基于數學方法論的高中數學教學設計與反思
——以“橢圓的簡單幾何性質(第1課時)”為例*

何曉勤 (江蘇省昆山市柏廬高級中學 215300)

1 引言

數學方法論是研究和討論數學的發(fā)展規(guī)律、數學的思想方法以及數學中的發(fā)現、發(fā)明與創(chuàng)造等法則的一門學問.《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：數學教育承載著落實立德樹人根本任務、發(fā)展素質教育的功能.數學教育幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法；提升學生的數學素養(yǎng)，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.用數學方法論指導高中數學教學是推進素質教育和培育數學核心素養(yǎng)的一種重要途徑.下面以“橢圓的簡單幾何性質(第1課時)”的教學設計為例，對用數學方法論指導高中數學教學進行嘗試.

2 基本情況分析

2.1 學情分析

授課對象為江蘇省三星級普通高中高二理科班，數學基礎較好，具備一定的數學抽象、數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養(yǎng).學生在以前的學習中曾簡單運用代數方法研究過圓的性質及函數的性質等，有一定的研究基礎，但真正系統地利用代數方法研究曲線性質還是第一次.

2.2 教材分析

本節(jié)課是新人教A版數學選擇性必修第一冊第三章“圓錐曲線的方程”第一節(jié)“橢圓”中的“3.1.2橢圓的簡單幾何性質”第1課時.課程標準中對“橢圓”這一節(jié)的目標要求是：經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質.教材前一節(jié)內容是橢圓的定義與標準方程，本節(jié)課學習運用代數方法研究橢圓的幾何性質，為后續(xù)研究雙曲線和拋物線的幾何性質乃至一般曲線的性質起到重要的示范作用.

2.3 教學目標定位

結合課程標準和上述分析，確定教學目標如下：(1)能在直觀認識橢圓的幾何特征的基礎上，用橢圓的標準方程推導出橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等簡單幾何性質；(2)通過方程研究橢圓的幾何性質，體會用曲線的方程研究曲線性質的方法，發(fā)展數學抽象、直觀想象、數學運算、邏輯推理等素養(yǎng).

2.4 教學重點和難點

教學重點 橢圓的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率等).

教學難點 通過橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質；理解橢圓的離心率.

2.5 教法教具分析

設計探究問題，啟發(fā)引導學生進行自主探究和合作探究；利用現代教學手段，關注教學內容與現代教育手段的合理整合.利用幾何畫板軟件感受動態(tài)過程，利用實物投影儀投影學生的作圖情況，提高課堂效率.

3 教學過程設計

3.1 創(chuàng)設情境，提出問題

問題1

前面學習了橢圓的哪些知識？接下來要研究什么？

生：我們學習了橢圓的定義和標準方程，接下來需要研究橢圓的幾何性質.

追問：如何研究橢圓的幾何性質？研究橢圓的哪些性質呢？

生1：通過“畫圖→觀察→猜想→證明”來研究橢圓的形狀、大小、對稱性、特殊點等.

(考慮到時間問題，課前預習已經布置學生畫好橢圓了)

設計意圖

從數學內部提出問題，引導學生回顧橢圓的定義和方程，并引出今天的研究任務——橢圓的簡單幾何性質.明確研究的基本思路和方法是先“形”后“數”，即在觀察圖形的形狀和特征的基礎上提出猜想，再通過橢圓的標準方程進行計算和推理,提升歸納猜想能力，體會數形結合思想的應用.

3.2 數學探究，解決問題

師：為了研究問題的方便，先以橢圓為例，我們來探究其簡單幾何性質.

探究點1

橢圓的范圍.

問題2

橢圓的范圍是指什么？它具有怎樣的范圍？能用方程給出證明嗎？

通過討論得出，利用代數的方法研究曲線的范圍就是利用方程確定曲線上點的橫、縱坐標的取值范圍.

生2：利用和即設

P

(

x

,

y

)是橢圓上任意一點，由可得即-

a

≤

x

≤

a.

同理-

b

≤

y

≤

b.

生3：利用函數思想，與函數和的定義域、值域聯系.

生4：利用三角函數的有界性，觀察方程的形式，由聯系到和

學生活動1 畫出直線

x

=±

a

和

y

=±

b

所圍成的矩形區(qū)域，體驗橢圓的范圍.師：由此可見，橢圓位于直線

x

=±

a

和

y

= ±

b

所圍成的矩形區(qū)域(含邊界)內.研究橢圓的范圍給我們帶來了方便，如便于畫橢圓的草圖.

設計意圖

明確研究曲線的范圍實質上是研究什么以及怎樣進行研究.學生先觀察圖形歸納出橢圓的范圍，再利用方程進行證明，體會到方程研究性質的作用，最后再作圖體驗范圍的應用，體現了“形→數→形”的探究過程.

探究點2

橢圓的對稱性.

問題3

觀察橢圓的形狀，它具有怎樣的對稱性？在平面直角坐標系中，如何證明一個圖形關于坐標軸或原點對稱呢？

由于學生對利用代數法證明圖象的對稱性不熟悉，教師進一步追問引導學生思考.

追問：橢圓方程中，把

x

換成-

x

，方程是否改變？這說明什么？

(指明圖形對稱的本質是點的對稱，強調“任意取一點”，并引導學生從方程角度判斷曲線的對稱性)

橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.

設計意圖

明確曲線對稱性的實質以及怎樣通過方程判斷曲線是否關于坐標軸或原點對稱.學生由形歸納出橢圓的對稱性不難，但用代數法證明具有一定的難度；通過追問引導，讓學生感知如何通過方程來研究橢圓的對稱性.

探究點3

橢圓的頂點.

問題4

觀察圖形，你覺得經過哪些比較特殊的點？它們的坐標是什么？你能通過方程給出證明嗎？生5：結合圖形，得出

x

軸和

y

軸為橢圓的對稱軸，故橢圓與

x

軸和

y

軸的四個交點稱為橢圓的頂點.教師通過舉出坐標軸不為對稱軸的橢圓，讓學生體會橢圓與其對稱軸的交點稱為橢圓的頂點.同時，引出橢圓的長軸和短軸的概念，明確方程中參數

a

,

b

的幾何意義.

設計意圖

明確曲線頂點的含義以及通過方程研究曲線頂點的思路和方法.

學生活動2 利用描點法作出下列橢圓的草圖：

設計意圖

學生動手操作，運用幾何性質作出橢圓的草圖，進一步體會數形結合思想.給出的兩個橢圓的“圓扁”程度不同，為下面引入橢圓的離心率埋下伏筆.

探究點4

橢圓的離心率.

問題5

所有的圓都是相似的，那橢圓呢？橢圓有的比較“圓”，有的比較“扁”，從方程角度看，用什么量來刻畫橢圓的“扁”的程度呢？

生6：可用的大小衡量橢圓的扁平程度.

生7：可用的大小衡量橢圓的扁平程度.

教師給予肯定.事實上，用

a

，

b

，

c

中任意兩者的比值來衡量橢圓的扁平程度都可以.但我們?yōu)槭裁催x擇來刻畫橢圓的扁平程度呢？因為

a

和

c

是橢圓定義中的原始量，另外也為了方便后續(xù)研究圓錐曲線的統一定義.事實上，橢圓的離心率是焦距與長軸長的比值，即追問：離心率

e

的大小如何影響橢圓“扁”的程度呢？

(先獨立思考，再小組合作探究)

生8：(提出猜想)離心率越小，橢圓越接近于圓；離心率越大，橢圓越扁.

生9：(實驗操作)用幾何畫板驗證猜想的正確性.

設計意圖

曲線的形狀是曲線的重要性質，它是由曲線方程的參數確定的.以此為載體，既學習如何刻畫橢圓的形狀，又學習如何用曲線方程中的參數刻畫曲線的形狀.學生通過獨立思考和合作探究，經歷從猜想、驗證到論證的思維過程，以此培養(yǎng)學生嚴謹的數學思維習慣.

學生活動3 填表(表略)，總結和對比兩種標準方程形式下橢圓的幾何性質.

設計意圖

通過填表，一方面讓學生鞏固橢圓的幾何性質；另一方面讓學生類比已有的知識，研究橢圓的幾何性質.

3.3 數學應用，內化遷移

例題

求橢圓25

x

+16

y

=400的長軸長、短軸長、離心率、焦點坐標和頂點坐標.

設計意圖

掌握橢圓的幾何性質，促進知識向技能遷移.

3.4 回顧反思，總結提升

問題6

這節(jié)課我們研究了曲線的哪些性質？推導這些性質我們用到了哪些數學思想方法？

生10：(知識)橢圓的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率．對橢圓知識的學習過程：定義→方程→幾何性質.

生11：(方法)經歷由觀察圖形歸納出曲線的性質，再用曲線的方程證明曲線的性質，即運用代數方法(即坐標法)解決幾何問題.

生12：(思想)數形結合、歸納猜想、類比法、函數與方程等.

設計意圖

以回顧反思為契機，引導學生總結本節(jié)課的學習內容，深化知識的形成過程，完善認知結構，掌握研究的方法和思路，拓展思維角度，提高思維層次.

3.5 作業(yè)分層，因材施教

必做部分：課本第112頁練習第1，2，3，4，5題.

選做部分：收集有關笛卡爾與解析幾何、費馬與解析幾何的資料，了解與本節(jié)課有關的數學史知識，撰寫數學小論文.

設計意圖

通過課后作業(yè)鞏固本節(jié)課所學的知識和方法，并留下一個開放性的數學寫作作業(yè)，讓學習和探究延伸到課外，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，做到因材施教.

4 教學反思

4.1 基于數學方法論設計教學過程，滲透解析幾何核心思想

數學家笛卡爾創(chuàng)立了平面直角坐標系，使得用代數方法(即坐標法)研究幾何問題成為解析幾何的核心思想.本節(jié)課從“觀察橢圓→歸納橢圓的性質→運用方程論證猜想”這條主線出發(fā)設計教學，橢圓的所有幾何性質都是先歸納再證明的，充分體現了橢圓的幾何性質在“數”和“形”上的本質聯系，讓學生掌握利用代數方法研究幾何圖形的一般思路和方法.整個探究過程始終運用數形結合思想.正如華羅庚先生所說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”有了本次數學活動經驗，學生可以自主探究雙曲線和拋物線的幾何性質.

4.2 基于數學方法論設計探究活動，改善學生數學抽象方法

林崇德教授在研究中國學生核心素養(yǎng)時提到：勇于探究，重點是具有好奇心和想象力；能不畏困難，有堅持不懈的探索精神；能大膽嘗試，積極尋求有效的問題解決方法等.本節(jié)課中，橢圓幾何性質的得出，均先由學生自主思考或合作探究，然后教師適當點撥，最后由學生歸納總結形成.讓學生參與知識發(fā)現、發(fā)生、發(fā)展的全過程，既培養(yǎng)了合作意識和交流表達能力，又加深了對知識的理解與記憶.而探究活動本身，促使學生自覺地融入數學抽象素養(yǎng)的提升過程之中.

4.3 基于數學方法論設計思維過程，發(fā)展學生直觀想象水平

我國數學家徐利治先生在文章《談談我的一些數學治學經驗》中提出“重視直觀”：在科學研究中，我常常借助于由經驗獲得的直觀能力，以猜測的方式去探索某些可能取得的成果.對學生來說，橢圓的離心率是一個全新的概念，這是本節(jié)課一個難點.為了突破這個難點，通過學生自己動手畫出不同的橢圓，由圖歸納出橢圓的“圓扁”程度與

a

,

b

,

c

中任意兩者的比值有關，培養(yǎng)學生的歸納猜想能力.通過交流與合作，最后回歸本質，抽象出離心率的概念.從概念層面看，豐富表征、完善結構，便于概念抽象；從思想方法看，以形助數、數形溝通，實現數形結合；從心理學角度看，用圖思考、形象直觀，有助于建立信心.

4.4 基于數學方法論設計問題鏈，激發(fā)學生創(chuàng)新思維能力

著名數學家P.Harmous強調“問題是關鍵”，數學概念、定理、模型和應用都是在解決問題的過程中總結形成的.以問題鏈為載體的數學教學能在一定程度上促進教師課堂指導基礎上的學生探究學習，使學生在明確知識內涵的基礎上提高思維能力.因此，將數學方法論原理滲透在問題鏈教學中，用方法論指導數學問題鏈的設計，讓學生從“學會”向“會學”轉化.本節(jié)課在數學方法論的指導下，設計了一系列的問題鏈，將數學思想方法滲透到具體知識內容中，讓學生不斷地處于問題探究的過程之中.學生帶著問題走進課堂，在課堂中不斷提出新問題、解決新問題，最后又帶著“新的問題”走出課堂，整個過程中數學方法論扮演了重要角色.

4.5 基于數學方法論營造和諧氣氛，助推邏輯推理培育

邏輯推理是科學研究的核心素養(yǎng)，在數學教學中，邏輯推理素養(yǎng)的養(yǎng)成有利于學生理解數學結論的來龍去脈，形成舉一反三的能力；有利于學生形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維習慣.本節(jié)課把思考的時間留給學生，把提問的權力交給學生，把講解的機會留給學生，讓學生經歷概念形成的過程，促進學生主動地探究知識，在探究過程中提升了邏輯推理能力.

5 結束語

數學方法論為學生的思考與探索提供了理論基礎.以數學方法論指引高中數學教學，要求每位教師在每堂數學課中滲透數學思想方法以培育學生數學核心素養(yǎng)，這一過程不是一蹴而就的，需要教師時刻關注并付出行動.