高中數(shù)學思想方法的結構化教學研究*

衛(wèi)福山

(上海市松江二中 201600)

1 基本概念

(1)數(shù)學結構化教學

數(shù)學結構化教學，就是從數(shù)學知識結構和學生的數(shù)學認知結構出發(fā)設計和組織教學，以完善和發(fā)展學生原有數(shù)學認知結構的過程.美國心理學家布魯納認為：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解學科的基本結構.”這里數(shù)學的基本結構包括了數(shù)學的基本觀念(數(shù)學概念、命題、思想方法)以及這些數(shù)學觀念的內在聯(lián)系、學習態(tài)度和方法等.

(2)數(shù)學思想方法

數(shù)學思想是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果.數(shù)學方法是人們從事數(shù)學活動時所使用的方法.數(shù)學思想與數(shù)學方法既有聯(lián)系又有區(qū)別，思想是對事物和客觀規(guī)律的本質的概括認識，而方法是達成這種認識的手段和步驟.張奠宙教授指出：“同一個數(shù)學成就，當用它去解決別的問題時，稱之為方法，當評價它在數(shù)學體系中的自身價值和意義時，稱之為思想.”因此，數(shù)學思想與數(shù)學方法有時不加區(qū)別，常?；煊没蚝嫌?，統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法.

2 高中數(shù)學的知識結構——以上海2020年高中數(shù)學新教材為例

北京師范大學數(shù)學系教授、人民教育出版社普通高中課程標準實驗教科書主編劉紹學先生在《中學數(shù)學概觀》中指出：“在進行具體內容的教學時，對它在中學數(shù)學整體結構中的位置有一清晰的了解是重要的，為此需要對中學數(shù)學有一個概括性的描述.這里我把中學數(shù)學概括為一些知識點，并選擇‘數(shù)量關系’‘空間形式’‘數(shù)形結合’等三條粗線條把它們編織起來，以便大家對它有一條粗線條但略有秩序的理解.”按照劉紹學教授的觀點，中學數(shù)學的主要知識即三條主線：數(shù)量關系(代數(shù))、空間形式(幾何)、數(shù)形結合(思想方法)，涵蓋了內容與方法，也說明我們在關注數(shù)學知識的同時，也要重視數(shù)學思想方法.

上海高中數(shù)學新教材課程的結構及內容如圖1所示.結合劉紹學教授的觀點，我們可以把上海高中數(shù)學新教材主要內容的結構圖展示如圖2所示.

圖1

圖2

結合數(shù)學本質，根據數(shù)量關系、空間形式、數(shù)形結合等三條粗線分別進行結構化分析，如圖3所示.

圖3 數(shù)形結合的知識結構

從以上三種分類所形成的結構分析可以發(fā)現(xiàn)，由“數(shù)量關系”形成的結構以及由“空間形式”形成的結構反映出的知識是靜態(tài)的，是由單純的知識按照各自關系形成；而由“數(shù)形結合”所形成的結構則有方法技能的體現(xiàn)，反映知識動態(tài)的一面.通過“數(shù)”與“形”及“數(shù)形結合”歸納的高中數(shù)學的知識結構，有以下優(yōu)點：①按照數(shù)學的本質對高中數(shù)學知識進行結構分類，便于知識的整合與重組；②對空間形式所形成的結構通過數(shù)形結合的方式實現(xiàn)圖形從定性分析向定量分析轉化，同時對“數(shù)量關系”中的結構可以利用幾何直觀使問題簡化；③靜態(tài)知識結構與動態(tài)結構的結合，是結構的不同表征，有利于探究知識的發(fā)生過程及學生思維結構的形成.

3 基于結構化觀點的高中數(shù)學思想方法的教學

3.1 為什么要進行數(shù)學思想方法的教學

(1)數(shù)學知識結構本身就包括數(shù)學方法

數(shù)學知識結構的大致構成如圖4所示.

圖4

數(shù)學內容結構既指數(shù)學教材內容的編排結構即數(shù)學內容及其排列、組合方式，也指數(shù)學內容本身所固有的內在的邏輯結構.數(shù)學內容本身的邏輯結構，如立體幾何中空間的角與距離都是通過轉化為平面的角與距離來加以定義的.數(shù)學方法結構既指數(shù)學內容中所蘊含的思想方法及其排列與組合的方式，也指解決某一數(shù)學問題所用的具體方法或步驟.如冪、指、對數(shù)函數(shù)教材內容所蘊含的思想方法是：從實例抽象概括出一般數(shù)學模型，再用特殊到一般、具體到抽象、分類討論、數(shù)形結合等方法研究函數(shù)的性質，最后應用函數(shù)性質解決問題.

(2)課程標準的要求

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確指出：“通過高中數(shù)學課程的學習，學生能獲得進一步學習及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗(簡稱‘四基’)；提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱‘四能’).”“四基”與“四能”蘊含了數(shù)學思想方法.

(3)數(shù)學教育的本質，即思維的要求

數(shù)學知識本身很重要，但數(shù)學知識所承載的思維方法更重要.而理解問題是思維活動最有效的形式，理解問題的過程就是在運用理性的思維去試圖解釋問題、探尋解決問題的方法.學生思維能力培養(yǎng)要達到的目標就是學生會用數(shù)學的方法思考問題、提出問題、解決問題.而思維能力的培養(yǎng)，依據數(shù)學中的概念等基本知識，主線是學科思想，最終目標即學科核心素養(yǎng).比如在《數(shù)列》的學習中，教師除了要教授學生掌握等差、等比數(shù)列基本概念與性質、數(shù)列其他性質外，還應該從知識背后的思想方法的角度引發(fā)學生思考，即函數(shù)的思想、類比的思想等，這樣學生就能自己學習與思考了.

(4)培養(yǎng)學生數(shù)學能力的根本途徑

大量實踐表明，試圖通過讓學生做大量習題，進行解題訓練來培養(yǎng)學生的數(shù)學能力的教學并不成功或者事倍功半，主要原因是忽視了數(shù)學思想方法的作用.事實上，在學生具備了一定的知識之后，數(shù)學能力培養(yǎng)的關鍵是運用數(shù)學方法在數(shù)學活動中積累感性認識，隨著感性認識的積累達到一定的程度，學生的認識便會發(fā)生飛躍(類似于哲學中的從量變到質變)，形成對一類數(shù)學活動的理性認識，即有關的數(shù)學思想，與之相伴隨，學生的數(shù)學與能力便逐漸形成.因此，數(shù)學思想方法是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的根本途徑，對學生數(shù)學能力的提高具有統(tǒng)攝作用.如“運算能力”是指會根據有關法則、公式正確處理數(shù)據，能夠根據問題條件尋找并設計合理而簡捷的運算途徑.運算能力的高低取決于運算技能、思維水平以及對算理的理解等，其核心則是在正確理解概念的基礎上掌握轉化的思想方法，提高學生對數(shù)或式的變形能力.學生在高中學習解析幾何有關內容時，運算能力很薄弱，經常算錯或算不下去，凸顯運算能力的欠缺，而究其原因，可能是概念理解、轉化、變形等方面出現(xiàn)了問題，教學中便可以對癥下藥.

(5)培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的關鍵

進入新世紀以來，創(chuàng)新能力作為適應社會發(fā)展需要所必備的能力，已被確立為基礎教育中必須著重培養(yǎng)的能力.數(shù)學作為基礎學科，在創(chuàng)新能力的培養(yǎng)中發(fā)揮獨特的作用，而數(shù)學思想方法在其中發(fā)揮著極其重要的作用，主要體現(xiàn)在它為學生提供了有關如何學習、如何思考的策略性知識.這種策略性知識與事實性知識的結合非常緊密，相互滲透，相互融合，這就要求在數(shù)學教學中，教師要把這些策略性知識與數(shù)學具體知識結合起來，從而使學生在獲得知識的同時，體會到知識發(fā)生發(fā)展過程中的思想和方法.

3.2 數(shù)學思想方法教學的原則

由于數(shù)學思想方法是隱藏在數(shù)學知識背后的暗線，數(shù)學思想方法的教學一般采用滲透的形式進行.如何滲透、怎么滲透，是值得我們在教學前思考的問題.在課堂教學中滲透數(shù)學思想方法，一般應遵循以下原則：

(1)反復滲透

數(shù)學知識的學習本來就是一個螺旋上升、連續(xù)反復的過程，數(shù)學思想方法比數(shù)學知識的學習更加抽象、困難，因此數(shù)學思想方法的學習不可能一蹴而就，而需要一個連續(xù)反復的過程，可以在教學的各個階段進行滲透.比如三角比，初中學了簡單的銳角三角比，到了高中，將角的概念推廣到任意角，繼續(xù)三角比的學習，并學習了三角比的誘導公式，最后又把任意角的三角比化成銳角三角比.為什么推廣了角的概念及三角比的定義，又要回到銳角三角比呢？這其中肯定有它的道理，蘊含了豐富的數(shù)學思想方法，需要教學中多次反復，幫助學生加深理解.

(2)循序漸進

數(shù)學思想方法的學習過程是一個抽象的認知的過程，需要經歷從領悟到形成、從鞏固到應用的發(fā)展過程，要遵循“教師引導、逐步滲透、適時總結”的程序.在教學時滲透必須遵循教學規(guī)律，由淺及深、由表及里逐步滲透，并根據具體知識與方法的不同采用不同教學手段循序漸進地進行.比如函數(shù)思想，初中按依賴關系定義了函數(shù)，并學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)，到了高中階段逐步深化，從集合的角度重新定義了函數(shù)，并學習了冪、指、對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)，研究了這些初等函數(shù)的圖象與性質.學生開始不明白也不了解為什么函數(shù)要重新定義，經過一段時間的反復、循序漸進的學習后，學生對函數(shù)的思想才逐步明確.

(3)主體參與

數(shù)學教學要體現(xiàn)教師主導、學生主體的原則，就是要通過各種數(shù)學活動讓學生成為主體.數(shù)學思想方法也是數(shù)學活動的內容之一，需要學生親自去感受與體驗，教師通過學生的理解再去引導與講解，才有助于學生真正領悟和掌握數(shù)學思想方法的內涵.比如橢圓標準方程的推導，這是一個繁瑣的計算過程，完全可以讓學生參與進來，鍛煉思維能力和計算能力.試想一下，如果教師直接快速按教材推導出來或者干脆不推導，直接告訴學生最后的結果，學生就沒有體會到其中的運算技巧與運算策略，甚至公式背后的故事(如圓錐曲線的第二定義).相反，學生主動參與后，印象會很深刻，既提升了運算能力，也對后續(xù)雙曲線、拋物線的學習有很好的參考作用.

(4)系統(tǒng)歸納

數(shù)學教學的主要任務是形成并完善學生的認知結構，這需要對知識定期地做系統(tǒng)的梳理(復習)，也就是說，教師要引導學生把分散的知識點和某種思想系統(tǒng)起來，并加以儲存、提取和應用，以便形成一個較為完善的認知結構.在數(shù)學教學中，數(shù)學思想方法以數(shù)學知識為載體，通過教學過程逐步滲透，但考慮到內容、進度等因素，數(shù)學思想方法的滲透是間斷的，這就需要教師適時地把體現(xiàn)某一數(shù)學思想方法的分散的問題重新搜集起來，并加以歸納和系統(tǒng)化.比如數(shù)形結合思想，表現(xiàn)的具體方法有圖解法、解析法、復數(shù)法、向量法等，與之有關的知識系統(tǒng)有集合中的數(shù)軸、函數(shù)中的圖象、解析幾何中的直角坐標系、復數(shù)中的復平面、向量中的平行四邊形(三角形)法則等.教師可以根據學生的實際情況，分階段、分內容地對蘊含的數(shù)學思想加以歸納，這將有利于學生對數(shù)學思想方法系統(tǒng)性的認識.

3.3 數(shù)學思想方法教學的途徑

(1)新知識的形成過程中滲透數(shù)學思想方法

數(shù)學新知識的發(fā)生過程需要教師引導學生選擇合適的方法，使其逐步領悟并應用數(shù)學思想方法解決問題.教師可以設計合適的情境、一定的問題，引導學生思考、概括問題的本質，并提升到數(shù)學思想方法的高度，幫助學生領悟新知識中蘊含的數(shù)學思想方法.

案例1三角比的定義教學片斷

·復習引入

回顧：在初中我們學習了銳角的三角比，它是在直角三角形的條件下，通過角α的對邊、鄰邊與斜邊之間兩兩的比值來定義的.你能在直角三角形中正確表示銳角的各個三角比嗎？

·引申鋪墊

問題1前面我們學習了象限角，即把角放在平面直角坐標系中研究.把上面的角α放在平面直角坐標系中，如何表示角α的正弦、余弦、正切呢？

問題2上面問題1中的角α是Rt△OPM的一個內角(銳角)，結合象限角的概念，點P是角α終邊上的一個點，換一個點(如Q，圖5)來表示角α的正弦、余弦、正切，你會有什么發(fā)現(xiàn)？

圖5

問題3以上研究的是銳角α的正弦、余弦、正切，如果角α是鈍角呢？

·分析歸納

通過以上的分析，給出平面直角坐標系下任意角α的正弦、余弦、正切的定義，拓展給出任意角α的正割、余割、余切的定義.并歸納定義的關鍵與本質，即用角終邊上任意一點的坐標表示三角比.

以上教學片斷通過設置若干循序漸進的問題，引導學生思考.教師可以在學生回答的基礎上適當引導學生思考本質，挖掘出知識背后的思想方法，這樣學生對三角比定義的理解才比較深刻.

(2)新知識的鞏固過程中應用數(shù)學思想方法

數(shù)學新知識需要及時鞏固才能形成技能培養(yǎng)能力.鞏固新知識的過程就是大量練習的過程，通過系統(tǒng)的歸納總結揭示知識之間的內在聯(lián)系，這為數(shù)學思想方法的形成和滲透提供了很好的機會，在鞏固學生解題能力的同時也發(fā)展了學生的思維能力.

案例2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質的教學片斷

例1比較大?。?/p>

1)1.22.3與1.22.7；2)0.2-0.3與0.2-0.7；

5)1.40.8與0.92.5.

例2若am0,a≠1)，比較m,n的大小.

設計說明例1的5個小題分別代表不同類型，以此讓學生深化對基本知識的理解與運用，體會轉化與化歸思想方法.從例1的特殊到例2的一般化，對參數(shù)(字母)的不確定性需要討論(基于例1的特殊情況的歸納總結)，培養(yǎng)學生分類討論的數(shù)學思想.

(3)新知識的總結歸納中概括數(shù)學思想方法

每節(jié)新授課一般都會有課堂小結，歸納知識點的同時應注意對思想方法的概括.同一個知識點可能會包含多種數(shù)學思想方法，反過來，一種數(shù)學思想方法又可能出現(xiàn)在多個知識點中，所以教師要正確引導學生學會概括思想方法.

案例3“函數(shù)的奇偶性”課堂小結片斷

通過框圖(圖6)比較清晰地展現(xiàn)了本節(jié)課的主要內容，教師在引導學生小結本節(jié)課的主要內容的同時，要同時系統(tǒng)歸納其中的數(shù)學思想方法.如研究函數(shù)的奇偶性要先看定義域是否對稱，再看解析式是否滿足定義，這蘊含化歸的思想方法；“f(-x)=f(x)”與“f(-x)=-f(x)”有幾種等價變形，蘊含了等價轉化的思想方法；函數(shù)奇偶性的判斷結果有且只有四種，即奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)，這是分類討論思想方法的應用.

圖6

(4)反思中引導學生領悟數(shù)學思想方法

數(shù)學思想方法要被學生接受和應用，除了教師的滲透和訓練，還需要學生自己在解題后的反思中去領悟.著名數(shù)學家弗賴登塔爾曾說過：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力.”教師如果能經常引導學生反思解題的過程及其中蘊含的數(shù)學思想方法，總結常見的錯誤及原因，將數(shù)學學習上升到數(shù)學思想方法學習的高度，對提升學生的思維能力和水平必將有幫助.比如在推導完等比數(shù)列求和公式后，教師帶領學生反思推導過程中運用的分類討論思想，反思：為什么要分類？分類的標準如何確定？如果不分類，結果如何？這樣的反思有助于學生加深對分類討論思想方法的深刻理解.

(5)解題教學中滲透數(shù)學思想方法

學習數(shù)學離不開解題，但這不等同于“題海戰(zhàn)術”.解題教學是在教師指導下，學生將所學知識應用于解決數(shù)學問題的一種實踐性活動.弗賴登塔爾認為：“學習數(shù)學的唯一方法是實行‘再創(chuàng)造’”，這就要求學生把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造出來，教師進行引導與輔助，而不是滿堂灌.因此，在解題教學中，教師應組織學生分析已知、未知和所求，然后學生自己嘗試尋求解決問題的辦法，通過觀察、歸納、類比、聯(lián)想和論證提出各種解題策略，運用數(shù)學思想方法確定問題的最終解法.著名數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中提出解題過程分為四大步驟：弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧反思，其中“擬定計劃”這一過程展現(xiàn)了思維過程，教師可以滲透數(shù)學思想方法.

案例4一道期末考試題解答的教學片斷

第二步：擬定計劃，對題目的條件與結論變形分析后綜合聯(lián)想，注意到理解三角形問題的一般策略是“化邊”或“化角”，擬定如下的解題思路：

第三步：實現(xiàn)計劃，按照擬定計劃的思路，可以完成本題的解答，這里省略.

從以上解題過程來看，數(shù)學思想方法對正確解題起到了一定的指導與引領作用，特別是進行一題多解、多題一解、一題多變教學時，一定要從引導數(shù)學思想方法的高度對解題進行反思與提煉，這樣才能有助于學生更好地掌握解題策略與解題方法.

3.4 高中數(shù)學基本數(shù)學思想方法

高中數(shù)學中重要而基本的數(shù)學思想方法主要有：數(shù)形結合、分類討論、轉化與化歸、函數(shù)與方程，如表1所示.

表1 高中數(shù)學思想方法