建立幾何量感　發(fā)展空間觀念

程彥

［摘 要］學(xué)生在學(xué)習(xí)“體積”之前已經(jīng)有判斷物體大小的直覺和經(jīng)驗。文章結(jié)合“體積和體積單位”的課例開展實(shí)踐研究，利用學(xué)生的認(rèn)知體驗，從物體體積所具有的特征入手，力求觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以增進(jìn)學(xué)生對體積意義的理解，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

［關(guān)鍵詞］體積；體積單位；空間觀念

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2022）23-0023-03

在故事《孔融讓梨》中，孔融把大的梨留給了他的兄弟姐妹，自己則選擇了一個最小的梨；小孩子在分蛋糕的時候，知道哪塊大、哪塊小；學(xué)生知道自己在教室里占據(jù)了一定的空間，而且自己占的空間比一個鉛筆盒占的空間要大……對于體積，學(xué)生有自己的原始感知；從數(shù)學(xué)的角度來解讀，學(xué)生有判斷物體大小的直覺和經(jīng)驗。對此，在“體積和體積單位”教學(xué)中，教師要利用好學(xué)生的已有認(rèn)知和經(jīng)驗，教學(xué)時深入體積的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生深度理解體積的意義，以此豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念。

一、凸顯度量本質(zhì)，建立幾何量感

學(xué)生對物體的大小、多少、粗細(xì)、長短、厚薄、輕重、軟硬等有一定的感性認(rèn)識。因此，幫助學(xué)生準(zhǔn)確建立度量單位的表象是形、體知識塊教學(xué)的重點(diǎn)和關(guān)鍵。以下是兩位教師對同一內(nèi)容的同課異構(gòu)的教學(xué)片段。

【A教師】

師：在學(xué)習(xí)面積時，有面積單位來描述物體面積的大小。同樣，體積也有統(tǒng)一的單位，即立方厘米、立方分米和立方米。什么是1 立方厘米、1 立方分米和1 立方米呢？請仔細(xì)閱讀課本，找出它們的定義。

生1：棱長為1 厘米的正方體的體積是1 立方厘米。棱長為1 分米的正方體的體積是1 立方分米。棱長為1米的正方體的體積是1 立方米。

師：現(xiàn)在我們一起來認(rèn)識1 立方厘米。請按照任務(wù)單（如圖1）上的提示獨(dú)立完成。

[（1）在學(xué)具中找出1立方厘米的立方體，拿出來摸一摸、看一看、量一量，說一說感受。

（2）提問：體積是1立方厘米的正方體， 棱長是多少？

（3） 用橡皮泥捏1立方厘米的正方體，找一找生活中接近1立方厘米的物體，和1立方厘米的正方體比一比。

【B教師】

師（運(yùn)用信息化技術(shù)手段：先呈現(xiàn)一個點(diǎn)，將其拉伸成一條長為1厘米的線段；再將線段平移，“掃出”一個面積為1平方厘米的面；接著展示面變成體的過程）：請說說看了這段視頻后的想法。

生1：我發(fā)現(xiàn)，正方形變成了正方體。

生2：測量長度用1厘米長的線段，測量面積用邊長為1厘米的正方形。那我們可以用邊長（應(yīng)是“棱長”）為1厘米的正方體來計量物體的體積，這個物體包含了幾個邊長（應(yīng)是“棱長”）為1厘米的正方體，體積就是多少。

師：這位同學(xué)能夠?qū)W以致用，非常棒！事實(shí)上，無論是1厘米、1平方厘米和1立方厘米，我們都可以把它們當(dāng)作一個標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行度量。下面就親自動手感受1立方厘米究竟有多大。

師：先找出1立方厘米的模型，用手摸一摸，閉眼感受，邊比畫邊說出1立方厘米的大??；再利用手中準(zhǔn)備的橡皮泥，對照標(biāo)準(zhǔn)量捏出自己心中的1立方厘米。

生3：我用橡皮泥捏了一個1立方厘米的正方體，將它與原來的模型進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)它們是一樣大的。

生4：我也用橡皮泥捏了一個1立方厘米的正方體，用尺子量出這個正方體的棱長是1厘米。

……

師：剛才有個同學(xué)用橡皮泥捏了一個1立方厘米的正方體，但是不小心弄變形了。

師（出示已經(jīng)變形的正方體）：想一想，這個變形的物體的體積是多少？

生5：應(yīng)該還是1立方厘米。

師：我把剛才這位同學(xué)不小心弄壞的這團(tuán)橡皮泥搓一搓，看——變成了一個球！這個球的體積是多少呢？

生6：這個球的體積還是1立方厘米，因為這團(tuán)橡皮泥的大小沒有發(fā)生變化，只是形狀改變了。

“體積和體積單位”屬于圖形與幾何領(lǐng)域，這類知識的學(xué)習(xí)，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象力與抽象能力。其實(shí)，無論是長度、面積或是體積，都需由一個“標(biāo)準(zhǔn)”來度量。對于學(xué)生來說，這種“標(biāo)準(zhǔn)”的建立和度量需要經(jīng)驗的積累，需要一個學(xué)習(xí)的過程。由一個點(diǎn)形成一條線段，然后到一個面，接著形成一個立體圖形；或是將一個立體圖形分解，讓學(xué)生看到這個立體圖形由幾個面組成……學(xué)生在這個過程中就會感受到體、面、線、點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)。雖然學(xué)生對圖形的認(rèn)識和建構(gòu)并不一定依據(jù)點(diǎn)、線、面、體或是體、面、線、點(diǎn)的變化過程，但有必要讓學(xué)生在真實(shí)情境中經(jīng)歷度量的發(fā)生和發(fā)展過程：基于已有量感—喚醒量感—積累量感—提升量感—運(yùn)用量感。學(xué)生在這個過程中能認(rèn)識到：計量圖形大小的過程就是用統(tǒng)一的“標(biāo)準(zhǔn)”去度量的過程。

以上課堂教學(xué)中，A教師緊緊控制著教學(xué)流程，學(xué)生亦步亦趨，課堂扎實(shí)但效果欠佳。B教師讓學(xué)生通過操作建立不同體積單位的表象：在建立立方厘米表象時，準(zhǔn)備了數(shù)個1立方厘米的小正方體；讓學(xué)生用橡皮泥捏1立方厘米的正方體，感知1立方厘米的大?。徽垖W(xué)生將用橡皮泥捏成的1立方厘米的正方體和手中的學(xué)具比較；把已經(jīng)捏成的1立方厘米的橡皮泥改造成其他物體。學(xué)生在思考和比較中發(fā)現(xiàn)：這些物體雖然形狀不同，但體積都是1立方厘米。反過來，體積為1立方厘米的物體和形狀、材質(zhì)無關(guān)。學(xué)生初步感知體積的“守恒性”，在層層遞進(jìn)的過程中有操作更有思考，有交流更有創(chuàng)造，有效地建立和完善了1立方厘米的表象。

另外，B教師將信息技術(shù)與教學(xué)初步融合，在體積大小比較的活動中，突破了“教師運(yùn)用課件演示，學(xué)生被動觀察”的傳統(tǒng)課堂教學(xué)瓶頸，讓學(xué)生在自己的iPad（平板電腦）上任意調(diào)整模塊的大小、位置、方向，直觀感知一個物體所占空間的大小以及一個物體中包含了多少個單位體積。在任務(wù)單和真實(shí)問題的驅(qū)動下，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、動手、感受、度量等多元的數(shù)學(xué)活動。這些數(shù)學(xué)活動將抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，不僅促進(jìn)學(xué)生建立體積和體積單位的表象、理解體積的概念，更是凸顯了度量的本質(zhì)，對學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)大有裨益。

二、借助有效操作，發(fā)展空間觀念

在教學(xué)“立方厘米”后，可根據(jù)學(xué)生已有的“面積和面積單位”的經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生通過類比創(chuàng)造體積單位。

【A教師】

師：老師為大家準(zhǔn)備了一個1立方米的正方體紙箱，現(xiàn)在請一些同學(xué)摸一摸這個箱子，觀察后可以鉆進(jìn)箱子里感受一下。

【B教師】

師：我們已經(jīng)認(rèn)識了1立方分米，現(xiàn)在來研究1 立方米。你們還能像剛才那樣輕松比畫出1立方米的大小嗎？請先在小組內(nèi)討論。

組1：我們可以先根據(jù)“棱長為1 米的正方體的體積是1立方米”去想象1 立方米的大小，再說一說1 立方米的大小，最后找一找生活中體積為1 立方米的物體。

師：為什么你們要想象1 立方米的大?。?/p>

組1：因為我們覺得1 立方米的物體太大了，找不到1 立方米的學(xué)具。

組2：在教室的角落里，我們小組的3位同學(xué)每人貢獻(xiàn)一條胳膊，再借助兩面墻就搭了1 立方米大小的空間。

師：為什么你們只用了3條胳膊？

組2：我們用3 條胳膊分別代表正方體的長、寬和高。如果有3根1米的小棒也可以。

師：同學(xué)們的想法都非常有價值！我事先準(zhǔn)備了3條吊有重物的繩子代替3條棱，請3位同學(xué)借助墻壁搭建一個1立方米的空間。其他同學(xué)請閉上眼睛，想象一個棱長是1 米的正方體，然后睜開眼睛看這個1 立方米的空間，判斷是否和你想象的一樣大，再鉆進(jìn)去感受一下。

關(guān)于立方米表象的建立，兩位教師的設(shè)計各有千秋。A教師提供一個1立方米的正方體紙箱，讓學(xué)生摸一摸它，再鉆進(jìn)去感受，學(xué)生發(fā)現(xiàn)1立方米比自己想象中的要大得多；B教師用了3條吊有重物的繩子代替3條棱，借助墻壁搭建了1立方米的空間，并請學(xué)生鉆進(jìn)去感受它的大小?？梢?，教師適時對度量單位進(jìn)行梳理和比較，就能幫助學(xué)生構(gòu)建從一維到二維，再到三維的完整的基本度量單位體系，從而幫助學(xué)生建立清晰且具有實(shí)際意義的直觀表象。

三、關(guān)注持久理解，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

對于三個體積單位的定義，學(xué)生通過類比、遷移后很容易從字面上理解，但是這三個體積單位的實(shí)際大小以及在生活中的應(yīng)用對學(xué)生來說卻很難掌握，把學(xué)習(xí)目標(biāo)聚焦于學(xué)生最需要理解的內(nèi)容對概念教學(xué)來說意義重大。因此，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)要從核心概念、數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法以及學(xué)生理解概念的障礙點(diǎn)這四個角度出發(fā)，貫穿學(xué)習(xí)的全過程。

由于數(shù)學(xué)知識認(rèn)知過程的復(fù)雜性，部分學(xué)生洞察到問題的實(shí)質(zhì)后往往不能很好地解釋或證明，有些時候?qū)W生會用公式求解，但有可能只是套用和遷移，并不代表真正理解，而且如果學(xué)生還只是停留在套用公式階段，并不利于知識的真正形成以及核心素養(yǎng)的提升。概念理解是學(xué)生對所學(xué)概念不斷加深認(rèn)識、逐步完善其聯(lián)系、抽象概括本質(zhì)屬性的過程。例如按照以往的學(xué)習(xí)方式，對“體積和體積單位”的學(xué)習(xí)往往從背誦概念開始：物體所占空間的大小叫作物體的體積；常用的體積單位有立方米、立方分米、立方厘米……這樣的學(xué)習(xí)最多也只能達(dá)到初步理解的水平。

上述教學(xué)片段中，通過創(chuàng)建理解概念的活動和開放的思維空間，學(xué)生就能真切地感受到這三個體積單位的實(shí)際大小，通過動手操作、觀察評述，開始關(guān)注“體積和體積單位”的本質(zhì)屬性，學(xué)生原有的知識“生長點(diǎn)”不斷生長出知識的“延伸點(diǎn)”。要達(dá)到真正的深度學(xué)習(xí)，就要經(jīng)歷創(chuàng)造的過程，尤其是單元結(jié)構(gòu)化的過程，單元設(shè)計是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全局式學(xué)習(xí)和思考的基礎(chǔ)，教師必須要重視單元教學(xué)設(shè)計。

首先，要基于學(xué)情?！绑w積和體積單位”所在的單元處于五年級下冊“長方體和正方體”單元。橫向觀察，本單元分三小節(jié)編排：長方體和正方體的認(rèn)識，長方體和正方體的表面積，長方體和正方體的體積。縱向?qū)Ρ?，學(xué)生在低年級已經(jīng)初步認(rèn)識了一些簡單的立體圖形，本單元就是在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)介紹長方體和正方體的有關(guān)知識，使學(xué)生形成初步的空間觀念，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)其他立體圖形的基礎(chǔ)。另外，長方體和正方體的體積的計算是學(xué)生理解體積概念、掌握體積的計量單位和計算各種幾何體的體積的基礎(chǔ)。因此，教師在教學(xué)“體積和體積單位”之前就要確立本單元的單元問題、基本問題、引導(dǎo)性問題和綜合性操作任務(wù)，做好單元教學(xué)設(shè)計、課時教學(xué)設(shè)計和評價形式設(shè)計。

其次，要基于課堂。課堂上的操作、交流、展示等活動都能引導(dǎo)學(xué)生將已有經(jīng)驗和新知學(xué)習(xí)建立聯(lián)系，這是能讓學(xué)生持久理解和深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。體積單位是由長度單位、面積單位推導(dǎo)出來的，教師如果能在課堂上引導(dǎo)學(xué)生建立長度、面積和體積單位之間的聯(lián)系，那么，學(xué)生在多維參與的過程中，形成的體積單位的表象會更加清晰。學(xué)生在“捏”1立方厘米、“鉆”1立方米的過程中，真切感受到體積單位的實(shí)際大小，建立了正確的體積觀念。特別是在體驗1立方米的大小時，兩位教師出示了棱長為1米的“正方體”，讓學(xué)生親身體驗這個“正方體”的大小，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，調(diào)動了學(xué)生的多感官參與，使其空間觀念得到進(jìn)一步發(fā)展，持久理解能力得以逐步增強(qiáng)。

作為一線數(shù)學(xué)教師，不但要結(jié)合學(xué)科以及學(xué)段的特點(diǎn)，借助強(qiáng)大的信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的觀察與操作，還要通過建立正確的表象，引導(dǎo)學(xué)生合理想象，提高學(xué)生的空間觀念，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，從而促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升。

[本文系廣州市教育科學(xué)規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂混合式教學(xué)范式研究”（202012597 ）的研究成果。]

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 柯向榮.將抽象的數(shù)學(xué)概念變?yōu)榭吹靡姷臄?shù)學(xué)事實(shí)：《體積和體積單位》教學(xué) ［J］.小學(xué)教學(xué)設(shè)計，2011（8）：25-26.

[2] 林庚祿.因“材”適教，方能因“材”施教：以“體積單位”教學(xué)為例談起[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2020（11）：44-45.