月永沖路面下電動汽車主動懸架狀態(tài)反饋H∞控制

李杰 賈長旺 成林海 趙旗

摘要：針對輪轂電機對電動汽車平順性的負效應，建立輪轂電機電動汽車四自由度振動平面模型，研究被動懸架和主動懸架對電動汽車脈沖平順性的影響.應用約束狀態(tài)H_∞控制方法，設計輪轂電機電動汽車主動懸架控制策略，開發(fā)了MATLAB/Simulink控制仿真模型.分析無偏心、10%偏心率和20%偏心率對輪轂電機激勵的影響，比較輪轂電機電動汽車被動懸架和主動懸架的脈沖路面振動響應的時間歷程和4種情況的平順性評價指標，研究結果表明，輪轂電機偏心對電動汽車產(chǎn)生振動激勵，既影響脈沖路面平順性，也影響狀態(tài)反饋H_∞控制效果.

關鍵詞：電動汽車；主動懸架系統(tǒng)；魯棒控制；狀態(tài)反饋；脈沖路面

中圖分類號：U469.72文獻標志碼：A

State Feedback H_∞Control for Active Suspension of Electric Vehicles on Pulse Road

LI Jie，JIA Changwang，CHENG Linhai，ZHAO Qi

（State Key Laboratory of Automotive Simulation and Control，Jilin University，Changchun 130025，China）

Abstract：Aiming at the negative effect of a hub motor on the ride comfort of an electric vehicle，a four-degree of freedom vibration plane model of hub motor electric vehicle is established，in order to study the influence of passive suspension and active suspension on the pulse road ride comfort of the electric vehicle. An active suspension control strategy for hub motor electric vehicles is designed，and MATLAB/Simulink control simulation model is developed with the constrained state H_∞control method. The effects of no eccentricity，10% eccentricity，and 20% eccentricity on the excitation of the hub motor are analyzed. The time history of pulse road vibration response of passive suspension and active suspension of hub motor electric vehicle，as well as the ride comfort evaluation indexes of four cases，are compared. The results show that the eccentricity of the hub motor can produce vibration excitation on the electric vehicle，which not only affects the pulse road ride comfort but also affects the state feedback H_∞control.

Key words：electric vehicles；active suspension systems；robust control；state feedback；pulse road

與集中式電動汽車相比，輪轂電機電動汽車簡化了傳動結構，驅動響應快、驅動控制精確和各個車輪獨立可控，是底盤優(yōu)化和控制的理想載體[1-3].然而，輪轂電機也帶來平順性負效應問題[4-6].

針對輪轂電機平順性負效應問題，已經(jīng)提出了多種改善方法，涉及輪轂電機輕量化、懸架優(yōu)化、動力吸振器應用、懸架控制等方面.輪轂電機輕量化是從電機設計方面考慮電機減振[7]，可以減輕非簧載質量，但是難以改變安裝電機后汽車發(fā)生的變化.懸架優(yōu)化是通過關鍵參數(shù)優(yōu)化和結構改進減輕輪轂電機帶來的平順性負效應[6，8]，只能針對特定的路面和車速實現(xiàn)優(yōu)化，無法全面適應路面和車速的各種變化.動力吸振器可以減少輪轂電機的振動[9]，但會產(chǎn)生在車輪內(nèi)布置困難和結構復雜化的問題.懸架控制主要圍繞懸架控制策略設計和執(zhí)行器開發(fā)等展開，輪轂電機電動汽車可以采用PID[10]、模糊[11]、天棚[12]、地棚[13]、天棚地棚混合[13]、最優(yōu)[14]和H_∞[15]等控制策略，目前主要針對單輪實現(xiàn)懸架控制，缺乏考慮前后車輪和空間車輪懸架控制的研究，也沒有考慮電機偏心的影響.懸架控制執(zhí)行器開發(fā)是通過半主動懸架[16]和主動懸架[17]實現(xiàn)的，半主動懸架執(zhí)行器目前主要采用磁流變阻尼器[11]，通過控制阻尼力實現(xiàn)，需要外部能量較少；主動懸架主要包括電磁執(zhí)行器[13]和液壓執(zhí)行器[15]，一般通過輸入電能產(chǎn)生主動力，需要外部能量較大.

作為改善輪轂電機平順性負效應的一種有力措施，主動懸架具有控制更好的優(yōu)點.然而，主動懸架應用需要解決內(nèi)部不確定性和外部干擾影響的魯棒控制問題[18]，輪轂電機電動汽車主動懸架魯棒控制，即H_∞控制的研究還有待深入開展.

當汽車在道路上行駛時，會遇到脈沖路面，如道路上的凸起或減速帶等障礙.雖然脈沖路面的作用時間較短，但會使汽車振動突然加大，立刻降低乘員舒適性，還會對車輛零部件和運載貨物造成損傷或破壞.以往的研究較少考慮脈沖路面對輪轂電機電動汽車平順性的影響，針對輪轂電機電動汽車脈沖路面平順性開展研究，將使輪轂電機電動汽車平順性的研究更加全面.

本文研究輪轂電機電動汽車狀態(tài)反饋H_∞控制問題，考慮脈沖路面和輪轂電機實現(xiàn)脈沖路面主動懸架和被動懸架的平順性對比分析.

1輪轂電機電動汽車振動模型

1.1脈沖路面車輪激勵

GB/T 4970—2009規(guī)定[19]，脈沖路面車輪激勵由三角形凸塊確定.脈沖路面前輪激勵q_f（t）為：

式中：u為車速；h為凸塊高度；l為凸塊長度；t₀為汽車以車速u行駛時前輪到達凸塊的時間.脈沖路面后輪激勵q_r（t）為：

q_r（t）=q_f（t-t_d），t_d=L/u（2）

式中：L為車輛軸距；t_d為后輪滯后前輪的時間.

1.2輪轂電機激勵

選取典型的四相8/6極開關磁阻電機作為輪轂電機，其垂向激勵為單相轉子垂向激勵之和[13，20]，即

式中：F_v為電機垂向激勵；F_vj分別為6個單相轉子a、b、c、a′、b′和c′的垂向激勵.

1.3車輛模型

以往研究輪轂電機電動汽車平順性，多采用汽車二自由度振動單輪模型，具有可以揭示基本概念、基本性能和分析簡單明確等優(yōu)點.然而，二自由度振動單輪模型反映的是汽車一個角的作用，即單個車輪及其上面部分簧載質量的作用，只能用于研究簧載質量和車軸非簧載質量的垂直振動，無法反映簧載質量同時存在的垂直振動和俯仰振動以及兩種運動對平順性的影響，與汽車實際存在差距.而汽車四自由度振動平面模型既能反映車身質量的垂直振動和俯仰振動，也能反映前軸和后軸的非簧載質量的垂直振動，是研究輪轂電機電動汽車平順性更合適的模型[21].

基于上述分析，建立包含輪轂電機的電動汽車四自由度振動平面模型，如圖1所示.

在圖1中，m_s和I_sL分別為簧載質量和簧載俯仰轉動慣量；m_uf和m_ur分別為包含電機質量的前軸和后軸的非簧載質量；c_sf和c_sr分別為前軸和后軸的懸架阻尼；k_sf和k_sr分別為前軸和后軸的懸架剛度；k_tf和k_tr分別為前軸和后軸的輪胎剛度；L_f和L_r分別為簧載質量質心與前軸和后軸的距離；F_vf和F_vr分別為前軸和后軸的電機垂向激勵；F_af和F_ar分別為前軸和后軸的懸架控制力；z_s和φ_s分別為簧載質量的垂向位移和俯仰角位移；z_sf和z_sr分別為前軸和后軸的懸架與簧載質量連接點垂向位移；z_uf和z_ur分別為前軸和后軸的非簧載質量垂向位移.

1.4微分方程

針對z_sf、z_sr、z_uf和z_ur，由Lagrange方程建立4個自

由度的微分方程如下：

1.5狀態(tài)方程

其中

由可控性定理[18]，上述狀態(tài)方程可以實現(xiàn)主動懸架控制.此外，當u（t）=0時，上述狀態(tài)方程也適用于考慮被動懸架的輪轂電機電動汽車.

2約束狀態(tài)反饋H_∞控制方法

2.1線性矩陣不等式及其求解

線性矩陣不等式F（x）<0，表示對于任意n維非零向量u，u^TF（x）u<0.F（x）的具體表示如下：

式中：x_i=[x₁，x₂，…，x_m]^T為待求的m維向量；F₀和F_i=F_i^T為已知的n×n階對稱矩陣.通過MATLAB的LMI工具箱可以求解得到x^*，以使

F（x^*）<0（11）

成立，或者無解.

2.2約束狀態(tài)反饋H_∞控制

考慮如下表示：

u（t）=Kx（t）（13）

式中：K為狀態(tài)反饋增益矩陣.

約束狀態(tài)反饋H_∞控制問題，可以描述為：對于給定常數(shù)γ>0，求使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制方程.對應式（12）第一個方程和第二個方程，有

式中：Q=P^-1；N=KQ；ρ=γ²w_max；w_max=max w（t）.

通過式（14）和式（15），約束狀態(tài)反饋H_∞控制問題轉化為線性矩陣不等式求解問題.在已知A、B₁、B₂、C₁、D₁、C₂、D₂和γ的條件下，其求解過程為：首先，求解式（14）和式（15）表示的線性矩陣不等式得到Q和N；其次，由Q和N確定K=NQ^-1，將u（t）=Kx（t）代入式（12）第一個方程求解，得到約束狀態(tài)反饋H_∞控制的狀態(tài)向量x（t）；最后，由式（12）后兩個方程得到控制輸出向量z_u（t）和約束輸出向量z（t）.

應當說明的是，式（15）是對應于一個約束輸出向量z（t）的線性矩陣不等式；當存在多個約束輸出向量時，需要依次列出對應于多個約束輸出向量的線性矩陣不等式.

3主動懸架狀態(tài)反饋H_∞控制設計

3.1控制輸出向量

3.2約束輸出向量

前懸架和后懸架的動行程超過其最大值z_1max和z_2max時，懸架就會撞擊限位塊而產(chǎn)生振動和噪聲.為了避免這種現(xiàn)象，需要

汽車行駛時，只有當車輪動載荷小于車輪靜載荷時，才能始終保持車輪接地性和車輛穩(wěn)定性，即

設z₂（t）=[z_sf-z_uf，z_sr-z_ur，z_uf-q_f，z_ur-q_r]^T，聯(lián)立式（17）和式（18），得到對應于懸架動行程和車輪載荷的約束輸出向量：

其中

為了減少控制過程的能量消耗，應當限制懸架控制力在一定范圍內(nèi)[22]

F_at（t）≤F_afmax，F(xiàn)_ar（t）≤F_armax（20）

z_u（t）=C₁x（t）+D₁u（t）（16）

式中：

式中：F_afmax、和F_armax分別為前懸架和后懸架的最大控制力.

由式（20）得到控制力約束輸出向量：

3.3狀態(tài)反饋H_∞控制策略

聯(lián)立式（9）、式（16）、式（19）和式（21），輪轂電機電動汽車主動懸架控制問題表示為：

式（22）表示的狀態(tài)反饋H_∞控制問題，可以理解為：在外界擾動向量w（t）存在最大值w_max的情況下，如果Q、N和ρ=w_maxγ²滿足如下線性矩陣不等式

則主動懸架的狀態(tài)反饋H_∞控制策略為：

u=Kx，K=NQ^-1（26）

4應用分析

4.1狀態(tài)反饋H_∞控制仿真模型

基于上述理論研究結果開發(fā)了電動汽車脈沖路面狀態(tài)反饋H_∞控制MATALB/Simulink仿真模型，如圖2所示.圖2中，bump模塊用于生成前輪和后輪的脈沖激勵；Motor Excitation模塊用于生成前輪和后輪的輪轂電機激勵；State Function模塊用于生成狀態(tài)方程、控制輸出向量、約束輸出向量的矩陣，以及獲得狀態(tài)反饋增益矩陣；Output Function用于獲得每個車速下各個振動響應量的時間歷程和各個振動響應量的絕對值最大值，all_data_bump模塊用于以數(shù)據(jù)和圖形兩種形式輸出所有結果.仿真時，采用某電動汽車的基本參數(shù)，如表1所示.約束條件設定為：z_1max=z_2max=0.1m，F(xiàn)_afmax=F_armax=1 500 N.

4.2輪轂電機激勵分析

設偏心距e=（R-r）e_r，e_r是以百分率表示的偏心率，分別取e_r=0%、e_r=10%和e_r=20%，前者對應于電機無偏心情況，后者對應于2種電機偏心情況.取某開關磁阻電機參數(shù)見文獻［13］，3種情況的電機偏心激勵如圖3所示.

由圖3（a）可知，在電機無偏心的情況下，由于電機各處氣隙相同，因此電機不存在垂向激勵.

由圖3（b）和圖3（c）可知，當電機轉子和定子存在偏心時，由于各處氣隙不同，電機產(chǎn)生垂向激勵.進一步分析表明，e_r取10%以上的偏心率，偏心率越大，產(chǎn)生的電機垂向激勵越大.

由于小偏心率產(chǎn)生的電機垂向激勵也小，因此，后續(xù)將以偏心率e_r=10%來研究電機垂向激勵與脈沖路面激勵共同作用，考察電機偏心在脈沖路面下對電動汽車平順性的影響.以此能更好地說明電機偏心對汽車平順性的影響，如果小偏心能產(chǎn)生明顯的影響，則大偏心會產(chǎn)生更大的影響.

4.3振動響應時間歷程

在脈沖路面、車速40 km/h和前后電機偏心率10%的情況下，求取得到兩種懸架的簧載質量垂向加速度、簧載質量俯仰角加速度、前懸架動行程、后懸架動行程、前輪相對動載和后輪相對動載的時間歷程，如圖4所示.

由圖4可知，主動懸架與被動懸架對比，簧載質量垂向加速度和簧載質量俯仰角加速度最大值得到改善；懸架動行程和車輪相對動載最大值有所增加.

4.4平順性評價指標的車速特性

振動響應時間歷程用于分析振動響應隨著時間變化的過程，而平順性需要一個反映振動響應的整體指標.GB/T 4970—2009規(guī)定，采用振動響應時間歷程的絕對值最大值作為脈沖路面平順性評價指標，并且通過其與車速的關系評價汽車平順性.

取最低車速10 km/h、車速增量2 km/h和最高60 km/h，在脈沖路面上仿真1 s，設定4種懸架情況：1）無偏心被動，對應于前后電機無偏心的被動懸架；2）無偏心主動，對應于前后電機無偏心的主動懸架；3）偏心被動，對應于前后電機偏心10%的被動懸架；4）偏心主動，對應于前后電機偏心10%的主動懸架.

針對1種情況，首先，求解得到1個車速對應的振動響應時間歷程；其次，求解得到該車速對應的振動響應絕對值最大值；再次，求解得到各個車速對應的振動響應的絕對值最大值；最后，求解得到4種情況的全部結果，如圖5所示.

由圖5可知，當電機無偏心時，主動懸架與被動懸架對比結果如下：1）簧載質量垂向加速度對比改善44.11%，平均改善1.132 9 m/s²；2）簧載質量俯仰角加速度對比改善28.50%，平均改善0.622 rad/s²；3）前懸架動行程對比增加0.09%，平均增加3.06 mm，后懸架動行程對比增加0.07%，平均增加1.99 mm；4）前輪相對動載對比增加7.77%，平均增加0.133 3，后懸架相對動載對比增加5.09%，平均增加0.081 0.當電機偏心10%時，主動懸架與被動懸架對比結果如下：1）簧載質量垂向加速度對比改善42.82%，平均改善0.969 6 m/s²；2）簧載質量俯仰角加速度對比改善22.41%，平均改善0.449 9 rad/s2；3）前懸架動行程對比增加14.72%，平均增加口4.596 5 mm；后懸架動行程對比增加17.22%，平均增加4.402 5 mm；4）前輪相對動載對比增加14.72%，平均增加0.119 9；后輪相對動載對比增加14.72%，平均增加0.118 4.

5結論

1）考慮脈沖路面激勵和輪轂電機激勵，建立了輪轂電機電動汽車四自由度振動平面模型，既可以用于分析主動懸架的控制效果，也可以分析被動懸架的作用，適用于研究各種控制方法.

2）總結和說明了可以應用MATLAB工具箱LMI 求解的狀態(tài)反饋H_∞控制問題，實現(xiàn)了輪轂電機電動汽車懸架狀態(tài)反饋H_∞控制設計，開發(fā)了相應的MATLAB/Simulink仿真模型，通過參數(shù)設置可以研究單獨脈沖路面車輪激勵作用、單獨電機激勵作用、脈沖路面車輪和電機兩種激勵共同作用的效果.

3）在脈沖路面上，輪轂電機電動汽車主動懸架H_∞控制改善了簧載質量垂向加速度和簧載質量俯仰角加速度，增加了前懸架動行程、后懸架動行程、前輪相對動載和后輪相對動載，增加程度都在約束范圍內(nèi)；電機無偏心和偏心的主動懸架對比說明，偏心影響了主動懸架的改善能力，主動懸架設計需要考慮電機偏心情況.

參考文獻

[1] KULKARNI A，RANJHA S A，KAPOOR A. A quarter-car suspension model for dynamic evaluations of an in-wheel electric vehicle [J]. Journal of Automobile Engineering，2018，232（9）：1139-1148.

[2]王軍年，于田雨，孫娜娜，等.改善后輪獨立驅動汽車過彎效率的轉矩分配控制[J].湖南大學學報（自然科學版），2020，47（12）：9-17.

WANG J N，YU T Y，SUN NN，et al. Torque vectoring control of rear-wheel-independent-drive vehicle for cornering efficiency improvement [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2020，47（12）：9-17. （In Chinese）

[3]袁小芳，陳秋伊，黃國明，等.基于FNN的電動汽車自適應橫向穩(wěn)定性控制[J].湖南大學學報（自然科學版），2019，46（8）：98-104.

YUAN X F，CHEN Q Y，HUANG GM，et al. Adaptive lateral stability control of electric vehicle based on FNN[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2019，46（8）：98-104.（In Chinese）

[4] BlCEK M，KUNC R，ZUPAN S. Mechanical impact on in-wheel motors performance [J]. Journal of Mechanics，2017，33 （5）：607-618.

[5] OKSUZTEPE E. In-wheel switched reluctance motor design for electric vehicles by using a Pareto-based multiobjective differential evolution algorithm [J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology，2017，66（6）：4706-4715.

[6]陳龍，董紅亮，李利明.適合輪轂電機驅動的新型懸架系統(tǒng)設計[J].振動與沖擊，2015，34（8）：174-180.

CHEN L，DONG H L，LI L M. A new type suspension design suitable for an in-wheel motor driving system[J]. Journal of Vibration and Shock，2015，34（8）：174-180. （In Chinese）

[7] CVETKOVSKI G，PETKOVSKA L. Genetic algorithm as a tool for multi-objective optimization of permanent magnet disc motor [J]. Archives of Electrical Engineering，2016，65（2）：285-294.

[8] YANG F X，ZHAO L L，YU Y W，et al. Analytical description of ride comfort and optimal damping of cushion-suspension for wheel-drive electric vehicles[J]. International Journal of Automotive Technology，2017，18（6）：1121-1129.

[9] LUO Y T，TAN D. Study on the dynamics of the in-wheel motor system[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology，2012，61 （8）：3510-3518.

[10] JIN L Q，YU Y J，F(xiàn)U Y. Study on the ride comfort of vehicles driven by in-wheel motors [J]. Advances in Mechanical Engineering，2016，8（3）：168781401663362.

[11]楊蔚華，李友榮，方子帆，等.多功能電動輪的輪內(nèi)MR減振器設計與仿真[J].機械設計與制造，2015（6）：183-187.

YANG W H，LI Y R，F(xiàn)ANG Z F，et al. Design and simulation of in-wheel MR damper for multifunctional motorized wheel [J]. Machinery Design & Manufacture，2015（6）：183-187. （In Chinese）

[12] KATSUYAMA E，OMAE A. Improvement of ride comfort by unsprung negative skyhook damper control using in-wheel motors[J]. SAE International Journal of Alternative Powertrains，2016，5 （1）：214-221.

[13]陳少帥.基于磁流變減振器逆模型的輪轂電機式電動汽車懸架控制研究[D].長春：吉林大學，2019：7-9.

CHEN S S. Research on suspension control of electric vehicle with in-wheel motor based on magnetorheological damper inverse model [D]. Changchun：Jilin University，2019：7-9. （In Chinese）

[14]胡一明，李以農(nóng)，李哲，等.主被動一體懸架構型的多目標粒子群最優(yōu)控制[J].控制理論與應用，2020，37（3）：574-583.

HU Y M，LIY N，LIZ，et al. Multi-objective particle swarm optimization linear quadratic regulator controller base on integrated suspension[J]. Control Theory & Applications，2020，37（3）：574-583.（In Chinese）

[15] SHAO X X，NAGHDYF，DU H P，et al. Output feedback H_∞control for active suspension of in-wheel motor driven electric vehicle with control faults and input delay[J]. ISA Transactions，2019，92：94-108.

[16] MA F W，WANG J W，WANG Y，et al. Optimization design ofsemi-active controller for in-wheel motors suspension[J]. Journal of Vibroengineering，2018，20（8）：2908-2924.

[17] LI Z，ZHENG L，REN Y，et al. Multi-objective optimization of active suspension system in electric vehicle with in-wheel-motor against the negative electromechanical coupling effects[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2019，116：545-565.

[18]姜長生，孫隆和，吳慶憲，等.系統(tǒng)理論與魯棒控制[M].北京：航空工業(yè)出版社，1998：372-395.

JIANG C S，SUN L H，WU Q X，et al. System theory and robust control [M]. Beijing：Aviation Industry Press，1998：372-395. （In Chinese）

[19]汽車平順性試驗方法：GB/T4970-2009[S].北京：中國標準出版社，2009：1-10.

Method of running test-automotive ride comfort：GB/T 4970-2009 [S]. Beijing：China Standard Press，2009：1-10.（In Chinese）

[20]李杰，高雄，王培德，等.路面和開關磁阻電機作用下電動汽車振動分析[J].湖南大學學報（自然科學版），2018，45（8）：7-14.

LI J，GAO X，WANG P D，et al.Vibration analysis of electric vehicle under the action of road and switched reluctance motor[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2018，45（8）：7- 14.（In Chinese）

[21]林逸，俞凡.汽車系統(tǒng)動力學[M].北京：機械工業(yè)出版社，2016：196-198.

LIN Y，YU F. Vehicle system dynamics[M]. Beijing：China Machine Press，2016：196-198.（In Chinese）

[22] SHAO X X，NAGHDY F，DU H P. Reliable fuzzy H_∞control for active suspension of in-wheel motor driven electric vehicles with dynamic damping[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2017，87：365-383.