合情推理：為深度理解數(shù)學(xué)概念導(dǎo)航*

錢建華 (江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 226371)

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈的基石，深度理解和掌握數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).反思我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)現(xiàn)不少數(shù)學(xué)教師的教學(xué)觀念仍然停留在應(yīng)試教育層面上，課堂上采取趕進度、填鴨式教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)囫圇吞棗、機械模仿，對數(shù)學(xué)概念一知半解，有的只是停留在操作性理解層面，有的只是停留在關(guān)系性理解層面，很少能達到遷移性理解層面.美國認(rèn)知教育心理學(xué)家奧蘇貝爾指出：所謂理解，就是將新信息納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，新舊知識發(fā)生意義同化的過程.他還指出這種意義同化是一種非任意的、實質(zhì)性的聯(lián)系.即這種聯(lián)系不是主觀的、牽強附會的，而是合情合理的.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標(biāo)(2011版)》中指出：發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要使學(xué)生真正深度理解數(shù)學(xué)概念,最直接的方法莫過于將合情推理引入數(shù)學(xué)概念的理解之中，充分運用合情推理來促進數(shù)學(xué)概念的深度理解.那么，在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)呢？

1 在類比數(shù)學(xué)概念生成方法中發(fā)展合情推理能力，促進數(shù)學(xué)概念的深度理解

習(xí)慣上，按照不同的來源，數(shù)學(xué)概念可以分為兩種：一種是對現(xiàn)實對象或關(guān)系直接抽象而成的概念；另一種是純數(shù)學(xué)抽象物，反映的是數(shù)學(xué)邏輯構(gòu)造，無客觀實在與之對應(yīng)，是抽象邏輯思維的產(chǎn)物.根據(jù)兩種數(shù)學(xué)概念的不同特征，我們需要設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，采用相適應(yīng)的教學(xué)方法，學(xué)生在經(jīng)歷概念發(fā)生、發(fā)展的過程中，認(rèn)識、理解和掌握數(shù)學(xué)概念.其中，當(dāng)數(shù)學(xué)概念是基于數(shù)學(xué)邏輯建構(gòu)形成的純數(shù)學(xué)抽象物時，我們通常采用合情推理進行教學(xué)，即從設(shè)計熟悉的問題情境引入，運用已學(xué)的知識解決問題，從問題的結(jié)果中抽象出它們的共性特征，再類比、歸納出一般特征，從而形成數(shù)學(xué)概念.

案例1

二元一次方程的概念教學(xué)片段

(師生在復(fù)習(xí)了一元一次方程的有關(guān)概念后，進行如下教學(xué)設(shè)計)

師：長方形花圃周長是24 m，設(shè)花圃的長為

x

m，寬為

y

m.你用什么樣的數(shù)學(xué)式子來描述它們之間的關(guān)系？生1：2

x

+2

y

=24.

師：同學(xué)們列出的方程還是我們以前學(xué)過的一元一次方程嗎？

生1：不是.

師：仔細(xì)觀察，能根據(jù)方程的特點給這樣的方程取個名字嗎？

生1：因為它含有兩個未知數(shù)，所以是“二元”，每個未知數(shù)都是“一次”，所以應(yīng)該叫做二元一次方程.

師：你怎么想到的？

生1：類比一元一次方程的定義得到的.

師：很好！今天，我們將在一元一次方程的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新的一章《二元一次方程組》.(教師板書)

師：什么是二元一次方程？

生2：有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程叫做二元一次方程.

生3：不應(yīng)該說是未知數(shù)的次數(shù)，應(yīng)該說含未知數(shù)的項的次數(shù)，比如

xy

=24這個方程，每個未知數(shù)的次數(shù)都是1，但

xy

的次數(shù)是2，這個方程是二元二次方程.

師：這位同學(xué)思考得很深刻，例子也非常好，對于單項式的相關(guān)知識掌握得非常扎實．那么，我們把定義完善一下：方程中含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.

(教師板書在黑板的左側(cè)，與學(xué)生板書的一元一次方程對應(yīng))

師：同學(xué)們類比一元一次方程的定義，得到了二元一次方程的定義.想一想,一元一次方程說的是未知數(shù)的次數(shù)為1，而二元一次方程說的是未知項的次數(shù)為1，這究竟是為什么呢？

生4：其實是一致的，一元一次方程只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)就是含未知數(shù)的項的次數(shù).

師：你理解得太深刻了！

以上通過類比一元一次方程的定義建構(gòu)二元一次方程的定義，讓學(xué)生真正體會到“一元一次方程”和“二元一次方程”的定義的一致性，經(jīng)歷“二元一次方程”的概念的形成過程，促進了學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

2 在實驗觀察事物本質(zhì)特征中發(fā)展合情推理能力，促進數(shù)學(xué)概念的深度理解

觀察是人們對周圍世界客觀事物和現(xiàn)象在其自然條件下，按照客觀事物本身存在的實際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系，從而獲取經(jīng)驗材料的一種方法.實驗則是人們根據(jù)一定的研究目的，利用工具(儀器)對周圍世界的客觀事物與現(xiàn)象，進行人為的控制、模擬，排除干擾，突出主要因素，在最有利的條件下考察和研究它們的性質(zhì)和關(guān)系，從而獲取經(jīng)驗材料的一種方法.

案例2

“直線與圓的位置關(guān)系”中的概念教學(xué)片段

(情境導(dǎo)入)

師：同學(xué)們在海邊看過日出嗎？下面請同學(xué)們欣賞一段視頻.(教師播放視頻)

如果我們把太陽看作一個圓，把地平線看作一條直線，太陽升起的過程中，太陽和地平線會有幾種位置關(guān)系？由此能聯(lián)想出直線和圓的位置.

生：有三種……

師：(黑板上演示)畫一條直線

l

，把一個鐵絲圓環(huán)看作一個圓.在黑板上移動鐵絲圓環(huán)，你能發(fā)現(xiàn)在移動鐵絲圓環(huán)的過程中，它與直線

l

的公共點的個數(shù)的變化情況嗎？

師：通過剛才的觀察與實驗，你認(rèn)為直線和圓的位置關(guān)系可分為幾種類型？分類的標(biāo)準(zhǔn)各是什么？

生：直線和圓有如下三種位置關(guān)系：第一種，直線和圓有兩個公共點；第二種，直線和圓只有一個公共點；第三種，直線和圓沒有公共點.

師：講得很好！為了學(xué)習(xí)研究的方便，我們希望給直線和圓的三種位置關(guān)系分別取一個名字，對于第一種，怎樣取名呢?

生:第一種情況,直線和圓有兩個公共點，這時我們說這條直線和圓相交.

師：(補充)這條直線叫做圓的割線.那么，對于其他兩種情況呢？

師生：(共同討論交流得到)第二種情況,直線和圓只有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.第三種情況,直線和圓沒有公共點，這時我們說這條直線和圓相離.

以上在直線與圓的位置關(guān)系的概念建構(gòu)中，依賴于對直線

l

與鐵絲圓環(huán)位置關(guān)系的觀察，并通過實驗，得到直線與圓的位置關(guān)系的三種本質(zhì)特征，進而形成直線與圓相交、相切、相離的概念.

3 在教學(xué)數(shù)學(xué)概念補充規(guī)定中發(fā)展合情推理能力，促進數(shù)學(xué)概念的深度理解

數(shù)學(xué)中的“規(guī)定”，是指數(shù)學(xué)中那些約定俗成的、不便于向?qū)W生解釋“為什么”的那部分知識.如數(shù)學(xué)中的基本概念、定義、數(shù)學(xué)符號、書寫格式等.中小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的規(guī)定比比皆是,對于為何要單獨作這些規(guī)定,教師不僅要做到心知肚明，而且還要幫助學(xué)生深度理解和掌握，要讓學(xué)生感受規(guī)定的合理性，并學(xué)會數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)理性精神，不要讓學(xué)生在突兀的規(guī)定下產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的不良情感．教師要通過藝術(shù)處理，讓學(xué)生盡可能多地感知數(shù)學(xué)規(guī)定背后的故事、隱含的智慧，使學(xué)生更加理解數(shù)學(xué)、親近數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)老師.

案例3

單項式的補充規(guī)定的教學(xué)片斷

師：課前，同學(xué)通過預(yù)學(xué)，知道了“單獨一個字母或一個數(shù)也叫做單項式”.這是一種規(guī)定.你知道為什么要做這樣的規(guī)定嗎？

生1：……(支支吾吾，說不清)

師：(啟發(fā))1×

a

是不是單項式？為什么？生2：是.因為表示數(shù)或字母的積的式子叫作單項式．1×

a

是表示數(shù)或字母的積的式子，所以1×

a

是單項式.師：現(xiàn)在再來看

a

，它是不是單項式呢？生3：根據(jù)單項式的定義，它不是單項式，因為

a

不是表示數(shù)或字母的積的式子.

師：大家想想看，生3說得到底對不對？

(學(xué)生熱烈地討論)

師：現(xiàn)在大家想到了嗎，生3說得到底對不對？

生4：生3說得既對又不對．從形式上看，

a

不是表示數(shù)或字母的積的式子，所以

a

不是單項式.但是，由于1×

a

=

a

，

a

可以看成1×

a

的簡寫，1×

a

是單項式，那么

a

也就是單項式．

師：這么說來，兩種答案都有道理.那么，不就產(chǎn)生矛盾了嗎？

生5：為了消除這一矛盾，我們就必須對單項式做一個補充規(guī)定，規(guī)定單獨的一個字母或單獨的一個數(shù)也是單項式．

師：生5的想法非常合情合理，有了這個補充定義以后，在識別單項式時就不會產(chǎn)生歧義了. 這里，對于單項式的特征，引導(dǎo)學(xué)生從無意識的觀察變?yōu)橛幸庾R的探討，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)單項式的定義就變得水到渠成．

在概念學(xué)習(xí)中通過合情推理，學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、發(fā)現(xiàn)、形成甚至命名過程，學(xué)習(xí)者充分感受數(shù)學(xué)概念形成得合情合理，從而促進對數(shù)學(xué)概念的深度理解．

4 結(jié)語

教育家陶行知說:“教育不能創(chuàng)造什么，但他能啟發(fā)解放兒童創(chuàng)造力以從事于創(chuàng)造之工作.”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)合情推理，就是創(chuàng)設(shè)這樣一種培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)環(huán)境．波利亞的“怎樣解題表”為我們進行合情推理提供了一個非常好的樣本，他在《數(shù)學(xué)與猜想》一書中說：“只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢茫痹谌粘５臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生掌握合情推理的思想和方法能夠使學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到充分的整合和優(yōu)化，數(shù)學(xué)思維能力得到提升，并把學(xué)習(xí)者引入到一個更廣闊的領(lǐng)域，去體驗數(shù)學(xué)探究與發(fā)展的樂趣，對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念大有裨益.合情推理不僅可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，而且還可以更多地應(yīng)用到數(shù)學(xué)定理(公式、法則)，數(shù)學(xué)解題的學(xué)習(xí)中．?dāng)?shù)學(xué)教師要充分、合理地利用合情推理，鼓勵學(xué)生大膽猜想、合理推測,培養(yǎng)其歸納、類比能力，使合情推理成為學(xué)生自覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，成為激勵學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新知的金鑰匙．