經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模 發(fā)展高階思維
——以“用一元二次方程解決問題(1)”為例*

胡永強(qiáng)

(江蘇省蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校 215151)

1 問題提出

高階思維是指完成復(fù)雜任務(wù)、解決劣構(gòu)問題的一種重要能力和心理特征，是21世紀(jì)的一種高級綜合能力[1].高階思維是核心素養(yǎng)的重要組成部分，是個(gè)體適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵能力.但是由于高階思維指向布魯姆教育目標(biāo)分類中的分析、評價(jià)、創(chuàng)造這三個(gè)高層次目標(biāo)，所以它無法通過簡單的知識傳授來培養(yǎng)，而是需要在開放性問題情境中與他人進(jìn)行探索性對話和建構(gòu)式互動(dòng)提高[2].可見高階思維很重要，各學(xué)科都應(yīng)當(dāng)努力培養(yǎng)，但是鑒于高階思維的特征，現(xiàn)實(shí)教學(xué)中培養(yǎng)高階思維又存在諸多困難.

數(shù)學(xué)高階思維是高階思維的重要組成部分，包括數(shù)學(xué)批判性思維、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維、數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力、數(shù)學(xué)問題解決能力四個(gè)維度及其下轄的“尋找真相、開放思想”等十六個(gè)因子，如圖1所示.總體來說，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中有目的地對現(xiàn)有的數(shù)學(xué)過程、結(jié)果等作出自我分析、判斷、推理、解釋、調(diào)整的品質(zhì)；在已有知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造想象并運(yùn)用思維揭示數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，產(chǎn)生新穎獨(dú)特的思維成果的過程；對自身數(shù)學(xué)認(rèn)知進(jìn)行計(jì)劃、實(shí)施、監(jiān)控、調(diào)節(jié)的過程；綜合運(yùn)用掌握的數(shù)學(xué)知識解決新的問題情境的能力[3]都屬于數(shù)學(xué)高階思維的范疇.

圖1

數(shù)學(xué)建模是通過建立模型的方法解決現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，包括“現(xiàn)實(shí)原型—實(shí)際模型—數(shù)學(xué)模型—模型求解—檢驗(yàn)解釋”等環(huán)節(jié)[4].受學(xué)力所限，初中階段的現(xiàn)實(shí)問題可分為三類：現(xiàn)實(shí)原型、實(shí)際模型、數(shù)學(xué)形式[5].在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生有目的地對現(xiàn)實(shí)問題加以分析、簡化、假設(shè)，抽象建立數(shù)學(xué)模型，再對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后代入現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行檢驗(yàn)、調(diào)整，如此不斷循環(huán)，直到解決問題為止.

不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)高階思維聯(lián)系緊密.數(shù)學(xué)建模激發(fā)數(shù)學(xué)高階思維，數(shù)學(xué)高階思維促進(jìn)數(shù)學(xué)建模順利完成，二者相輔相成.

近期，筆者開設(shè)了一節(jié)“用一元二次方程解決問題(1)”的研討課，嘗試在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中發(fā)展學(xué)生高階思維.下面談一談相關(guān)實(shí)踐與思考.

2 教學(xué)分析

2.1 教材分析

本課是蘇科版初中數(shù)學(xué)教材九年級上冊第1章第4節(jié)用一元二次方程解決問題的起始課，包括“等周矩形面積”和“平均增長率”兩個(gè)問題.教材將“矩形面積”放在首要位置既遵循了數(shù)學(xué)知識的歷史發(fā)展順序，又遵循了學(xué)生的認(rèn)知心理順序.眾所周知，數(shù)學(xué)中的二次問題起源于圖形的面積計(jì)算，“矩形面積問題”起點(diǎn)較低、內(nèi)涵豐富、對后續(xù)數(shù)學(xué)知識發(fā)展作用較大；其次，這樣的設(shè)計(jì)遵循了學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，讓學(xué)生通過對該問題學(xué)習(xí)總結(jié)出用一元二次方程數(shù)學(xué)模型解決問題的一般方法與步驟，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力，提升數(shù)學(xué)高階思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)問題解決能力.基于以上分析，筆者決定本課組織學(xué)生深入探究“矩形面積問題”.

2.2 學(xué)情分析

授課班級來自地級市一所普通初中，共有48名學(xué)生，他們數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，有著良好的數(shù)學(xué)探究習(xí)慣.在本課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握一元二次方程的相關(guān)概念和解法以及用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟等知識與技能.

2.3 教學(xué)理解

本課內(nèi)容具有豐富的教學(xué)價(jià)值.首先，本課是該小節(jié)的起始課，學(xué)生通過對本課內(nèi)容的研究，總結(jié)提煉出用一元二次方程解決問題的一般思路、方法和步驟等內(nèi)容，對后面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)起到奠基作用；其次，用一元二次方程解決矩形面積問題的過程中蘊(yùn)含了抽象、符號化、求解、檢驗(yàn)等數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)，對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力提升起到促進(jìn)作用；再次，對相關(guān)內(nèi)容的深入追問與辨析對發(fā)展學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)造性思維、元認(rèn)知能力及問題解決能力等數(shù)學(xué)高階思維起到推動(dòng)作用.本節(jié)課的主要教學(xué)脈絡(luò)確定為引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷審題、列代數(shù)式、找等量關(guān)系、列方程、解方程、檢驗(yàn)解釋等數(shù)學(xué)建模環(huán)節(jié)，在此過程中感悟模型思想，發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維.

3 教學(xué)過程

3.1 溫故知新

課前布置學(xué)生對本章前面3小節(jié)內(nèi)容進(jìn)行回顧和梳理，繪制知識結(jié)構(gòu)圖，上課伊始展示幾位同學(xué)的作品(略)，結(jié)合作品簡要回顧前面所學(xué)內(nèi)容.

教學(xué)意圖布置前置性知識梳理作業(yè)的目的是培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識和方法的自主回顧和重組能力，幫助學(xué)生積累反思性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)習(xí)新知識調(diào)取研究經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的系統(tǒng)化能力、求知欲、元認(rèn)知體驗(yàn)等數(shù)學(xué)高階思維.

3.2 模型初探

問題12021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年.為了紀(jì)念建黨100周年，某校打算建一個(gè)周長為100 m的矩形展館以向?qū)W生展示黨的百年光輝歷程.問：(1)該矩形展館的面積能否是 600 m2？(2)該矩形展館的面積能否是700 m2？請說明理由.

教師引導(dǎo)學(xué)生先回顧用一元一次方程解決問題的一般步驟，再畫出矩形示意圖，并結(jié)合圖形及條件列出表示矩形長和寬的代數(shù)式，進(jìn)而根據(jù)矩形面積公式列方程、解方程、檢驗(yàn)作答，最后總結(jié)出用一元二次方程解決問題的一般步驟.

教學(xué)意圖引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷引入未知數(shù)，結(jié)合周長列出矩形的長和寬的代數(shù)式，再根據(jù)矩形面積公式建立方程解決問題等環(huán)節(jié)，體會(huì)數(shù)學(xué)建模過程；用方程根的判別式小于0，方程無實(shí)數(shù)解，說明無法圍成面積為700 m2的道理.培養(yǎng)學(xué)生分析能力、系統(tǒng)化能力等數(shù)學(xué)批判性思維及表達(dá)清晰性、答案正確性等數(shù)學(xué)問題解決能力.此外，將教材中用鐵絲圍矩形的情境改編為紀(jì)念建黨100周年建矩形展館的情境，在現(xiàn)實(shí)情境中融入黨史知識，滲透思想教育.

追問1：同學(xué)們，你能結(jié)合問題1提出一個(gè)新問題嗎？

學(xué)生提出“圍成矩形的最大面積是多少？”教師組織學(xué)生思考這個(gè)問題，有學(xué)生指出用“列舉法”和“配方法”解決.

追問2：還有其他方法嗎？

有學(xué)生回答：可以用假設(shè)法來做.易知矩形的長加寬為50 m，所以可設(shè)矩形的長為(25+x)m，寬為(25-x)m，面積為(25+x)(25-x)=(625-x2)m2，顯然，當(dāng)x=0時(shí)，矩形面積最大，為 625 m2.教師表揚(yáng)學(xué)生的方法，并指出這種方法與公元前1700年古巴比倫人的方法一致，此法名叫“和差術(shù)”，在沒有符號代數(shù)的年代，兩河流域的先民們都是用“和差術(shù)”這種方法模型解決此類問題的.

教學(xué)意圖問題1是一個(gè)蘊(yùn)含豐富數(shù)學(xué)知識、思想和方法的歷史名題.在解決前兩個(gè)問題之后，設(shè)計(jì)追問1，趁熱打鐵，將學(xué)生的思維引向更深處.當(dāng)學(xué)生提出用“列舉法”和“配方法”解決該問題之后，設(shè)計(jì)追問2，給學(xué)生提供思考和創(chuàng)新的舞臺，使學(xué)生想到了“和差術(shù)”這種解決等周問題的方法模型.兩次追問，在培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題能力的同時(shí)，促使學(xué)生對“和差術(shù)”這一方法模型的理解更加深刻，思維變得靈活和新穎，發(fā)展了數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維.當(dāng)教師點(diǎn)明這種方法與古代數(shù)學(xué)家的方法一致時(shí)，學(xué)生感受到了成功的喜悅，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)求知欲.

3.3 模型變式

問題2如圖2，用長為30 m的籬笆圍成一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場，即矩形ABCD，已知墻長16 m，能否圍成面積為108 m2的矩形養(yǎng)雞場？如果能，求出AB的長；如果不能，請說明理由.

圖2

教師引導(dǎo)學(xué)生先思考問題2與問題1的異同之處，再讓學(xué)生獨(dú)立思考、完成解答.隨后展示設(shè)AB=xm和設(shè)AD=xm兩種解法，組織學(xué)生比較、交流二者的優(yōu)缺點(diǎn).

追問1：你還能提出一個(gè)新的問題嗎？

學(xué)生提出“圍成的矩形養(yǎng)雞場的最大面積是多少？”學(xué)生大都采用配方法求最大值.

追問2：能否使用“和差術(shù)”求最大值？

圖3

追問3：你是怎樣想到的？

學(xué)生：問題1中的長加寬是定值，可以使用“和差術(shù)”，本題中的半條長加寬也是定值，因此想到作長的垂直平分線將其轉(zhuǎn)化為問題1的類型解決.

追問4：問題1與問題2有何異同之處？

學(xué)生在獨(dú)立思考和小組交流后回答，相同點(diǎn)是：它們都是固定長度下的面積問題；不同點(diǎn)是：一個(gè)獨(dú)立圍成矩形，另一個(gè)借了一條線再圍成矩形.教師點(diǎn)明這兩個(gè)用固定長度的線圍矩形問題是數(shù)學(xué)中的“等周問題”之一，還可以圍成其他形狀的圖形，課后再研究.

教學(xué)意圖教學(xué)中先展示兩種設(shè)未知數(shù)的解法，對兩種解法對比分析，發(fā)展學(xué)生批判性思維.添加輔助線將問題2轉(zhuǎn)化為問題1，使用“和差術(shù)”這一方法模型求出面積最大值，提升了認(rèn)知成熟度，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維中的靈活性.追問3較好地發(fā)展了學(xué)生的策略合理性、表達(dá)清晰性等數(shù)學(xué)問題解決能力.追問4提升學(xué)生系統(tǒng)化能力及元認(rèn)知體驗(yàn)等數(shù)學(xué)高階思維，最后對“等周問題”加以拓展，將課堂延伸到課外.

問題3在問題2的基礎(chǔ)上，若AB上有一個(gè)2 m寬的小門，即圖4中的EF.問：能否圍成面積為110 m2的矩形養(yǎng)雞場？如果能，求出該養(yǎng)雞場的長和寬；如果不能，請說明理由.

圖4

師生共同分析問題3與問題2的區(qū)別和聯(lián)系，再討論2 m寬小門對表示矩形長和寬的影響，最后完成解題過程.

教學(xué)意圖該問題的目的是引導(dǎo)學(xué)生探究如何用字母正確表示出矩形的長和寬.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)教師不要急于給出正確答案，而是把機(jī)會(huì)留給學(xué)生，讓學(xué)生深入思考、相互交流、加以辯論，較好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)批判性思維及策略合理性、表達(dá)清晰性、答案正確性等數(shù)學(xué)問題解決能力.

3.4 小結(jié)與練習(xí)(略)

4 教學(xué)思考

4.1 設(shè)計(jì)深度合宜問題，發(fā)展數(shù)學(xué)批判性思維

數(shù)學(xué)高階思維是高層次認(rèn)知過程中心智活動(dòng)的綜合性能力.高層次認(rèn)知過程需要深度合宜的問題加以驅(qū)動(dòng)和助力.教師要根據(jù)內(nèi)容及學(xué)情設(shè)計(jì)深度合宜的問題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)批判性思維.如問題1中對無法圍成面積為700 m2的矩形的解釋促進(jìn)學(xué)生尋找真相、增強(qiáng)分析能力；引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題1提出新的問題并使用不同的方法解答，激發(fā)了學(xué)生的開放思想、求知欲；對使用“和差術(shù)”解決等周矩形問題的總結(jié)、應(yīng)用及拓展，增強(qiáng)了學(xué)生的批判性思維的自信心、認(rèn)知成熟度及系統(tǒng)化能力；對問題2兩種設(shè)未知數(shù)方法及問題3的兩種表示結(jié)果的討論過程充滿了辨析、質(zhì)疑.教學(xué)過程中教師應(yīng)在原有問題基礎(chǔ)之上根據(jù)課堂生成情況，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考、質(zhì)疑、討論、總結(jié)，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)批判性思維的發(fā)展.

4.2 不斷進(jìn)行課堂追問，激發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維

對于課堂教學(xué)中的關(guān)鍵問題，在恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)時(shí)機(jī)之下，教師需要對學(xué)生進(jìn)行不斷追問，以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生與發(fā)展.如在問題1解決之后隨即追問學(xué)生“請你再提出一個(gè)新問題.”“還有其他方法嗎？”第一個(gè)追問激發(fā)學(xué)生提出“等周問題”這一重要的數(shù)學(xué)問題，第二個(gè)追問促使學(xué)生想到運(yùn)用“和差術(shù)”這一方法模型巧妙解決問題.問題的提出自然流暢，問題的解決新穎靈活.在學(xué)生使用配方法解決問題2中求矩形最大面積后追問學(xué)生“能否使用和差術(shù)求最大值？”促使學(xué)生想出通過作線段AB的垂直平分線，將其轉(zhuǎn)化為上一問題，從而迎刃而解.通過教師的追問讓學(xué)生再次體會(huì)到靈活性、新穎性的創(chuàng)造性思維給自己解決數(shù)學(xué)問題所帶來的成就感與滿足感，體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的同時(shí)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)力.整節(jié)課都十分注重追問學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生思考，在培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力的同時(shí)，利用追問培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力及數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維[6].

4.3 圍繞數(shù)學(xué)建模過程，提升數(shù)學(xué)問題解決能力

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的活動(dòng)，數(shù)學(xué)建模能力的提升正成為全世界數(shù)學(xué)教育的一個(gè)中心目標(biāo)[7].學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要教師精心組織和引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問題中的抽象、符號化、求解、檢驗(yàn)等環(huán)節(jié)，也即引模、建模、解模、驗(yàn)?zāi)５染唧w建模環(huán)節(jié)(圖5)，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

圖5

數(shù)學(xué)高階思維的四個(gè)組成要素是一個(gè)有機(jī)整體.數(shù)學(xué)問題解決能力既是數(shù)學(xué)高階思維運(yùn)轉(zhuǎn)的出發(fā)點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)高階思維發(fā)展的歸宿；數(shù)學(xué)批判性思維和數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維是發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維的兩大動(dòng)力系統(tǒng)，二者相互融合，共同推動(dòng)數(shù)學(xué)高階思維不斷向前發(fā)展；數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力是數(shù)學(xué)高階思維的中樞系統(tǒng)，指揮和調(diào)控整個(gè)數(shù)學(xué)高階思維在正確軌道上運(yùn)行.

如圖6所示，數(shù)學(xué)建模是發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維的“心臟”.數(shù)學(xué)建模的每個(gè)環(huán)節(jié)都不同程度地 促進(jìn)了數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展.引模環(huán)節(jié)需要對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行分析、對比、辨識，促進(jìn)分析能力、尋找真相、求知欲等高階思維的發(fā)展；建模環(huán)節(jié)需要對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象、符號化，促進(jìn)表達(dá)清晰性、策略合理性等高階思維的發(fā)展；解模環(huán)節(jié)需要正確解出數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)認(rèn)知成熟度、流暢性、清晰表達(dá)等高階思維的發(fā)展；驗(yàn)?zāi)－h(huán)節(jié)需要將所求結(jié)果代入現(xiàn)實(shí)問題加以檢驗(yàn)、反思、調(diào)整，促進(jìn)批判性思維及元認(rèn)知能力等高階思維的發(fā)展.由此可見，整個(gè)數(shù)學(xué)建模過程都促進(jìn)了數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展.

圖6