不確定伺服系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)NTSM控制

李方俊，王生捷，李 浩

（北京機(jī)械設(shè)備研究所，北京 100854）

傳統(tǒng)的永磁同步電機(jī)位置伺服系統(tǒng)一般采用三閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，次環(huán)為速度環(huán)，最外環(huán)為位置環(huán)，PID 是環(huán)路控制器最常用的設(shè)計(jì)方法[1-3]。但是，傳統(tǒng)的PID控制器參數(shù)調(diào)節(jié)復(fù)雜，系統(tǒng)響應(yīng)速度慢，在面對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定或者時(shí)變、非線性和負(fù)載變化時(shí)，難以達(dá)到理想的控制效果[4-5]。近年來，許多先進(jìn)的控制算法在不確定永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)中得到了應(yīng)用，如：采用自適應(yīng)反步控制的方法對(duì)系統(tǒng)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)并利用滑模控制來保證系統(tǒng)對(duì)未知擾動(dòng)的魯棒性[6]；采用自適應(yīng)模糊滑?？刂频姆椒▽?duì)系統(tǒng)存在的抖振問題進(jìn)行抑制[7-10]。然而，上述的控制方法存在一定的不足之處，例如：采用反步法設(shè)計(jì)控制器結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)存在“項(xiàng)數(shù)膨脹”的問題，這將導(dǎo)致所設(shè)計(jì)的控制輸入量特別大，實(shí)際控制系統(tǒng)難以實(shí)現(xiàn)；傳統(tǒng)的滑?？刂破骶捎镁€性滑模面，理論上系統(tǒng)狀態(tài)不僅難以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到給定軌跡，而且滑?？刂破鬟€存在固有的抖振問題，為了得到良好的抗擾能力，傳統(tǒng)的滑?？刂破鞑坏貌粚_動(dòng)上界值取得偏大，這卻加劇了系統(tǒng)的抖動(dòng)。

為了簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)和提高伺服系統(tǒng)的快速性和魯棒性，本文在研究不確定伺服系統(tǒng)模糊自適應(yīng)滑?？刂频幕A(chǔ)上，引入了非奇異終端滑模面，這保證了伺服系統(tǒng)在面對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)和負(fù)載變化魯棒性的基礎(chǔ)上，擁有了更快的響應(yīng)能力。同時(shí)，為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的控制精度，縮小跟蹤誤差的波動(dòng)范圍，設(shè)計(jì)了1 種結(jié)合誤差積分項(xiàng)的非奇異終端滑模面，為了便于算法在數(shù)字控制系統(tǒng)中得以實(shí)現(xiàn)，均采用離散化仿真方式。

1 伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)的位置機(jī)械方程，如下所示：

式（1）（2）中：θ表示電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械角度；ω表示電機(jī)的機(jī)械角速度；Te為永磁同步電機(jī)的電磁力矩；J為折算到電機(jī)軸端的系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為摩擦系數(shù)；TL為負(fù)載和擾動(dòng)力矩。

表貼式永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型為：

式（3）中：ωe為電機(jī)電角速度；iD、iQ為電機(jī)DQ 軸的定子電流；LD、LQ為電機(jī)DQ 軸電感；R為電機(jī)相電阻；UD、UQ為相電壓；n為永磁同步電機(jī)極對(duì)數(shù)；λf為電機(jī)轉(zhuǎn)子磁鏈。

如圖1 所示，所設(shè)計(jì)的永磁同步電機(jī)伺服控制系統(tǒng)采用雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，外部跟蹤指令信號(hào)通過所設(shè)計(jì)的控制器解算為Q 軸電流信號(hào)直接控制電流環(huán)，使傳統(tǒng)的PID 位置伺服系統(tǒng)三閉環(huán)的控制方式得以簡(jiǎn)化，從而提高了伺服系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

圖1 伺服系統(tǒng)控制框圖Fig.1 Control structure of the servo system

電流誤差經(jīng)PI控制器處理后為電機(jī)DQ軸電壓信號(hào)，采用空間矢量脈寬調(diào)制（SVPWM）技術(shù)將電壓信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槟孀兤鏖_關(guān)管的PWM 斬波信號(hào)傳遞給電機(jī)。

2 自適應(yīng)非奇異終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

式（6）中：β ＞0 是設(shè)計(jì)常數(shù)；p和q是奇數(shù)，且q ＜p ＜2q。

當(dāng)非奇異終端滑模面S=0 時(shí)，解方程可得：

系統(tǒng)誤差將在有限時(shí)間ts內(nèi)收斂到0。

與傳統(tǒng)的線性滑模面相比，非奇異終端滑模面由于引入了非線性項(xiàng)，故擁有更快的收斂速度，系統(tǒng)將在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面[11]；與普通的終端滑模面相比，非奇異終端滑模面避免了出現(xiàn)控制輸入無窮大的情況，即系統(tǒng)的奇異現(xiàn)象。線性滑模面與非奇異終端滑模面的收斂速度，如圖2所示。

圖2 非奇異終端滑模面與普通線性滑模面收斂速度的比較Fig.2 Comparsion of the convergence speed of NTSM with that of linear SMC

為了滿足系統(tǒng)穩(wěn)定可達(dá)性的條件，Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)為：

式（9）中：λ和μ為正比例系數(shù)；J^ 為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的估計(jì)值；?^ 為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)B J的估計(jì)值。

對(duì)式（9）求導(dǎo)可得：

3 模糊控制器設(shè)計(jì)

滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)往往需要已知未知擾動(dòng)上界的大小。實(shí)際伺服系統(tǒng)中擾動(dòng)形式多樣，這給控制算法的設(shè)計(jì)帶來了極大的困難，工程上往往將上界值D1取值較大以保證伺服系統(tǒng)的魯棒性，然而較大的上界值又會(huì)造成系統(tǒng)的控制輸入的劇烈抖動(dòng)，這可能會(huì)激起整個(gè)伺服系統(tǒng)的共振。為了合理設(shè)計(jì)擾動(dòng)的上界值D1，現(xiàn)采用模糊控制的思想對(duì)擾動(dòng)上界值進(jìn)行估計(jì)[12-13]。

滑模狀態(tài)存在的條件為S·S˙＜0，為了使系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下能達(dá)到滑模面，現(xiàn)制定如下的模糊規(guī)則：

其中，NB 為負(fù)大，NM 為負(fù)中，NS 為負(fù)小，ZO 為0，PS 為正小，PM 為正中，PB 為正大。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，將輸入S·S˙和輸出D1 的隸屬度函數(shù)定義為三角形的隸屬度函數(shù)。圖3 和圖4 為輸入S·S˙和輸出D1的隸屬度函數(shù)分布圖。

圖3 模糊控制器輸入隸屬函數(shù)分布圖Fig.3 Distribution diagram of the input membership function of the fuzzy controller

圖4 模糊控制器輸出隸屬函數(shù)分布圖Fig.4 Distribution diagram of the output membership function of the fuzzy controller

根據(jù)滑?？刂评碚摚寒?dāng)S·S˙＞0 時(shí)，代表系統(tǒng)不具備滑模控制的可達(dá)性條件，需要加大D1 來提高收斂速度和補(bǔ)償干擾；當(dāng)S·S˙＜0 時(shí)，代表系統(tǒng)已具備可達(dá)性條件，可以適當(dāng)減小D1 值，降低系統(tǒng)輸入的抖振?；谝陨戏治觯词剑?1）（22）建立模糊規(guī)則。

模糊控制器通過采用Mamdani推理法，采用重心法進(jìn)行反模糊化處理后，得到擾動(dòng)上界的模糊估計(jì)值。

4 誤差積分非奇異終端滑模面設(shè)計(jì)

只有在連續(xù)的系統(tǒng)中才存在理想的滑動(dòng)模態(tài)，對(duì)于離散系統(tǒng)，系統(tǒng)會(huì)在一定范圍的切換帶內(nèi)進(jìn)行準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng),如圖5所示。

圖5 連續(xù)和離散滑動(dòng)模態(tài)Fig.5 Continuous and discrete sliding mode

圖5中：曲線1為連續(xù)系統(tǒng)理想的滑模狀態(tài)；曲線2為離散系統(tǒng)的準(zhǔn)滑模狀態(tài)；2Δ為離散滑模面切換帶寬度[14]。

從圖中可知，相比于連續(xù)的控制系統(tǒng)，離散的非奇異終端滑?？刂品椒〞?huì)有跟蹤誤差的存在，因此，為了進(jìn)一步改善離散模糊自適應(yīng)非奇異終端滑?？刂破鞯目刂凭龋瑢ID 控制器中對(duì)誤差積分的思想引入控制器的設(shè)計(jì)當(dāng)中，構(gòu)造了1 種新型的誤差積分非奇異終端滑模面：

由于誤差積分項(xiàng)的作用，離散系統(tǒng)將在達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)擁有更好的穩(wěn)態(tài)精度。

5 控制系統(tǒng)建模與仿真分析

采用MATLAB/Simulink 搭建傳統(tǒng)PI 控制系統(tǒng)、自適應(yīng)滑?？刂葡到y(tǒng)、模糊自適應(yīng)非奇異終端滑?？刂葡到y(tǒng)和新型模糊自適應(yīng)非奇異終端滑模控制系統(tǒng)的仿真模型。仿真中采用的表貼式永磁同步電機(jī)的參數(shù)為：定子電阻R=0.34 Ω ；直軸電感和交軸電感LD=LQ=0.006 H；轉(zhuǎn)子磁鏈λf=0.243 Wb；電機(jī)初始轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.06 kg·m2；黏滯摩擦系數(shù)B= 0.001 kg·m2/s；磁極對(duì)數(shù)n=5。負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩初始值為5 N·m。模糊自適應(yīng)非奇異終端滑模控制器的參數(shù)選取為：β=200 ，p=7 ，q=5 ，λ=0.05 ，μ=0.05，K=30。系統(tǒng)采用離散化仿真方式，電流環(huán)頻率為10 kHz，速度環(huán)和位置環(huán)頻率為1 kHz。

模糊自適應(yīng)非奇異終端滑?？刂扑欧到y(tǒng)的仿真模型，如圖6 所示；搭建的SVPWM 算法仿真模型，如圖7所示。

圖6 模糊自適應(yīng)NTSM伺服系統(tǒng)仿真模型Fig.6 Simulation model of the fuzzy adaptive NTSM servo system

圖7 SVPWM算法仿真模型Fig.7 Simulation model of the SVPWM algorithm

給定系統(tǒng)位置指令為0.5sinπt的正弦信號(hào)，要求伺服系統(tǒng)輸出位置能快速精確跟蹤位置指令，且對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化和擾動(dòng)具有良好的魯棒性，如圖8 和圖9所示。

圖8 系統(tǒng)跟蹤曲線Fig.8 Position tracking curve

圖9 跟蹤曲線局部放大示意圖Fig.9 Partial enlarged drawing of tracking curve

與傳統(tǒng)的PID 控制器相比較，采用滑?？刂频南到y(tǒng)控制方式雖可以提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度并減小跟蹤誤差[15-18]，但傳統(tǒng)的線性滑面收斂速度小于非奇異終端滑模面，且跟蹤過程中，輸出控制信號(hào)抖動(dòng)較大，控制信號(hào)中這種抖動(dòng)的存在正是由于控制律中符號(hào)函數(shù)的存在，這代表了對(duì)未知負(fù)載擾動(dòng)的魯棒性，倘若完全消除控制信號(hào)中的抖動(dòng)則會(huì)使系統(tǒng)的魯棒性變差，故只能采取減少抖動(dòng)的方式來處理，如用模糊控制估計(jì)抖動(dòng)上界的方法可以有效減少抖動(dòng)問題。

為了進(jìn)一步減小跟蹤誤差，將設(shè)計(jì)的誤差積分非奇異終端滑?？刂破髋c非奇異終端滑模控制器的輸出誤差絕對(duì)值做比較，如圖10所示。

圖10 誤差絕對(duì)值比較圖Fig.10 Error comparison diagram

從圖中可以看出，利用誤差積分的非奇異終端滑?？刂破骺擅黠@減小跟蹤過程中的誤差，從而進(jìn)一步提高了系統(tǒng)的跟蹤精度。

為了驗(yàn)證模糊誤差積分非奇異終端滑?？刂破鲗?duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和擾動(dòng)變化的魯棒性，設(shè)計(jì)系統(tǒng)在0.4 s 時(shí)刻，將電機(jī)末端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變?yōu)?.028 kg·m2，負(fù)載擾動(dòng)變?yōu)?0 N·m，比較仿真結(jié)果與PID控制器仿真結(jié)果，如圖11所示。

圖11 參數(shù)變化后跟蹤軌跡曲線Fig.11 Tracking curve after parameter change

從圖中可以看出，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和擾動(dòng)發(fā)生變化后，模糊誤差積分非奇異終端滑?？刂魄€抖動(dòng)程度較小，跟隨精度較高。而傳統(tǒng)的PID 控制器在跟隨過程中出現(xiàn)了明顯的抖動(dòng)，系統(tǒng)魯棒能力不足。

6 結(jié)論

本文提出了1種基于誤差積分的模糊非奇異終端滑?？刂撇淮_定永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)控制方法，利用MATLAB/Simulink 建立了不確定永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)在不同控制方法下的仿真模型，得到了不同控制方法下的伺服系統(tǒng)輸出跟蹤軌跡曲線。仿真結(jié)果表明，所提出的基于誤差積分的模糊非奇異終端滑模控制方法對(duì)不確定伺服系統(tǒng)具有良好的魯棒性，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度和跟蹤精度。