活用思維導圖 助力微課生長
——以“二次函數的圖象、性質與系數的關系”微專題教學設計為例

朱佳煒

(蘇州大學實驗學校 215131)

任宏章

(南京師范大學蘇州實驗學校 215133)

微專題課是教師根據學生的學習情況及作業(yè)反饋出來的突出問題而組織進行的課堂教學，通常是用一節(jié)課的時間解決一個重要知識點或一類題型.微專題課以“微”漸進，具有很強的針對性和可操作性，課堂指向知識點體系生成、數學思想方法生成，著力發(fā)展學生的數學思維能力.實際教學過程中，由于學生學習經驗、知識儲備不足等原因，一般很難在課堂上以思維導圖的形式完全呈現學習內容；同時，受課堂學習時間的限制，也不會有充足的時間繪制“大”且“全”的思維導圖.在此筆者提出在課堂教學過程中圍繞一個知識點、一道題目或一種數學方法展開思維聯想，繪制與此相關的微型思維導圖.

下面以區(qū)級示范課“二次函數的圖象、性質與系數的關系”中考復習微專題課為例，談談基于微型思維導圖的初中數學微專題教學，以及兼具蘇州特色的“問題導向、深度理解、高度參與、開放多元”的初中數學課堂教學要求.

1 教學分析

(1)教學內容分析

二次函數的圖象與性質是本章節(jié)的重點知識.本節(jié)課是在學生對相關知識點的理解還不成體系的情況下組織教學的，特別是學生對解析式y=ax2+bx+c(a≠0)中的系數a，b，c與二次函數圖象之間的關系還不夠清晰.

(2)教學目標確定

①繪制思維導圖，梳理知識要點，建構二次函數圖象、性質與系數關系的知識體系；

②編撰思維導圖，通過典型例析，感悟解決二次函數圖象、性質與系數關系問題的數學思想；

③活用思維導圖，通過拓展延伸，變式運用，學會分析、解決二次函數圖象、性質與系數關系的問題；

④創(chuàng)新思維導圖，建立方法體系，形成解決二次函數圖象、性質與系數關系問題的經驗、方法和策略.

2 教學過程

2.1 憑借問題，繪制導圖，梳理要點

問題1根據y=x2，y=2x2，y=-2x2，y=2x2-3，y=2(x+4)2，y=2(x+4)2-3，y= -2(x+4)2-3的圖象，從開口方向、頂點坐標、對稱軸、最值等方面試比較它們之間的異同點.

追問：y=a(x+h)2+k是什么式？二次函數還有哪些形式？

圖1

教學意圖問題1教學時引導學生畫思維導圖(圖1、圖2)，動態(tài)呈現知識要點，準確表示二次函數相關性質.

圖2

問題1有助于學生加深對“a定形定”的理解，通過改變y=a(x+h)2+k中的h與k值實現圖象平移，總結為“上加下減、左加右減”.通過追問幫助學生梳理一般式、頂點式、交點式之間的聯系，發(fā)現三者“各有千秋、殊途同歸”(圖3).

圖3

2.2 典型例析，編撰導圖，感悟思想

問題2將拋物線y=x2-6x+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的拋物線解析式是什么？

變式：若將拋物線y=(x-3)2-4沿直線y=2x-10方向進行平移，且新拋物線經過點(0,-10)，求新拋物線的解析式.

教學意圖問題2是問題1基礎上的知識應用.

圖4

問題3拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，與x軸平行的直線l交拋物線于點A，B，交y軸于點M，若AB=4,試求OM的長.

追問：什么時候拋物線與x軸有一個交點、兩個交點、沒有交點呢？這其中有什么規(guī)律嗎？

教學意圖由關鍵條件“與x軸只有一個交點”得該交點即拋物線頂點，將y=x2+bx+c左右平移得y=x2，平移不改變線段AB與OM的長度，易得OM=4.以上過程體現數形結合、化歸思想(圖5).

圖5

問題3以問題2為基礎，通過對條件、結論以及表達形式等方面的形式演變，不斷擴大問題的應用范圍，翻新問題的應用形式，加深了對知識的內在本質、應用規(guī)律和解決方法的理解[1].在追問環(huán)節(jié)，有學生提出可通過開口方向、頂點位置直觀判斷拋物線與x軸交點個數，這與利用Δ=b2-4ac的正負性進行判斷是有區(qū)別的.學生作為獨立的、有思想的個體，對課堂學習內容可以有他自己獨特的看法，我們的數學課堂應包容、鼓勵.

問題4已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點(-3，0)，(1，0)，(0，-3)，請問y=(a-b)x+c的圖象經過哪些象限？你能否不求函數解析式就回答這個問題？

追問：a，b，c三個常數與圖象之間的關系是什么？

教學意圖問題4引導學生繪制函數圖象確定a，b，c的正負性，梳理了這三個常數與圖象之間的關系(圖6).

圖6

問題4蘊含數形結合等數學思想，在把控好課堂節(jié)奏的前提下，應鼓勵學生打開思維，通過交流探究自然生成新知識，培養(yǎng)理性思考、演繹推理的數學精神.

2.3 拓展延伸，活用導圖，提高能力

問題5已知拋物線解析式為y=-4x2，當1

變式：已知拋物線解析式為y=(x-m)2+2m，若圖象經過第一、二、三、四象限，求m的取值范圍.

教學意圖問題5只需畫出函數的大致圖象即可解決(圖7).

圖7

變式中，y=(x-m)2+2m的頂點坐標是(m，2m)，該點是直線y=2x上的動點，只需研究“當拋物線經過原點”的臨界狀態(tài)，此時m=0或m=-2.結合圖象，當m<-2時、m=-2或0時、m>0時，均不符合要求；而當-2

2.4 課堂小結，創(chuàng)新導圖，系統構建

本節(jié)課的課堂小結，先是各學習小組在組內討論匯總，再以小組為單位進行成果展示，其余小組評價補充.在評價過程中生生互動、師生互動，讓數學課堂成為思想碰撞的課堂.這節(jié)課從問題1到問題5，從特殊到一般，再從一般到特殊，類比尋找到問題解決的根本方法.思維轉瞬即逝，圖象卻可以存留彌久，因此，圖象的表達性是定格思維的“魔法”，是思維得以持久發(fā)展的支柱.[2]這節(jié)課在系統思維和整體觀念的引領下，生成性繪制思維導圖，構建解決二次函數圖象、性質與系數關系問題的方法框架.

3 設計反思

3.1 問題串聯，導圖助力建構體系

本節(jié)課通過五個問題串聯，完成了“從1到a、復習舊知”“平移變換、a定形定”“觀察圖象、理解系數”“數形結合、留意頂點”“參數函數、能力提升”五個教學任務，幫助學生深度理解、高度參與、激發(fā)思維.根據實際情況，一節(jié)課可以繪制多張微型思維導圖，幫助學生梳理解題思路，整合知識結構，取得了很好的課堂效果.

3.2 問題解決，導圖助力感悟思想

復習課的設計要全面系統幫助學生構建知識網絡，這節(jié)課通過繪制小而精致的微型思維導圖，讓學生能夠參與、樂于參與，把知識、方法進行整合“聚焦”，引導學生透過數學問題感悟數學思想.

3.3 問題提煉，導圖助力形成素養(yǎng)

初高中的數學思想是一脈相承的，通過典型例析幫助學生體會函數與方程思想、數形結合等思想，能夠為學生將來高中學習函數內容埋下伏筆.當然，數學思想不是簡單的灌輸，要充分體現以生為本的原則，鼓勵學生敢嘗試、敢質疑、敢出錯，暢所欲言.在交流中，多角度解決問題，實現數學知識、方法的鞏固.在繪制微型思維導圖過程中，形成思考的能力，最終我們要使學生獲得良好的數學素養(yǎng)，深植必需的數學思想，樹立強大的數學精神[3].