折角、畫角與作角：漸次展開并平滑“轉(zhuǎn)場(chǎng)”
——蘇科版七上“角(2)”教學(xué)設(shè)計(jì)與解讀

許小燕

(江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 225599)

最近在線收看了某地教研直播活動(dòng)，一位青年教師執(zhí)教蘇科版七上“角(2)”，教師的教學(xué)基本功很好，教學(xué)預(yù)設(shè)了一些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和情境活動(dòng)，教學(xué)過程中師生有較多互動(dòng)，課堂氛圍比較熱烈.然而由于該教師是“嚴(yán)格”根據(jù)教材內(nèi)容的順序開展教學(xué)，使得前后教學(xué)環(huán)節(jié)之間的過渡不夠“平滑”.筆者認(rèn)真研讀了該課時(shí)的教材內(nèi)容后進(jìn)行了再設(shè)計(jì)，并給出教學(xué)立意的闡釋，拋磚引玉，供研討.

1 “角(2)”教學(xué)設(shè)計(jì)概述

教學(xué)活動(dòng)1透明紙“折角”

引入情境 出示一張畫有∠AOB(圖1)的透明紙，讓學(xué)生回顧角的定義，接著從角的定義出發(fā)，安排學(xué)生用符號(hào)表示這個(gè)角，然后將透明紙上的這個(gè)角對(duì)折，使角的兩邊重合，再展開透明紙，折痕把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角(圖2).

圖1 圖2

如圖2，把透明紙上的折痕記為射線OC，射線OC把∠AOB分成兩個(gè)相等的角，射線OC叫做這個(gè)角的角平分線.

追問 圖2中共有幾個(gè)角？它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(預(yù)設(shè)：學(xué)生能說出很多，教師梳理成角平分線的符號(hào)語言,板書如下)

因?yàn)镺C是∠AOB的角平分線，

變式練習(xí)1 如圖3，OD平分∠BOC，∠AOC=2∠BOD，圖中OC是∠AOB的角平分線嗎？

圖3

設(shè)計(jì)意圖反饋學(xué)生對(duì)角平分線定義是否理解，以及能否初步運(yùn)用符號(hào)語言說明理由.

變式練習(xí)2 如圖4，打臺(tái)球時(shí)，球的反射角等于入射角.中間的“虛射線”(不妨稱它為“基準(zhǔn)線”或“法線”)可看成是圖5中∠AOB的角平分線.怎樣畫出OA，OB之間的“基準(zhǔn)線”？

圖4 圖5

設(shè)計(jì)意圖這是一種不同的設(shè)問方式，要求學(xué)生畫出“基準(zhǔn)線”，本質(zhì)上就是追問學(xué)生這種設(shè)問的等價(jià)問題“畫出∠AOB的平分線”.學(xué)生可能會(huì)繼續(xù)使用“折角”的方法，但這里不再是透明紙，可能畫在一個(gè)作業(yè)本上不方便折疊，這就引出量角器這種度量工具.學(xué)生可以先使用量角器度量出∠AOB的度數(shù)，然后算出它的一半，進(jìn)而再用量角器以O(shè)A為一邊，在∠AOB內(nèi)部畫出一條射線OC，使∠AOC等于∠AOB的一半，則射線OC就是符合要求的“基準(zhǔn)線”(即OC是∠AOB的角平分線).

教學(xué)活動(dòng)2量角器“畫角”

過渡 “由上面使用量角器畫出角平分線的畫法可以知道同學(xué)們已學(xué)會(huì)了使用量角器畫一個(gè)角的方法.其實(shí)，當(dāng)我們量出圖5中∠AOB等于60°，算出它的一半是30°時(shí)，還可借助常用的三角板來畫圖，一個(gè)含30°角的三角板可以幫助我們直接畫出30°角.同學(xué)們想想，借助一副三角板還可以畫出哪些角度？可以先在小組內(nèi)交流.”

教學(xué)組織 待學(xué)生小組內(nèi)交流之后，安排學(xué)生使用一副三角板到講臺(tái)前演示.如果說得不全，可以安排其他同學(xué)上臺(tái)繼續(xù)演示、補(bǔ)充，直到最后總結(jié)出一副三角板可以畫出15°角的任意倍數(shù)的角.

練習(xí) 先畫一個(gè)角∠AOB=30°，在此圖形的基礎(chǔ)上，再畫一個(gè)角∠AOD=80°.

教學(xué)組織 學(xué)生畫30°角時(shí)可能使用量角器或三角板，再畫80°角時(shí)就只能使用量角器了，但是這個(gè)畫圖需要分兩種情形畫出射線OD的可能位置(圖6，圖7)，教學(xué)時(shí)可展示不同的圖形，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣.

圖6 圖7

追問 以圖6為例，在∠BOD內(nèi)部，再畫一條射線OC(如圖8)，使OB是∠AOC的平分線.同學(xué)們能求圖8中哪些角的角度？

圖8

設(shè)計(jì)意圖這個(gè)“追問”對(duì)應(yīng)著蘇科版七上第156頁(yè)的例題.

教學(xué)活動(dòng)3直尺圓規(guī)“作角”

過渡 “同學(xué)們已學(xué)會(huì)了使用一副三角板、量角器畫角的方法，現(xiàn)在我們來類比前面尺規(guī)作線段的方法，如果僅允許使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來作角，從‘畫角’到‘作角’，一字之差，充滿了挑戰(zhàn).那么同學(xué)們思考一下，如何用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角？”(給學(xué)生幾分鐘時(shí)間獨(dú)立探究后再分小組交流，教師巡視各小組的進(jìn)展，如果在小組內(nèi)探究出來就安排他們派代表上臺(tái)演示、講解，但筆者執(zhí)教該課時(shí)，基本上沒有學(xué)生能在5分鐘之內(nèi)獨(dú)立探究出作法.)

教學(xué)組織 教師在學(xué)生獨(dú)立探究5分鐘左右仍然得不出作法后，可以進(jìn)行示范式講解，并使用PPT漸次呈現(xiàn)相應(yīng)的操作步驟(幾何語言).提醒學(xué)生在一張透明紙上作圖(便于稍后利用透明紙對(duì)所作出的角進(jìn)行疊合、驗(yàn)證)，學(xué)生邊聽講解邊模仿作圖.值得提醒的是，如果教師“一氣呵成”作出一個(gè)角等于已知角(圖9，圖10)后再動(dòng)手，至少有一大半的學(xué)生無法辨別其中一些步驟的先后順序，導(dǎo)致作圖出錯(cuò)或無從下手.等學(xué)生作圖成功后，安排他們將作出來的角(透明紙上的圖10)與圖9中的角進(jìn)行疊合驗(yàn)證，確認(rèn)它們能完全重合后，說明這種尺規(guī)作角的方法是可行的.

圖9 圖10

練習(xí) 再來看“打臺(tái)球”問題，在圖11中黑色球能否被擊入右下角的袋中？先估測(cè)，再用直尺和圓規(guī)作出反射角加以檢驗(yàn).

圖11

教學(xué)組織 這是安排尺規(guī)作角的鞏固訓(xùn)練，由于圖形位置與情境的干擾，有些學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)困難，這時(shí)可以讓作圖順利的學(xué)生上臺(tái)展示、講解，分享他們成功的經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)活動(dòng)4課堂小結(jié)，練習(xí)鞏固

結(jié)合板書(圖12)，提了兩個(gè)小結(jié)問題.

圖12

小結(jié)問題1 本課從角的定義出發(fā)，利用透明紙折出一個(gè)角的平分線，結(jié)合圖形說說你對(duì)角平分線的理解；

小結(jié)問題2 從“畫圖”到“作圖”，你是如何辨別這里“畫”和“作”的一字之差的？

布置作業(yè) 課本上第157頁(yè)第6，7，8題.

2 教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

2.1 分析教材內(nèi)容，重組教學(xué)順序

由于本課時(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容是角的第2課時(shí)，教材內(nèi)容主要是從畫圖到作圖，再利用透明紙折出角平分線，然后進(jìn)行角平分線相關(guān)例習(xí)題訓(xùn)練.教學(xué)目標(biāo)是掌握角平分線、量角器畫角，學(xué)會(huì)用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角.教學(xué)重點(diǎn)是角平分線的符號(hào)語言及初步解題運(yùn)用，教學(xué)難點(diǎn)是尺規(guī)作角，特別是如何向?qū)W生“說清道明”尺規(guī)作圖的理由(我們采用的方法是讓學(xué)生將尺規(guī)作出的角畫在透明紙上，然后小組內(nèi)進(jìn)行疊合驗(yàn)證，本質(zhì)上是驗(yàn)證了三角形全等的條件“邊邊邊”).基于由易到難、漸次展開的設(shè)想，我們重組教材內(nèi)容的呈現(xiàn)順序，本課的教學(xué)流程依次是“折角”“畫角”“作角”，在每個(gè)教學(xué)活動(dòng)下面跟進(jìn)一些練習(xí)或變式(或追問)，力求不同教學(xué)環(huán)節(jié)之間能平滑“轉(zhuǎn)場(chǎng)”(轉(zhuǎn)場(chǎng)更多的是用在影視、戲劇藝術(shù)中，在兩個(gè)場(chǎng)景之間采用一定的技巧，實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景或情節(jié)之間的平滑過渡，或達(dá)到豐富畫面吸引觀眾的效果).

2.2 明辨新知特點(diǎn)，啟發(fā)示范并行

通過恰當(dāng)?shù)那榫硠?chuàng)設(shè)促進(jìn)學(xué)生能獨(dú)立探究、歸納出數(shù)學(xué)新知或性質(zhì)，是我們共同的教學(xué)追求.然而，幾何起始階段，有些幾何新知(定義、符號(hào)語言或作圖方法)在短時(shí)間內(nèi)不易掌握，為了平衡自主探究的教學(xué)時(shí)間成本，還是應(yīng)該有(或預(yù)設(shè))必要的示范講授.比如，本課教學(xué)內(nèi)容中角平分線的定義及符號(hào)語言是需要教師講授的，另外尺規(guī)作角的步驟也需要教師示范講授，這些內(nèi)容難以讓學(xué)生獨(dú)立探究出來(或者說更準(zhǔn)確、簡(jiǎn)練地表達(dá)出來).而使用三角尺、量角器畫圖則是學(xué)生在小學(xué)階段就有所接觸且可以順利完成的，教師只要稍加引導(dǎo)、啟發(fā)即可.在一些畫圖或作圖之后安排了練習(xí)或變式練習(xí)，也需要讓學(xué)生先經(jīng)過獨(dú)立思考、解題，再安排小組內(nèi)交流討論，最后再進(jìn)行全班展示、分享或糾錯(cuò)(比如漏解).筆者以為，一般來說，對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的定義，經(jīng)過簡(jiǎn)短的情境鋪墊、歸納概括之后，教師可以直接給出教材上定義的內(nèi)容并板書，然后組織學(xué)生理解教材為什么這樣定義，包括對(duì)定義中有些限制條件、范圍表述的辨析；此外對(duì)于短時(shí)間內(nèi)很難想到的思路(比如證明勾股定理時(shí)的拼圖或構(gòu)圖，本質(zhì)上是奇妙的輔助線添加)，也可直接給出或向?qū)W生推介這種思路，然后帶領(lǐng)學(xué)生理解思路或證明方法，這也是弗賴登塔爾所提出的“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”.

2.3 基于變式教學(xué)，加強(qiáng)前后關(guān)聯(lián)

本課教學(xué)設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了變式教學(xué)的運(yùn)用.具體來說，比如角平分線的定義，透明紙折出角平分線，到定義的文字表述和符號(hào)語言，體現(xiàn)了角平分線定義的變式呈現(xiàn)、多元表征，有利于學(xué)生從不同角度理解和掌握.再比如，本課中的練習(xí)題的選編都是以變式題組的方式呈現(xiàn)，而且不同環(huán)節(jié)的習(xí)題背景還做到前后關(guān)聯(lián)，“打臺(tái)球”的問題情境在兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中都得到體現(xiàn).還有，透明紙?jiān)陂_課引出角平分線時(shí)使用過，在后來尺規(guī)作角時(shí)又讓學(xué)生使用，以驗(yàn)證作出的角是否能完全重合，這體現(xiàn)了透明紙?jiān)谇昂蟛煌h(huán)節(jié)中的關(guān)聯(lián)呼應(yīng).