分數(shù)階中立型隨機時滯微分方程解的存在唯一性

李佳敏，丁小麗，王苗苗

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院 陜西 西安 710048)

0 引 言

分數(shù)階微積分理論在生物學(xué)，力學(xué)，電路等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[1-3]，有關(guān)分數(shù)階微分方程的研究引起了人們高度重視。由于現(xiàn)實中的一些模型用確定性的分數(shù)階微分方程，或者用整數(shù)階隨機微分方程很難模擬，所以有必要將二者整合起來，進一步深入研究分數(shù)階隨機微分方程，使之應(yīng)用于更為廣泛的領(lǐng)域。關(guān)于分數(shù)階隨機微分方程解的首要問題是研究其存在的唯一性，然后嘗試能否求得該解并探索其相關(guān)性質(zhì)。黃鶴皋討論了分數(shù)階隨機微分方程解的存在唯一性[4]；MOUALKIA等討論一類分數(shù)階變階隨機微分方程解的存在唯一性，用Picard迭代法證明解的存在性，并提出了唯一性的充分條件[5]。

中立型隨機微分時滯方程是依賴于過去值和現(xiàn)在值的隨機方程，但又涉及到帶有時滯的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)本身。證明這類方程解的存在性和唯一性主要是通過Banach不動點定理和Picard迭代法等2種不同的方法進行的。BENCHOHRA等利用Banach不動點定理研究了分數(shù)階泛函微分方程和中立型泛函微分方程無窮時滯解的存在性[6]; 程燁等運用Schauder不動點定理和Banach不動點定理證明了一類分數(shù)階中立型泛函微分方程初值問題解的存在唯一性[7];在相同思路下，LU等得到了一個保證平凡解均方漸近穩(wěn)定的充分條件[8]；AGARWAL等討論了一類具有有界時滯的分數(shù)階中立型泛函微分方程的初值問題[9]。Picard迭代法也是一種很重要的近似計算方法。張遠程等用經(jīng)典的Picard迭代法研究了中立型隨機泛函微分方程解的存在唯一性，其實質(zhì)就是將微分方程轉(zhuǎn)化成與之等價的同解積分方程，然后證明該方程解的存在唯一性[10]; 在此基礎(chǔ)上，ZHOU等討論了一類具有無窮時滯的分數(shù)階中立型泛函微分方程的初值問題，得到了解的存在唯一性的判據(jù)[11]。這些研究為分數(shù)階中立型隨機時滯微分方程解的證明提供了理論支持。

分數(shù)階中立型泛函微分方程是一類特殊的分數(shù)階微分方程[12]。張志信等用分步法研究了分數(shù)階中立型泛函微分方程初值問題解的存在唯一性[13]。DING等通過引入與Mittag-Leffler函數(shù)相關(guān)的積分算子，給出了一種證明分數(shù)階隨機微分方程解存在唯一性的新方法。算子和積分不等式為微分方程解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性等性質(zhì)的研究提供了有效途徑[14-16]。不過，分數(shù)階中立型隨機時滯微分方程解的存在唯一性的證明還有待完善。本文將分步法以及Picard迭代法引入分數(shù)階中立型隨機時滯微分方程，并利用算子以及中立項的性質(zhì)解決解的存在唯一性問題。

1 預(yù) 備

定義1[17]設(shè)0<α≤1,t∈Ω,函數(shù)f(t)∈L1(Ω;Rn)的α階Riemann-Liouville型分數(shù)階積分定義為

其中Γ(·)是Gamma函數(shù)。

性質(zhì)1[18](It積分的等距性) 設(shè)G∈L2(Ω;Rn)，則G在Ω上關(guān)于m維標(biāo)準(zhǔn)Brown運動{B(t,ω):t≥0}的It積分為

其中E為期望。

引理2[19-20]設(shè)0<α<1,a(t)是在時間區(qū)間Ω上的局部可積的非負函數(shù),b(t)、g(t)是在Ω上的非負非減且有界的連續(xù)函數(shù)，如果v(t)非負，在Ω上局部可積, 且滿足

則

推論1[19]假設(shè)滿足引理2中的條件,且a(t)在Ω上非減,則

式中:Eα為Mittag-Leffler函數(shù),

定義3[18]為了證明方程(1)解的存在性，定義2個算子J1、J2分別為

式中：0<α≤1；φ(t)∈C(Ω;Rn)。

引理3[18]設(shè)0<α≤1,φ(t)∈C(Ω;Rn),則

(J1J2φ)(t)=(J2J1φ)(t)

引理4[18]設(shè)0<α≤1,φ(t)∈C(Ω;Rn),i=1,2,3，…,有下列關(guān)系成立:

2 解的存在唯一性

考慮如下形式的分數(shù)階中立型隨機時滯微分方程:

(1)

式中：τ>0為給定的時滯量；f,σ∈C(Rn×Rn×[0,T]；Rn)；g∈C(Rn×Rn×[0,T];Rn×m)是Borel可測函數(shù)D∈(Rn;Rn)為中立項；

B(t)=(B1(t),(B2(t),…,Bm(t))T

是在完備概率空間{Ω,F,P}上的m維布朗運動;ζ∈C([-τ,0];Rn)，且E|ζ(θ)|2<∞;x、ζ分別為n維向量x、ζ的集合表示。

2.1 2個基本假設(shè)

為了證明解的存在唯一性，需要以下假設(shè)：

假設(shè)1假設(shè)M∈(0,1)，?φ,φ∈C([-τ,T];Rn)及m，n∈R,有

|D(φ)-D(φ)|≤M‖φ-φ‖

1) Lipschitz條件

2) 線性增長條件

|f(x,y,t)|2≤K(1+|x|2+|y|2)

|g(x,y,t)|2≤K(1+|x|2+|y|2)

|σ(x,y,t)|2≤K(1+|x|2+|y|2)

2.2 存在唯一性證明

首先在區(qū)間[0,τ]上討論五步法，證明解的存在唯一性。當(dāng)t∈[0,τ]時，

第1步: 方程(1)可變形為

第2步: 對于k=0,1,2,…,構(gòu)造Picard迭代序列{xk+1(t)}:

xk+1(t)=ζ(0)+D(xk(t-τ))-D(x(-τ))+

利用數(shù)學(xué)歸納法證明xk+1(·)∈M2([-τ，T];Rn)。當(dāng)k=0時，顯然可以得到x1(t)=ζ(0)-D(x(-τ))∈M2([-τ,T];Rn)。不妨設(shè)xk(t)∈M2([-τ,T];Rn)，將驗證xk+1(t)∈M2([-τ,T];Rn)。

E|xk+1(t)|2≤6E|ζ(0)|2+

6E|D(xk(t-τ))-D(x(-τ))|2+

|σ(xk(s),xk(s-τ),s)|2ds≤

6E|ζ(0)|2+6M2E|xk(t-τ)-x(-τ)|2+

E|xk(s-τ)|2)ds≤

6E|ζ(0)|2+12M2E|xk(t-τ)|2+

12M2E|x(-τ)|2+

E|xk(s-τ)|2]ds+

E|xk(s-τ)|2]ds

由于ζ(0)∈M2([-τ,T]；Rn),xk(t)∈M2([-τ,T];Rn)，因此xk+1(t)∈M2([-τ,T]；Rn),即xk(t)∈M2([-τ,T];Rn)。

第3步: 證明序列{xk(t)}在區(qū)間[0,T]上一致收斂。

令ek+1(t)=E|xk+1(t)-xk(t)|2,則

根據(jù)算子J1、J2的定義，

由文獻[14]中的性質(zhì)2.2可以得到，J1、J2對φ(t)∈C(Ω;Rn)是非遞減的。對k進行數(shù)學(xué)歸納可知

由引理3知J1、J2可交換,由文獻[14]中的性質(zhì)2.1知J1、J2是定義在C(Ω;Rn)上的緊算子,且σ*(J1)=σ*(J2)={0},其中σ*(·)表示算子的譜,因此{xk(t)}是Cauchy序列,即Picard迭代序列{xk(t)}在區(qū)間[0,T]上均方一致收斂。

第4步:證明序列{xk(t)}的極限是方程(1)的解。

x(t)=ζ(0)+D(x(t-τ))-D(x(-τ))+

第5步: 證明方程(1)具有唯一解。

利用(a+b+c)2≤3|a|2+3|b|2+3|c|2,其中a,b,c∈R以及H?lder不等式、It積分的等距性、Lipschitz條件和假設(shè)1，得

I1+I2

其中：

由引理2得

當(dāng)t∈[τ,2τ]時,前4步方法與上述相同。

第5步: 證明方程(1)具有唯一解。

利用(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2)、H?lder不等式、It積分的等距性、Lipschitz條件和假設(shè)1，得

其中：

|σ(x(s),x(s-τ),s)-

由引理2得，

當(dāng)t∈[τ,2τ]時,方程(1)的解存在且唯一。

以此類推,當(dāng)t∈[(n-1)τ,nτ]時,方程(1)解存在且唯一。故t∈[0,T]時，方程(1)的解存在且唯一。證畢。

注記1在分數(shù)階隨機時滯微分方程的基礎(chǔ)上，增加中立項以及有關(guān)中立項的假設(shè)，即推廣了文獻[18]的結(jié)論。

3 結(jié) 語

研究了分數(shù)階中立型隨機時滯微分方程解的存在唯一性問題。利用分步法思想，在各個區(qū)間逐一進行討論，且結(jié)合Picard迭代法以及積分算子理論，增添算子,證明分數(shù)階中立型隨機時滯微分方程解的存在性和唯一性。使得分數(shù)階中立型隨機時滯微分方程解的存在唯一性的證明更加簡潔,同時也為后續(xù)研究波形松弛方法求解分數(shù)階中立型隨機時滯微分方程打下基礎(chǔ)。