“像數(shù)學(xué)家一樣思考”的教育哲學(xué)審視

胡吉振 徐 思 (麗水學(xué)院教師教育學(xué)院 323000)

吳健榮 (蘇州科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215009)

歐陽亮 胡典順 (華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 430079)

1 提出問題

德國一個教授克里斯蒂安·黑塞根據(jù)自己給非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的講課內(nèi)容編寫了一本科普讀物，翻譯為中文名字就叫《像數(shù)學(xué)家一樣思考：讓生活和工作更美好的22個數(shù)學(xué)思維方式》[1]．這本書通過一些數(shù)學(xué)大家的逸聞趣事來說明如何“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，并指出22個數(shù)學(xué)思維方式是有效的思考工具，掌握這22個數(shù)學(xué)思維方式可以提高個體發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力．細細琢磨，這些逸聞趣事在類似的科普讀物中也是可以找到的，只是敘述的方式、語言的表達不同而已．那么依賴這些逸聞趣事是否就能說明普通人“像數(shù)學(xué)家一樣思考”呢？另外，普通人真的能像數(shù)學(xué)家一樣思考嗎？這就是本文所要回答的問題．

德文版的原書并不是“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，而是“與數(shù)學(xué)相遇”．為什么要改為這樣一個題目呢？可能是為了吸引眼球，能引起觀眾的注意，討好更多的讀者，這與我們這個諂媚的時代是相關(guān)的．無論題目與內(nèi)容是否相符，但是提出了一個很有價值的問題就是普通人“能像數(shù)學(xué)家一樣思考嗎？”事實上，這涉及到一個民族文化的問題．中國古代是“學(xué)而知之”的文化，在這種文化之下，沒有什么學(xué)不會的，只要好好學(xué)習(xí)就能學(xué)會，而且中國的文化很少強調(diào)智力的因素．從這個意義上講，把“與數(shù)學(xué)相遇”翻譯為“像數(shù)學(xué)家一樣思考”本身就體現(xiàn)了一種東方文化的特色，強調(diào)學(xué)習(xí)的重要性，認(rèn)為普通人只要下功夫就沒有學(xué)不會的數(shù)學(xué)．從這個意義上講，反對“像數(shù)學(xué)家一樣思考”的觀點在國內(nèi)可能是不受歡迎的，甚至?xí)獾綇娏业姆磳Γ當(dāng)?shù)學(xué)教育界是認(rèn)可這種觀點的，因為如果普通人不能像數(shù)學(xué)家一樣思考，數(shù)學(xué)教育存在的價值與意義何在？數(shù)學(xué)教育就是促使普通人朝“像數(shù)學(xué)家一樣思考”的方向前進甚至是達成這一目標(biāo)，因為我們的文化就是普通人只要努力學(xué)習(xí)，也同樣能像數(shù)學(xué)家一樣思考的文化．“像數(shù)學(xué)家一樣思考”這個題目也博得數(shù)學(xué)教育界的認(rèn)可．因為只有能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，通過數(shù)學(xué)教育實現(xiàn)其教育的目的，這才能顯示數(shù)學(xué)教育的價值與意義．如果普通人不能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，這就降低了普通人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信和自覺，這可能挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，尤其是打擊了一些想當(dāng)數(shù)學(xué)家的學(xué)習(xí)者的積極性，這不利于數(shù)學(xué)家的成長與培養(yǎng)，從這個意義上講，不能說“不能像數(shù)學(xué)家一樣思考”，而只能說能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”．這種能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”是由文化社會教育的需要而必須建立的基本假設(shè)，具體這種基本假設(shè)是否成立，則沒有人追究．這種假設(shè)未必是對的，但是即使是錯誤的東西只要能促進學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就可以了．換句話說，管他黑貓白貓逮住老鼠就是好貓．普通人能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”從強調(diào)意義或價值的視角來說是很有必要的，這是站在文化社會教育的視角來講的．中國人一般強調(diào)普通人能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”的，這種歷史文化淵源可以追溯到中國古代數(shù)學(xué)教育，由于中國古代數(shù)學(xué)是為人生、社會的現(xiàn)實生活服務(wù)的，這也是中國數(shù)學(xué)教育的意義與價值所在，而不是像胡塞爾強調(diào)的歐洲科學(xué)的危機在于科學(xué)精神的一枝獨大導(dǎo)致人的精神生活的匱乏和生活世界的意義的缺失．中國的人文主義精神的文化形成了“能像數(shù)學(xué)家一樣思考”的重要因素．

但是，站在西方文化的視角，由于從柏拉圖到笛卡爾一以貫之提倡的“天賦觀念”思想，按照這種觀念的思路可以推測西方社會可能更多的是強調(diào)普通人是不能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”的．事實上西方文化對數(shù)學(xué)的認(rèn)識強調(diào)的就是數(shù)學(xué)客觀性的方面，這與他們長期以來的科學(xué)主義一枝獨大的文化傳統(tǒng)是一脈相承的．西方國家雖然強調(diào)天賦觀念，強調(diào)大多數(shù)人不能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，但是數(shù)學(xué)家產(chǎn)生卻是如此之多，讓我們不得不懷疑普通人不能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，而強調(diào)精英意識的西方社會為什么數(shù)學(xué)家卻人才輩出呢？這個問題是值得我們思考的．可能是西方社會遵循了事物發(fā)展的客觀規(guī)律，普通人不能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”就是不能像數(shù)學(xué)家一樣思考，這種規(guī)律也要遵循，而不是違背，只有在遵循這個規(guī)律的基礎(chǔ)上才能培養(yǎng)更多更好的數(shù)學(xué)家.精英的培養(yǎng)與大眾應(yīng)用數(shù)學(xué)者的培養(yǎng)是分離的，這種分工的精神促進了數(shù)學(xué)家更像數(shù)學(xué)家，社會精英人士專門研究數(shù)學(xué)，像安德魯·懷爾斯一樣專業(yè)化到七年什么都不干而研究一個很專業(yè)的數(shù)學(xué)問題——費馬猜想，這種高度的專業(yè)化精神導(dǎo)致了精英與普通大眾之間的分工從而促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展．中國古代社會是有“天人合一”的觀念的，雖然強調(diào)了普通人能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，但是普通人什么都干，就像中國古代讀書人奉行的“事事關(guān)心”一樣，什么都要關(guān)心，什么都要考慮，而人的精力和時間是有限的，其結(jié)果就很難專業(yè)化．更為重要的是為了給數(shù)學(xué)教育的存在的必要性找一個虛假的理由，給一個民族的自信找一個虛無的假設(shè)，也迎合了數(shù)學(xué)教育界的口味，也似乎提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，但是其結(jié)果效果未必如意．以上是“像數(shù)學(xué)家一樣思考”在中西兩種文化下的不同的境遇，本文基于西方文化境遇的分析，以此說明普通人不能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，這種分析同樣適合中國文化境遇中的情況．

2 “像數(shù)學(xué)家一樣思考”的困難

從《像數(shù)學(xué)家一樣思考》全書的描述中可以發(fā)現(xiàn)，克里斯蒂安·黑塞認(rèn)為普通人是可以“像數(shù)學(xué)家一樣思考”的．但是克里斯蒂安·黑塞在書中卻并沒有闡述普通人為什么能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”．當(dāng)然，從數(shù)學(xué)教育的角度看，我們是十分希望學(xué)生能像數(shù)學(xué)家那樣進行思考的，但問題不是那么簡單，鐵的現(xiàn)實證明了這是不現(xiàn)實的，否則還有誰抱怨數(shù)學(xué)難，數(shù)學(xué)枯燥無味呢？雖然有的學(xué)者研究認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中要讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣思考，即使一些著名的數(shù)學(xué)家也提出了類似的觀點，即學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)家的工作有很大的相似性，但這種觀點大都是一廂情愿的．

2.1 數(shù)學(xué)的內(nèi)容：冰冷的美麗

數(shù)學(xué)是抽象心智的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)界也常說數(shù)學(xué)是“冰冷的美麗”．?dāng)?shù)學(xué)就是把人的七情六欲都給抽象掉之后剩下的客觀元素、關(guān)系或?qū)傩?不否認(rèn)數(shù)學(xué)具有文化屬性)，從這點來說數(shù)學(xué)中包含有人的“理性”部分，但是感性的部分卻是缺失的，這就造就了數(shù)學(xué)不是人性的完美表現(xiàn)，也就是說數(shù)學(xué)含有完美的人性是缺失的，至少情感是缺失的．即使是數(shù)學(xué)的美麗也只能供那些數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)工作者欣賞，外行人是看不懂的．為什么一些數(shù)學(xué)家說“數(shù)學(xué)美”或說“數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)”呢，一個重要的原因就是數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的鐘愛，數(shù)學(xué)家經(jīng)常與數(shù)學(xué)打交道，數(shù)學(xué)成為了他們的“終身伴侶”，“耳鬢廝磨”對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了感情，當(dāng)然說數(shù)學(xué)美了．例如，大數(shù)學(xué)家陳省身說“數(shù)學(xué)好玩”．實際上這是數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)打了一輩子的交道，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了感情的真實寫照．說數(shù)學(xué)是藝術(shù)或說數(shù)學(xué)美同樣是對數(shù)學(xué)有感情的體現(xiàn)．如果一個很討厭數(shù)學(xué)、認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥的人一定不會說數(shù)學(xué)美．因此，數(shù)學(xué)中的美或數(shù)學(xué)像藝術(shù)一樣的觀點是數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)情感的體現(xiàn)，而并非真正的大眾所認(rèn)識的美．

數(shù)學(xué)遵守的法則之一是理性，是邏輯推理，但是理性或邏輯推理富有情感嗎？似乎表面上是有情感的，因為理性或邏輯推理是講道理的．但是理性或邏輯推理的“講道理”與社會學(xué)中的“講道理”是不一樣的，因為社會學(xué)中的講道理在很多情況下是與情感交織在一起的，但是理性或邏輯推理卻把感情色彩給抽象掉了，變成了純粹客觀的東西．因此，即使數(shù)學(xué)是理性或邏輯推理的，也是不包含情感的．總之，從根本上說數(shù)學(xué)包含的不是完美的人性．從教育哲學(xué)的視角來講，教育學(xué)就是以人為本的學(xué)問．就像張瑞璠主編的《中國教育哲學(xué)史》序中所說：“可以這樣說，人性論是中國教育思想的理論基礎(chǔ)；離開教育家的人性論，不惟說不清其教育功能和作用，更談不上窺測其思想大廈之奧秘．”[2]這就說明了數(shù)學(xué)這門學(xué)科很少甚至不具有人文精神，不是一門完全符合人性的科學(xué)．

但是，一些人文學(xué)科是符合人性的．例如文學(xué)、音樂、美術(shù)、教育學(xué)等等都是符合人性的．因為無論是情感，還是理性，在這些人文學(xué)科中都是存在的，只不過是成分的多少而已．這些人文學(xué)科是沿著符合人性的道路前進的，而且體現(xiàn)了人的情感，充滿了人文精神．中國傳統(tǒng)社會一些文人騷客常常寄情于山水，充滿了人文的思想的同時也不缺乏理性精神．但是數(shù)學(xué)在很多情況下就很少有人文精神．例如古希臘大數(shù)學(xué)家歐幾里得(公元前330—前275)的《原本》[3]里面只有定義、公理、公設(shè)、定理等，一絲的情感也沒有．當(dāng)然有人說《原本》充滿了科學(xué)精神，充滿了理性精神，這是沒有錯的．古希臘哲學(xué)家亞里士多德(Aristotle，公元前384—前322)講“人是理性的動物”也是沒有錯的，問題是他把人的情感給抽象掉了，抽象掉的人是不再具有完美人性的人，這與數(shù)學(xué)研究是一樣的．但是人文學(xué)科則不然，文學(xué)作品的人物形象都是有血有肉的，有理性也有情感的，這才是一個豐滿的人物的形象．實際上說“人是情感的動物”更符合普通的人民大眾．因此，像文學(xué)或藝術(shù)一樣或類似的人文學(xué)科由于是符合人性的，就可以說“像文學(xué)家或藝術(shù)家一樣思考”．那么為什么沒有學(xué)者提出“像文學(xué)家(藝術(shù)家)一樣思考”的觀點呢？一個可能的原因就是每個人都很容易做得到這一點，所以沒有必要過多地提倡，過多的提倡也沒有什么新意．從這點來說人們更容易成為藝術(shù)家，尤其是情感豐富的普通人．造成現(xiàn)在長久不衰的“藝考熱”的原因很多，但是其中最重要的一個原因是藝術(shù)是符合人性的學(xué)科，既有科學(xué)的素養(yǎng)，又包含了人文的情感．當(dāng)然有些社會科學(xué)也是符合人性的．例如經(jīng)濟學(xué)，梁小民寫過一本通識教材《經(jīng)濟學(xué)是什么》[4]，提倡“像經(jīng)濟學(xué)家一樣思考”的觀點，但是這種觀點是比較恰當(dāng)?shù)?，因為?jīng)濟學(xué)符合人性，最基本依據(jù)就是經(jīng)濟學(xué)的幾條假設(shè)就是符合人性的[5]，而且經(jīng)濟學(xué)與人們的日常生活關(guān)系非常密切．在自然科學(xué)、社會科學(xué)與人文科學(xué)相比較而言，人文科學(xué)可能反映的人性更為完滿，社會科學(xué)其次，自然科學(xué)再次，而數(shù)學(xué)是最不能反映人性中的情感的，最不容易“像什么家一樣思考”的就是數(shù)學(xué)家.任何學(xué)科都可以“像這些學(xué)科家一樣思考”，但是你不能說“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，因為數(shù)學(xué)包含的不是完滿的人性，而是情感的缺失．自然科學(xué)雖然不是數(shù)學(xué)，但是自然科學(xué)與數(shù)學(xué)是比較靠近的，其研究對象是自然為主的學(xué)科，也不是以人為主的學(xué)科，未必完全地符合人性，因此“像某某自然學(xué)科家一樣思考”也同樣很難實施下去．至于哲學(xué)是人文學(xué)科，當(dāng)然可以像哲學(xué)家一樣思考問題．有本書是《像物理學(xué)家一樣思考》[6]，還有一本書《數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖——學(xué)會像數(shù)學(xué)家一樣思考》[7]等等，這些書與其他類似的書籍不再評論．一些學(xué)生說數(shù)學(xué)太抽象了，符號太多了，數(shù)學(xué)太枯燥了．為什么數(shù)學(xué)枯燥就是因為數(shù)學(xué)未必符合人性中的情感，當(dāng)然枯燥．但是文學(xué)作品中的激情描寫的情節(jié)是很扣人心弦的，理性分析的精神也是讓人久久不能忘懷的，甚至某部電影的某個影星給影迷留下的印象是終生難忘的，這是因為藝術(shù)含有豐富的人性．當(dāng)然也有學(xué)者說，數(shù)學(xué)就像哲學(xué)家維特根斯坦所說是一種游戲，一旦進入其中，對數(shù)學(xué)就充滿了情感，數(shù)學(xué)就成為了具有豐富情感的人文學(xué)科，從這點來講數(shù)學(xué)不是冰冷的美麗．?dāng)?shù)學(xué)是游戲的思想我們不想過多的探討，但是數(shù)學(xué)的“游戲入門”不是普通人能夠跨越的，應(yīng)該說數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家的思想的游戲，而不是普通人的思想游戲．這就涉及到數(shù)學(xué)這門學(xué)科的性質(zhì)，數(shù)學(xué)是不是人文科學(xué)呢？一些學(xué)者的觀點認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是包括自然科學(xué)和人文、社會科學(xué)在內(nèi)的所有科學(xué)的共同語言”，并強調(diào)數(shù)學(xué)不僅具有自然科學(xué)的普遍特征，而且也包含著豐富多彩的社會學(xué)意義和人文精神．如果從這個觀點講，數(shù)學(xué)是不枯燥的，但是這個意義上所說的數(shù)學(xué)不是純粹數(shù)學(xué)，而是應(yīng)用數(shù)學(xué)，甚至是把數(shù)學(xué)當(dāng)作一種文化來看待的，但不是數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)．

2.2 數(shù)學(xué)家的性格：冒險的賭徒

以上說的是數(shù)學(xué)這門學(xué)科本身的性質(zhì)之一是具有客觀性，但是缺少情感．如果說數(shù)學(xué)是“冰冷的美麗”，那么數(shù)學(xué)家就是“火熱的思考”者，否則是無法當(dāng)數(shù)學(xué)家的，這就是說數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究要有激情．那么數(shù)學(xué)家是什么？數(shù)學(xué)家是天才，都是很富有個性的天才，是哥倫布似的冒險家，同時數(shù)學(xué)家又像“賭徒”一樣，甚至數(shù)學(xué)家就是“賭徒”，而且還不是一般的“賭徒”，而是以生命時間為代價的“賭徒”，至少現(xiàn)代數(shù)學(xué)之前的數(shù)學(xué)家很類似于賭徒．當(dāng)然，從另一個角度來說，這就是數(shù)學(xué)家的奉獻精神．?dāng)?shù)學(xué)家不管自己研究數(shù)學(xué)有沒有收獲，甚至后人如何評價自己都拋之腦后，而是要把畢生的時間與精力用來研究數(shù)學(xué)，把畢生的精力與時間獻給人類最偉大的數(shù)學(xué)事業(yè)．從這點來說，數(shù)學(xué)家都是人類歷史上最可愛的人，都是值得人們?nèi)プ鹁吹模绨驳卖敗褷査?Andrew Wiles)為了解決費馬猜想，對解決這個問題準(zhǔn)備了若干年，而專心研究了整整七年的費馬猜想，七年什么都不干，只研究費馬猜想，這簡直就是一個瘋子，這是平常人不可想象的事．“設(shè)想你進入大廈的第一間房間，完全是一片漆黑，你在家具之間跌跌撞撞，但是你逐步搞清楚了每一件家具所在的位置，這樣經(jīng)過七八個月，你終于摸到了電燈開關(guān)，打開了燈，忽然間一切都清楚了，你才確切知道你身在何處．于是你又找到隔壁的房子去，在黑暗中再摸索六七個月．每一次這樣的突破，都是在黑暗中摸索幾個月完成的．因此，這些突破都是摸索的結(jié)晶．”[8]上面這段話是安德魯·懷爾斯經(jīng)過七年時間徹底解決了360年前費馬提出的“費馬猜想”之后的親身體會．這段話摘錄自2005年他在北京大學(xué)所做的講演．當(dāng)我讀這段話時感到很奇怪，甚至于覺得荒誕．經(jīng)過細細的思索，我才能觸碰到這種感覺，才明白：數(shù)學(xué)家在解決數(shù)學(xué)問題時是像人類學(xué)家野外探險一樣，面臨的是一個陌生的世界，如何把握住陌生世界的本質(zhì)不是一頓飯的功夫可以解決的，不是一件容易的事，要經(jīng)過很多的波折．馬克思曾說過：“在科學(xué)的大道上沒有平坦的道路可走，只有沿著山間崎嶇小路攀登的人，才能達到光輝的頂點．”其實安德魯·懷爾斯上面的這段話與馬克思的話具有異曲同工之妙．馬克思作為一個社會科學(xué)家，是從自己的社會科學(xué)研究角度來講的，而安德魯·懷爾斯是從一個數(shù)學(xué)家的角度說出自己歷經(jīng)七年之久的探索未知領(lǐng)域的親身體會．其實很多的數(shù)學(xué)工作者就是這樣．當(dāng)然，每個數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)真理的過程可以說千差萬別，數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)的道路就不是《像數(shù)學(xué)家一樣思考》能夠窮竭完的，而且數(shù)學(xué)家的探索數(shù)學(xué)道路的艱辛也不是一般人能夠體會的，應(yīng)該是“一把辛酸淚”.數(shù)學(xué)家的思考方式并沒有讓數(shù)學(xué)家在困難面前一帆風(fēng)順，就像上面提到的安德魯·懷爾斯七年的數(shù)學(xué)奮斗歷程是崎嶇不平的，甚至是經(jīng)歷了七年之久的奮戰(zhàn)問題仍然沒有解決，這是很有可能的．“像數(shù)學(xué)家一樣思考”同樣也不能避免在攀登數(shù)學(xué)高峰的歷程中走彎路．

說數(shù)學(xué)家是“賭徒”是因為一旦數(shù)學(xué)家對某個問題感興趣，他就是充滿情感、瘋狂和執(zhí)拗地去研究某個問題，甚至有不達目的不罷休的毅力去研究．人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一阿基米德(公元前287年—公元前212年)為了自己的心愛的幾何學(xué)，竟然被羅馬士兵殺死，對數(shù)學(xué)的迷戀已經(jīng)達到如此癲狂的程度[9]．射影幾何的創(chuàng)始人、法國著名數(shù)學(xué)家彭賽列(1788—1876)在俄國的監(jiān)獄里研究數(shù)學(xué)[10]，在普通人看來就是很有個性，就是活生生的一個“賭徒”形象，因為他連自己明天的死活都不知道．解決法國大數(shù)學(xué)家龐加萊(1854—1912)提出的“龐加萊猜想”的俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼，對菲爾茲數(shù)學(xué)獎都嗤之以鼻，整天生活在大森林里，好像一個不食人間煙火的神仙一樣．“四元數(shù)”是英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家哈密爾頓(1805—1865)在散步的時候不經(jīng)意間發(fā)現(xiàn)的，而且以后每年的這一天他都要給他發(fā)現(xiàn)的四元數(shù)過生日[10]，數(shù)學(xué)家的個性是多么的鮮明另類．我國三國時期數(shù)學(xué)家趙爽在史書記載“負(fù)薪余日，聊觀周髀”，是依靠砍柴為生而研究數(shù)學(xué)的[11]．我國唐朝數(shù)學(xué)家王孝通說：“臣長自閭閻，少小學(xué)算，鐫磨愚鈍，訖將皓首．”[12]可見王孝通窮經(jīng)皓首(也就是研究了一輩子)才把數(shù)學(xué)研究出名，這些都是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)問題的不平凡的經(jīng)歷．另一個例子是歐幾里得《原本》中的第五公設(shè)問題，數(shù)學(xué)家研究了兩千多年，很多數(shù)學(xué)家默默無聞地冒險研究，一輩子都是在默默無聞地奉獻，在數(shù)學(xué)上沒有成就，但是他們?nèi)匀皇侵档煤笕俗鹁吹模麄兯龅墓ぷ鲗髞頂?shù)學(xué)發(fā)展的奠基作用是不朽的，尤其是他們的精神是彪炳千秋的．在數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家失敗的案例比成功的案例多得多，這就是說數(shù)學(xué)這個學(xué)科是具有風(fēng)險性的，“數(shù)學(xué)家”就是一個“高風(fēng)險”的行業(yè)，當(dāng)然這也是針對具體的人而言．所以說數(shù)學(xué)家干的都是人類最偉大的事業(yè)之一，也是最冒險的事業(yè)之一，他們這種不怕失敗的冒險精神，是普通人很難想象的，而且這些數(shù)學(xué)家所做的工作都是非常人所能及的，甚至是外人無法理解的．普通人不是“賭徒”或“冒險家”，所以很難有數(shù)學(xué)家的思考方式．還是那句話，讓凱撒的歸凱撒，讓上帝的歸于上帝．?dāng)?shù)學(xué)家的思考方式只要數(shù)學(xué)家具備就可以了，至于平常人當(dāng)然具備更好，但是也不要過于勉強．當(dāng)然有人想當(dāng)數(shù)學(xué)家，也需要像數(shù)學(xué)家一樣思考問題．說數(shù)學(xué)家是“賭徒”還有一層意思，當(dāng)數(shù)學(xué)家遇見一個數(shù)學(xué)問題時，自己能否解決是一個未知數(shù)，也可能解決，也可能不能解決．大多數(shù)都是懷著試一試的心態(tài)，即使試了幾年或一輩子也未必可以證明出來，但是有的數(shù)學(xué)家也許一下子就證明出來，這點與做工程和文藝創(chuàng)作是不同的，是不確定性的．用“賭徒”這個詞在這里并非貶義，而是數(shù)學(xué)家冒險精神的體現(xiàn)．另外需要說明的是，數(shù)學(xué)家雖然是冒險的“賭徒”，但是他在研究數(shù)學(xué)的過程中也可能是理性的．

2.3 數(shù)學(xué)家的思維方式：不定式

人們在不同的時代，對數(shù)學(xué)的認(rèn)識是不同的．古埃及數(shù)學(xué)、古巴比倫數(shù)學(xué)就是經(jīng)驗數(shù)學(xué)，但是古希臘數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)是演繹的科學(xué)．今天人們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識又與過去不一樣．林夏水認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)[13]．實際上數(shù)學(xué)這個概念是變化的，是與時俱進的．這就決定了數(shù)學(xué)家的思考方式或研究方法也是在變化之中的，也不是像《像數(shù)學(xué)家一樣思考》那樣教條式地把數(shù)學(xué)家的思維方式總結(jié)為22條，數(shù)學(xué)家的思考方式或數(shù)學(xué)方法不是22條原則可以概括的，而且應(yīng)該是一個開放的發(fā)展的動態(tài)體系，而不是一個封閉的教條．?dāng)?shù)學(xué)家的思維方式在一些情況下都是非常人所能理解的，甚至都是超天才能想起來的．例如人類大數(shù)學(xué)家高斯(1777—1855)自以為豪的是用古希臘尺規(guī)作圖的方式，把正十七邊形的作圖問題解決了，而這個問題自從古希臘數(shù)學(xué)以來兩千年都沒有被數(shù)學(xué)家解決，卻讓高斯解決了．少年數(shù)學(xué)天才伽羅華(811—1832)、阿貝爾(1802—1829)把“群論”搞出來，但是在當(dāng)時一些大數(shù)學(xué)家，像柯西(1789—1857)這樣在那個時代是最偉大的數(shù)學(xué)家之一，都看不懂，不理解這兩位年輕數(shù)學(xué)家的工作，兩位少年天才數(shù)學(xué)家的思想是超時代的，可以說這兩位少年天才數(shù)學(xué)家的思維方式讓同時代的數(shù)學(xué)家認(rèn)為是不可理解的．?dāng)?shù)學(xué)家都不理解數(shù)學(xué)家的工作，普通人理解數(shù)學(xué)家的工作更難．伽羅華、阿貝爾的思考方式在當(dāng)時是沒有人理解的，這個例子說明了數(shù)學(xué)家的思考方式是一個不定式．只有數(shù)學(xué)家的思考方式是不定式，人類的數(shù)學(xué)事業(yè)才能發(fā)展壯大，才能蒸蒸日上；如果數(shù)學(xué)家的思考方式一旦固定，也許人類的數(shù)學(xué)就快終結(jié)了．這也說明了數(shù)學(xué)家的思維方式是不同的，是不確定的．

現(xiàn)代人們提倡數(shù)學(xué)實驗，提倡用計算機解決數(shù)學(xué)問題，這些方法或思維方式都是前所未有的．?dāng)?shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的方法或思考方式也在不斷地變化．例如牛頓、萊布尼茨打破了歐幾里得《原本》的范式，發(fā)明了微積分，但是卻留下了很多他們自己沒有解決的問題.這些問題為什么沒有解決，一個原因就是牛頓、萊布尼茨等這些數(shù)學(xué)家的思考方式一旦形成定式，就只能解決他們的思考定式中能夠解決的數(shù)學(xué)問題，而他們的思考定式中不能解決的問題就要留下來，而這些留下來數(shù)學(xué)問題被后來的歐拉、伯努利數(shù)學(xué)家族、達朗貝爾、拉格朗日等解決，但是這些數(shù)學(xué)家也同樣解決了自己思維定式能解決的數(shù)學(xué)問題，沒有解決的數(shù)學(xué)問題留給了下一代數(shù)學(xué)家解決，數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)的發(fā)展就是這樣的循環(huán)往復(fù)．?dāng)?shù)學(xué)家有時候就是走不出自己的思維定式，數(shù)學(xué)家要成為常青樹的確是一件不容易事．?dāng)?shù)學(xué)家的思考其實是很復(fù)雜的，尤其是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支眾多，隨著數(shù)學(xué)知識的增多，數(shù)學(xué)方法在不斷地發(fā)展，不斷地豐富．?dāng)?shù)學(xué)永遠在路上，而“像數(shù)學(xué)家一樣思考”其實還沒有上路，“像數(shù)學(xué)家一樣思考”問題也僅僅適用于過去式，而未必適用于將來，最多也就是把過去的東西總結(jié)一下．?dāng)?shù)學(xué)家走過的路徑是不可復(fù)制的，也是具有時代性的，這就說明了數(shù)學(xué)家的思維方式不是很容易學(xué)習(xí)的，甚至都是無法理解的，而且也是不斷地發(fā)展變化的．總之，數(shù)學(xué)家的思維方式是個不定式．

2.4 普通人選擇數(shù)學(xué)：未必情愿

我們不先說普通人選擇數(shù)學(xué)愿意不愿意，先講一個事實．經(jīng)歷了數(shù)學(xué)專業(yè)四年的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，大部分的學(xué)生考入了其他專業(yè)的研究生，另外一部分直接就業(yè)，只有很少一部分人考入數(shù)學(xué)系的研究生繼續(xù)深造數(shù)學(xué).這些學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)思維方式遠遠超過《像數(shù)學(xué)家一樣思考》的22條原則所包含的內(nèi)容，甚至無論深度還是廣度都是《像數(shù)學(xué)家一樣思考》不能達到的，經(jīng)歷數(shù)學(xué)專業(yè)四年的數(shù)學(xué)思維方式的訓(xùn)練，仍有很多的學(xué)生沒有像數(shù)學(xué)家一樣思考，這個鐵的事實我們不能熟視無睹，而《像數(shù)學(xué)家一樣思考》僅僅是一本科普讀物，讀完之后作為普通人能像數(shù)學(xué)家一樣思考嗎？數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)了四年都未必達到的水平，非專業(yè)人士就憑《像數(shù)學(xué)家一樣思考》中的22條就能像數(shù)學(xué)家一樣思考，這簡直就是天方夜譚．固然，數(shù)學(xué)家的思考方式很重要，但是我們不能過度地夸大，至少不能夸大到口無遮攔的程度．中國有一句古話：“不在其位，不謀其政”．這句話同樣適用于“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，你不當(dāng)數(shù)學(xué)家，憑什么非要像“數(shù)學(xué)家”一樣思考，想干什么就按照干什么的方式思考就行了，俗語說“上什么山，唱什么歌”，“干一行，愛一行”．中國古代的莊子和惠施在《秋水》中的名句“汝非魚，安知魚之樂”也是很適合放在這里的，你不是(魚)數(shù)學(xué)家，怎么能像(魚)數(shù)學(xué)家一樣(游泳)思考呢？人們常說數(shù)學(xué)是思維的體操，但是普通人有時間來練習(xí)這個體操嗎？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好的方法是做題，好的數(shù)學(xué)家最基本的一條是能做題，很可惜《像數(shù)學(xué)家一樣思考》上面的22條原則對做題來說就是過時的教條，這點普通的老百姓也是無法實施的，因為老百姓或普通的讀者要的僅僅是思考問題的方式而不是做數(shù)學(xué)題，這樣就很難達到目標(biāo)．

另外，數(shù)學(xué)這門學(xué)科是有自己專門的語言符號的，而不像人文學(xué)科，你只要識字就可以學(xué)習(xí)這些人文學(xué)科，例如歷史學(xué)、文學(xué)、教育學(xué)等.但是數(shù)學(xué)的專業(yè)語言是抽象的符號，這種抽象的符號是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的工具，這對普通人來說，尤其是對數(shù)學(xué)沒有情感的人來說不易掌握這個工具，想達到數(shù)學(xué)家的思考方式，這也是不可能的．這就像想學(xué)游泳，而不肯下水實踐一樣的荒唐．“游泳的規(guī)則”(《像數(shù)學(xué)家一樣思考》)也許說得很好，但是“像數(shù)學(xué)家一樣思考”就必須做題才能實現(xiàn)，而平民百姓一般沒有機會，即使有了，如果對數(shù)學(xué)不感興趣的話，其實也可能很累的．現(xiàn)實生活中，數(shù)學(xué)本科畢業(yè)的學(xué)生中有一些學(xué)生就不從事數(shù)學(xué)工作了，數(shù)學(xué)家的思考方式他們未必有，平民百姓什么都不想干，還想得到“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，這可能是個玩笑．

寫到這里，猛然間想起一個很重要的問題，《像數(shù)學(xué)家一樣思考》認(rèn)為的“像數(shù)學(xué)家一樣思考”是一個什么概念？數(shù)學(xué)家有天才數(shù)學(xué)家，有超天才數(shù)學(xué)家，還有二流和三流數(shù)學(xué)家．這個數(shù)學(xué)家的定義很重要，不過《像數(shù)學(xué)家一樣思考》書中所舉的例子都是超一流的數(shù)學(xué)家，例如高斯、費馬(1602—1665)等這樣的大數(shù)學(xué)家，但是這些大數(shù)學(xué)家是很稀少的，幾百年甚至上千年才出一個，而且與普通老百姓的距離太遙遠，他們的思考方式是后人學(xué)習(xí)不來的，甚至都不能望其項背．從這點來說，也許那些偉大的數(shù)學(xué)家不僅不是榜樣，而是導(dǎo)致這些普通的讀者對數(shù)學(xué)喪失興趣的根源，因為這些數(shù)學(xué)家太偉大了，偉大到讓讀者感覺到自己太渺小了，讓讀者的自信受到摧殘．榜樣的力量在很多情況下并非都是無窮的，而且在很多情況下像一座大山一樣，壓著后來的學(xué)者，讓他們喘不過氣來，造成了對前人的無法超越．

另外，普通人在日常工作中未必能會用數(shù)學(xué)思想與方法解決現(xiàn)實中的問題．其實，有一些領(lǐng)域是不太適合數(shù)學(xué)的思維方式的．例如法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯(1749—1827)的學(xué)生、法國著名的皇帝兼軍事家拿破侖(1769—1821)任命拉普拉斯為財政部長，但是由于拉普拉斯把無窮小分析的精神帶給了官僚機構(gòu)，最終拉普拉斯被罷免財政部長這個角色．人們經(jīng)常談到的情商與智商的問題，其實，如果用數(shù)學(xué)家的思考方式去談戀愛，成功的幾率幾乎是零．因為數(shù)學(xué)是純客觀的東西，愛情卻需要情感的．“像數(shù)學(xué)家一樣思考”問題是很累的，現(xiàn)實生活是具體的，而數(shù)學(xué)是抽象的，這就是兩者的差距，也是兩者的最大矛盾．從以上可以看出，學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)家一樣思考問題其實是很累的，成本可能不高，但是未必有人付出，而且未必見效．

當(dāng)然，有些人還是要說為什么存在業(yè)余數(shù)學(xué)家呢？在古代社會的確存在業(yè)余數(shù)學(xué)家，例如法國的數(shù)學(xué)家費馬、代數(shù)學(xué)之父韋達(1540—1603)，而且兩者都以律師為職業(yè)．中國傳統(tǒng)(古代)數(shù)學(xué)家?guī)缀醵际菢I(yè)余(除了宋元時期的數(shù)學(xué)家朱世杰)的，但是在過去那個時代數(shù)學(xué)知識的積累還是比較少的，數(shù)學(xué)發(fā)展到今天業(yè)余數(shù)學(xué)家是無處藏身的．?dāng)?shù)學(xué)家王元院士曾說過類似的話，很多沒有學(xué)過微積分的數(shù)學(xué)愛好者都在證明“哥德巴赫猜想”，他說過去每年中科院數(shù)學(xué)研究所收到的關(guān)于證明“哥德巴赫猜想”稿件多達幾麻袋，但是很多的都是沒有價值的．這就像是騎著自行車登月球一樣不現(xiàn)實，這說明了業(yè)余數(shù)學(xué)家的不可能，這同樣說明想達到數(shù)學(xué)家思考問題的方式而不去專業(yè)化地研究數(shù)學(xué)也是不可能的．

普通人不能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，不能說成“像數(shù)學(xué)家一樣思考”的成本很高，這個不能用成本的大小來衡，因為不同的人研究數(shù)學(xué)成本是不一樣的，而且即使同一個人，剛一開始可能數(shù)學(xué)研究得很辛苦，所謂的成本很高，但是越研究數(shù)學(xué)越有興趣，研究數(shù)學(xué)的成本可能會降下來，甚至有些人會認(rèn)為研究數(shù)學(xué)是人生的千古快事，是人生的一大幸福，這時候就沒有成本了.所以說用成本來衡量“像數(shù)學(xué)家一樣思考”的難易程度是不妥當(dāng)?shù)?，?yīng)該說一個人“像數(shù)學(xué)家一樣思考”心甘情愿的程度比較好．再者，普通人未必一廂情愿地去學(xué)習(xí)“像數(shù)學(xué)家一樣思考”．?dāng)?shù)學(xué)畢竟是一個行業(yè)，普通人或?qū)W生是有選擇自己職業(yè)的自由的，在眾多的職業(yè)面前，自由地選擇職業(yè)是學(xué)生的權(quán)利．另外，“像數(shù)學(xué)家一樣思考”是一種長期的過程，不能說你今天像數(shù)學(xué)家一樣思考，明天就不想“像數(shù)學(xué)家一樣思考”了，數(shù)學(xué)家的思維方式是一種以終生的實踐為基礎(chǔ)的，但是普通人也許在某一方面或某一時秉承了數(shù)學(xué)家的思考方式，但是未必具有持久性、普遍性．由于數(shù)學(xué)家秉承了終身研究數(shù)學(xué)的習(xí)慣，這就使得普通人很難做到終生的專業(yè)化研究數(shù)學(xué)，這就更難做到具有數(shù)學(xué)家的思考方式．

2.5 成功基因：數(shù)學(xué)家品質(zhì)

“像數(shù)學(xué)家一樣思考”這樣的話題，一流數(shù)學(xué)家或天才數(shù)學(xué)家一般是不提倡的，因為他們很自負(fù)，認(rèn)為自己是天才，天才就是不可復(fù)制的，他的思考方式不是別人想學(xué)就能學(xué)來的．因此，他們很不贊同“像數(shù)學(xué)家一樣思考”就能成為數(shù)學(xué)家．高斯19歲用古希臘數(shù)學(xué)家所謂“尺規(guī)作圖”的方式作出了正十七邊形，這個難題自從古希臘數(shù)學(xué)以后2 000多年很多數(shù)學(xué)家都沒有做出來，難道這兩千年之間的數(shù)學(xué)家沒有像數(shù)學(xué)家一樣思考這個問題？其實即使像(是)數(shù)學(xué)家一樣思考問題，你也未必能真正地解決數(shù)學(xué)問題甚至現(xiàn)實生活中的問題，這就說明了“像數(shù)學(xué)家一樣思考”也不是萬能的，在數(shù)學(xué)上是這樣，在其他領(lǐng)域更是如此．所以說一流數(shù)學(xué)家從來不會講“像數(shù)學(xué)家一樣思考”．二流數(shù)學(xué)家依靠勤奮，但是人家也不會說“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，因為他們懂得即使像(是)數(shù)學(xué)家一樣思考問題也未必能在數(shù)學(xué)上做出貢獻，也有很多解決不了的數(shù)學(xué)難題．“像數(shù)學(xué)家一樣思考”其實就是有了固定的思考方式，數(shù)學(xué)家思考一個問題時已有的思考方式，他就不會也不想創(chuàng)造出更好的方法來解決問題，這對他來說，也許對未來的數(shù)學(xué)研究起到阻礙的作用．也就是說數(shù)學(xué)家在解決問題時一旦有固有思考方式，就沒有進行創(chuàng)造出更好的解決問題的方法的動力，而已有的思考方式往往是陳舊的，但是新的數(shù)學(xué)問題需要新的思考方式，所以說數(shù)學(xué)家的思考方式有時候是幫倒忙的．沒有辦法的辦法才是最好的辦法，沒有辦法才可能鼓勵數(shù)學(xué)家創(chuàng)造新的辦法解決問題，但是當(dāng)數(shù)學(xué)家創(chuàng)造出新辦法時，在將來解決數(shù)學(xué)問題時，也可能會失效，更重要的是他就失去了創(chuàng)造的動力．

其實，數(shù)學(xué)家的思考方式雖然重要，但是數(shù)學(xué)家的思考方式這個層次太低了，僅僅是“術(shù)”，而不是“道”，僅僅是雕蟲小技，而不是大智若愚．真正成為數(shù)學(xué)家依靠的是“道”而不僅僅是這個“術(shù)”．不是看了《像數(shù)學(xué)一樣思考》這本書，就能成為數(shù)學(xué)家的．那么，什么是數(shù)學(xué)家的“道”呢？這就是數(shù)學(xué)家優(yōu)秀的數(shù)學(xué)品質(zhì)．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚(1910—1985)先生也提倡“天才出于勤奮”“一份努力一份收獲”，這就說明優(yōu)秀數(shù)學(xué)品質(zhì)在數(shù)學(xué)家成長過程中是很重要的因素．另一位中國著名數(shù)學(xué)家陳景潤(1933—1996)能夠在解析數(shù)論研究中取得至今無人超越的數(shù)學(xué)成就，就是因為他很有很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)品質(zhì)，例如他踏踏實實、認(rèn)認(rèn)真真，一步一個腳印地攀登數(shù)學(xué)高峰，而不是投機鉆營地找什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的秘籍，學(xué)習(xí)與研究數(shù)學(xué)依靠更多的是優(yōu)秀品質(zhì)，而不是一些雕蟲小技．一些招聘單位優(yōu)先錄取數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，原因是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生一般精于計算，嚴(yán)謹(jǐn)、富有邏輯思想、有耐心、有毅力，具有理性精神等，這些優(yōu)秀品質(zhì)對其他的行業(yè)也是同樣需要的．胡典順認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以促進以下優(yōu)秀品質(zhì)的形成：誠實正直，崇尚真理，勤于思考，勇于創(chuàng)新，堅韌不拔，敢于攀登[14]．這就說明數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀品質(zhì)是通過勤奮學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)得到的，不學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)想得到這些品質(zhì)是不可能的，更為重要的是在數(shù)學(xué)家成長的道路上，其思考方式與這些優(yōu)秀品質(zhì)相比就變得微乎其微，甚至是九牛一毛．因為這些數(shù)學(xué)品質(zhì)才是“道”，那些思考方式最多是“術(shù)”．所以說很多的數(shù)學(xué)家成功靠的是勤奮，靠的是自己的努力，靠的是自己的天賦與靈感，靠的是自己與別人多交流，等等，而不僅僅是數(shù)學(xué)家的思考方式．另外，其實很多數(shù)學(xué)家也走過很多的“彎路”，像費馬猜想安德魯·懷爾斯花費了七年的時間才證明出來，這還是很不錯的．當(dāng)然，除了數(shù)學(xué)品質(zhì)影響數(shù)學(xué)家的成長之外，還有數(shù)學(xué)觀、出生的社會背景、從小所受的教育等因素制約著數(shù)學(xué)家的成長．

3 結(jié)語

“能像數(shù)學(xué)家一樣思考”反映了一種精英教育的觀念，但是這種觀念與我們傳統(tǒng)文化和現(xiàn)階段的教育目標(biāo)未必一致，也與中國目前的教育政策的主流的輿論導(dǎo)向不太一致.因為我們國家提倡的是公平教育，是大眾教育與精英教育并存的觀念．德國是以日耳曼民族為主的國家，這個民族有高傲的情懷、哲學(xué)的精神和數(shù)學(xué)的天才，古希臘數(shù)學(xué)家與哲學(xué)的精神也得到了這個民族的傳承．我們這個民族在認(rèn)識論上秉承的學(xué)而知之、有教無類的大眾教育哲學(xué)觀念．在20世紀(jì)末中國開始由精英教育向大眾教育轉(zhuǎn)變，事實上這也是21世紀(jì)的人類教育的一個重要的發(fā)展方向．大眾教育在某種程度也體現(xiàn)了公平教育的精神．如果大多數(shù)的人民群眾的孩子沒有受到教育，我們的公平教育就無從談起．因此，我們國家也很重視公平教育．智力不同的孩子在教育上都應(yīng)該受到公平對待，決不能因為培養(yǎng)一個數(shù)學(xué)家而犧牲千千萬萬個祖國花朵的利益，而且在我國現(xiàn)階段的社會主義經(jīng)濟建設(shè)中各行各業(yè)需要對數(shù)學(xué)要求不同層次的人才，從這種現(xiàn)實的民族文化及國情出發(fā)，從公平教育的角度出發(fā)，我們的教師不僅要為班上兩三個數(shù)學(xué)尖子生服務(wù)，更重要的也應(yīng)該為大多數(shù)的中等智力的學(xué)生服務(wù)．為了少數(shù)學(xué)生“能像數(shù)學(xué)家一樣思考”顯然不適用我們的國情，也不適應(yīng)整個人類教育的發(fā)展現(xiàn)狀．

《像數(shù)學(xué)家一樣思考》這本書在內(nèi)容上僅僅是數(shù)學(xué)史上的逸聞趣事而已，最多加上自己的體會與感悟，但是書的名字與內(nèi)容是不相符的．看過這本書更堅信習(xí)總書記說的堅持文化自覺與文化自信的重要性．改革開放這么多年，外來的東西都是好的嗎？這是要進行反思的．遠的不說，就說這本書充其量就是一般的科普讀物而已，但卻起了一個冒天下之大不韙的書名，其內(nèi)容遠遠比不上國內(nèi)的一些科普讀物．因此，堅持文化自信與文化自覺不僅僅是堅守自己固有的文化陣地，另一方面也要對外來的文化采用批判、反思、質(zhì)疑的精神，而不是全盤地接受．

數(shù)學(xué)家是個性最強最鮮明的群體之一．?dāng)?shù)學(xué)是心智抽象的產(chǎn)物，這就造成了數(shù)學(xué)在人性方面是缺失情感的．?dāng)?shù)學(xué)家是天生的冒險家．?dāng)?shù)學(xué)家的思考方式是千變?nèi)f化的，這種思考方式的“不定式”說明了普通人“像數(shù)學(xué)家一樣思考”是很難的．從“數(shù)學(xué)是思維的體操”的視角，數(shù)學(xué)家的思維也是不容易學(xué)習(xí)的．?dāng)?shù)學(xué)家之所以是數(shù)學(xué)家，最重要的是數(shù)學(xué)家具有很多優(yōu)秀的品質(zhì)并解決數(shù)學(xué)問題，這些品質(zhì)比數(shù)學(xué)家的思考方式要重要得多，而且這些優(yōu)秀的品質(zhì)是依靠數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)得到的，沒有這些優(yōu)秀的品質(zhì)，數(shù)學(xué)家就不是數(shù)學(xué)家．但是沒有數(shù)學(xué)家的思考方式，數(shù)學(xué)家還是數(shù)學(xué)家．?dāng)?shù)學(xué)家的思考方式并沒有阻止數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)的道路上走彎路．因此，數(shù)學(xué)家的思維方式對數(shù)學(xué)家的成長并沒有想象的作用那么大．其實還有一點本文沒有講，這就是數(shù)學(xué)的思考與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是密切聯(lián)系的，或者說數(shù)學(xué)思想方法是與數(shù)學(xué)知識密切聯(lián)系的，脫離具體的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)的思想方法就是無源之水，無木之本．

總之，普通人一般不能“像數(shù)學(xué)家一樣思考”．?dāng)?shù)學(xué)家思考方式是與數(shù)學(xué)做題聯(lián)系在一起的，不從事數(shù)學(xué)家的工作，就無法像數(shù)學(xué)家一樣思考．你不從事數(shù)學(xué)家的工作就很難有數(shù)學(xué)家一樣的思考問題的方式．?dāng)?shù)學(xué)家是個行業(yè)，你只有進入這個行業(yè)，成為這個行業(yè)的一員，從事這個行業(yè)的工作，才能像數(shù)學(xué)家一樣思考，否則別無他法．