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    折角、畫角與作角:漸次展開并平滑“轉(zhuǎn)場”
    ——蘇科版七上“角(2)”教學(xué)設(shè)計與解讀

    2022-11-16 12:24:34許小燕
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年3期
    關(guān)鍵詞:透明紙三角板量角器

    許小燕

    (江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學(xué) 225599)

    最近在線收看了某地教研直播活動,一位青年教師執(zhí)教蘇科版七上“角(2)”,教師的教學(xué)基本功很好,教學(xué)預(yù)設(shè)了一些數(shù)學(xué)實驗和情境活動,教學(xué)過程中師生有較多互動,課堂氛圍比較熱烈.然而由于該教師是“嚴(yán)格”根據(jù)教材內(nèi)容的順序開展教學(xué),使得前后教學(xué)環(huán)節(jié)之間的過渡不夠“平滑”.筆者認(rèn)真研讀了該課時的教材內(nèi)容后進行了再設(shè)計,并給出教學(xué)立意的闡釋,拋磚引玉,供研討.

    1 “角(2)”教學(xué)設(shè)計概述

    教學(xué)活動1透明紙“折角”

    引入情境 出示一張畫有∠AOB(圖1)的透明紙,讓學(xué)生回顧角的定義,接著從角的定義出發(fā),安排學(xué)生用符號表示這個角,然后將透明紙上的這個角對折,使角的兩邊重合,再展開透明紙,折痕把這個角分成兩個相等的角(圖2).

    圖1 圖2

    如圖2,把透明紙上的折痕記為射線OC,射線OC把∠AOB分成兩個相等的角,射線OC叫做這個角的角平分線.

    追問 圖2中共有幾個角?它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系?(預(yù)設(shè):學(xué)生能說出很多,教師梳理成角平分線的符號語言,板書如下)

    因為OC是∠AOB的角平分線,

    變式練習(xí)1 如圖3,OD平分∠BOC,∠AOC=2∠BOD,圖中OC是∠AOB的角平分線嗎?

    圖3

    設(shè)計意圖反饋學(xué)生對角平分線定義是否理解,以及能否初步運用符號語言說明理由.

    變式練習(xí)2 如圖4,打臺球時,球的反射角等于入射角.中間的“虛射線”(不妨稱它為“基準(zhǔn)線”或“法線”)可看成是圖5中∠AOB的角平分線.怎樣畫出OA,OB之間的“基準(zhǔn)線”?

    圖4 圖5

    設(shè)計意圖這是一種不同的設(shè)問方式,要求學(xué)生畫出“基準(zhǔn)線”,本質(zhì)上就是追問學(xué)生這種設(shè)問的等價問題“畫出∠AOB的平分線”.學(xué)生可能會繼續(xù)使用“折角”的方法,但這里不再是透明紙,可能畫在一個作業(yè)本上不方便折疊,這就引出量角器這種度量工具.學(xué)生可以先使用量角器度量出∠AOB的度數(shù),然后算出它的一半,進而再用量角器以O(shè)A為一邊,在∠AOB內(nèi)部畫出一條射線OC,使∠AOC等于∠AOB的一半,則射線OC就是符合要求的“基準(zhǔn)線”(即OC是∠AOB的角平分線).

    教學(xué)活動2量角器“畫角”

    過渡 “由上面使用量角器畫出角平分線的畫法可以知道同學(xué)們已學(xué)會了使用量角器畫一個角的方法.其實,當(dāng)我們量出圖5中∠AOB等于60°,算出它的一半是30°時,還可借助常用的三角板來畫圖,一個含30°角的三角板可以幫助我們直接畫出30°角.同學(xué)們想想,借助一副三角板還可以畫出哪些角度?可以先在小組內(nèi)交流.”

    教學(xué)組織 待學(xué)生小組內(nèi)交流之后,安排學(xué)生使用一副三角板到講臺前演示.如果說得不全,可以安排其他同學(xué)上臺繼續(xù)演示、補充,直到最后總結(jié)出一副三角板可以畫出15°角的任意倍數(shù)的角.

    練習(xí) 先畫一個角∠AOB=30°,在此圖形的基礎(chǔ)上,再畫一個角∠AOD=80°.

    教學(xué)組織 學(xué)生畫30°角時可能使用量角器或三角板,再畫80°角時就只能使用量角器了,但是這個畫圖需要分兩種情形畫出射線OD的可能位置(圖6,圖7),教學(xué)時可展示不同的圖形,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣.

    圖6 圖7

    追問 以圖6為例,在∠BOD內(nèi)部,再畫一條射線OC(如圖8),使OB是∠AOC的平分線.同學(xué)們能求圖8中哪些角的角度?

    圖8

    設(shè)計意圖這個“追問”對應(yīng)著蘇科版七上第156頁的例題.

    教學(xué)活動3直尺圓規(guī)“作角”

    過渡 “同學(xué)們已學(xué)會了使用一副三角板、量角器畫角的方法,現(xiàn)在我們來類比前面尺規(guī)作線段的方法,如果僅允許使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來作角,從‘畫角’到‘作角’,一字之差,充滿了挑戰(zhàn).那么同學(xué)們思考一下,如何用尺規(guī)作一個角等于已知角?”(給學(xué)生幾分鐘時間獨立探究后再分小組交流,教師巡視各小組的進展,如果在小組內(nèi)探究出來就安排他們派代表上臺演示、講解,但筆者執(zhí)教該課時,基本上沒有學(xué)生能在5分鐘之內(nèi)獨立探究出作法.)

    教學(xué)組織 教師在學(xué)生獨立探究5分鐘左右仍然得不出作法后,可以進行示范式講解,并使用PPT漸次呈現(xiàn)相應(yīng)的操作步驟(幾何語言).提醒學(xué)生在一張透明紙上作圖(便于稍后利用透明紙對所作出的角進行疊合、驗證),學(xué)生邊聽講解邊模仿作圖.值得提醒的是,如果教師“一氣呵成”作出一個角等于已知角(圖9,圖10)后再動手,至少有一大半的學(xué)生無法辨別其中一些步驟的先后順序,導(dǎo)致作圖出錯或無從下手.等學(xué)生作圖成功后,安排他們將作出來的角(透明紙上的圖10)與圖9中的角進行疊合驗證,確認(rèn)它們能完全重合后,說明這種尺規(guī)作角的方法是可行的.

    圖9 圖10

    練習(xí) 再來看“打臺球”問題,在圖11中黑色球能否被擊入右下角的袋中?先估測,再用直尺和圓規(guī)作出反射角加以檢驗.

    圖11

    教學(xué)組織 這是安排尺規(guī)作角的鞏固訓(xùn)練,由于圖形位置與情境的干擾,有些學(xué)生可能會出現(xiàn)困難,這時可以讓作圖順利的學(xué)生上臺展示、講解,分享他們成功的經(jīng)驗.

    教學(xué)活動4課堂小結(jié),練習(xí)鞏固

    結(jié)合板書(圖12),提了兩個小結(jié)問題.

    圖12

    小結(jié)問題1 本課從角的定義出發(fā),利用透明紙折出一個角的平分線,結(jié)合圖形說說你對角平分線的理解;

    小結(jié)問題2 從“畫圖”到“作圖”,你是如何辨別這里“畫”和“作”的一字之差的?

    布置作業(yè) 課本上第157頁第6,7,8題.

    2 教學(xué)立意的進一步解讀

    2.1 分析教材內(nèi)容,重組教學(xué)順序

    由于本課時學(xué)習(xí)內(nèi)容是角的第2課時,教材內(nèi)容主要是從畫圖到作圖,再利用透明紙折出角平分線,然后進行角平分線相關(guān)例習(xí)題訓(xùn)練.教學(xué)目標(biāo)是掌握角平分線、量角器畫角,學(xué)會用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角.教學(xué)重點是角平分線的符號語言及初步解題運用,教學(xué)難點是尺規(guī)作角,特別是如何向?qū)W生“說清道明”尺規(guī)作圖的理由(我們采用的方法是讓學(xué)生將尺規(guī)作出的角畫在透明紙上,然后小組內(nèi)進行疊合驗證,本質(zhì)上是驗證了三角形全等的條件“邊邊邊”).基于由易到難、漸次展開的設(shè)想,我們重組教材內(nèi)容的呈現(xiàn)順序,本課的教學(xué)流程依次是“折角”“畫角”“作角”,在每個教學(xué)活動下面跟進一些練習(xí)或變式(或追問),力求不同教學(xué)環(huán)節(jié)之間能平滑“轉(zhuǎn)場”(轉(zhuǎn)場更多的是用在影視、戲劇藝術(shù)中,在兩個場景之間采用一定的技巧,實現(xiàn)場景或情節(jié)之間的平滑過渡,或達到豐富畫面吸引觀眾的效果).

    2.2 明辨新知特點,啟發(fā)示范并行

    通過恰當(dāng)?shù)那榫硠?chuàng)設(shè)促進學(xué)生能獨立探究、歸納出數(shù)學(xué)新知或性質(zhì),是我們共同的教學(xué)追求.然而,幾何起始階段,有些幾何新知(定義、符號語言或作圖方法)在短時間內(nèi)不易掌握,為了平衡自主探究的教學(xué)時間成本,還是應(yīng)該有(或預(yù)設(shè))必要的示范講授.比如,本課教學(xué)內(nèi)容中角平分線的定義及符號語言是需要教師講授的,另外尺規(guī)作角的步驟也需要教師示范講授,這些內(nèi)容難以讓學(xué)生獨立探究出來(或者說更準(zhǔn)確、簡練地表達出來).而使用三角尺、量角器畫圖則是學(xué)生在小學(xué)階段就有所接觸且可以順利完成的,教師只要稍加引導(dǎo)、啟發(fā)即可.在一些畫圖或作圖之后安排了練習(xí)或變式練習(xí),也需要讓學(xué)生先經(jīng)過獨立思考、解題,再安排小組內(nèi)交流討論,最后再進行全班展示、分享或糾錯(比如漏解).筆者以為,一般來說,對于數(shù)學(xué)對象的定義,經(jīng)過簡短的情境鋪墊、歸納概括之后,教師可以直接給出教材上定義的內(nèi)容并板書,然后組織學(xué)生理解教材為什么這樣定義,包括對定義中有些限制條件、范圍表述的辨析;此外對于短時間內(nèi)很難想到的思路(比如證明勾股定理時的拼圖或構(gòu)圖,本質(zhì)上是奇妙的輔助線添加),也可直接給出或向?qū)W生推介這種思路,然后帶領(lǐng)學(xué)生理解思路或證明方法,這也是弗賴登塔爾所提出的“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”.

    2.3 基于變式教學(xué),加強前后關(guān)聯(lián)

    本課教學(xué)設(shè)計充分體現(xiàn)了變式教學(xué)的運用.具體來說,比如角平分線的定義,透明紙折出角平分線,到定義的文字表述和符號語言,體現(xiàn)了角平分線定義的變式呈現(xiàn)、多元表征,有利于學(xué)生從不同角度理解和掌握.再比如,本課中的練習(xí)題的選編都是以變式題組的方式呈現(xiàn),而且不同環(huán)節(jié)的習(xí)題背景還做到前后關(guān)聯(lián),“打臺球”的問題情境在兩個教學(xué)環(huán)節(jié)中都得到體現(xiàn).還有,透明紙在開課引出角平分線時使用過,在后來尺規(guī)作角時又讓學(xué)生使用,以驗證作出的角是否能完全重合,這體現(xiàn)了透明紙在前后不同環(huán)節(jié)中的關(guān)聯(lián)呼應(yīng).

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