有限溫度影響下光子計(jì)數(shù)分布的解析演化

孟祥國,吳孟艷,劉業(yè)欣

(聊城大學(xué) 物理科學(xué)與信息工程學(xué)院、山東省光通信科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山東 聊城 252059)

0 引言

目前,量子退相干是量子信息和量子計(jì)算中普遍存在的本質(zhì)問題,并給相關(guān)信息技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用帶來了很大困擾。因此,量子光場的退相干問題已成為物理學(xué)家一個(gè)重要的研究熱點(diǎn)。

在相互作用表象下,開放系統(tǒng)的量子退相干效應(yīng)可用系統(tǒng)的約化密度算符滿足的量子主方程進(jìn)行描述。在已有的文獻(xiàn)[1-4]中,一般通過求解密度算符的P-表示或維格納函數(shù)滿足的福克-普朗克方程來分析系統(tǒng)的退相干演化規(guī)律。與以往的方法不同,基于熱場動(dòng)力學(xué)理論,范洪義教授引入了一種描述系統(tǒng)與其周圍環(huán)境相互作用的熱場糾纏態(tài)表象(系統(tǒng)作為實(shí)模,與系統(tǒng)有相互作用的環(huán)境作為虛模),由此推導(dǎo)出了實(shí)、虛模算符滿足的算符恒等式及其互換關(guān)系,并將關(guān)于密度算符的量子主方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)態(tài)矢量滿足的方程,從而成功求解了一系列描述系統(tǒng)發(fā)生退相干演化的量子主方程并給出了其解析解的不同表示[5,6]。

在光學(xué)理論中,熱通道噪聲是引起退相干的重要來源,因此熱噪聲影響下量子態(tài)的演化及其退相干問題備受關(guān)注。目前,對于熱通道,其研究主要集中在熱噪聲影響下量子態(tài)的非經(jīng)典性質(zhì)、魏格納函數(shù)及其在量子信息中的具體應(yīng)用等方面[7-9]。而對于量子態(tài)的光子計(jì)數(shù)分布,主要討論了它們在一些簡單的退相干通道(如相位阻尼、振幅衰減等)中的演化規(guī)律[10],推廣至更為一般情況。本文利用熱場糾纏態(tài)表象理論以及算符排序法,推導(dǎo)出光子計(jì)數(shù)分布在熱通道中的解析演化公式,進(jìn)而探查系統(tǒng)在熱通道中的退相干行為。

1 熱場糾纏態(tài)表象

為了準(zhǔn)確描述量子系統(tǒng)和外界熱環(huán)境之間發(fā)生的相互糾纏,類似于建立物理空間中連續(xù)變量糾纏態(tài)|η〉和|ζ〉表象[9],這里引進(jìn)一個(gè)新的連續(xù)變量糾纏態(tài)表象——熱場糾纏態(tài)表象。在雙模?？丝臻g中,熱糾纏態(tài)|ω〉表示為[5,6]

式中D(ω)＝exp(ωa?-ω*a)為平移算符,參量ω為復(fù)數(shù),為與真實(shí)的光子產(chǎn)生算符a?相伴而生的虛模的產(chǎn)生算符,而?a能湮滅〉且滿足對易關(guān)系和。利用有序算符內(nèi)積分法可證明,為算符和的本征態(tài),即

且擁有正交歸一性

和完備性

2 描述有限溫度模型的密度算符主方程的解

對于系統(tǒng)與環(huán)境相互作用的開放系統(tǒng),熱噪聲總是與基本的力學(xué)過程相伴隨的,從而使得熱噪聲成為了引起系統(tǒng)非經(jīng)典性衰退的重要原因。理論上,在Born-Markov近似下,描述有限溫度模型的密度算符主方程表示為[11]

式中κ為衰減常數(shù),為平均熱光子數(shù)。特殊地,當(dāng)且κ為有限值時(shí),意味著真實(shí)物理系統(tǒng)的環(huán)境溫度趨近于零。因此,式(6)退化為描述振幅衰減通道的量子主方程,即

它代表能量從系統(tǒng)向零溫環(huán)境進(jìn)行傳輸。

為求解描述有限溫度模型的密度算符主方程(6),我們將充分利用熱場糾纏態(tài)下的實(shí)、虛模玻色算符的互換關(guān)系(5)。將式(6)兩邊作用到態(tài)矢量上,利用式(5)并令,可得

取ρ0為初始時(shí)刻的密度算符,ρ0|ω＝0〉≡|ρ0〉,則方程(8)解的標(biāo)準(zhǔn)形式為

為求解式(9),注意到

將式(10)代入到式(9),并利用對易關(guān)系

和算符恒等式

式中算符A,B滿足等式[A,B]＝τB,可得

利用算符恒等式

可將式(15)改寫為

或者

式中M i,j為有限溫度下演化密度算符ρt所對應(yīng)的克勞斯算符

式(19)代表初始態(tài)的密度算符ρ0如何演化為終態(tài)ρt。因此,在ρ0已知的情況下,很容易導(dǎo)出任意時(shí)刻t的演化密度算符ρt。特殊地,當(dāng)且κ為有限值時(shí),由于,T3＝1,則式(19)簡化為振幅衰減通道中密度算符ρt的無限維算符和表示

式中

下面證明克勞斯算符M i,j的歸一化。利用Glauber算符公式,式中算符A,B滿足,可導(dǎo)出

另外,通過比較

和

可導(dǎo)出算符恒等式

這樣,利用式(24)和(27)可得

進(jìn)一步,利用拉蓋爾多項(xiàng)式Lm(xy)與雙變量埃爾米特多項(xiàng)式Hm,m(x,y)之間的關(guān)系式

以及拉蓋爾多項(xiàng)式Lm(x)的產(chǎn)生函數(shù)

可得到

再考慮到式(18),這樣就驗(yàn)證了克勞斯算符的歸一化條件

此式能導(dǎo)致trρt＝trρ0成立,這說明克勞斯算符M i,j是一個(gè)保跡的量子操作。

3 熱通道中光子計(jì)數(shù)分布的時(shí)間演化

本小節(jié)根據(jù)式(19)中演化密度算符ρt的無限維算符和表示,并利用算符排序法,可推導(dǎo)出任意初始密度算符ρ0的光子計(jì)數(shù)分布在熱通道中隨時(shí)間t的演化規(guī)律。

3.1 光子計(jì)數(shù)分布的反正規(guī)乘積表示

為了推導(dǎo)出熱通道中光子計(jì)數(shù)分布的解析演化表達(dá)式,利用反正規(guī)乘積公式[12,13]

進(jìn)一步,利用數(shù)學(xué)積分公式

這樣,把式(36)代入計(jì)算光子計(jì)數(shù)分布的基本公式

這里參數(shù)ξ被稱為量子檢測效率,即時(shí)間間隔T內(nèi)單光子被檢測到的幾率,可得到光子計(jì)數(shù)分布的反正規(guī)乘積表示

它是量子光學(xué)計(jì)數(shù)分布的新表達(dá)式,能為計(jì)算一些量子態(tài)(如相干態(tài))的光子計(jì)數(shù)分布及其在退相干環(huán)境中的演化提供方便。

3.2 光子計(jì)數(shù)分布在熱通道中的解析演化

現(xiàn)在利用式(38)來考察任意態(tài)ρ0的光子計(jì)數(shù)分布在熱環(huán)境中的退相干演化規(guī)律。為了方便計(jì)算,把光子計(jì)數(shù)分布的解析演化規(guī)律表示為

式中

進(jìn)一步,利用恒等式

可把算符Ο(t)改寫為

可給出

進(jìn)一步,利用式(44)以及數(shù)學(xué)積分公式[14,15]

可導(dǎo)出算符Ο(t)的正規(guī)乘積表示

式中

這樣,結(jié)合式(39)和式(47),可最終得到有限溫度下光子計(jì)數(shù)分布隨時(shí)間的演化規(guī)律,即

顯然,一旦知道初始態(tài)的密度算符ρ0,很容易導(dǎo)出此態(tài)的光子計(jì)數(shù)分布在有限溫度通道中的演化特性。如,對于相干態(tài),它的光子計(jì)數(shù)分布在有限溫度下隨時(shí)間的演化公式為

由式(37)和式(51)比較可知,在振幅衰減通道中光子計(jì)數(shù)分布由衰退的量子效率來控制。此結(jié)果能極大簡化耗散量子光場光子計(jì)數(shù)分布的理論研究。

綜上,根據(jù)連續(xù)變量熱場糾纏態(tài)表象理論,導(dǎo)出了量子系統(tǒng)和環(huán)境間的玻色算符互換關(guān)系,從而求解了有限溫度下系統(tǒng)的密度算符量子主方程,并把其解析解表示為無限維克勞斯算符和的形式。利用光子計(jì)數(shù)分布的反正規(guī)乘積表示,推導(dǎo)出了熱噪聲影響下光子計(jì)數(shù)分布的解析演化規(guī)律。這些結(jié)論能為開放系統(tǒng)退相干行為的理論研究提供一種新的數(shù)理處理方法,并為系統(tǒng)光子計(jì)數(shù)分布的實(shí)驗(yàn)研究提供理論參考。