dāng)于我國的《課標(biāo)》,下文簡稱《要領(lǐng)》),并于2021年4月1日開始施行.在初中《要領(lǐng)》的指導(dǎo)下,日本編寫了新版本的初中數(shù)學(xué)教科書. 本文主要探討日本最新初中《要領(lǐng)》及教科書對(duì)尺規(guī)作圖內(nèi)容的處理與編排,以期對(duì)我國《課標(biāo)》與教科書的編寫帶來啟示.

    2 日本初中《要領(lǐng)》中尺規(guī)作圖的內(nèi)容與要求

    日本初中《要領(lǐng)》將初中數(shù)學(xué)知識(shí)分為數(shù)與式、圖形、函數(shù)、數(shù)據(jù)的活用(即統(tǒng)計(jì)與概率)四個(gè)領(lǐng)域,其中每個(gè)領(lǐng)域都融入了數(shù)學(xué)的活動(dòng)[3],如圖1所示.《要領(lǐng)》對(duì)每個(gè)年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行了說明,與我國《課標(biāo)》相比,日本《要領(lǐng)》對(duì)知識(shí)內(nèi)容的劃分更為固定明確.

    圖1 日本2017年初中 《要領(lǐng)》中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容

    尺規(guī)作圖屬于“圖形”領(lǐng)域,日本初中各年級(jí)“圖形”領(lǐng)域知識(shí)內(nèi)容如表1所示.在七年級(jí)平面圖形學(xué)習(xí)之初就有了尺規(guī)作圖的內(nèi)容要求.與我國相比,日本《要領(lǐng)》中尺規(guī)作圖的位置順序明顯靠前.尺規(guī)作圖對(duì)于培養(yǎng)初中生圖形領(lǐng)域的資質(zhì)與能力方面,具有引起學(xué)生對(duì)圖形的興趣和關(guān)心、直觀地捕捉圖形的性質(zhì)和關(guān)系、促進(jìn)邏輯思考的意義.

    表1 “圖形”領(lǐng)域知識(shí)內(nèi)容

    《要領(lǐng)》解說還對(duì)七年級(jí)尺規(guī)作圖的內(nèi)容處理提出了建議,強(qiáng)調(diào)不要單方面地給出作圖的方法,而是著眼于圖形的對(duì)稱性和決定圖形的要素,找到作圖的方法,并根據(jù)圖形的性質(zhì)和關(guān)系有條理地對(duì)方法進(jìn)行說明.

    3 日本初中教科書尺規(guī)作圖編排特點(diǎn)

    《中學(xué)校數(shù)學(xué)1》由日本學(xué)校圖書株式會(huì)社出版,該出版社成立于1948年,以研究、編寫、出版與發(fā)行基礎(chǔ)教育教科書與教育圖書為主要任務(wù),在中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的編寫方面發(fā)展成熟.2020年9月出版的《中學(xué)校數(shù)學(xué)1》以2017年《要領(lǐng)》為指導(dǎo),能夠充分反映最新《要領(lǐng)》的理念與要求.因此我們以該版本的教科書為例,研究尺規(guī)作圖的編排特點(diǎn).

    3.1 注重小學(xué)與初中的銜接,喚醒學(xué)生已有的直觀經(jīng)驗(yàn)

    圖2是該教科書七年級(jí)“圖形”領(lǐng)域的章節(jié)目錄.平面圖形章節(jié)分為兩部分:一是各種角作圖,二是圖形的移動(dòng).第一節(jié)“各種角作圖”即為尺規(guī)作圖的內(nèi)容,內(nèi)容集中,約占平面圖形章節(jié)內(nèi)容的60%.章節(jié)目錄左側(cè)列出了所需的預(yù)備知識(shí).有關(guān)尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備主要是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的垂直與平行、三角形、平行四邊形、菱形與圓的相關(guān)知識(shí).

    圖2 日本七年級(jí)“圖形”領(lǐng)域章節(jié)目錄

    在章節(jié)目錄旁設(shè)置“小學(xué)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”欄目,一方面提醒學(xué)生“回頭看”,回顧已有知識(shí),做好新知識(shí)的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備,加強(qiáng)小學(xué)與初中幾何知識(shí)之間的聯(lián)系.另一方面,教師能夠據(jù)此了解學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ),方便其備課.

    3.2 增加尺規(guī)作圖的情境性與趣味性

    用“寶藏藏在哪里”的情境引入尺規(guī)作圖的內(nèi)容.圖3為寶藏的線索文件,圖4為地圖.在線索文件中,寶藏在直線①②③相交而成的三個(gè)點(diǎn)所在圓的圓心上.直線①經(jīng)過地圖中路 ○ア的中點(diǎn),且與路 ○ア夾角為90°;直線②經(jīng)過點(diǎn)A,且與路 ○イ夾角為30°;直線③經(jīng)過點(diǎn)B,且與路 ○イ夾角為60°.因此為了找到寶藏,首先需要作出直線①②③.

    圖3 寶藏線索文件

    圖4 寶藏地圖

    為了作夾角為90°,30°和60°的直線,最簡單的方法是使用量角器.然而在尋寶過程中,發(fā)現(xiàn)忘記帶量角器了,只帶了直尺與圓規(guī).由此引入課題:不使用量角器,如何作出90°,30°和60°角呢?

    在該情境下,“各種角作圖”內(nèi)容分為三部分:90°角作圖;60°和30°角作圖;作圖的利用.各部分課時(shí)、學(xué)習(xí)內(nèi)容及術(shù)語符號(hào)見表2.

    表2 “各種角作圖”課時(shí)與結(jié)構(gòu)

    結(jié)合對(duì)情境與章節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的分析,該問題情境一方面用尋找寶藏這種帶有神秘色彩的活動(dòng)吸引學(xué)生的興趣,激發(fā)學(xué)生思考;另一方面,在進(jìn)行尺規(guī)作圖的過程中將平面圖形的基礎(chǔ)知識(shí)如垂線、角、平行線、圓等串聯(lián)起來,使得各知識(shí)點(diǎn)的出現(xiàn)順序較為自然.

    3.3 將尺規(guī)作圖嵌入幾何活動(dòng)中,培養(yǎng)一般化的幾何思考方式

    日本教科書中垂直平分線、角平分線等內(nèi)容的作圖步驟與我國教科書基本一致,但在內(nèi)容處理上存在明顯差異.我國教科書對(duì)于作圖的內(nèi)容處理相當(dāng)直接,通常給出作法就結(jié)束,至于作法從何而來,如何進(jìn)行思考并未加以說明.日本教科書在尺規(guī)作圖內(nèi)容上增加了思考方式,目的是讓學(xué)生思考作圖的角度.此外還設(shè)計(jì)了尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)活動(dòng),幫助學(xué)生應(yīng)用尺規(guī)作圖解決實(shí)際問題.

    (1)尺規(guī)作圖的思考方式

    以90°角作圖為例,日本教科書在作圖之前引導(dǎo)學(xué)生思考夾角為90°的兩條直線所在的圖形.日本學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的相關(guān)知識(shí):菱形是以兩條對(duì)角線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形,四條邊長度相等,因此菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分.于是利用菱形對(duì)角線的性質(zhì),通過作菱形的方式作垂直平分線.

    圖5 風(fēng)箏形

    在垂直平分線作圖的基礎(chǔ)上,過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線.教科書同時(shí)還給出了另一種作法:利用風(fēng)箏形進(jìn)行作圖.風(fēng)箏形是以一條對(duì)角線為對(duì)稱軸的圖形.圖5即為一個(gè)風(fēng)箏形,對(duì)角線AB為對(duì)稱軸,因此有AB⊥PQ,PO=QO.

    利用風(fēng)箏形的性質(zhì),過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的作圖順序如圖6所示.

    圖6 利用風(fēng)箏形作垂線

    將教科書中各種作圖的思考方式進(jìn)行總結(jié)(見表3),可以發(fā)現(xiàn),教科書以垂線、垂直平分線與角平分線作圖為核心.在思考方式上,都是考慮已學(xué)的對(duì)稱圖形,以菱形為主.由于菱形具有對(duì)角線互相垂直平分、對(duì)角線平分頂角、對(duì)邊平行等性質(zhì),因此在尺規(guī)作圖學(xué)習(xí)之初,從菱形性質(zhì)進(jìn)行思考是一種不錯(cuò)的選擇.

    表3 尺規(guī)作圖的思考方式

    (2)尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)活動(dòng)

    對(duì)于“已知圓上三點(diǎn)找圓心”的內(nèi)容處理,教科書設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng):將破碎的圓形銅鏡碎片進(jìn)行復(fù)原.

    該部分內(nèi)容處于尺規(guī)作圖章節(jié)的尾部,一方面是作為一個(gè)新的數(shù)學(xué)情境,再次吸引學(xué)生的興趣,讓學(xué)生運(yùn)用垂直平分線作圖的知識(shí)解決新的問題;另一方面與初始的尋找寶藏的情境相呼應(yīng).在線索文件中,寶藏在直線①②③相交而成的三個(gè)點(diǎn)所在圓的圓心上.因此該活動(dòng)結(jié)束之后,學(xué)生即可用所學(xué)知識(shí)解決尺規(guī)作圖章節(jié)之初的尋寶問題,這在一定程度上調(diào)動(dòng)了學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的積極性.

    4 思考與啟示

    總的來說,日本初中教科書平面幾何章節(jié)中尺規(guī)作圖出現(xiàn)的順序明顯靠前,這主要是受《要領(lǐng)》的影響.教科書對(duì)于尺規(guī)作圖的編排呈現(xiàn)三大特點(diǎn):一是設(shè)置“小學(xué)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”欄目,加強(qiáng)初中與小學(xué)知識(shí)的銜接.二是設(shè)置有趣的情境,以作圖為線索串聯(lián)幾何知識(shí),吸引學(xué)生的興趣.三是給出了作圖的思考方式,而不是直接給出作法. 在此基礎(chǔ)上,可以對(duì)我國初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教科書的編寫提出建議.

    4.1 將尺規(guī)作圖內(nèi)容前置,作為認(rèn)識(shí)圖形、理解幾何概念的工具

    將《課標(biāo)》中尺規(guī)作圖內(nèi)容前置,把尺規(guī)作圖作為初中生幾何學(xué)習(xí)初期認(rèn)識(shí)幾何的工具.通過尺規(guī)作圖,學(xué)生經(jīng)歷“構(gòu)造”平面幾何概念的過程,以形成對(duì)幾何概念與性質(zhì)的直觀理解.例如,在七年級(jí)認(rèn)識(shí)三角形初期利用尺規(guī)作圖,將圓規(guī)作為固定邊長的工具,探索三角形三邊的關(guān)系.僅僅需要圖7這樣一個(gè)特例即可形成對(duì)三角形“任意兩邊之和大于第三邊”這一關(guān)系的直觀理解.

    圖7 利用尺規(guī)作圖探索三角形三邊關(guān)系

    4.2 強(qiáng)調(diào)尺規(guī)作圖的思考方式,適當(dāng)降低作法的要求

    教科書可以通過設(shè)置備注、閱讀欄目等方式,增加作圖的思考方式、該作法的起源、還有哪些其他作法等內(nèi)容.尺規(guī)作圖與《幾何原本》密切相關(guān),以配圖的形式增設(shè)《幾何原本》中有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容,可以讓學(xué)生感受到尺規(guī)作圖悠久的歷史與價(jià)值,增加教材的人文感.

    4.3 設(shè)計(jì)有趣的情境,應(yīng)用尺規(guī)作圖解決問題

    針對(duì)我國教科書尺規(guī)作圖零散分布于各平面幾何章節(jié)的情況[4],一方面,可以在包含尺規(guī)作圖的章節(jié)之初設(shè)計(jì)有趣的問題情境,在學(xué)習(xí)了該章節(jié)知識(shí)之后,回頭解決一開始的問題,實(shí)現(xiàn)首尾呼應(yīng);另一方面,在學(xué)習(xí)完所有平面幾何知識(shí)之后,設(shè)置一個(gè)綜合性的數(shù)學(xué)情境,用尺規(guī)作圖串聯(lián)平面幾何的知識(shí),在解決問題的過程中促進(jìn)各知識(shí)的理解與遷移.

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