強化解題思路 凸顯思維品質(zhì)
——“圓錐曲線習題分析課”的設(shè)計及反思

趙士元

(江蘇省蘇州市吳中區(qū)教學與教育科學研究室 215104)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自四星級重點高中，學習基礎(chǔ)較好，學生的邏輯判斷能力和運算能力普遍較強，但邏輯分析能力不足.

1.2 教材分析

《圓錐曲線》是高中數(shù)學選修二的主要內(nèi)容，包括橢圓、雙曲線、拋物線的方程與性質(zhì)，這些內(nèi)容既是高中數(shù)學的重點又是高中數(shù)學的難點.由于三大圓錐曲線具有統(tǒng)一的定義，因此三者的性質(zhì)之間必然具有高度的相似性，系統(tǒng)了解它們之間的相似性有利于學生從宏觀上把握三大圓錐曲線，使碎片化的知識點形成系列化的知識體系.

解析幾何的宗旨是代數(shù)法處理幾何問題，突出體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，而圓錐曲線作為解析幾何的主要內(nèi)容，綜合性比較強，對學生的運算要求比較高，是學生必須牢固掌握的內(nèi)容.

教學重點 橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程、性質(zhì)及其相互聯(lián)系.

教學難點 以導(dǎo)問的形式引導(dǎo)學生分析思考數(shù)學問題.

2 教學過程

2.1 熱身訓(xùn)練

(1)點

P

是橢圓上的點，

F

,

F

分別是它的左、右焦點，則左焦半徑

PF

=

，右焦半徑

PF

=

.它們是如何被推算出來的？(2)點

P

是橢圓上的點，

F

,

F

分別是它的下、上焦點，則下焦半徑

PF

=

，上焦半徑

PF

=

.試比較與(1)的關(guān)系.(3)點

P

是雙曲線上的點，

F

,

F

分別是它的左、右焦點，則左焦半徑

PF

=

，右焦半徑

PF

=

.試比較與(1)的關(guān)系.(4)橢圓的焦點坐標為

F

(±

c

,0)，則

a

,

b

,

c

滿足關(guān)系式

；雙曲線的焦點坐標為

F

(±

c

,0)，則

a

,

b

,

c

滿足關(guān)系式

.(5)點

P

在焦點為

F

的拋物線

y

=2

px

(

p

>0)上，則

PF

=

，如何推算出來的？若過拋物線

y

=2

px

(

p

>0)的焦點的直線與拋物線交于

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

)，則

AB

=

.

設(shè)計意圖

三大圓錐曲線有其統(tǒng)一的定義，正因如此，其性質(zhì)也將有許多類似之處.特別是橢圓和雙曲線，其定義和標準方程具有高度的一致性，導(dǎo)致其相應(yīng)的性質(zhì)也將具有高度一致性.前四個小題的設(shè)計目的是讓學生明確焦點在

x

軸上的橢圓和焦點在

y

軸上的橢圓是關(guān)于直線

y

=

x

對稱的，因此對應(yīng)的性質(zhì)也具有這一對稱性.類似地，通過比較與雙曲線的定義理解對應(yīng)的性質(zhì)，第(5)題主要為例題講解作鋪墊.類似題組的設(shè)計有利于使學生碎片化的公式系列化，使學生對圓錐曲線的知識有系統(tǒng)的理解，實現(xiàn)數(shù)學的深度學習.

2.2 例題講解

已知橢圓的一個焦點與拋物線

C

:

y

=2

ax

的焦點

F

重合，兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點

M

滿足(1)求橢圓

C

以及拋物線

C

的標準方程；(2)過橢圓另一焦點

E

作直線(斜率存在但不為零)與橢圓相交于

A

,

B

兩點，在橢圓長軸 上是否存在點

P

，使得為定值？如存 在，求點

P

的坐標及這個定值；如不存在，請說明理由.

·教學設(shè)計

先解決第(1)題：

第一步 讀題

出示題目后學生讀題兩分鐘，而后教師逐步出示如下幾個問題，供學生相互討論交流：

問題1

“

M

是橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點”隱藏著什么樣的信息？

問題2

要求橢圓和拋物線的方程，就必須求出

a

,

b

的值，從基本算理來看，需要兩個條件，但題中僅給出一個條件，對此有什么想法？

問題3

線段

MF

是什么？點

M

是橢圓和拋物線的交點，且它們有公共焦點，暗示了什么信息？

問題4

如何利用這個條件？(引導(dǎo)學生回答出：要用這個條件需要用到點

M

的橫坐標，于是設(shè)其橫坐標為

x

，再分別在橢圓和拋物線中用字母

a

,

b

及

x

表示出

MF

)

第二步 設(shè)計解題思路

①利用橢圓三個基本量本身的關(guān)系、橢圓和拋物線具有公共焦點、橢圓右焦半徑等于拋物線的焦半徑這三個條件列出關(guān)系式(可列三個)得到方程組；②求解這個方程組，求出

a

,

b

,

c

的值.

第三步 實施解題計劃

解

設(shè)點

M

的橫坐標為

x

，由于橢圓的半焦距為

c

，它與拋物線

y

=2

ax

有公共焦點，故于是橢圓的離心率為又因為求得

a

=2，于是所以橢圓方程為拋物線方程為

y

=4

x

.

接下來研究第(2)題.

第一步 讀題

先弄清楚如下幾個問題：

問題5

“是否存在”這一類探究性問題通常的格式是怎樣的？

問題6

按理來說，由于直線和點

P

都不確定，應(yīng)該是一個變量.那么題意所說是定值，它應(yīng)該在誰確定的條件下為定值？本題中的變化量是什么？

問題7

向量的數(shù)量積怎樣表示，你能估計出它與哪些量有關(guān)？(引導(dǎo)學生回答出與直線

AB

的斜率以及點

P

的坐標有關(guān))

問題8

怎樣寫出的表達式，在橢圓長軸上取一點

P

，使得為定值表達了什么信息？引導(dǎo)學生思考出：在確定點

P

的位置后，的值與直線

AB

的斜率無關(guān).

問題9

你能寫出的表達式嗎？看看需要做些什么準備工作？留一定時間給學生思考并在草稿紙上書寫，而后讓學生明確應(yīng)先求出

A

,

B

兩點的橫坐標的和與積.

第二步 設(shè)計解題計劃

設(shè)直線

AB

的斜率為

k

，點

P

的坐標為(

m

,0)，列出的表達式(將用

k

,

m

表示)，再針對具體的表達式進行分析，具體的運算過程在課堂上當堂完成.

第三步 實施解題計劃

解

設(shè)滿足條件的點

P

存在，且直線

AB

的斜率為

k

，

A

,

B

兩點的坐標分別為

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

)，點

P

的坐標為

P

(

m

,0)，則直線

AB

的方程為

y

=

k

(

x

+1)，且將直線

AB

的方程

y

=

k

(

x

+1)代入橢圓方程整理得(3+4

k

)

x

+8

k

x

+4

k

-12=0，故于是由條件知是一個與

k

無關(guān)的常數(shù)，于是得此時故所求點

P

的坐標為此時為定值

2.3 課堂小結(jié)及作業(yè)布置(略)

3 教學反思

反思之一

解決一個數(shù)學問題通常包含“審題”“設(shè)計解題計劃”“實施解題計劃”和“解題反思”這四個步驟.當然，對一個熟練的解題者而言并不一定要嚴格按這四個步驟執(zhí)行，但在思考的潛意識里一定有這四個步驟.在平時解題教學中經(jīng)常滲透這種思考模式，對提升學生數(shù)學學科素養(yǎng)和思維能力非常有用.

反思之二

上述的化簡由學生和教師在課堂上當堂完成，同時教師作規(guī)范板書，目的是培養(yǎng)學生的字母運算能力.目前，許多學生的運算能力特別是字母運算能力欠缺，而教師往往利用PPT投影的方式顯示運算過程或直接忽略其運算過程而以“化簡得”替而代之，這對培養(yǎng)學生運算能力極為不利.

反思之三

第(2)題的設(shè)計思路采用了一般到特殊的思想，對于類似的探究性問題，我們是否有其他的思路呢？比如是否可以采取從特殊到一般的思路？事實是可以的.本題中可以采用“極端思想”先找出這一個定點再加以驗證，盡管題中條件告知了直線

AB

的斜率存在且不為零，但我們可以想象當直線

AB

無限接近于“與

x

軸或

y

軸平行”時，應(yīng)該是相等而且等于所要探求的定值.據(jù)此考慮這兩種極端情形，設(shè)點

P

坐標為

P

(

m

,0)，于是當直線斜率為零時，

A

,

B

兩點的坐標分別為

A

(-2,0),

B

(2,0)，此時當直線斜率不存在時，

A

,

B

兩點的坐標分別為此時故而必有求得

這一思路比較直觀，從特例(或極端情形)出發(fā)找出答案再進行驗證，于是將學生比較陌生的探究性問題轉(zhuǎn)化為如下一個比較熟悉的證明題：

過橢圓右焦點

E

作直線(斜率存在但不為零)與橢圓相交于

A

,

B

兩點，已知點求證為定值并求出這個定值.(學生思考：如果我們按這一思路解題，該如何規(guī)范書寫呢？請學生課后自己整理)

反思之四

遇到一個綜合性比較強的數(shù)學問題時，許多學生往往束手無策，這與平時的分析和訓(xùn)練有關(guān)，遇到有一定難度的數(shù)學問題時如何幫助學生在題設(shè)和目標之間通過導(dǎo)問的形式架設(shè)若干階梯，將一個“大問題”分解為若干個“小問題”是教師在例題教學設(shè)計過程中必須用心思考的問題，這就是我們通常所說的“導(dǎo)問式教學設(shè)計”.或許有些教師會認為以導(dǎo)問的形式組織教學活動會影響教學進程，但是如果沒有平時規(guī)范化的思維訓(xùn)練，怎么可能使我們的學生在考場上做到得心應(yīng)手呢？有時，暫時的“慢”是為了更好的“快”.

反思之五

課堂教學不能僅僅滿足于讓學生聽懂，而要追求讓學生從“學會”上升到“會學”，更要讓學生實現(xiàn)從“不好”到“好”的轉(zhuǎn)變.“聽懂”是課堂教學最基本的要求，從“不好”到“好”是課堂教學的最高目標，采用導(dǎo)問式教學設(shè)計可以引導(dǎo)學生從常規(guī)策略入手追求最佳解決問題的途徑，有利于活躍學生思維、提升思維品質(zhì).