順“思”而為 借“思”而上
——三個數(shù)學(xué)案例的實錄、評析和思考*

章祥俊 (江蘇省蘇州吳縣中學(xué) 215129)

近年來，數(shù)學(xué)課堂的變化是巨大的，課堂教學(xué)過程中的問題驅(qū)動、活動引領(lǐng)、任務(wù)驅(qū)動、項目學(xué)習(xí)、單元設(shè)計等已經(jīng)成為趨勢．課堂教學(xué)中，以學(xué)生為中心，關(guān)注學(xué)生動手實踐、自主探究、合作交流、問題解決等已經(jīng)成為常態(tài)．課堂教學(xué)中，我們應(yīng)更多地關(guān)注學(xué)生的自主空間，關(guān)注學(xué)生的主動學(xué)習(xí)，關(guān)注學(xué)生的主體意識，實現(xiàn)學(xué)生的自我價值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，順勢而為，借思而上，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，促進學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)．本文擬結(jié)合三個案例具體談一談．

1 順“思”而為，引發(fā)自主探究，促進學(xué)生主動學(xué)習(xí)

案例1

求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈

R

的最小值．生：因為

f

(

x

)=

x

-2

x

-3=(

x

-1)-4，所以函數(shù)

f

(

x

)的最小值為

f

(1)=-4．

設(shè)計問題 以二次函數(shù)為背景，請你命制一道求函數(shù)最值的題目．

生1：求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈[2,3]的最小值．生2：求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈(2,3)的最小值．生3：求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-2

x

-

a

，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生4：求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-

ax

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生5：求函數(shù)

f

(

x

)=

ax

-2

x

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生6：求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈[

a

-1,

a

+1]，

a

∈

R

的最小值．生7：求函數(shù)

f

(

x

)=

ax

-2

ax

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生8：求函數(shù)

f

(

x

)=

ax

-

bx

+

c

，

x

∈[

m

,

n

]，

a

,

b

,

c

,

m

,

n

∈

R

的最小值．

評析和思考

以二次函數(shù)為背景的函數(shù)最值問題是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個重點內(nèi)容．教師在進行教學(xué)設(shè)計時，將預(yù)設(shè)的題目變?yōu)橐龑?dǎo)學(xué)生自行研究、小組討論、解題和歸納的開放題，讓學(xué)生自己命制求函數(shù)最值的題目，順著第一個學(xué)生的思維，組織學(xué)生進行自編活動，共編制出8個變式題.通過這樣順“思”而為的活動引導(dǎo)學(xué)生主動思考與探究，思維層層遞進，將二次函數(shù)從“定軸定區(qū)間”的研究自然深入到“動軸定區(qū)間”“定軸動區(qū)間”“動軸動區(qū)間”的研究．在這樣的過程中，學(xué)生的思維因問題的開放性和探究性而激活，教學(xué)效果必然好很多，同時，這樣處理極大地調(diào)動了學(xué)生的積極性和主動性．從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的角度看，這樣的過程可以培養(yǎng)學(xué)生在一定的數(shù)學(xué)情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從特殊到一般的活動經(jīng)驗、從靜止到變化的函數(shù)思想方法，養(yǎng)成在日常學(xué)習(xí)和實踐中從一般性角度思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁，運用數(shù)學(xué)思維思考并解決問題．順“思”而為激發(fā)了學(xué)生的主動學(xué)習(xí)，實現(xiàn)了學(xué)生的思維升華，提升了學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，促進了學(xué)生的主動學(xué)習(xí)．

2 借“思”而上，探究知識本質(zhì)，促進學(xué)生樂于學(xué)習(xí)

案例2

等比數(shù)列前

n

項和

S

=

a

+

a

q

+

a

q

+…+

a

q

-1公式的推導(dǎo)．生1：提取公因數(shù)

a

．

生2：倒序加？倒序乘？

生3：特殊化，令

S

=1+2+2+…+2-1，猜想

S

=

q

-1．生4：令

S

=1+3+3+…+3-1，那么剛才的猜想不成立，應(yīng)猜想生5：令

S

=1+4+4+…+4-1，那么剛才的猜想也不成立，應(yīng)猜想生6：當(dāng)公比為

q

時，應(yīng)該是此時公比應(yīng)該不能是1．生7：要證即證

S

(

q

-1)=

q

-1，也就是證

qS

-

S

=

q

-1．此時因為

qS

=

q

+

q

+

q

+…+

q

，

S

=1+

q

+

q

+…+

q

-1，兩式相減即可證得．又因為首項為

a

，所以

評析和思考

很多教師在推導(dǎo)等比數(shù)列前

n

項和公式時將“錯位相減法”硬塞給學(xué)生，學(xué)生表面上聽懂了，但他們心中的“惑”由誰人來解？學(xué)生是在多次操練下似懂非懂地練“會”了，這是真的會了嗎？他們理解為什么這樣推導(dǎo)嗎？學(xué)生對錯位相減法的道理感覺云里霧里，整個學(xué)習(xí)處于被動的狀態(tài)．

在講授該內(nèi)容時，筆者曾遇到這樣的情景：先問學(xué)生如何進行推導(dǎo)，得到的回復(fù)是“我不會”，也有回答“錯位相減法”的、再追問時得到的回答是“課本上就是這樣”，然后順著學(xué)生的回答講授該方法，學(xué)生也就被動地聽之．直到兩年前，同樣講授該內(nèi)容時，遇到一個“固執(zhí)”的學(xué)生追問“為何如此推導(dǎo)”，且有不達目的不罷休之勢，借著這位學(xué)生的“思”引導(dǎo)全班學(xué)生共同思考、探究，把順勢和借思的時間給足學(xué)生，終得上述案例2．

筆者曾做過多次調(diào)查，讓高三的學(xué)生證明課本中一些定理、公式時，能證明或推導(dǎo)出的學(xué)生寥寥無幾．課程改革致力于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和終身學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)力，其出發(fā)點和根本目的是完全正確的，但是在教學(xué)實踐中很多教師還是“新瓶裝舊酒”，教學(xué)中僅僅關(guān)注“是什么”而忽視“為什么”，這不得不令人深思．實際教學(xué)中，我們完全可以把課堂真正讓給學(xué)生，把思考的時間和機會留給學(xué)生，讓學(xué)生借“思”而上.通過自己的理解和與同伴的交流討論，學(xué)生一定能理解“錯位相減法”的本質(zhì)，其學(xué)習(xí)的興趣也就自然被激發(fā)出來了．

3 因“思”利導(dǎo)，提升思維品質(zhì)，促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)

案例3

已知正實數(shù)

a

,

b

滿足求3

a

+2

b

的最小值．

生1：消元法，所以只是繼續(xù)處理有難度，應(yīng)該有更好的思路解決這道題目．我再想一想．

生2：換元法，令

m

=

a

+

b

>0，

n

=

a

-

b

>0，題目轉(zhuǎn)化為：已知求的最小值．而拆開后用基本不等式解決，3

a

+2

b

的最小值為生3：這個思路很好，但取不到等號，所以3

a

+2

b

的最小值肯定不是生4：令則由

f

(

x

)=在(1,+∞)上遞增，解得

f

(

x

)=

f

(1)=6，所以3

a

+2

b

的最小值為6．生5：也不對！因為當(dāng)

x

=1時，

m

=

n

，即

a

+

b

=

a

-

b

，于是

b

=0，與已知條件矛盾．生6：可以借助圖象解釋原因可以轉(zhuǎn)化為(

a

-1)-

b

=1(

a

,

b

>0)，對應(yīng)的圖象為雙曲線在第一象限的部分，所以

a

=1不可能成立．我認(rèn)為本題沒有最小值．生7：可以將題目改為求3

a

+2

b

的取值范圍．生8：也可以改為：已知正實數(shù)

a

,

b

滿足求3

a

-2

b

的最小值．利用線性規(guī)劃，在直線與雙曲線(第一象限)相切時取得最值．

評析和思考

在該案例中，從高考?？嫉亩嘣钪祮栴}出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對問題進行多維的探究與反思，思維在交流碰撞中提升，真正理解了問題的處理方法．學(xué)生經(jīng)歷由通性通法研究到錯誤引發(fā)的思維過程，再到找到原因、變式研究，有效地鞏固了數(shù)學(xué)知識、訓(xùn)練了解題方法、提升了解題技能、滲透了數(shù)學(xué)思想方法、提高了探究能力，這就是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的有效途徑．高中數(shù)學(xué)知識方法千萬條，但數(shù)學(xué)理解是第一條．課堂教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，以學(xué)生的眼光組織開展數(shù)學(xué)教學(xué)，最大限度地促使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，提高數(shù)學(xué)思維的參與度．

4 結(jié)語

在課堂教學(xué)中，我們不能只“授業(yè)”，而不“解惑”；不能只訓(xùn)練方法，而忽視能力的提升；不能只關(guān)注遠方，而忽略了腳下行走的路；不能只關(guān)注“正確的”，還要多關(guān)注那些“錯誤的”；不能“硬塞給”學(xué)生，而應(yīng)該吸引他們“過來拿”；不能將“臺階”都鋪設(shè)好，而應(yīng)該讓學(xué)生自己搭建階梯；不能只關(guān)注課前預(yù)設(shè)，更需要注重課堂生成，順“思”而為，借“思”而上，因“思”利導(dǎo)，真正促進學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)．