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    用常規(guī)思維解決非常規(guī)問題

    2022-11-14 16:30:51盧紅衛(wèi)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年3期
    關(guān)鍵詞:數(shù)表羅列數(shù)軸

    盧紅衛(wèi)

    (江蘇省張家港市外國語學(xué)校 215600)

    2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試第7題看似形式復(fù)雜,實(shí)則用簡潔的常規(guī)思路即可解決.

    題目a1,a2,…,a21為1,2,…,21的排列,滿足|a20-a21|≥|a19-a21|≥|a18-a21|≥…≥|a1-a21|,這樣的排列的個數(shù)為.

    思路1 特殊開路,歸納猜想.

    a1,a2,…,a5為1,2,…,5的排列,滿足|a4-a5|≥|a3-a5|≥|a2-a5|≥|a1-a5|這樣的排列的個數(shù)N=1+2+22+2+1.

    a1,a2,…,a7為1,2,…,7的排列,滿足|a6-a7|≥|a5-a7|≥…≥|a2-a7|≥|a1-a7|這樣的排列的個數(shù)N=1+2+22+23+22+2+1.

    歸納猜想:a1,a2,…,a21為1,2,…,21的排列,滿足|a20-a21|≥|a19-a21|≥|a18-a21|≥…≥|a1-a21|這樣的排列的個數(shù)N=1+2+ 22+…+29+210+29+…+2+1=3 070.

    思路2 利用數(shù)軸,一一羅列.

    數(shù)軸上標(biāo)號為i(i=1,2,3,…,20,21)的點(diǎn)記為Pi,共有21個點(diǎn),a1,a2,…,a21分布在這21個點(diǎn),|ai-a21|表示數(shù)軸上兩點(diǎn)距離.

    當(dāng)a21在P1處,則ai(i=1,2,…,20)在Pi+1處,這樣的排列數(shù)為N1=1.

    當(dāng)a21在P2處,則a1,a2在離P2距離為1的P1,P3兩點(diǎn),ai(i=3,4,…,20)在Pi+1處,這樣的排列數(shù)為N2=2.

    當(dāng)a21在P3處,則a1,a2在離P3距離為1的P2,P4兩點(diǎn),a3,a4在離P3距離為2的P1,P5兩點(diǎn),ai(i=5,6,…,20)在Pi+1處,這樣的排列數(shù)為N3=22.

    ……

    當(dāng)a21在P11處,則a1,a2在離P11距離為1的P10,P12兩點(diǎn),a3,a4在離P11距離為2的P9,P13兩點(diǎn),……,a19,a20在離P11距離為10的P1,P21兩點(diǎn),這樣的排列數(shù)為N11=210.

    當(dāng)a21在P12處,則a1,a2在離P12距離為1的P11,P13兩點(diǎn),a3,a4在離P12距離為2的P10,P14兩點(diǎn),……,a17,a18在離P12距離為9的P3,P21兩點(diǎn),a19在P2,a20在P1,這樣的排列數(shù)為N12=29.

    ……

    當(dāng)a21在P21處,則ai(i=1,2,3,…,20)依次分布在P21-i處,這樣的排列數(shù)為N21=1.

    思路3 尋找規(guī)律,合理分類.

    因?yàn)閍21為特殊元素,抓住a21進(jìn)行分類討論,又根據(jù)對稱性,不難發(fā)現(xiàn):a21=1和a21=21時,|ai-a21|的所有取值情況是一樣的,a21=2和a21=20時,|ai-a21|的所有取值情況是一樣的,a21=i和a21=22-i,i∈{1,2,…,10}時,|ai-a21|的所有取值情況是一樣的.

    評析思路1通過特殊化思想的運(yùn)用,先思考兩次數(shù)字較少的情形,很容易得到相應(yīng)的排列數(shù),再通過歸納猜想,就很容易得到此題的正確答案.思路2很好地利用了數(shù)軸這個有力工具,在黑板上直觀呈現(xiàn),排好a21的位置后,讓學(xué)生動手操作排ai的位置,隨著a21的變化,學(xué)生很容易得出相應(yīng)的排列數(shù).思路3是在思路2的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了a21=i和a21=22-i,i∈{1,2,…,10}時,|ai-a21|的所有取值情況是一樣的,因?yàn)榇嬖趯ΨQ性,所以設(shè)a21=k,只需考慮k∈{1,2,…,10,11}的情形.數(shù)軸上的操作已經(jīng)讓學(xué)生明白其基本原理,學(xué)生嘗試總結(jié),教師通過適當(dāng)輔助,完成a2i-1,a2i為k-i,k+i的排列(若k=1,沒有這樣的i),且aj=j+1(2k-1≤j≤20)(若k=11,則沒有這樣的j)這樣的規(guī)律總結(jié).整個思維過程順暢,簡潔易懂,學(xué)生對解決此類問題所用的研究思路有了深刻感悟.

    緊接著,筆者給出了以下題目讓學(xué)生練習(xí):已知數(shù)列ak=2k(k=1,2,3,…,n),則所有可能的乘積aiaj(1≤i≤j≤n)的和等于.

    課堂上學(xué)生很快給出了如下兩種思路:

    思路1 列舉找通項(xiàng).

    思路2 利用數(shù)表,直觀呈現(xiàn).

    a1a1a1a2a1a3a1a4a1a5…a1ana2a1a2a2a2a3a2a4a2a5…a2ana3a1a3a2a3a3a3a4a3a5…a3ana4a1a4a2a4a3a4a4a4a5…a4ana5a1a5a2a5a3a5a4a5a5…a5an…………………ana1ana2ana3ana4ana5…anan

    圖1

    評析練習(xí)與例題看似不相關(guān)的兩個問題,實(shí)則所用的思想方法類似,都是通過特值開路、一一羅列后探求規(guī)律.而數(shù)軸、數(shù)表都是教材上常見的工具,通過這些直觀工具的運(yùn)用,在動手操作的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.練習(xí)思路1先是取i=1,羅列a1aj(1≤j≤n)所有項(xiàng)的和,再取i=2,羅列a2aj(2≤j≤n)所有項(xiàng)的和,接著找出通項(xiàng)為2k(2k+2k+1+…+2n),化簡通項(xiàng)得2k+n+1-22k,最后為兩個等比數(shù)列求和.競賽題的思路2利用數(shù)軸,練習(xí)的思路2則利用數(shù)表直觀呈現(xiàn),學(xué)生通過觀察可將數(shù)表分解為三個部分,由對稱性知左右兩部分各項(xiàng)和相等,中間和右邊各項(xiàng)和即為所求.

    如何提升優(yōu)秀學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,面對復(fù)雜問題,突破思維壁壘,是值得我們思考的問題.數(shù)學(xué)競賽題復(fù)雜多變,怎樣在錯綜復(fù)雜中尋找到最佳路線,需要的是巧做、化繁為簡,利用常規(guī)思維方法來思考并解決復(fù)雜問題.學(xué)生通過動手操作,發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)規(guī)律,克服畏難情緒,增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心,從而提高學(xué)習(xí)效率,形成優(yōu)秀的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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