波浪非線性對溶質(zhì)進入海底沉積物運移過程影響研究?

劉小麗，賀建檁

(1.山東省海洋環(huán)境地質(zhì)工程重點實驗室，山東 青島 266100；2.中國海洋大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100)

大量污染物的排海以及海上溢油事件的頻發(fā)，使得海洋環(huán)境污染問題受到越來越多的關(guān)注。懸浮于水體中的污染物質(zhì)，在水動力的作用下會進入到海底的沉積物中，從而對海洋生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生進一步影響。波浪作用下污染物質(zhì)(溶質(zhì))進入沉積物遷移過程的研究，對于海洋環(huán)境的評估具有重要意義。

作為近岸海域中壓力梯度的來源，波浪會引起海底沉積物中孔隙水的滲流，其對溶質(zhì)輸運的影響不容忽視[1]。對于平底海床，由于規(guī)則波的周期循環(huán)特征，一個波浪周期內(nèi)上覆海水與沉積物床之間的凈交換水量基本為0，因此，當(dāng)海水與沉積物界面上的溶質(zhì)濃度均勻分布時，規(guī)則波作用下對流作用對溶質(zhì)在沉積物中的運移過程的貢獻可以忽略[2-4]。Harrison等[2]對波浪作用下溶質(zhì)進入平海床運移特征的理論分析表明，波浪通過促進溶質(zhì)的機械彌散作用而加速溶質(zhì)的遷移，波浪作用下溶質(zhì)在沉積物中的有效擴散率可比分子擴散速率大4個數(shù)量級。Clark等[5]通過波浪水槽試驗研究了行進波對溶質(zhì)進入礫石床運移特征的影響，結(jié)果顯示，行進波極大程度地提高了溶質(zhì)進入底床的運移速率和運移深度，而進一步的理論分析表明，行進波主要通過增強機械彌散作用促進溶質(zhì)運移。波浪作用下上覆水體與沉積物床之間的溶質(zhì)交換過程可以通過溶質(zhì)的對流-彌散方程進行描述。Qian等[6]基于二維溶質(zhì)對流-彌散方程，對線性行進波和駐波作用下溶質(zhì)進入湖床沉積物的溶質(zhì)擴散過程進行了數(shù)值模擬，計算結(jié)果表明，波浪作用可以使湖床沉積物對氧的吸收率提高2個數(shù)量級。Geng和Boufadel[7]利用溶質(zhì)對流-彌散方程，通過數(shù)值模擬研究了波浪和潮汐作用下淺灘含水層溶質(zhì)運移特征，結(jié)果表明，海洋水動力改變了溶質(zhì)運移的路徑，波浪增加了灘面的交換通量，并拓寬了溶質(zhì)交換區(qū)域。劉小麗和劉明珠[8]基于二維Biot固結(jié)理論和對流-彌散方程，考慮了波致海底沉積物的變形效應(yīng)，對行進波作用下海水中的溶質(zhì)進入沉積物中的運移過程進行了數(shù)值模擬，計算結(jié)果表明，沉積物的變形效應(yīng)會促進溶質(zhì)的運移速率，增大溶質(zhì)的運移深度。

以上研究表明，波浪對溶質(zhì)進入沉積物的運移過程具有明顯的促進作用，利用溶質(zhì)的對流-彌散方程可以較好地模擬水動力作用下溶質(zhì)的運移過程，但目前絕大多數(shù)的研究都是基于線性波浪作用的分析。當(dāng)波浪由深水區(qū)傳至近岸淺水區(qū)域時，隨著水深的減小，波浪的非線性特征不斷增強，當(dāng)近岸區(qū)的相對水深(即水深與波長之比)小于1/8～1/10時，線性波浪理論甚至Stokes非線性波浪理論已經(jīng)不再適用，而需要采用橢圓余弦波理論對近岸淺水區(qū)的非線性波浪特征進行描述[9-10]。

因而，對于近岸淺水區(qū)，有必要對非線性波浪作用下溶質(zhì)進入沉積物中的運移特征進行分析，以揭示波浪非線性特征對溶質(zhì)運移過程的影響。本文基于Biot多孔介質(zhì)理論和溶質(zhì)運移的二維對流-彌散方程，建立了波浪作用下考慮沉積物變形效應(yīng)的溶質(zhì)遷移數(shù)值計算模型，通過數(shù)值模擬，對線性波，非線性二階Stokes波以及一階橢圓余弦波作用下的溶質(zhì)遷移過程進行對比分析，以揭示波浪非線性對溶質(zhì)進入沉積物遷移特征的影響。

1 數(shù)值計算模型

如圖1所示，為波浪作用下海床溶質(zhì)運移計算的幾何模型示意圖，坐標(biāo)軸原點o位于海床面的左端點，x軸位于海床面，y軸以向上為正，波長為L，波高為H，水深為d，海床厚度h。海水-沉積物交界面處的溶質(zhì)濃度為c0=1 mg·L-1；沉積物中的初始溶質(zhì)濃度為cs0= 0。

1.1 海床表面波壓力

(1)線性波

海床表面波壓力方程為

(1)

ω2=gktanh(λd)。

(2)

(2)二階Stokes波

二階Stokes非線性波在海床表面波壓力方程式為[12]：

Pb(x)=P0(C11cos(λx-ωt)+C02+C20cos2(λx-ωt)+C22cos2(λx-ωt))。

(3)

式中：

(3)一階橢圓余弦波

一階橢圓余弦波在海床表面的波壓力解析式為[13]：

(4)

1.2 滲流場控制方程

基于Biot彈性多孔介質(zhì)固結(jié)理論[14]，考慮沉積物的變形與孔隙水滲流的耦合效應(yīng)，控制方程如下：

(5)

(6)

(7)

(8)

β為孔隙流體壓縮系數(shù)，表達式為[15]:

(9)

式中：Kw為孔隙水體積壓縮模量，數(shù)值為2×109Pa；Sr為飽和度；pw0表示絕對孔隙水壓力。

由達西定律，孔隙水在水平和豎向的實際滲流速度u、v分別為：

(10)

1.3 溶質(zhì)運移方程

依據(jù)質(zhì)量守恒定律，多孔介質(zhì)中溶質(zhì)二維對流-彌散方程為[16]：

(11)

(12)

(13)

(14)

1.4 邊界條件與初始值

結(jié)合圖1所示的幾何模型示意圖，數(shù)值模型的邊界條件如下。

在海床表面y=0位置，土體的剪切力和有效正應(yīng)力均為零；海床面的孔隙水壓力為波浪在海床表面的波壓力Pb(x)，根據(jù)需要可分別為線性波、二階Stokes波和一階橢圓余弦波的波壓力，從而可以對不同類型波浪場作用下的海床滲流場進行計算；溶質(zhì)在海床面上的濃度c(x,0,t)=c0=1 mg·L-1。

在海床底部y=-h處，為不透水邊界，土體位移為0，即：

在海床兩側(cè)x=0和x=L處，為周期性邊界，即：

p|x=0=p|x=L,wx|x=0=wx|x=L，

wy|x=0=wy|x=Lc|x=0=c|x=L。

此外，由于砂土海床的滲透系數(shù)較小，沉積物中的滲流符合達西定律，其對波浪場的影響較小[18]，故不考慮多孔介質(zhì)海床對波浪場的影響。

2 數(shù)值模型驗證

2.1 非線性波浪計算結(jié)果驗證

通過與波浪試驗結(jié)果的對比，驗證本文非線性波計算結(jié)果的正確性。首先對非線性Stokes波的結(jié)果進行驗證，如圖2(a)中所示，為解析解計算的海床面波壓力與Qi等[19]波浪水槽試驗測試的海床表面波壓力對比圖，相應(yīng)的波浪參數(shù)為H=0.095 m，T=1.2 s，d=0.5 m，由圖可知，Stokes非線性波的計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好，驗證了本文Stokes波計算結(jié)果的正確性。其次，對一階橢圓余弦波的計算結(jié)果進行驗證，如圖2(b)中所示，為一階橢圓余弦波理論計算得到的波浪自由面高程與Chang等[20]試驗記錄的橢圓余弦波自由面數(shù)據(jù)對比圖，其中波浪周期T=2.0 s，相對波高H/d=0.15，水深d=24 cm，波長L=2.97 m；圖中試驗數(shù)據(jù)為距離造波板4.8 m位置處測量的橢圓余弦波的自由面高程，可以看出本文解析解計算結(jié)果和試驗結(jié)果一致性較好。綜上可知，本文基于非線性波浪理論計算得到的結(jié)果正確，能夠反映波浪的非線性特征。

2.2 滲流計算結(jié)果驗證

Hsu和Jeng[15]基于Biot固結(jié)理論，考慮了海床土體的變形效應(yīng)，推導(dǎo)了波浪作用下海床瞬態(tài)響應(yīng)的解析解。將本文數(shù)值計算結(jié)果與該解析解進行對比?；緟?shù)為：波高H=5 m，波長L=121.19 m，水深d=20 m，周期T=10 s，孔隙率n=0.333，泊松比μ=0.35，剪切模量G=5×106Pa，海床厚度h=25 m。對比結(jié)果如圖3所示，圖3(a)為不同滲透系數(shù)下孔壓響應(yīng)對比；圖3(b)為不同剪切模量下孔壓響應(yīng)對比。從圖3中對比結(jié)果可以看出，數(shù)值計算結(jié)果與解析解一致性較好，表明當(dāng)前模型能夠較準(zhǔn)確地模擬波致海床的滲流場。

2.3 溶質(zhì)運移計算結(jié)果驗證

Packman等[21]基于礫石底床，通過水槽試驗探究了不同水力條件下上覆水體中的溶質(zhì)進入礫石床的情況，得出了上覆水體中溶質(zhì)濃度隨時間的變化曲線。將本文數(shù)值模型計算的溶質(zhì)運移結(jié)果與試驗結(jié)果進行對比。分別選取試驗工況7和工況9的結(jié)果進行比較，計算參數(shù)為：孔隙率n=0.38，平均顆粒粒徑dg=0.6 cm，滲透系數(shù)k=0.15 m·s-1，沉積物厚度為0.19 m，工況7中水深d=20.4 cm，波長L=32 cm，波高H=2 cm；工況9中水深d=20.4 cm，波長L=32 cm，波高H=3.76 cm。對比結(jié)果如圖4所示，可以看出，數(shù)值模型的計算結(jié)果和試驗測試結(jié)果較為一致，表明了本模型用于溶質(zhì)運移計算結(jié)果的可靠性。

3 結(jié)果分析與討論

隨著波浪向岸傳播，水深逐漸變淺，波浪非線性特征逐漸增強。當(dāng)波浪Ursell數(shù)(其計算表達式為HL2/d3)大于40時[22]，橢圓余弦波理論能更有效地表達淺水非線性波浪的特征。為了更好地分析波浪非線性對海底沉積物中溶質(zhì)運移特征的影響，同時對線性波浪、二階Stokes波和一階橢圓余弦波作用下溶質(zhì)進入沉積物的過程進行數(shù)值模擬，具體計算參數(shù)見表1。波浪的Ursell數(shù)為43，屬于典型的淺水非線性波浪。

3.1 波浪非線性對滲流場特征的影響

溶質(zhì)運移特征主要取決于滲流場特征，因此，首先對不同類型波浪作用下沉積物中的滲流場特征進行分析。

如圖5所示，為3種波浪理論下海床表面的波壓力分布圖，從中可以看出，線性波在波峰和波谷處的波壓力絕對值相等，相對于靜水位面對稱；非線性波的波峰和波谷相對于靜水位面呈現(xiàn)明顯的非對稱性，波峰處波壓力增加，波谷位置的波壓力降低。一階橢圓余弦波的非線性特征相對于二階Stokes波更加明顯，一階橢圓余弦波和二階Stokes波在波峰處的波壓力分別為線性波波壓力的165%和120%，而在波谷位置二者的波壓力基本一致，均為線性波波壓力的80%。

表1 基本計算參數(shù)Table 1 Parameters for the base case

如圖6所示為線性波作用下一個周期內(nèi)不同時刻的孔隙水流速矢量圖和等值面圖。由于海床面不同位置存在水頭差(壓力差)，因此在海床內(nèi)部會發(fā)生滲流，如圖6中所示，波峰處發(fā)生向下的滲流，波谷處發(fā)生向上的滲流；對于同一位置，其滲流流速的數(shù)值和方向隨著波壓力的變化呈現(xiàn)出周期性變化。以海床表面任意點處的滲流為例，如圖7中所示，豎向和水平向的滲流流速均隨時間呈現(xiàn)出周期性變化，受波浪非線性的影響，一階橢圓余弦波作用下波峰處的豎向滲流流速與波節(jié)點附近的水平向滲流流速均顯著大于線性波和二階Stokes波；總體而言，線性波和二階Stokes波的流速數(shù)值相差較小。對3種波浪作用下沉積物和上覆海水之間的水量交換進行分析可知，無論是哪種波浪，一個周期內(nèi)流入和流出沉積物的水量基本相同，即沉積物和上覆海水之間水的凈交換量為0，因此，正如Harrison等[2]所述，在周期性循環(huán)波浪荷載作用下，對流作用對溶質(zhì)質(zhì)量運移的貢獻基本可以忽略，波浪主要通過機械彌散作用促進溶質(zhì)在沉積物中的運移。

3.2 波浪非線性對溶質(zhì)運移特征的影響

一階橢圓余弦波作用下周期平均縱向水動力彌散系數(shù)的增大，促進了溶質(zhì)在沉積物中的運移。如圖11中所示，在同一深度，一階橢圓余弦波作用下的溶質(zhì)濃度大于線性波作用下的溶質(zhì)濃度，表明一定條件下的淺水非線性波可以促進溶質(zhì)在沉積物中的運移。進入沉積物中的溶質(zhì)質(zhì)量隨波浪作用時間的變化如圖12中所示，從中可以更為清楚地看出，一階橢圓余弦波作用下進入沉積物中的溶質(zhì)質(zhì)量明顯大于線性波，3 000個波浪周期作用后，質(zhì)量增加量可達線性波的7.2%。另外，從圖11和12均可以看出，二階Stokes波作用下溶質(zhì)濃度的分布以及進入沉積物中的溶質(zhì)質(zhì)量均與線性波作用下的結(jié)果一致，表明二階Stokes波的非線性效應(yīng)對溶質(zhì)運移過程的影響很小，基本可以忽略。上述模擬結(jié)果的分析表明，一階橢圓余弦波非線性特征較強，能顯著促進溶質(zhì)在海底沉積物中的運移；相比之下，二階Stokes波的非線性特征相對較弱，其對溶質(zhì)運移過程的影響相對小。

3.3 波浪參數(shù)影響分析

3.3.1 波高的影響 根據(jù)前述內(nèi)容可知，可以通過分析不同波浪參數(shù)對孔隙水滲流流速和溶質(zhì)縱向水動力彌散系數(shù)的影響規(guī)律，來反映其對溶質(zhì)運移的影響規(guī)律。Ursell數(shù)的大小表征了波浪非線性特征的強弱[13]，因此，基于Ursell數(shù)的變化來分析波浪非線性特征強弱的變化。

對一階橢圓余弦波和線性波作用下波高對孔隙水豎向滲流流速和水動力彌散系數(shù)的影響進行對比，結(jié)合波浪的非線性特征，以分析不同波浪理論下波高對溶質(zhì)運移過程的影響。波高H的取值分別為2、2.5和3 m，其余參數(shù)見表1中所示。

4 結(jié)論

以二階Stokes波和一階橢圓余弦波為例，通過與線性波作用下沉積物中孔隙水滲流場和溶質(zhì)濃度場計算結(jié)果的對比，分析了波浪非線性對非反應(yīng)性溶質(zhì)從上覆海水進入沉積物中運移特征的影響，主要得到以下結(jié)論。

(1) 在周期性循環(huán)波浪荷載作用下，沉積物中的滲流場呈現(xiàn)出周期性循環(huán)特征，對于平底海床，波浪主要通過機械彌散作用促進溶質(zhì)沿沉積物深度方向的遷移，一個波浪周期內(nèi)的平均縱向水動力彌散系數(shù)可以用來表征溶質(zhì)運移速率。

(2) 二階Stokes波的非線性特征對溶質(zhì)運移的影響基本可以忽略；一階橢圓余弦波的非線性特征顯著，能在一定程度上促進溶質(zhì)在沉積物中的運移，與線性波相比，其周期平均縱向水動力彌散系數(shù)的增加量可達28%。

(3) 線性波和一階橢圓余弦波作用下，波浪參數(shù)對溶質(zhì)運移速率的影響不盡相同。隨著波高增大，兩種波浪作用下溶質(zhì)運移速率均有所增加；隨著水深的增大，線性波作用下溶質(zhì)運移速率降低，而一階橢圓余弦波作用下溶質(zhì)運移速率增加；隨著周期的增大，線性波作用下溶質(zhì)運移速率增加，而一階橢圓余弦波作用下溶質(zhì)運移速率降低。

(4) 一階橢圓余弦波的非線性特征隨著水深的減小、波高和周期的增大而增強；與線性波相比，一階橢圓余弦波的非線性特征對溶質(zhì)運移速率的促進程度隨著水深的減小、波高和周期的增大而降低。