基于能量變分法的曲線組合箱梁畸變效應(yīng)分析

陳百玲，馬前程，朱耀斌，王連廣

(東北大學(xué)資源與土木工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819)

鋼與混凝土組合箱梁是通過(guò)剪力鍵將鋼箱梁和混凝土板連接在一起的新式梁，其承載力強(qiáng)、抗扭剛度大、重量輕，具有很大的應(yīng)用前景[1]。學(xué)術(shù)界對(duì)組合箱梁的剪力滯、扭轉(zhuǎn)、界面滑移[2-4]等效應(yīng)進(jìn)行了研究。此外，還應(yīng)重視其橫截面在荷載作用下發(fā)生的畸變[5]。

當(dāng)箱梁壁厚較薄，隔板較少時(shí)，會(huì)有較大的周邊變形，畸變效應(yīng)不容忽略[6]。起初，畸變的研究主要關(guān)注同種材料的箱梁，研究方法多樣。張?jiān)５萚7]應(yīng)用了能量變分法推導(dǎo)并驗(yàn)證了同種材料的薄壁箱梁的畸變計(jì)算公式。J.Lee[8]應(yīng)用彈性地基梁法(BEF法)，探究了鋼箱梁長(zhǎng)徑比和隔板數(shù)目對(duì)畸變效應(yīng)的影響。REN Yangzhi等[9-10]考慮了剪切應(yīng)變影響下，懸臂鋼箱梁的隔板數(shù)目和厚度對(duì)畸變效應(yīng)的影響，并通過(guò)試驗(yàn)和有限元對(duì)比，證明了初始參數(shù)法適用于鋼箱梁畸變分析。C.H.Yoo[11]采用BEF法，分析了曲線單箱和曲線分離式多箱梁的應(yīng)力分布特點(diǎn)，為裝配式鋼箱梁橋的設(shè)計(jì)提供了參考。M.Arici[12]應(yīng)用適用性強(qiáng)的哈密頓結(jié)構(gòu)分析法，分析變截面和變曲率箱梁橋的畸變效應(yīng)特點(diǎn)，克服以往僅對(duì)單一截面研究的缺陷，更加符合實(shí)際要求。N.I.Tsiptsis[13]通過(guò)相似方程法，減少了靜力和曲率耦合作用引起的分析誤差，使曲線鋼箱梁的畸變計(jì)算更加精確。

組合箱梁的畸變效應(yīng)是基于鋼箱梁的研究。組合梁在施工過(guò)程中，截面性質(zhì)的不連續(xù)，此時(shí)的畸變效應(yīng)與成橋后有很大不同，為防止組合梁變形過(guò)早，要對(duì)施工階段的受力情況進(jìn)行單獨(dú)考慮[14]。針對(duì)施工荷載，朱穎杰[15]對(duì)不同支撐條件下的開(kāi)口組合梁畸變效應(yīng)進(jìn)行研究，對(duì)施工階段的畸變計(jì)算進(jìn)行了修正。S.J.Fatemi等[16]、Z.Kolakowski等[17]研究了組合箱梁在集中荷載和扭轉(zhuǎn)作用下的應(yīng)力分布規(guī)律。ZHU Yingjie[18]發(fā)現(xiàn)增加隔板數(shù)目和隔板剛度可迅速減小組合梁畸變，但隔板數(shù)目和剛度存在合適范圍，過(guò)多的隔板和過(guò)大的剛度對(duì)控制畸變作用不大。LI Lifeng[19]和韓國(guó)順[20]分別使用初參數(shù)法和試驗(yàn)法，對(duì)波紋鋼腹板組合梁畸變效應(yīng)進(jìn)行研究。ZHU Li[21]通過(guò)試驗(yàn)，研究了曲線組合梁剪力鍵數(shù)目對(duì)畸變效應(yīng)的影響。馮康平[22]等對(duì)彎扭組合作用下的曲線組合箱梁進(jìn)行分析，得出了高跨比和隔板對(duì)畸變的影響。

針對(duì)箱梁畸變效應(yīng)，大多研究?jī)H針對(duì)同一種材料。對(duì)于不同材料的組合箱梁研究較少，且研究大多關(guān)注橫隔板，而其他幾何參數(shù)的影響研究不足?；诖?，筆者通過(guò)能量變分法建立曲線組合箱梁畸變方程，分析集中荷載作用下，組合梁頂板厚、腹板厚、梁高、底板寬及曲率半徑對(duì)箱梁畸變效應(yīng)的影響。研究表明：增大組合箱梁的曲率半徑可顯著減小其畸變角；不同線形的曲線組合箱梁，畸變的控制要點(diǎn)不同；增加組合箱梁的梁高和鋼腹板的厚度可以顯著減小畸變效應(yīng)；混凝土頂板對(duì)控制組合箱梁畸變貢獻(xiàn)很小，頂板厚引起的畸變角變化可以忽略；隨著曲率半徑增加，底板寬度對(duì)畸變的影響逐漸減??；在控制結(jié)構(gòu)畸變變形方面，梯形截面優(yōu)于矩形截面。

1 畸變方程

依據(jù)箱形曲線組合梁截面形式以及受力特點(diǎn)，在不影響分析結(jié)果的前提下，采用下列基本假定:各板為各向同性，曲率相同且符合平截面假定;箱壁為薄壁鋼板，壁厚方向應(yīng)力無(wú)變化;不考慮界面滑移及連接件變形對(duì)梁畸變的影響。

組合箱梁截面具體尺寸見(jiàn)圖1所示。圖中，tc為混凝土板厚；b4為頂板寬；b5為翼緣板寬；ts1為鋼腹板厚；ts2為鋼底板厚；O為截面形心。

圖1 截面尺寸

1.1 畸變框架應(yīng)變能

薄壁理論[23]認(rèn)為箱梁畸變由框架應(yīng)變能和翹曲應(yīng)變能組成。當(dāng)截面產(chǎn)生畸變角γ時(shí)，會(huì)對(duì)框架體系產(chǎn)生影響，使框架的角點(diǎn)處出現(xiàn)水平位移，位移值為γb1sinθ。此時(shí)，框架所需的應(yīng)變能與框架發(fā)生γb1sinθ位移能量相同?？蚣軝M向變形和彎矩見(jiàn)圖2和圖3所示。

圖2 框架橫向變形圖

圖3 框架彎矩圖

由圖3可知:

(1)

式中:γ為畸變角；K1、K2為系數(shù)。

將頂板中間斷開(kāi)，在開(kāi)口處設(shè)置垂直于頂板未知力X1，作為基本體系。當(dāng)頂板發(fā)生大小為γb1sinθ的水平位移時(shí)，用力法對(duì)半結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，此位移對(duì)應(yīng)的水平荷載P:

(2)

(3)

[3b1b2(b2+b4)+b1(b2-b4)(2b2+b4)].

(4)

得出系數(shù)K1和K2:

(5)

(6)

畸變框架應(yīng)變能:

(7)

其中，W1為框架橫向剛度。

(8)

1.2 畸變翹曲應(yīng)變能

組合梁各板的畸變翹曲應(yīng)力見(jiàn)圖4。

圖4 畸變翹曲應(yīng)力圖

根據(jù)應(yīng)力平衡，設(shè)畸變翹曲系數(shù):

(9)

翹曲正應(yīng)力與各板扭矩關(guān)系:

(10)

(11)

(12)

由變形計(jì)算公式，得出各板在平面內(nèi)的撓度:

(13)

(14)

(15)

通過(guò)求導(dǎo)，可得到撓度與畸變角之間的關(guān)系[23]:

(16)

式中:γ″為畸變角函數(shù)的二階導(dǎo)。

將式(13)～式(16)聯(lián)立，由各板間變形關(guān)系，可得出畸變角與畸變翹曲正應(yīng)力的關(guān)系:

(17)

(18)

頂板:

(19)

底板:

(20)

腹板:

(21)

對(duì)各板的翹曲應(yīng)變能進(jìn)行積分后，求得該梁段畸變翹曲應(yīng)變能:

(22)

其中，W2為截面翹曲慣性矩。

(23)

1.3 荷載勢(shì)能

扭矩產(chǎn)生的荷載勢(shì)能:

(24)

藕聯(lián)效應(yīng)產(chǎn)生的荷載勢(shì)能:

(25)

式中:R為曲率半徑;Mx為箱梁縱向彎矩，近似按照直線簡(jiǎn)支梁計(jì)算。

1.4 畸變微分方程

箱梁總勢(shì)能:

Π=U1+U2+V1+V2.

(26)

根據(jù)最小勢(shì)能原理[23]，求出畸變微分方程:

(27)

畸變雙力矩:

B=-W2γ″.

(28)

2 算例分析

以簡(jiǎn)支組合箱梁為例，跨徑30 m，曲率半徑50 m，Es=2.0×105MPa，Ec=3.5×104MPa，截面尺寸如圖5所示。在箱梁跨中處，頂板中央位置作用向下的集中荷載500 kN。

圖5 組合箱梁截面尺寸

使用彈性地基梁法[8,11]，以跨中截面為坐標(biāo)原點(diǎn)，以初參數(shù)法求得式(27)、式(28)的通解:

(29)

(30)

結(jié)合畸變荷載函數(shù)，得跨中截面的畸變角γA及雙力矩BA計(jì)算公式:

(31)

(32)

式中:Q為集中荷載。

根據(jù)組合梁幾何參數(shù)和材料特性，得出:W1=4.70×106N·m4，W2=7.51×109N·m4，λ=0.111。將邊界條件γl/2=0，Bl/2=0代入式(29)～式(30)，得γA=0.008 rad，BA=5.70×105N·m2。

3 參數(shù)分析

以算例中的截面尺寸、邊界條件、荷載形式為基礎(chǔ)，根據(jù)式(31)和式(32)，改變?cè)O(shè)計(jì)參數(shù)，得出不同曲率半徑下組合梁的畸變角，以反映此設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)畸變效應(yīng)的影響。

3.1 梁高的影響

改變梁高，畸變角變化規(guī)律如圖6所示。

圖6 畸變角隨梁高的變化規(guī)律

由圖6可知，梁高增加時(shí)，箱梁的畸變角逐漸減小。在曲率半徑小于100 m的情況下，隨著梁高增長(zhǎng)，畸變角迅速減小。在曲率半徑大于100 m以后，曲線極差變化趨勢(shì)減緩，增加梁高對(duì)畸變角的影響逐漸降低。當(dāng)梁高為1.8 m，高跨比為0.6時(shí)，增加梁高對(duì)減小畸變效果減弱。曲率半徑為100 m時(shí)，梁高由1.2 m增加到2.1 m時(shí)，畸變角減小54.2%。當(dāng)曲率半徑為300 m，梁高由1.2 m增加到2.1 m時(shí)，畸變角減小約50%。可見(jiàn)，增加梁高顯著減少截面畸變效應(yīng)，在工程中應(yīng)采取適當(dāng)?shù)牧焊摺?/p>

3.2 混凝土板厚的影響

改變組合梁混凝土板厚，畸變角變化情況如圖7所示。

圖7 畸變角隨混凝土板厚的變化規(guī)律

由圖7可知，隨著混凝土板厚的增加，同一曲率半徑下各曲線的畸變角數(shù)值幾乎重合，增大板厚對(duì)減小畸變角無(wú)明顯效果。在5種曲率半徑下，組合箱梁混凝土板厚度由100 mm提高至400 mm時(shí)，畸變角平均降低了8.2%，且5種情況下，不同頂板厚的組合梁畸變角相差均未超過(guò)10%。這是由于混凝土板厚對(duì)組合箱梁剛度影響較小，所以對(duì)控制箱梁畸變效應(yīng)貢獻(xiàn)較小。

3.3 鋼腹板厚的影響

改變組合梁鋼腹板厚，畸變角變化情況見(jiàn)圖8所示。

圖8 畸變角隨鋼腹板厚的變化規(guī)律

由圖8可知，當(dāng)鋼腹板的厚度增加時(shí)，箱梁的畸變效應(yīng)明顯減小。在箱梁的曲率半徑為50 m的情況下，鋼腹板厚度由10 mm增加至30 mm時(shí)，畸變角減小了71.2%。當(dāng)鋼腹板厚度為10 mm時(shí)，即使增大曲率半徑至300 m，箱梁畸變角仍大于0.01 rad，遠(yuǎn)超其他厚度下的結(jié)果。當(dāng)鋼腹板厚增加至30 mm時(shí)，畸變角大幅度減小，如繼續(xù)增加鋼腹板厚，畸變角曲線十分接近。因此，在進(jìn)行箱梁設(shè)計(jì)時(shí)，鋼腹板厚度不宜小于20 mm，且厚度存在合適的范圍。

3.4 底板寬度的影響

底板寬度改變后，組合梁畸變角變化情況如圖9所示。

圖9 畸變角隨底板寬度的變化規(guī)律

由圖9可知，當(dāng)?shù)撞夸摪鍖挾葴p少時(shí)，箱梁的畸變效應(yīng)也相應(yīng)減小。在曲率半徑為50 m的情況下，底板寬2.1 m的組合梁所產(chǎn)生的畸變角，僅為底板寬3 m的組合梁畸變角的68.8%。在曲率半徑大于100 m后，不同底板寬度的組合梁畸變角十分相近，可知當(dāng)曲率半徑較大時(shí)，底板寬度不再是控制畸變的主要因素。

增加底板寬度后，截面趨近于矩形，此時(shí)矩形截面與其他梯形截面相比，畸變角前者均大于后者，證明選擇梯形的截面形狀更有利于限制結(jié)構(gòu)的畸變，且寬高比宜接近1。

3.5 綜合分析

圖6～圖9中，不同曲率半徑下，改變梁高、板厚等設(shè)計(jì)參數(shù)后，產(chǎn)生的畸變角最大值與最小值做差，得到極差。通過(guò)極差的大小，反映4種設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)控制畸變效應(yīng)的敏感性，某項(xiàng)設(shè)計(jì)參數(shù)的極差越大，畸變效應(yīng)影響越大，極差結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)引起的畸變角極差

由表1可知，在不同曲率情況下，改變鋼腹板厚度產(chǎn)生的畸變角極差最大。由此，除曲率半徑以外，應(yīng)最為注重鋼腹板厚。在曲率半徑較小時(shí)，梁高也是降低畸變的有效手段，但隨著曲率半徑增加，極差逐漸減小。

混凝土頂板厚引起的極差始終較小，數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)小于其他參數(shù)。對(duì)比鋼腹板厚和混凝土頂板厚引起的畸變角極差總和，前者約為后者的20倍。

底板寬度在曲率半徑小于50 m時(shí)，底板寬度引起的畸變角極差較大。與梁高類(lèi)似，隨著曲率半徑的增長(zhǎng)，底板寬度對(duì)整體畸變的影響逐漸減小。

4 結(jié) 論

(1)增大組合箱梁的曲率半徑可顯著減小其畸變角；為了避免結(jié)構(gòu)出現(xiàn)過(guò)大的畸變效應(yīng)，在工程中組合箱梁的曲率半徑不宜小于100 m；不同線形的曲線組合箱梁，畸變的控制要點(diǎn)不同；曲率半徑小于100 m時(shí)，控制組合箱梁畸變要關(guān)注梁高、底板寬和鋼腹板厚，高跨比宜大于0.6，高寬比宜接近1，鋼腹板厚宜大于30 mm;當(dāng)曲率半徑大于100 m時(shí)，控制組合箱梁畸變主要關(guān)注鋼腹板厚，腹板厚宜為20～40 mm。

(2)增加組合箱梁的梁高和鋼腹板的厚度可以顯著減小畸變效應(yīng)；曲率半徑為50 m時(shí)，當(dāng)梁高從1.2 m增至2.1 m時(shí)，組合梁的畸變角減小了54.2%;當(dāng)鋼腹板厚度從10 mm增至20 mm時(shí)，組合箱梁的畸變角減小了71.2%。

(3)混凝土頂板對(duì)控制組合箱梁畸變貢獻(xiàn)很小，頂板厚引起的畸變角變化可以忽略；隨著曲率半徑增加，底板寬度對(duì)畸變的影響逐漸減??；在控制結(jié)構(gòu)畸變變形方面，梯形截面優(yōu)于矩形截面。