下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層極限承載力計算方法

雷勇 譚豪 李鵬甲 胡偉

摘要：針對下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層極限承載力問題，基于下伏空洞單樁基礎(chǔ)樁端巖層沖切破壞理論，假定了下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層的破壞模式.采用空間曲面積分得到了各樁下沖切體重疊部分側(cè)面積計算方法，進一步考慮重疊面積與樁端巖層承載力折減之間的關(guān)系，提出了下伏空洞橋梁單排雙樁及三樁基礎(chǔ)樁端巖層極限承載力計算方法.通過試驗驗證了理論方法的合理性，并采用理論方法與數(shù)值模擬分析了樁間距L對下伏空洞橋梁單排雙樁及三樁基礎(chǔ)樁端巖層極限承載力的影響.結(jié)果表明：在樁間距L較小情況下沖切體局部出現(xiàn)重疊現(xiàn)象；在樁間距L為2倍樁徑時，橋梁單排雙樁以及三樁樁端巖層的總承載力分別為不考慮疊加效應(yīng)時總承載力的75%和67%；隨著樁間距L的逐漸增加雙樁及三樁樁端巖層總承載能力逐漸增大，當(dāng)樁間距L達(dá)到5倍樁徑后其承載能力達(dá)到不考慮重疊效應(yīng)時總承載力的99%以上.

關(guān)鍵詞：空洞地基；極限承載力；橋梁樁基；承載力折減

中圖分類號：TU473文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Calculation Method of Ultimate Bearing Capacity for Single Row Pile Foundation Rock Layer of Underlying Cavity Bridge

LEI Yong，TAN Hao，LI Pengjia，HU Wei

（Hunan Provincial Key Laboratory of Geotechnical Engineering for Stability Control and Health Monitoring （Hunan University of Science and Technology），Xiangtan 411201，China）

Abstract：Aiming at the ultimate bearing capacity of pile end rock in the single row pile foundation of underlying cavity bridge，based on the punching shear failure theory of pile end rock of single row pile foundation for underlying cavity bridge，the failure mode of pile end rock of single row pile foundation of underlying cavity bridge is assumed. The calculation method of the side area of the overlap part of the punching shear under each pile is obtained by using the spatial surface integral. Further considering the relationship between the overlap area and the reduction of the bearing capacity of the pile end rock，a calculation method of the ultimate bearing capacity of the pile end rock of the single row double pile and the single row three pile foundation of the underlying cavity bridge is proposed. The rationality of the method is verified by experiments. And the influence of pile spacing L on the ultimate bearing capacity of rock strata at the pile tip of single-row double-pile and single-row three-pile foundation of the underlying cavity bridge is analyzed by the theoretical method and numerical simulation. The results show that：（1）when the pile spacing L is small，the local overlap of punching shear occurs；（2）when the pile spacing L is twice the pile diameter，the total bearing capacity of single row double piles and three piles of the bridge is 75 % and 67 % of the total bearing capacity without considering the superposition effect，respectively. With the gradual increase of pile spacing L，the total bearing capacity of the pile end rock of double piles and three piles increases gradually. When the pile spacing L reaches five times the pile diameter，the bearing capacity reaches more than 99 % of the total bearing capacity without considering the superposition effect.

Key words：empty foundation；ultimate bearing capacity；bridge pile foundation；reduction in carrying capacity

隨著國家基礎(chǔ)建設(shè)不斷推進，越來越多的大型橋梁樁基建設(shè)時難以避免遇到溶洞或采空區(qū)，樁基設(shè)計施工時難度增大，成本提高.現(xiàn)有研究表明，當(dāng)空洞頂板具有一定厚度時，可利用其自承能力將樁基置于空洞頂板上，做到同時滿足上部結(jié)構(gòu)豎向承載力及空洞頂板穩(wěn)定性要求[1-3].這種設(shè)計處理方法不僅降低了施工難度，還可節(jié)約成本，較多學(xué)者對下伏空洞樁基問題進行了研究和探討.

在試驗研究方面，李炳行等[4]進行了深井靜載荷試驗，認(rèn)為結(jié)構(gòu)完整并處于樁端應(yīng)力影響范圍內(nèi)的巖體臨空面具備一定穩(wěn)定性；黃生根等[5]通過大直徑下伏溶洞人工挖孔灌注樁的靜載荷試驗，研究了在樁端巖溶影響下樁基承載特性；張慧樂等[6-7]基于下伏球形或橢球形空洞樁基的室內(nèi)模型試驗，研究了空洞頂板厚度及偏移等因素對承載能力和破壞模式的影響；雷勇等[8]進行了巖溶區(qū)下伏空洞樁端巖層極限承載力破壞模型試驗，研究了荷載偏移位置與空洞頂板厚度對下伏空洞樁端基巖的極限承載力和相應(yīng)破壞模式的影響；Fattah等[9]開展了下伏空洞地基中樁基模型試驗，研究了樁基偏心、空洞埋深和空洞直徑的變化對樁基荷載和沉降的影響.在理論研究方面，趙明華等綜合考慮了樁端持力巖層的抗沖切、抗剪切和抗彎拉破壞，基于極限平衡法提出樁端巖層安全厚度確定方法[1]，之后在溶洞頂板抗沖切、抗剪驗算中分別引入格里菲斯判據(jù)和莫爾判據(jù)，分析了抗剪驗算中樁端巖層剪切破壞的2種破壞模式[10].Fraldi等[11]基于Hoek-Brown強度準(zhǔn)則采用極限分析法對樁下空洞頂板的破壞模式進行了分析；龔先兵等[12]采用非概率可靠性分析方法對樁端下伏溶洞頂板穩(wěn)定性進行分析；雷勇等[13-14]將試驗得到的空洞頂板沖切破壞模式與極限分析理論相結(jié)合，推導(dǎo)出空洞頂板承載力表達(dá)式；柏華軍[15]通過對溶洞頂板持力層模型的合理簡化，提出了可以考慮有效寬度、自重等影響因素的單向板及雙向板抗拉彎破壞溶洞頂板持力層厚度公式.

上述研究主要針對下伏空洞單樁相關(guān)問題進行，現(xiàn)有對下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層極限承載力的研究極少.在實際工程中橋梁較多采用一柱一樁基礎(chǔ)形式，在橫向形成單排樁，由于橋幅有限，單幅基樁數(shù)量一般為2～3根，樁間距一般不大.當(dāng)樁間距較小時，各樁樁端巖層發(fā)生沖切破壞時產(chǎn)生的沖切體可能存在重疊現(xiàn)象，使整體承載力降低，影響橋梁上部結(jié)構(gòu)安全，故有必要針對該問題作進一步研究.

本文根據(jù)室內(nèi)模型試驗所得的現(xiàn)象假設(shè)下伏空洞橋梁雙樁及三樁基礎(chǔ)樁端巖層破壞模式，在通過極限分析上限法[16]推導(dǎo)得到下伏空洞單樁樁端巖層極限承載力計算方法的基礎(chǔ)上，采用空間曲面積分方法計算排樁各樁下沖切體重疊部分側(cè)面積，進一步考慮重疊面積與樁端巖層承載力折減之間的關(guān)系，推導(dǎo)排樁極限承載力的計算方法；將理論計算與試驗得到的極限承載力結(jié)果進行比較，驗證了理論方法的合理性；最后，通過數(shù)值模擬與理論計算分析不同樁間距時橋梁單排樁基礎(chǔ)樁端基巖極限承載力的變化規(guī)律.

1模型試驗研究

為研究下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層的破壞模式，設(shè)計并進行了三組室內(nèi)模型試驗.考慮室內(nèi)試驗條件，采用圓形鋼柱模擬樁基，鋼柱直徑d取30 mm，雙樁及三樁情況下樁間距L均取90 mm.采用水泥、砂、石膏和紅黏土作為模擬基巖的材料[17]，材料的配合比如表1所示，測得其單軸抗壓強度標(biāo)準(zhǔn)值為1.8MPa.

文獻(xiàn)［18］提出以巖溶頂板承載能力控制為主、變形控制為輔的原則開展穩(wěn)定性評價，并規(guī)定：巖溶區(qū)橋梁的樁基、樁底高程應(yīng)設(shè)置在一定厚度的巖溶頂板上.巖溶頂板厚度不宜小于3倍樁徑.考慮最不利情況，將頂板厚度設(shè)置為3倍樁徑90 mm.室內(nèi)模型為中空圓柱式頂板全固支空洞模型，內(nèi)部圓柱直徑600 mm，洞高210 mm，圓柱外部直徑1 000 mm，高度300 mm.采用門式框架作為反力加載裝置，使用反力梁配合千斤頂加載，反力梁下依次安裝千斤頂、傳感器、墊塊以及模擬樁基鋼柱，整體為一自平衡系統(tǒng).分別在模型頂板進行單樁、雙樁以及三樁的極限承載力試驗，試驗加載系統(tǒng)及模型試驗如圖1所示.

試驗采用分級加載，每級荷載為1.0 kN，三組試驗中樁基的荷載沉降曲線如圖2所示.根據(jù)文獻(xiàn)［19］巖石地基極限承載力與承載力特征值確定的規(guī)定：對于陡降型P-s曲線，以明顯陡降點為極限荷載.由此得到單樁、雙樁與三樁情況下樁端巖層極限荷載分別為11.0 kN、18.0 kN和24.0 kN.

試驗加載完成后取出三組試驗得到的沖切體如圖3-圖5所示，單樁樁端巖層沖切破壞體形狀近似母線為螺旋線的旋轉(zhuǎn)體，而雙樁及三樁樁端巖層沖切破壞體形狀近似各樁下沖切體重疊復(fù)合體.

2下伏空洞單樁基礎(chǔ)樁端巖層極限承載力計算方法

2.1基本假定

為方便后續(xù)下伏空洞排樁樁端巖層承載力和破壞模式研究，先對單樁情況下樁端基巖破壞模式進行推導(dǎo).根據(jù)極限分析及相關(guān)理論，對單樁沖切破壞理論模型作如下假設(shè)：

1）溶洞頂板為一水平面且四周邊界條件全為固支，頂板厚度h為樁底到空洞臨空區(qū)頂部的距離.

2）下伏空洞樁端巖層破壞時產(chǎn)生的沖切體為中心對稱的旋轉(zhuǎn)體，形態(tài)函數(shù)為f（x），如圖6所示.在

3）巖體為理想的剛塑性材料，符合Hoek-Brown強度準(zhǔn)則以及相關(guān)的流動法則.

2.2下伏空洞單樁樁端巖層極限承載力計算

式中：P_b1為隨著樁基礎(chǔ)傳遞到樁端基巖的荷載；D′、V分別為塑性區(qū)發(fā)生塑性破壞時單位體積內(nèi)能損耗率與沖切體塑性區(qū)體積，計算公式如下：

在以剪應(yīng)力形式表示的Hoek-Brown準(zhǔn)則[21]中有：

式中：τ^*_n為無量綱的剪應(yīng)力；σ^*_n為無量綱的法向應(yīng)力；σ_c為完整巖塊無側(cè)限抗壓強度；β為強度模數(shù)；ζ為巖體抗拉強度系數(shù)；m₀為巖體類型參數(shù)；ρ為瞬時摩擦角；GSI為巖體地質(zhì)力學(xué)分類指標(biāo).

聯(lián)立式（8）（9），可得采用拋物線模型模擬Hoek-Brown強度準(zhǔn)則表達(dá)形式為：

其塑性勢為：

相應(yīng)的塑性應(yīng)變率可表示為：

式中：A、B為待定擬合參數(shù)；λ>0為比例系數(shù).

聯(lián)立式（6）～（9）及式（12）（14）（15）可得：

σ_n=β[ABf′（x）]^1/（1-B）-βζ（16）

τ_n=Aβ{[ABf′（x）]^1/（1-B）}^B（17）

將式（6）（7）（16）（17）代入式（5）可得：

聯(lián)立式（1）～（4）及式（18）可得：

通過變分原理轉(zhuǎn)化式（19），令：

ζ[f（x），f′（x），x]=[（ABβf′（x））^1/（1-B）（B^-1-1）+βζ]x（20）

由歐拉方程：

將式（20）代入式（21），化簡可得：

式中：C₁為待求參數(shù).

為簡化理論計算，根據(jù)文獻(xiàn)［14］，將B值取為

0.5，式（22）可化為：

f（x）=C₂lnx+C₃（23）

式中：C₂、C₃為待求參數(shù)，由邊界條件f（d/2）=0、f（D/2）=h可求得：

將式（24）（25）代入式（23）可得：

將式（26）、B=0.5代入式（19）可得：

將式（27）對D求偏導(dǎo)，通過?P_b1/?D=0，推導(dǎo)出底部直徑D的表達(dá)式為：

式中：Lambert W表示函數(shù)（w）=we^w的反函數(shù)，稱為朗伯函數(shù)[22].

將式（28）代入式（26）可得單樁沖切體在豎直平面中的形態(tài)函數(shù)：

f（x）=C₄ln（C₅x）（29）

3下伏空洞橋梁單排樁基礎(chǔ)樁端基巖極限承載力計算

3.1下伏空洞橋梁雙樁樁端巖層極限承載力計算

根據(jù)模型試驗結(jié)果，當(dāng)樁間距較小時，各樁下沖切破壞體發(fā)生重疊，下伏空洞橋梁雙樁沖切體理論模型如圖7所示.

根據(jù)極限分析理論，聯(lián)立式（1）～（4）可得：

由式（30）可知，空洞頂板極限承載力與沖切破壞體的側(cè)面積線性相關(guān)，可通過空間曲面積分來計算兩沖切體重疊部分減少的側(cè)面積，從而計算雙樁基礎(chǔ)總承載力的減少部分，過程如下.

如圖7所示，以單個沖切體底部中心為原點建立三維坐標(biāo)系，由式（29）可得此坐標(biāo)系中沖切體曲面Z的表達(dá)式為：

對式（31）進行空間曲面積分，可得到?jīng)_切曲面Z對xOy平面投影部分積分后側(cè)表面積S′的表達(dá)式：

式中：θ₁、r₁、r₂為以一樁下沖切體底面圓心為原點的極坐標(biāo)積分區(qū)域.

令r/C₄=t并代入式（32）可得：

將明確的積分區(qū)域代入式（33）可得重疊面積S₁表達(dá)式為：

如圖8所示，r₁與樁間距l(xiāng)的幾何關(guān)系如下：

同樣得到未考慮重疊時完整單個沖切體側(cè)表面積S為：

由式（30）（34）（36）可得極限破壞時橋梁樁基雙樁情況下巖層頂板總極限承載力P_b2與完整單樁頂板極限承載力P_b1間關(guān)系式為：

令λ₁=2S₁/2S并代入式（37），可化簡得到?jīng)_切體重疊造成橋梁雙樁樁端基巖總承載力相對于不考慮沖切體疊加時雙樁樁端巖層總承載力的折減系數(shù)η₁的表達(dá)式：

3.2下伏空洞橋梁三樁樁端巖層極限承載力計算

下伏空洞橋梁三樁基礎(chǔ)樁端巖層的總承載力折減與沖切體重疊情況與雙樁類似，區(qū)別在于極限破壞時三樁基礎(chǔ)的中樁下巖層的沖切體可能存在兩個重疊部分，導(dǎo)致承載力折減得更多.三樁沖切體理論模型如圖9所示.

三樁中左右兩根樁的承載力折減與前文所述雙樁情況一致，中樁由于重疊而減少的側(cè)表面積S 2可表示為：

S₂=S_L+S_R（39）

式中：S_L與S_R分別表示中樁與左右兩樁沖切體重疊減少的側(cè)面積.

由式（34）（35）可知左樁與中樁重疊面積S_L表達(dá)式為：

式中：l_L表示左樁距中樁的距離；θ_L0為左樁與中樁重疊部分在底面投影的弧度的1/2.

同理可求得右樁與中樁重疊面積S_R的表達(dá)式. 由式（30）（36）（39）可得極限破壞時橋梁樁基三樁樁端巖層總極限承載力P_b3與完整單樁樁端巖層極限承載力P_b1間關(guān)系式為：

令λ₂=2S₂/3S，可化簡得到?jīng)_切體重疊造成橋梁三樁樁端巖層總承載力相對于不考慮沖切體疊加時三樁樁端巖層總承載力的折減系數(shù)η₂的表達(dá)式：

3.3試驗與理論計算結(jié)果對比

為驗證理論的正確性，將模型試驗與理論計算結(jié)果進行對比，相關(guān)巖體材料參數(shù)按以下原則取值：根據(jù)文獻(xiàn)［23］采用Hoek-Brown強度準(zhǔn)則對巖體進行分類，對于完整巖塊試樣，考慮試驗試件的尺寸以及試件無節(jié)理，巖體地質(zhì)力學(xué)分類指標(biāo)GSI取100，巖體的類型參數(shù)m₀取15，然后將其代入式（10）和式（11）可得強度模數(shù)β為3.375，巖體的抗拉強度系數(shù)ζ為0.036.A為擬合參數(shù)，根據(jù)試驗所采用的模擬巖體材料，經(jīng)擬合，A值取0.56時較為合理.參數(shù)匯總見表2，理論計算結(jié)果與模型試驗實測值見表3.

通過模型試驗和理論計算得到的極限承載力與模擬橋梁樁基數(shù)量的關(guān)系曲線如圖10所示.在樁間距為3d的情況下，考慮沖切體重疊效應(yīng)計算得到的下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層極限承載力與模型試驗結(jié)果較為吻合.

4參數(shù)分析

為進一步研究下伏空洞橋梁樁基雙樁及三樁情況下樁端巖層極限承載力的變化規(guī)律，使用極限分析有限元法對下伏空洞橋梁樁基礎(chǔ)不同樁間距情況進行模擬.

在有限元材料庫中無Hoek-Brown材料，考慮到對同一巖體而言，無論采用哪一種破壞準(zhǔn)則進行分析，只要與巖體本身實際物理力學(xué)性質(zhì)一致，得到的分析結(jié)果就相同.在軟件中選擇以M-C材料作為模擬巖體，相關(guān)參數(shù)采用通過室內(nèi)材料力學(xué)參數(shù)實驗測得的數(shù)據(jù)，巖體試塊黏聚力c=500 kPa，內(nèi)摩擦角φ=25°，系統(tǒng)默認(rèn)重度γ=25 kN/m³.數(shù)值模擬中構(gòu)建與室內(nèi)試驗尺寸相同的中空圓柱形分析域，其內(nèi)部空洞直徑600 mm，洞高210 mm，模型外部直徑1 000 mm，高度300 mm，頂板厚度為90 mm（3d）.考慮計算機計算能力設(shè)置初始節(jié)點數(shù)為10 000點，選擇自適應(yīng)網(wǎng)格劃分進行3次迭代.由于在數(shù)值分析中樁基變形對樁端巖層極限承載力的影響可忽略不計，故將模擬樁基設(shè)置為直徑d=3 cm、高h(yuǎn)=6 cm的圓柱形剛體.在樁基布置方式中除單樁情況外分別設(shè)置雙樁與三樁樁間距為2d、2.5d、3d、3.5d、4d、4.5d、5d、5.5d、6d的18種工況，其中樁間距為4d時雙樁及三樁模型極限破壞時的剪切耗散圖如圖11和圖12所示.由圖可知在極限荷載作用下雙樁及三樁均發(fā)生沖切破壞，其破壞模式為各樁下沖切體局部出現(xiàn)重疊現(xiàn)象，與理論假定破壞模式一致.

有限元法運算得到單樁時極限承載力為10.8 kN，利用單樁沖切理論計算得到的承載力為10.4kN，室內(nèi)模型試驗結(jié)果為11.0 kN，三者較為吻合，說明采用數(shù)值模擬方法計算下伏空洞樁端巖層極限承載力具有可行性.采用本文理論和數(shù)值模擬計算的不同樁間距下雙樁及三樁樁端基巖承載力值見表4.

由表4可知，橋梁樁基雙樁情況下采用沖切體重疊面積計算折減后總承載力的方法與數(shù)值模擬結(jié)果匹配較好，誤差均小于3%.雙樁不同樁間距下數(shù)值模擬與理論計算極限承載力結(jié)果如圖13所示.當(dāng)樁間距較小時，雙樁承載力折減系數(shù)隨著樁間距增大呈非線性增長；當(dāng)樁間距為2d時橋梁雙樁的總承載力為不考慮疊加效應(yīng)時總承載力的75%；樁間距逐漸增大到5d左右時，橋梁雙樁基礎(chǔ)的總承載力達(dá)到不考慮重疊效應(yīng)時總承載力的99%，并往后接近100%.

在三樁情況下理論計算得到的承載力結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果也極為接近，如圖14所示.由于試驗中單樁測試值較理論值偏大而三樁測試時較理論值偏小，故圖中三樁試驗所得承載力系數(shù)小于理論計算值.橋梁三樁基礎(chǔ)間距為2d時樁端巖層承載力為不考慮疊加效應(yīng)時總承載力的67%，相比于完整三根單樁總承載力減少了33%，之后樁基的極限承載力隨樁間距增大而逐漸增大，當(dāng)樁間距達(dá)到5d時變?yōu)椴豢紤]疊加效應(yīng)時三樁總承載力的99%，樁間距繼續(xù)增大后接近100%.

需要說明的是，以上關(guān)于下伏空洞單排樁極限承載能力的研究與試驗均建立在下伏空洞頂板寬度L較大且頂板厚度h較小的情況.

在空洞頂板厚度方面，根據(jù)文獻(xiàn)［8］、［13］，當(dāng)空洞頂板厚度小于3倍樁徑時，空洞地基樁端巖層破壞模式為沖切破壞；當(dāng)空洞頂板厚度為4倍樁徑時，樁端巖層極限破壞模式為沖切與剪切復(fù)合式破壞；當(dāng)頂板厚度大于5倍樁徑時，空洞地基與完整地基承載能力接近，可不考慮下伏空洞對地基承載力的影響.考慮空洞頂板厚度較小而單樁承載能力無法滿足要求的情況，本文研究并推導(dǎo)了下伏空洞排樁樁端巖層極限承載力的計算方法，并使用數(shù)值模擬軟件構(gòu)建不同空洞頂板厚度模型與理論計算對比，結(jié)果如表5所示.在頂板厚度大于3倍樁徑的情況下，空洞頂板的破壞模式不再是單純沖切破壞，本文理論與數(shù)值結(jié)果誤差較大，不再適用.

在空洞大小方面，主要考慮溶洞頂部臨空面寬度，本文已通過理論、數(shù)值模擬、試驗對比驗證得到影響排樁極限承載能力的臨界樁間距l(xiāng)_max為5倍樁徑.本文所有推導(dǎo)都是建立在空洞頂板寬度L足夠大的前提下（如圖15（a）所示），即在雙樁情況下要求L≥2·D/2+l_max=D+5d；當(dāng)空洞頂板寬度L

5結(jié)論

本文提出了一種計算下伏空洞頂橋梁單排樁基礎(chǔ)樁端巖層極限承載力的計算方法，并進行了室內(nèi)試驗以及數(shù)值模擬研究，得到如下結(jié)論：

1）下伏空洞橋梁單排雙樁及三樁基礎(chǔ)發(fā)生沖切破壞的破壞模式為各樁下沖切體相互影響的形式，具體表現(xiàn)為在樁間距較小的情況下存在沖切體局部重疊，導(dǎo)致總體承載能力降低.

2）下伏空洞橋梁單排雙樁基礎(chǔ)雙樁與三樁情況在下伏空洞地基上發(fā)生的承載力折減量與其沖切破壞時沖切體側(cè)表面積重疊部分大小呈正相關(guān)，在同一樁端巖層中，樁間距的大小直接決定了此重疊面積的大小.當(dāng)樁間距為2d時橋梁雙樁與三樁基礎(chǔ)樁端巖層的總承載力分別為不考慮疊加效應(yīng)時總承載力的75%與67%；當(dāng)樁間距逐漸增大到5d左右時，橋梁雙樁與三樁基礎(chǔ)樁端巖層的總承載力達(dá)到不考慮重疊效應(yīng)時總承載力的99%并往后無限接近于100%；在樁間距大于5 d時，可不考慮下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層承載力的折減情況.

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