“像數(shù)學家一樣思考”的教育哲學審視

胡吉振 徐 思 (麗水學院教師教育學院 323000)

吳健榮 (蘇州科技大學數(shù)學科學學院 215009)

歐陽亮 胡典順 (華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 430079)

1 提出問題

德國一個教授克里斯蒂安·黑塞根據(jù)自己給非數(shù)學專業(yè)學生的講課內容編寫了一本科普讀物，翻譯為中文名字就叫《像數(shù)學家一樣思考：讓生活和工作更美好的22個數(shù)學思維方式》[1]．這本書通過一些數(shù)學大家的逸聞趣事來說明如何“像數(shù)學家一樣思考”，并指出22個數(shù)學思維方式是有效的思考工具，掌握這22個數(shù)學思維方式可以提高個體發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力．細細琢磨，這些逸聞趣事在類似的科普讀物中也是可以找到的，只是敘述的方式、語言的表達不同而已．那么依賴這些逸聞趣事是否就能說明普通人“像數(shù)學家一樣思考”呢？另外，普通人真的能像數(shù)學家一樣思考嗎？這就是本文所要回答的問題．

德文版的原書并不是“像數(shù)學家一樣思考”，而是“與數(shù)學相遇”．為什么要改為這樣一個題目呢？可能是為了吸引眼球，能引起觀眾的注意，討好更多的讀者，這與我們這個諂媚的時代是相關的．無論題目與內容是否相符，但是提出了一個很有價值的問題就是普通人“能像數(shù)學家一樣思考嗎？”事實上，這涉及到一個民族文化的問題．中國古代是“學而知之”的文化，在這種文化之下，沒有什么學不會的，只要好好學習就能學會，而且中國的文化很少強調智力的因素．從這個意義上講，把“與數(shù)學相遇”翻譯為“像數(shù)學家一樣思考”本身就體現(xiàn)了一種東方文化的特色，強調學習的重要性，認為普通人只要下功夫就沒有學不會的數(shù)學．從這個意義上講，反對“像數(shù)學家一樣思考”的觀點在國內可能是不受歡迎的，甚至會遭到強烈的反對．數(shù)學教育界是認可這種觀點的，因為如果普通人不能像數(shù)學家一樣思考，數(shù)學教育存在的價值與意義何在？數(shù)學教育就是促使普通人朝“像數(shù)學家一樣思考”的方向前進甚至是達成這一目標，因為我們的文化就是普通人只要努力學習，也同樣能像數(shù)學家一樣思考的文化．“像數(shù)學家一樣思考”這個題目也博得數(shù)學教育界的認可．因為只有能“像數(shù)學家一樣思考”，通過數(shù)學教育實現(xiàn)其教育的目的，這才能顯示數(shù)學教育的價值與意義．如果普通人不能“像數(shù)學家一樣思考”，這就降低了普通人學習數(shù)學的自信和自覺，這可能挫傷學生學習數(shù)學的積極性，尤其是打擊了一些想當數(shù)學家的學習者的積極性，這不利于數(shù)學家的成長與培養(yǎng)，從這個意義上講，不能說“不能像數(shù)學家一樣思考”，而只能說能“像數(shù)學家一樣思考”．這種能“像數(shù)學家一樣思考”是由文化社會教育的需要而必須建立的基本假設，具體這種基本假設是否成立，則沒有人追究．這種假設未必是對的，但是即使是錯誤的東西只要能促進學生學習數(shù)學就可以了．換句話說，管他黑貓白貓逮住老鼠就是好貓．普通人能“像數(shù)學家一樣思考”從強調意義或價值的視角來說是很有必要的，這是站在文化社會教育的視角來講的．中國人一般強調普通人能“像數(shù)學家一樣思考”的，這種歷史文化淵源可以追溯到中國古代數(shù)學教育，由于中國古代數(shù)學是為人生、社會的現(xiàn)實生活服務的，這也是中國數(shù)學教育的意義與價值所在，而不是像胡塞爾強調的歐洲科學的危機在于科學精神的一枝獨大導致人的精神生活的匱乏和生活世界的意義的缺失．中國的人文主義精神的文化形成了“能像數(shù)學家一樣思考”的重要因素．

但是，站在西方文化的視角，由于從柏拉圖到笛卡爾一以貫之提倡的“天賦觀念”思想，按照這種觀念的思路可以推測西方社會可能更多的是強調普通人是不能“像數(shù)學家一樣思考”的．事實上西方文化對數(shù)學的認識強調的就是數(shù)學客觀性的方面，這與他們長期以來的科學主義一枝獨大的文化傳統(tǒng)是一脈相承的．西方國家雖然強調天賦觀念，強調大多數(shù)人不能“像數(shù)學家一樣思考”，但是數(shù)學家產(chǎn)生卻是如此之多，讓我們不得不懷疑普通人不能“像數(shù)學家一樣思考”，而強調精英意識的西方社會為什么數(shù)學家卻人才輩出呢？這個問題是值得我們思考的．可能是西方社會遵循了事物發(fā)展的客觀規(guī)律，普通人不能“像數(shù)學家一樣思考”就是不能像數(shù)學家一樣思考，這種規(guī)律也要遵循，而不是違背，只有在遵循這個規(guī)律的基礎上才能培養(yǎng)更多更好的數(shù)學家.精英的培養(yǎng)與大眾應用數(shù)學者的培養(yǎng)是分離的，這種分工的精神促進了數(shù)學家更像數(shù)學家，社會精英人士專門研究數(shù)學，像安德魯·懷爾斯一樣專業(yè)化到七年什么都不干而研究一個很專業(yè)的數(shù)學問題——費馬猜想，這種高度的專業(yè)化精神導致了精英與普通大眾之間的分工從而促進了數(shù)學的發(fā)展．中國古代社會是有“天人合一”的觀念的，雖然強調了普通人能“像數(shù)學家一樣思考”，但是普通人什么都干，就像中國古代讀書人奉行的“事事關心”一樣，什么都要關心，什么都要考慮，而人的精力和時間是有限的，其結果就很難專業(yè)化．更為重要的是為了給數(shù)學教育的存在的必要性找一個虛假的理由，給一個民族的自信找一個虛無的假設，也迎合了數(shù)學教育界的口味，也似乎提高了數(shù)學學習的積極性，但是其結果效果未必如意．以上是“像數(shù)學家一樣思考”在中西兩種文化下的不同的境遇，本文基于西方文化境遇的分析，以此說明普通人不能“像數(shù)學家一樣思考”，這種分析同樣適合中國文化境遇中的情況．

2 “像數(shù)學家一樣思考”的困難

從《像數(shù)學家一樣思考》全書的描述中可以發(fā)現(xiàn)，克里斯蒂安·黑塞認為普通人是可以“像數(shù)學家一樣思考”的．但是克里斯蒂安·黑塞在書中卻并沒有闡述普通人為什么能“像數(shù)學家一樣思考”．當然，從數(shù)學教育的角度看，我們是十分希望學生能像數(shù)學家那樣進行思考的，但問題不是那么簡單，鐵的現(xiàn)實證明了這是不現(xiàn)實的，否則還有誰抱怨數(shù)學難，數(shù)學枯燥無味呢？雖然有的學者研究認為在數(shù)學教學中要讓學生像數(shù)學家那樣思考，即使一些著名的數(shù)學家也提出了類似的觀點，即學生的數(shù)學學習與數(shù)學家的工作有很大的相似性，但這種觀點大都是一廂情愿的．

2.1 數(shù)學的內容：冰冷的美麗

數(shù)學是抽象心智的產(chǎn)物，數(shù)學界也常說數(shù)學是“冰冷的美麗”．數(shù)學就是把人的七情六欲都給抽象掉之后剩下的客觀元素、關系或屬性(不否認數(shù)學具有文化屬性)，從這點來說數(shù)學中包含有人的“理性”部分，但是感性的部分卻是缺失的，這就造就了數(shù)學不是人性的完美表現(xiàn)，也就是說數(shù)學含有完美的人性是缺失的，至少情感是缺失的．即使是數(shù)學的美麗也只能供那些數(shù)學家或數(shù)學工作者欣賞，外行人是看不懂的．為什么一些數(shù)學家說“數(shù)學美”或說“數(shù)學是一門藝術”呢，一個重要的原因就是數(shù)學家對數(shù)學的鐘愛，數(shù)學家經(jīng)常與數(shù)學打交道，數(shù)學成為了他們的“終身伴侶”，“耳鬢廝磨”對數(shù)學產(chǎn)生了感情，當然說數(shù)學美了．例如，大數(shù)學家陳省身說“數(shù)學好玩”．實際上這是數(shù)學家與數(shù)學打了一輩子的交道，對數(shù)學產(chǎn)生了感情的真實寫照．說數(shù)學是藝術或說數(shù)學美同樣是對數(shù)學有感情的體現(xiàn)．如果一個很討厭數(shù)學、認為數(shù)學枯燥的人一定不會說數(shù)學美．因此，數(shù)學中的美或數(shù)學像藝術一樣的觀點是數(shù)學家對數(shù)學情感的體現(xiàn)，而并非真正的大眾所認識的美．

數(shù)學遵守的法則之一是理性，是邏輯推理，但是理性或邏輯推理富有情感嗎？似乎表面上是有情感的，因為理性或邏輯推理是講道理的．但是理性或邏輯推理的“講道理”與社會學中的“講道理”是不一樣的，因為社會學中的講道理在很多情況下是與情感交織在一起的，但是理性或邏輯推理卻把感情色彩給抽象掉了，變成了純粹客觀的東西．因此，即使數(shù)學是理性或邏輯推理的，也是不包含情感的．總之，從根本上說數(shù)學包含的不是完美的人性．從教育哲學的視角來講，教育學就是以人為本的學問．就像張瑞璠主編的《中國教育哲學史》序中所說：“可以這樣說，人性論是中國教育思想的理論基礎；離開教育家的人性論，不惟說不清其教育功能和作用，更談不上窺測其思想大廈之奧秘．”[2]這就說明了數(shù)學這門學科很少甚至不具有人文精神，不是一門完全符合人性的科學．

但是，一些人文學科是符合人性的．例如文學、音樂、美術、教育學等等都是符合人性的．因為無論是情感，還是理性，在這些人文學科中都是存在的，只不過是成分的多少而已．這些人文學科是沿著符合人性的道路前進的，而且體現(xiàn)了人的情感，充滿了人文精神．中國傳統(tǒng)社會一些文人騷客常常寄情于山水，充滿了人文的思想的同時也不缺乏理性精神．但是數(shù)學在很多情況下就很少有人文精神．例如古希臘大數(shù)學家歐幾里得(公元前330—前275)的《原本》[3]里面只有定義、公理、公設、定理等，一絲的情感也沒有．當然有人說《原本》充滿了科學精神，充滿了理性精神，這是沒有錯的．古希臘哲學家亞里士多德(Aristotle，公元前384—前322)講“人是理性的動物”也是沒有錯的，問題是他把人的情感給抽象掉了，抽象掉的人是不再具有完美人性的人，這與數(shù)學研究是一樣的．但是人文學科則不然，文學作品的人物形象都是有血有肉的，有理性也有情感的，這才是一個豐滿的人物的形象．實際上說“人是情感的動物”更符合普通的人民大眾．因此，像文學或藝術一樣或類似的人文學科由于是符合人性的，就可以說“像文學家或藝術家一樣思考”．那么為什么沒有學者提出“像文學家(藝術家)一樣思考”的觀點呢？一個可能的原因就是每個人都很容易做得到這一點，所以沒有必要過多地提倡，過多的提倡也沒有什么新意．從這點來說人們更容易成為藝術家，尤其是情感豐富的普通人．造成現(xiàn)在長久不衰的“藝考熱”的原因很多，但是其中最重要的一個原因是藝術是符合人性的學科，既有科學的素養(yǎng)，又包含了人文的情感．當然有些社會科學也是符合人性的．例如經(jīng)濟學，梁小民寫過一本通識教材《經(jīng)濟學是什么》[4]，提倡“像經(jīng)濟學家一樣思考”的觀點，但是這種觀點是比較恰當?shù)?，因為?jīng)濟學符合人性，最基本依據(jù)就是經(jīng)濟學的幾條假設就是符合人性的[5]，而且經(jīng)濟學與人們的日常生活關系非常密切．在自然科學、社會科學與人文科學相比較而言，人文科學可能反映的人性更為完滿，社會科學其次，自然科學再次，而數(shù)學是最不能反映人性中的情感的，最不容易“像什么家一樣思考”的就是數(shù)學家.任何學科都可以“像這些學科家一樣思考”，但是你不能說“像數(shù)學家一樣思考”，因為數(shù)學包含的不是完滿的人性，而是情感的缺失．自然科學雖然不是數(shù)學，但是自然科學與數(shù)學是比較靠近的，其研究對象是自然為主的學科，也不是以人為主的學科，未必完全地符合人性，因此“像某某自然學科家一樣思考”也同樣很難實施下去．至于哲學是人文學科，當然可以像哲學家一樣思考問題．有本書是《像物理學家一樣思考》[6]，還有一本書《數(shù)學思維導圖——學會像數(shù)學家一樣思考》[7]等等，這些書與其他類似的書籍不再評論．一些學生說數(shù)學太抽象了，符號太多了，數(shù)學太枯燥了．為什么數(shù)學枯燥就是因為數(shù)學未必符合人性中的情感，當然枯燥．但是文學作品中的激情描寫的情節(jié)是很扣人心弦的，理性分析的精神也是讓人久久不能忘懷的，甚至某部電影的某個影星給影迷留下的印象是終生難忘的，這是因為藝術含有豐富的人性．當然也有學者說，數(shù)學就像哲學家維特根斯坦所說是一種游戲，一旦進入其中，對數(shù)學就充滿了情感，數(shù)學就成為了具有豐富情感的人文學科，從這點來講數(shù)學不是冰冷的美麗．數(shù)學是游戲的思想我們不想過多的探討，但是數(shù)學的“游戲入門”不是普通人能夠跨越的，應該說數(shù)學是數(shù)學家的思想的游戲，而不是普通人的思想游戲．這就涉及到數(shù)學這門學科的性質，數(shù)學是不是人文科學呢？一些學者的觀點認為，“數(shù)學是包括自然科學和人文、社會科學在內的所有科學的共同語言”，并強調數(shù)學不僅具有自然科學的普遍特征，而且也包含著豐富多彩的社會學意義和人文精神．如果從這個觀點講，數(shù)學是不枯燥的，但是這個意義上所說的數(shù)學不是純粹數(shù)學，而是應用數(shù)學，甚至是把數(shù)學當作一種文化來看待的，但不是數(shù)學教育中的數(shù)學．

2.2 數(shù)學家的性格：冒險的賭徒

以上說的是數(shù)學這門學科本身的性質之一是具有客觀性，但是缺少情感．如果說數(shù)學是“冰冷的美麗”，那么數(shù)學家就是“火熱的思考”者，否則是無法當數(shù)學家的，這就是說數(shù)學家對數(shù)學的學習與研究要有激情．那么數(shù)學家是什么？數(shù)學家是天才，都是很富有個性的天才，是哥倫布似的冒險家，同時數(shù)學家又像“賭徒”一樣，甚至數(shù)學家就是“賭徒”，而且還不是一般的“賭徒”，而是以生命時間為代價的“賭徒”，至少現(xiàn)代數(shù)學之前的數(shù)學家很類似于賭徒．當然，從另一個角度來說，這就是數(shù)學家的奉獻精神．數(shù)學家不管自己研究數(shù)學有沒有收獲，甚至后人如何評價自己都拋之腦后，而是要把畢生的時間與精力用來研究數(shù)學，把畢生的精力與時間獻給人類最偉大的數(shù)學事業(yè)．從這點來說，數(shù)學家都是人類歷史上最可愛的人，都是值得人們去尊敬的．例如安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)為了解決費馬猜想，對解決這個問題準備了若干年，而專心研究了整整七年的費馬猜想，七年什么都不干，只研究費馬猜想，這簡直就是一個瘋子，這是平常人不可想象的事．“設想你進入大廈的第一間房間，完全是一片漆黑，你在家具之間跌跌撞撞，但是你逐步搞清楚了每一件家具所在的位置，這樣經(jīng)過七八個月，你終于摸到了電燈開關，打開了燈，忽然間一切都清楚了，你才確切知道你身在何處．于是你又找到隔壁的房子去，在黑暗中再摸索六七個月．每一次這樣的突破，都是在黑暗中摸索幾個月完成的．因此，這些突破都是摸索的結晶．”[8]上面這段話是安德魯·懷爾斯經(jīng)過七年時間徹底解決了360年前費馬提出的“費馬猜想”之后的親身體會．這段話摘錄自2005年他在北京大學所做的講演．當我讀這段話時感到很奇怪，甚至于覺得荒誕．經(jīng)過細細的思索，我才能觸碰到這種感覺，才明白：數(shù)學家在解決數(shù)學問題時是像人類學家野外探險一樣，面臨的是一個陌生的世界，如何把握住陌生世界的本質不是一頓飯的功夫可以解決的，不是一件容易的事，要經(jīng)過很多的波折．馬克思曾說過：“在科學的大道上沒有平坦的道路可走，只有沿著山間崎嶇小路攀登的人，才能達到光輝的頂點．”其實安德魯·懷爾斯上面的這段話與馬克思的話具有異曲同工之妙．馬克思作為一個社會科學家，是從自己的社會科學研究角度來講的，而安德魯·懷爾斯是從一個數(shù)學家的角度說出自己歷經(jīng)七年之久的探索未知領域的親身體會．其實很多的數(shù)學工作者就是這樣．當然，每個數(shù)學家探索數(shù)學真理的過程可以說千差萬別，數(shù)學家探索數(shù)學的道路就不是《像數(shù)學家一樣思考》能夠窮竭完的，而且數(shù)學家的探索數(shù)學道路的艱辛也不是一般人能夠體會的，應該是“一把辛酸淚”.數(shù)學家的思考方式并沒有讓數(shù)學家在困難面前一帆風順，就像上面提到的安德魯·懷爾斯七年的數(shù)學奮斗歷程是崎嶇不平的，甚至是經(jīng)歷了七年之久的奮戰(zhàn)問題仍然沒有解決，這是很有可能的．“像數(shù)學家一樣思考”同樣也不能避免在攀登數(shù)學高峰的歷程中走彎路．

說數(shù)學家是“賭徒”是因為一旦數(shù)學家對某個問題感興趣，他就是充滿情感、瘋狂和執(zhí)拗地去研究某個問題，甚至有不達目的不罷休的毅力去研究．人類歷史上最偉大的數(shù)學家之一阿基米德(公元前287年—公元前212年)為了自己的心愛的幾何學，竟然被羅馬士兵殺死，對數(shù)學的迷戀已經(jīng)達到如此癲狂的程度[9]．射影幾何的創(chuàng)始人、法國著名數(shù)學家彭賽列(1788—1876)在俄國的監(jiān)獄里研究數(shù)學[10]，在普通人看來就是很有個性，就是活生生的一個“賭徒”形象，因為他連自己明天的死活都不知道．解決法國大數(shù)學家龐加萊(1854—1912)提出的“龐加萊猜想”的俄羅斯數(shù)學家佩雷爾曼，對菲爾茲數(shù)學獎都嗤之以鼻，整天生活在大森林里，好像一個不食人間煙火的神仙一樣．“四元數(shù)”是英國數(shù)學家、物理學家哈密爾頓(1805—1865)在散步的時候不經(jīng)意間發(fā)現(xiàn)的，而且以后每年的這一天他都要給他發(fā)現(xiàn)的四元數(shù)過生日[10]，數(shù)學家的個性是多么的鮮明另類．我國三國時期數(shù)學家趙爽在史書記載“負薪余日，聊觀周髀”，是依靠砍柴為生而研究數(shù)學的[11]．我國唐朝數(shù)學家王孝通說：“臣長自閭閻，少小學算，鐫磨愚鈍，訖將皓首．”[12]可見王孝通窮經(jīng)皓首(也就是研究了一輩子)才把數(shù)學研究出名，這些都是數(shù)學家研究數(shù)學、思考數(shù)學問題的不平凡的經(jīng)歷．另一個例子是歐幾里得《原本》中的第五公設問題，數(shù)學家研究了兩千多年，很多數(shù)學家默默無聞地冒險研究，一輩子都是在默默無聞地奉獻，在數(shù)學上沒有成就，但是他們仍然是值得后人尊敬的，他們所做的工作對后來數(shù)學發(fā)展的奠基作用是不朽的，尤其是他們的精神是彪炳千秋的．在數(shù)學史上數(shù)學家失敗的案例比成功的案例多得多，這就是說數(shù)學這個學科是具有風險性的，“數(shù)學家”就是一個“高風險”的行業(yè)，當然這也是針對具體的人而言．所以說數(shù)學家干的都是人類最偉大的事業(yè)之一，也是最冒險的事業(yè)之一，他們這種不怕失敗的冒險精神，是普通人很難想象的，而且這些數(shù)學家所做的工作都是非常人所能及的，甚至是外人無法理解的．普通人不是“賭徒”或“冒險家”，所以很難有數(shù)學家的思考方式．還是那句話，讓凱撒的歸凱撒，讓上帝的歸于上帝．數(shù)學家的思考方式只要數(shù)學家具備就可以了，至于平常人當然具備更好，但是也不要過于勉強．當然有人想當數(shù)學家，也需要像數(shù)學家一樣思考問題．說數(shù)學家是“賭徒”還有一層意思，當數(shù)學家遇見一個數(shù)學問題時，自己能否解決是一個未知數(shù)，也可能解決，也可能不能解決．大多數(shù)都是懷著試一試的心態(tài)，即使試了幾年或一輩子也未必可以證明出來，但是有的數(shù)學家也許一下子就證明出來，這點與做工程和文藝創(chuàng)作是不同的，是不確定性的．用“賭徒”這個詞在這里并非貶義，而是數(shù)學家冒險精神的體現(xiàn)．另外需要說明的是，數(shù)學家雖然是冒險的“賭徒”，但是他在研究數(shù)學的過程中也可能是理性的．

2.3 數(shù)學家的思維方式：不定式

人們在不同的時代，對數(shù)學的認識是不同的．古埃及數(shù)學、古巴比倫數(shù)學就是經(jīng)驗數(shù)學，但是古希臘數(shù)學家認為數(shù)學是演繹的科學．今天人們對數(shù)學的認識又與過去不一樣．林夏水認為，數(shù)學是一門演算的科學[13]．實際上數(shù)學這個概念是變化的，是與時俱進的．這就決定了數(shù)學家的思考方式或研究方法也是在變化之中的，也不是像《像數(shù)學家一樣思考》那樣教條式地把數(shù)學家的思維方式總結為22條，數(shù)學家的思考方式或數(shù)學方法不是22條原則可以概括的，而且應該是一個開放的發(fā)展的動態(tài)體系，而不是一個封閉的教條．數(shù)學家的思維方式在一些情況下都是非常人所能理解的，甚至都是超天才能想起來的．例如人類大數(shù)學家高斯(1777—1855)自以為豪的是用古希臘尺規(guī)作圖的方式，把正十七邊形的作圖問題解決了，而這個問題自從古希臘數(shù)學以來兩千年都沒有被數(shù)學家解決，卻讓高斯解決了．少年數(shù)學天才伽羅華(811—1832)、阿貝爾(1802—1829)把“群論”搞出來，但是在當時一些大數(shù)學家，像柯西(1789—1857)這樣在那個時代是最偉大的數(shù)學家之一，都看不懂，不理解這兩位年輕數(shù)學家的工作，兩位少年天才數(shù)學家的思想是超時代的，可以說這兩位少年天才數(shù)學家的思維方式讓同時代的數(shù)學家認為是不可理解的．數(shù)學家都不理解數(shù)學家的工作，普通人理解數(shù)學家的工作更難．伽羅華、阿貝爾的思考方式在當時是沒有人理解的，這個例子說明了數(shù)學家的思考方式是一個不定式．只有數(shù)學家的思考方式是不定式，人類的數(shù)學事業(yè)才能發(fā)展壯大，才能蒸蒸日上；如果數(shù)學家的思考方式一旦固定，也許人類的數(shù)學就快終結了．這也說明了數(shù)學家的思維方式是不同的，是不確定的．

現(xiàn)代人們提倡數(shù)學實驗，提倡用計算機解決數(shù)學問題，這些方法或思維方式都是前所未有的．數(shù)學家研究數(shù)學的方法或思考方式也在不斷地變化．例如牛頓、萊布尼茨打破了歐幾里得《原本》的范式，發(fā)明了微積分，但是卻留下了很多他們自己沒有解決的問題.這些問題為什么沒有解決，一個原因就是牛頓、萊布尼茨等這些數(shù)學家的思考方式一旦形成定式，就只能解決他們的思考定式中能夠解決的數(shù)學問題，而他們的思考定式中不能解決的問題就要留下來，而這些留下來數(shù)學問題被后來的歐拉、伯努利數(shù)學家族、達朗貝爾、拉格朗日等解決，但是這些數(shù)學家也同樣解決了自己思維定式能解決的數(shù)學問題，沒有解決的數(shù)學問題留給了下一代數(shù)學家解決，數(shù)學家與數(shù)學的發(fā)展就是這樣的循環(huán)往復．數(shù)學家有時候就是走不出自己的思維定式，數(shù)學家要成為常青樹的確是一件不容易事．數(shù)學家的思考其實是很復雜的，尤其是現(xiàn)代數(shù)學分支眾多，隨著數(shù)學知識的增多，數(shù)學方法在不斷地發(fā)展，不斷地豐富．數(shù)學永遠在路上，而“像數(shù)學家一樣思考”其實還沒有上路，“像數(shù)學家一樣思考”問題也僅僅適用于過去式，而未必適用于將來，最多也就是把過去的東西總結一下．數(shù)學家走過的路徑是不可復制的，也是具有時代性的，這就說明了數(shù)學家的思維方式不是很容易學習的，甚至都是無法理解的，而且也是不斷地發(fā)展變化的．總之，數(shù)學家的思維方式是個不定式．

2.4 普通人選擇數(shù)學：未必情愿

我們不先說普通人選擇數(shù)學愿意不愿意，先講一個事實．經(jīng)歷了數(shù)學專業(yè)四年的數(shù)學思維訓練，大部分的學生考入了其他專業(yè)的研究生，另外一部分直接就業(yè)，只有很少一部分人考入數(shù)學系的研究生繼續(xù)深造數(shù)學.這些學生掌握的數(shù)學思維方式遠遠超過《像數(shù)學家一樣思考》的22條原則所包含的內容，甚至無論深度還是廣度都是《像數(shù)學家一樣思考》不能達到的，經(jīng)歷數(shù)學專業(yè)四年的數(shù)學思維方式的訓練，仍有很多的學生沒有像數(shù)學家一樣思考，這個鐵的事實我們不能熟視無睹，而《像數(shù)學家一樣思考》僅僅是一本科普讀物，讀完之后作為普通人能像數(shù)學家一樣思考嗎？數(shù)學專業(yè)的學生在學校學習了四年都未必達到的水平，非專業(yè)人士就憑《像數(shù)學家一樣思考》中的22條就能像數(shù)學家一樣思考，這簡直就是天方夜譚．固然，數(shù)學家的思考方式很重要，但是我們不能過度地夸大，至少不能夸大到口無遮攔的程度．中國有一句古話：“不在其位，不謀其政”．這句話同樣適用于“像數(shù)學家一樣思考”，你不當數(shù)學家，憑什么非要像“數(shù)學家”一樣思考，想干什么就按照干什么的方式思考就行了，俗語說“上什么山，唱什么歌”，“干一行，愛一行”．中國古代的莊子和惠施在《秋水》中的名句“汝非魚，安知魚之樂”也是很適合放在這里的，你不是(魚)數(shù)學家，怎么能像(魚)數(shù)學家一樣(游泳)思考呢？人們常說數(shù)學是思維的體操，但是普通人有時間來練習這個體操嗎？學習數(shù)學最好的方法是做題，好的數(shù)學家最基本的一條是能做題，很可惜《像數(shù)學家一樣思考》上面的22條原則對做題來說就是過時的教條，這點普通的老百姓也是無法實施的，因為老百姓或普通的讀者要的僅僅是思考問題的方式而不是做數(shù)學題，這樣就很難達到目標．

另外，數(shù)學這門學科是有自己專門的語言符號的，而不像人文學科，你只要識字就可以學習這些人文學科，例如歷史學、文學、教育學等.但是數(shù)學的專業(yè)語言是抽象的符號，這種抽象的符號是現(xiàn)代數(shù)學的工具，這對普通人來說，尤其是對數(shù)學沒有情感的人來說不易掌握這個工具，想達到數(shù)學家的思考方式，這也是不可能的．這就像想學游泳，而不肯下水實踐一樣的荒唐．“游泳的規(guī)則”(《像數(shù)學家一樣思考》)也許說得很好，但是“像數(shù)學家一樣思考”就必須做題才能實現(xiàn)，而平民百姓一般沒有機會，即使有了，如果對數(shù)學不感興趣的話，其實也可能很累的．現(xiàn)實生活中，數(shù)學本科畢業(yè)的學生中有一些學生就不從事數(shù)學工作了，數(shù)學家的思考方式他們未必有，平民百姓什么都不想干，還想得到“像數(shù)學家一樣思考”，這可能是個玩笑．

寫到這里，猛然間想起一個很重要的問題，《像數(shù)學家一樣思考》認為的“像數(shù)學家一樣思考”是一個什么概念？數(shù)學家有天才數(shù)學家，有超天才數(shù)學家，還有二流和三流數(shù)學家．這個數(shù)學家的定義很重要，不過《像數(shù)學家一樣思考》書中所舉的例子都是超一流的數(shù)學家，例如高斯、費馬(1602—1665)等這樣的大數(shù)學家，但是這些大數(shù)學家是很稀少的，幾百年甚至上千年才出一個，而且與普通老百姓的距離太遙遠，他們的思考方式是后人學習不來的，甚至都不能望其項背．從這點來說，也許那些偉大的數(shù)學家不僅不是榜樣，而是導致這些普通的讀者對數(shù)學喪失興趣的根源，因為這些數(shù)學家太偉大了，偉大到讓讀者感覺到自己太渺小了，讓讀者的自信受到摧殘．榜樣的力量在很多情況下并非都是無窮的，而且在很多情況下像一座大山一樣，壓著后來的學者，讓他們喘不過氣來，造成了對前人的無法超越．

另外，普通人在日常工作中未必能會用數(shù)學思想與方法解決現(xiàn)實中的問題．其實，有一些領域是不太適合數(shù)學的思維方式的．例如法國數(shù)學家、天文學家拉普拉斯(1749—1827)的學生、法國著名的皇帝兼軍事家拿破侖(1769—1821)任命拉普拉斯為財政部長，但是由于拉普拉斯把無窮小分析的精神帶給了官僚機構，最終拉普拉斯被罷免財政部長這個角色．人們經(jīng)常談到的情商與智商的問題，其實，如果用數(shù)學家的思考方式去談戀愛，成功的幾率幾乎是零．因為數(shù)學是純客觀的東西，愛情卻需要情感的．“像數(shù)學家一樣思考”問題是很累的，現(xiàn)實生活是具體的，而數(shù)學是抽象的，這就是兩者的差距，也是兩者的最大矛盾．從以上可以看出，學習像數(shù)學家一樣思考問題其實是很累的，成本可能不高，但是未必有人付出，而且未必見效．

當然，有些人還是要說為什么存在業(yè)余數(shù)學家呢？在古代社會的確存在業(yè)余數(shù)學家，例如法國的數(shù)學家費馬、代數(shù)學之父韋達(1540—1603)，而且兩者都以律師為職業(yè)．中國傳統(tǒng)(古代)數(shù)學家?guī)缀醵际菢I(yè)余(除了宋元時期的數(shù)學家朱世杰)的，但是在過去那個時代數(shù)學知識的積累還是比較少的，數(shù)學發(fā)展到今天業(yè)余數(shù)學家是無處藏身的．數(shù)學家王元院士曾說過類似的話，很多沒有學過微積分的數(shù)學愛好者都在證明“哥德巴赫猜想”，他說過去每年中科院數(shù)學研究所收到的關于證明“哥德巴赫猜想”稿件多達幾麻袋，但是很多的都是沒有價值的．這就像是騎著自行車登月球一樣不現(xiàn)實，這說明了業(yè)余數(shù)學家的不可能，這同樣說明想達到數(shù)學家思考問題的方式而不去專業(yè)化地研究數(shù)學也是不可能的．

普通人不能“像數(shù)學家一樣思考”，不能說成“像數(shù)學家一樣思考”的成本很高，這個不能用成本的大小來衡，因為不同的人研究數(shù)學成本是不一樣的，而且即使同一個人，剛一開始可能數(shù)學研究得很辛苦，所謂的成本很高，但是越研究數(shù)學越有興趣，研究數(shù)學的成本可能會降下來，甚至有些人會認為研究數(shù)學是人生的千古快事，是人生的一大幸福，這時候就沒有成本了.所以說用成本來衡量“像數(shù)學家一樣思考”的難易程度是不妥當?shù)模瑧撜f一個人“像數(shù)學家一樣思考”心甘情愿的程度比較好．再者，普通人未必一廂情愿地去學習“像數(shù)學家一樣思考”．數(shù)學畢竟是一個行業(yè)，普通人或學生是有選擇自己職業(yè)的自由的，在眾多的職業(yè)面前，自由地選擇職業(yè)是學生的權利．另外，“像數(shù)學家一樣思考”是一種長期的過程，不能說你今天像數(shù)學家一樣思考，明天就不想“像數(shù)學家一樣思考”了，數(shù)學家的思維方式是一種以終生的實踐為基礎的，但是普通人也許在某一方面或某一時秉承了數(shù)學家的思考方式，但是未必具有持久性、普遍性．由于數(shù)學家秉承了終身研究數(shù)學的習慣，這就使得普通人很難做到終生的專業(yè)化研究數(shù)學，這就更難做到具有數(shù)學家的思考方式．

2.5 成功基因：數(shù)學家品質

“像數(shù)學家一樣思考”這樣的話題，一流數(shù)學家或天才數(shù)學家一般是不提倡的，因為他們很自負，認為自己是天才，天才就是不可復制的，他的思考方式不是別人想學就能學來的．因此，他們很不贊同“像數(shù)學家一樣思考”就能成為數(shù)學家．高斯19歲用古希臘數(shù)學家所謂“尺規(guī)作圖”的方式作出了正十七邊形，這個難題自從古希臘數(shù)學以后2 000多年很多數(shù)學家都沒有做出來，難道這兩千年之間的數(shù)學家沒有像數(shù)學家一樣思考這個問題？其實即使像(是)數(shù)學家一樣思考問題，你也未必能真正地解決數(shù)學問題甚至現(xiàn)實生活中的問題，這就說明了“像數(shù)學家一樣思考”也不是萬能的，在數(shù)學上是這樣，在其他領域更是如此．所以說一流數(shù)學家從來不會講“像數(shù)學家一樣思考”．二流數(shù)學家依靠勤奮，但是人家也不會說“像數(shù)學家一樣思考”，因為他們懂得即使像(是)數(shù)學家一樣思考問題也未必能在數(shù)學上做出貢獻，也有很多解決不了的數(shù)學難題．“像數(shù)學家一樣思考”其實就是有了固定的思考方式，數(shù)學家思考一個問題時已有的思考方式，他就不會也不想創(chuàng)造出更好的方法來解決問題，這對他來說，也許對未來的數(shù)學研究起到阻礙的作用．也就是說數(shù)學家在解決問題時一旦有固有思考方式，就沒有進行創(chuàng)造出更好的解決問題的方法的動力，而已有的思考方式往往是陳舊的，但是新的數(shù)學問題需要新的思考方式，所以說數(shù)學家的思考方式有時候是幫倒忙的．沒有辦法的辦法才是最好的辦法，沒有辦法才可能鼓勵數(shù)學家創(chuàng)造新的辦法解決問題，但是當數(shù)學家創(chuàng)造出新辦法時，在將來解決數(shù)學問題時，也可能會失效，更重要的是他就失去了創(chuàng)造的動力．

其實，數(shù)學家的思考方式雖然重要，但是數(shù)學家的思考方式這個層次太低了，僅僅是“術”，而不是“道”，僅僅是雕蟲小技，而不是大智若愚．真正成為數(shù)學家依靠的是“道”而不僅僅是這個“術”．不是看了《像數(shù)學一樣思考》這本書，就能成為數(shù)學家的．那么，什么是數(shù)學家的“道”呢？這就是數(shù)學家優(yōu)秀的數(shù)學品質．我國著名數(shù)學家華羅庚(1910—1985)先生也提倡“天才出于勤奮”“一份努力一份收獲”，這就說明優(yōu)秀數(shù)學品質在數(shù)學家成長過程中是很重要的因素．另一位中國著名數(shù)學家陳景潤(1933—1996)能夠在解析數(shù)論研究中取得至今無人超越的數(shù)學成就，就是因為他很有很多優(yōu)秀的數(shù)學品質，例如他踏踏實實、認認真真，一步一個腳印地攀登數(shù)學高峰，而不是投機鉆營地找什么學習數(shù)學的秘籍，學習與研究數(shù)學依靠更多的是優(yōu)秀品質，而不是一些雕蟲小技．一些招聘單位優(yōu)先錄取數(shù)學專業(yè)的學生，原因是數(shù)學專業(yè)的學生一般精于計算，嚴謹、富有邏輯思想、有耐心、有毅力，具有理性精神等，這些優(yōu)秀品質對其他的行業(yè)也是同樣需要的．胡典順認為，學習數(shù)學可以促進以下優(yōu)秀品質的形成：誠實正直，崇尚真理，勤于思考，勇于創(chuàng)新，堅韌不拔，敢于攀登[14]．這就說明數(shù)學家的優(yōu)秀品質是通過勤奮學習數(shù)學得到的，不學習數(shù)學想得到這些品質是不可能的，更為重要的是在數(shù)學家成長的道路上，其思考方式與這些優(yōu)秀品質相比就變得微乎其微，甚至是九牛一毛．因為這些數(shù)學品質才是“道”，那些思考方式最多是“術”．所以說很多的數(shù)學家成功靠的是勤奮，靠的是自己的努力，靠的是自己的天賦與靈感，靠的是自己與別人多交流，等等，而不僅僅是數(shù)學家的思考方式．另外，其實很多數(shù)學家也走過很多的“彎路”，像費馬猜想安德魯·懷爾斯花費了七年的時間才證明出來，這還是很不錯的．當然，除了數(shù)學品質影響數(shù)學家的成長之外，還有數(shù)學觀、出生的社會背景、從小所受的教育等因素制約著數(shù)學家的成長．

3 結語

“能像數(shù)學家一樣思考”反映了一種精英教育的觀念，但是這種觀念與我們傳統(tǒng)文化和現(xiàn)階段的教育目標未必一致，也與中國目前的教育政策的主流的輿論導向不太一致.因為我們國家提倡的是公平教育，是大眾教育與精英教育并存的觀念．德國是以日耳曼民族為主的國家，這個民族有高傲的情懷、哲學的精神和數(shù)學的天才，古希臘數(shù)學家與哲學的精神也得到了這個民族的傳承．我們這個民族在認識論上秉承的學而知之、有教無類的大眾教育哲學觀念．在20世紀末中國開始由精英教育向大眾教育轉變，事實上這也是21世紀的人類教育的一個重要的發(fā)展方向．大眾教育在某種程度也體現(xiàn)了公平教育的精神．如果大多數(shù)的人民群眾的孩子沒有受到教育，我們的公平教育就無從談起．因此，我們國家也很重視公平教育．智力不同的孩子在教育上都應該受到公平對待，決不能因為培養(yǎng)一個數(shù)學家而犧牲千千萬萬個祖國花朵的利益，而且在我國現(xiàn)階段的社會主義經(jīng)濟建設中各行各業(yè)需要對數(shù)學要求不同層次的人才，從這種現(xiàn)實的民族文化及國情出發(fā)，從公平教育的角度出發(fā)，我們的教師不僅要為班上兩三個數(shù)學尖子生服務，更重要的也應該為大多數(shù)的中等智力的學生服務．為了少數(shù)學生“能像數(shù)學家一樣思考”顯然不適用我們的國情，也不適應整個人類教育的發(fā)展現(xiàn)狀．

《像數(shù)學家一樣思考》這本書在內容上僅僅是數(shù)學史上的逸聞趣事而已，最多加上自己的體會與感悟，但是書的名字與內容是不相符的．看過這本書更堅信習總書記說的堅持文化自覺與文化自信的重要性．改革開放這么多年，外來的東西都是好的嗎？這是要進行反思的．遠的不說，就說這本書充其量就是一般的科普讀物而已，但卻起了一個冒天下之大不韙的書名，其內容遠遠比不上國內的一些科普讀物．因此，堅持文化自信與文化自覺不僅僅是堅守自己固有的文化陣地，另一方面也要對外來的文化采用批判、反思、質疑的精神，而不是全盤地接受．

數(shù)學家是個性最強最鮮明的群體之一．數(shù)學是心智抽象的產(chǎn)物，這就造成了數(shù)學在人性方面是缺失情感的．數(shù)學家是天生的冒險家．數(shù)學家的思考方式是千變萬化的，這種思考方式的“不定式”說明了普通人“像數(shù)學家一樣思考”是很難的．從“數(shù)學是思維的體操”的視角，數(shù)學家的思維也是不容易學習的．數(shù)學家之所以是數(shù)學家，最重要的是數(shù)學家具有很多優(yōu)秀的品質并解決數(shù)學問題，這些品質比數(shù)學家的思考方式要重要得多，而且這些優(yōu)秀的品質是依靠數(shù)學家學習數(shù)學得到的，沒有這些優(yōu)秀的品質，數(shù)學家就不是數(shù)學家．但是沒有數(shù)學家的思考方式，數(shù)學家還是數(shù)學家．數(shù)學家的思考方式并沒有阻止數(shù)學家在研究數(shù)學的道路上走彎路．因此，數(shù)學家的思維方式對數(shù)學家的成長并沒有想象的作用那么大．其實還有一點本文沒有講，這就是數(shù)學的思考與數(shù)學學習是密切聯(lián)系的，或者說數(shù)學思想方法是與數(shù)學知識密切聯(lián)系的，脫離具體的數(shù)學知識，數(shù)學的思想方法就是無源之水，無木之本．

總之，普通人一般不能“像數(shù)學家一樣思考”．數(shù)學家思考方式是與數(shù)學做題聯(lián)系在一起的，不從事數(shù)學家的工作，就無法像數(shù)學家一樣思考．你不從事數(shù)學家的工作就很難有數(shù)學家一樣的思考問題的方式．數(shù)學家是個行業(yè)，你只有進入這個行業(yè)，成為這個行業(yè)的一員，從事這個行業(yè)的工作，才能像數(shù)學家一樣思考，否則別無他法．