伯努利多丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)量化H∞濾波

馬運(yùn)強(qiáng)，甘 泉

(安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣工程學(xué)院，蕪湖 241000)

利用網(wǎng)絡(luò)通信代替控制系統(tǒng)線路點(diǎn)對(duì)點(diǎn)連接，將控制器、傳感器與被控對(duì)象連接而構(gòu)建的控制系統(tǒng)，簡稱網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)[1-3]。基于網(wǎng)絡(luò)技術(shù)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)傳輸?shù)木W(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有低成本高性能等特點(diǎn)，受到了人們的青睞。然而網(wǎng)絡(luò)信道資源有限，大量的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)通過有限信道傳輸占用大量的網(wǎng)絡(luò)帶寬資源，降低控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[4-5]。同時(shí)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)在傳輸中易發(fā)生數(shù)據(jù)包丟失及時(shí)滯等現(xiàn)象，導(dǎo)致測量數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確[6]。

近年來，關(guān)于網(wǎng)絡(luò)丟包問題人們給出了大量的解決對(duì)策。張瑞金等[7]考慮丟包和時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)，將控制系統(tǒng)變換Delta算子方程，利用伯努利序列刻畫兩側(cè)丟包問題，通過隨機(jī)馬爾科夫過程建立李雅普諾夫函數(shù)。HUANG等[8]研究一類隨機(jī)丟包的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，利用開關(guān)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)方法處理系統(tǒng)模態(tài)信息丟失過程，設(shè)計(jì)了一種依賴混合H∞/l2-l∞的算法。LI等[9]探究含有數(shù)據(jù)丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)H∞濾波，將閉環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為馬爾可夫跳躍系統(tǒng)，通過線性矩陣不等式推導(dǎo)系統(tǒng)滿足均方穩(wěn)定的不等式判據(jù)。LIN等[10]引入Bernoulli函數(shù)構(gòu)筑網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)傳輸丟包方程，借助T-S模糊技術(shù)設(shè)計(jì)的控制器保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文將分析多通道網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)存在丟包及量化等問題，使用對(duì)數(shù)量化器量化網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)，降低網(wǎng)絡(luò)資源消耗，將多通道丟包構(gòu)筑為伯努利變量。

1 問題描述

分析如圖1描述的多通道丟包量化數(shù)據(jù)傳輸結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)方程Σ為

圖1 丟包量化數(shù)據(jù)傳輸結(jié)構(gòu)

(1)

式中：x(k)∈Rm為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；y(k)∈Rn為系統(tǒng)的測量向量；z(k)∈Rp為系統(tǒng)的估計(jì)信號(hào)；w(k)∈l2[0,∞)為能量有界的擾動(dòng)信號(hào)；A，B1，B2，C和Γ0為具有相宜維數(shù)已知矩陣。

(2)

(3)

結(jié)合所述濾波器節(jié)點(diǎn)輸入為

(4)

設(shè)離散濾波器F如下：

(5)

(6)

其中，

所闡述的H∞濾波目標(biāo)是使得離散濾波器滿足以下要求：

①在擾動(dòng)信號(hào)w(k)=0情況下，若式(7)成立，

(7)

那么，濾波誤差系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的。

②在擾動(dòng)信號(hào)w(k)∈l2[0,∞)和零初始狀態(tài)情況下，對(duì)于隨機(jī)正數(shù)γ，若式(8)成立，

(8)

那么，濾波誤差系統(tǒng)滿足H∞性能指標(biāo)。

2 濾波性能分析

定理1考慮網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，對(duì)于隨機(jī)的正數(shù)γ，正定矩陣P，若式(9)成立，

(9)

那么，存在一類滿足隨機(jī)穩(wěn)定及H∞性能的濾波誤差系統(tǒng)。

證明：

1) 在w(k)=0情況下，令Lyapunov函數(shù)為V(k)，證明濾波誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

V(k)=X(k)TPX(k),

(10)

那么，將式(9)作差分取期望得

(11)

(12)

從而：

(13)

(14)

2) 在w(k)∈l2[0,∞)和零初始狀態(tài)情況下，證明所提出的濾波器使得濾波誤差系統(tǒng)滿足H∞性能。

J(k)=E{e(k)Te(k)-γ2w(k)Tw(k)}≤E{e(k)Te(k)-γ2w(k)Tw(k)+ΔV(k)}

(15)

若定理1成立，那么式(9)隱含Ω，則J(k)<0，即

ΔV(k)+e(k)Te(k)-γ2w(k)Tw(k)<0,

(16)

對(duì)式(16)累加得

(17)

3 濾波器設(shè)計(jì)

定理2考慮網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，對(duì)于隨機(jī)的正數(shù)γ，相宜維數(shù)的正定矩陣P和矩陣J，U，V和W，若不等式(18)成立，

(18)

其中，

那么，濾波器系數(shù)矩陣為

(19)

證明：Φ，ψ等項(xiàng)隱含不確定項(xiàng)Δ(k)，需分塊處理，消除耦合聯(lián)系。

(20)

其中，

將上式代入式(9)得

(21)

利用Schur補(bǔ)引理式(21)化簡為

(22)

式(22)中非線性變量-P-1，直接利用LMI運(yùn)算復(fù)雜，引入矩陣J

(23)

(24)

其中，

備注：H∞濾波器的最優(yōu)性能指標(biāo)γ*，利用LMI計(jì)算凸優(yōu)化問題。

minμsubject to (18) withμ=γ2,

4 仿真示例

分析如下離散時(shí)不變系統(tǒng)。

設(shè)外部擾動(dòng)信號(hào)w(k)=2e-0.5ksin(0.5πk)，γ*=1，量化器密度β1=β2=0.6，計(jì)算α1=α2=0.25，通道1和2的數(shù)據(jù)發(fā)送未丟包率為θ1=0.9,θ2=0.8，得方差ξ1=0.3,ξ2=0.4。根據(jù)定理2和Matlab LMI求解H∞濾波器系數(shù)。

令控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)=[0.5 -0.5]T，濾波器系統(tǒng)的初始狀態(tài)xf(0)=[0 0]T，控制系統(tǒng)估計(jì)值z(k)與濾波輸出值zf(k)輸出響應(yīng)如圖2所示，橫坐標(biāo)為離散采樣時(shí)間，其中，T為離散采樣周期。根據(jù)圖2可知，在外部擾動(dòng)信號(hào)作用下，10T之前濾波器輸出值zf(k)與系統(tǒng)估計(jì)值z(k)局部存在差值，10T之后差值逐漸變小，并趨近吻合。因此，所設(shè)計(jì)濾波器可以較好地估計(jì)系統(tǒng)的真實(shí)值，抑制干擾信號(hào)。圖3為濾波誤差e(k)輸出響應(yīng)，可知濾波誤差e(k)伴隨采樣時(shí)間的遞增收斂為零。

5 結(jié)論

引入對(duì)數(shù)量化器減弱傳輸數(shù)據(jù)能量的損耗，使用伯努利序列降低數(shù)據(jù)包丟失對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的不利影響。通過LMI技術(shù)定量給出量化密度、丟包率方差與抑制擾動(dòng)性能指標(biāo)之間聯(lián)系。最后，通過數(shù)值示例證實(shí)H∞濾波器的有效性。此外，多通道丟包非線性系統(tǒng)量化問題為下一階段探究目標(biāo)。