從一道函數(shù)恒成立問題引發(fā)的教學(xué)思考

廣西南寧市第三中學(xué)（530021）汪世杰

《禮記·學(xué)記》有云：“學(xué)然后知不足，教然后知困?！痹谑甑慕虒W(xué)生涯中，筆者接觸了大量思維能力不同的學(xué)生。他們的解題經(jīng)驗(yàn)雖然不如筆者豐富，但是常常具有創(chuàng)造性思維，能不拘泥于常規(guī)，想到很多筆者想不到的“點(diǎn)”。筆者認(rèn)為，在教書育人的過程中，一方面是筆者在傳道授業(yè)，另一方面是學(xué)生的創(chuàng)造性思維加深了筆者對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，所謂教學(xué)相長也?？梢院敛豢鋸埖卣f，筆者很多時(shí)候是站在學(xué)生的肩膀上，從而讓自己看得更遠(yuǎn)。

筆者現(xiàn)執(zhí)教高三年級(jí)，學(xué)生的基礎(chǔ)還不錯(cuò)，考完南寧市的摸底考后，筆者在課堂上評(píng)析其中的導(dǎo)數(shù)壓軸題時(shí)，引起了學(xué)生的熱烈討論?，F(xiàn)將整個(gè)課堂的實(shí)錄整理如下。

題目的第（2）問：若ex-1+x(lnx-ax)≥0 恒成立，求a的取值范圍。

一說到恒成立問題，很快就有學(xué)生趙某發(fā)言：“本題可以用分離參數(shù)的方法來求解?！惫P者順勢請(qǐng)趙某上來板書解答的過程。過程如下：由ex-1+x(lnx-ax)≥0 恒成立，可得也恒成立。記，則g′(x)=顯然g″(x)在(x0,+∞)單調(diào)遞增且g″(1)=0，當(dāng)(x0,+∞)時(shí)g″(x)＞0，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)g″(x)＜0，g′(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減，在x∈(x0,+∞)上單調(diào)遞增。[g′(x)]min=g′(1)=0，g(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增且g(1)=0，當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)g(x)＞0，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)g(x)＜0，當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)f′(x)＞0，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)f′(x)＜0。

f(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增，[f(x)]min=f(1)=1，a≤1。

趙某的解答邏輯清晰，過程嚴(yán)密，贏得了全班同學(xué)的熱烈掌聲。此時(shí)，班上的學(xué)生李某提出了自己的解法，他使用的也是分離參數(shù)法，但是他認(rèn)為可以通過放縮的技巧減少求導(dǎo)的次數(shù)。這里只展示他和趙某解答過程中不同的地方：注意到g′(x)=(x-1)ex-1-lnx，由切線放縮不等式x-1 ≥lnx（先證再用）可知，g′(x)≥(x-1)(ex-1-1)≥0恒成立。李某說：“通過放縮我們可以發(fā)現(xiàn)g′(x)≥0，這就避免了再次對(duì)g′(x)求導(dǎo)，可以有效節(jié)約解題的時(shí)間?！边@個(gè)觀點(diǎn)拋出來，大家立刻給予熱烈的掌聲，紛紛贊許李某觀察仔細(xì)。

正當(dāng)筆者準(zhǔn)備講下一道題時(shí)，學(xué)生王某提出一個(gè)問題：“本題能否不分離參數(shù)，而是直接研究原函數(shù)不等式恒成立？”筆者說道：“理論上來說是可以的，直接求解原函數(shù)的最值也是恒成立的一種常見方法?！蓖跄痴f：“但是我試了這種方法，解到某一步就進(jìn)行不下去了?！?/p>

筆者讓王某將他的解法展示出來，過程如下：記g(x)=ex-1+x(lnx-ax)，∵g′(x)=ex-1+lnx+1-2ax，∴g″(x)=不難發(fā)現(xiàn)g?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增且g?(1)=0，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)g?(x)＞0，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)g?(x)＜0。g″(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，[g″(x)]min=2-2a。

接下來如何解答？王某表示應(yīng)該對(duì)a進(jìn)行分類 討論。當(dāng)a≤1時(shí)，g″(x)≥0恒成立，g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。g′(1)=2-2a≥0且當(dāng)x→0時(shí)，g′(x)→-∞，g′(x)在(0,+∞)上有唯一的零點(diǎn)，記為x=x0，x0∈(]0,1，當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)g′(x)＞0，當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)g′(x)＜0，g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增，[g(x)]min=“解到這我的思路就斷了，感覺函數(shù)g(x)的最小值求不出來。”王某說。

“通過零點(diǎn)虛設(shè)代換可以證明當(dāng)a≤1時(shí)，g(x)≥0 恒成立，但是當(dāng)a＞1時(shí)，如何證明g(x)≥0不恒成立的方法我還沒有找到。”趙某接著說道。

“既然是要證明當(dāng)a＞1時(shí)，g(x)≥0 不恒成立，意味著我們是不是只要找到一個(gè)正數(shù)m，使得g(m)＜0就可以了？”筆者提醒道。

趙某馬上反應(yīng)過來，答道：“就取m=1，此時(shí)g(1)=1-a＜0，就可以說明當(dāng)a＞1時(shí)，g(x)≥0 不恒成立了?！边@時(shí)班上再次響起熱烈的掌聲，通過王某和趙某的合作，得出了本題的第二種解法。

“同學(xué)們，剛才我們得出的第二種解法，還有沒有需要修改的地方？”筆者問道。發(fā)現(xiàn)學(xué)生一臉茫然，筆者便繼續(xù)追問：“如何判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)？”這時(shí)馬上有學(xué)生回答：“用零點(diǎn)存在定理判斷?！比绾斡昧泓c(diǎn)存在定理判斷呢？下面讓我們一起來回顧零點(diǎn)存在定理：對(duì)于[ ]a,b的連續(xù)函數(shù)f(x)，若f(a)f(b)≤0，則f(x)在[ ]a,b必有零點(diǎn)。你們發(fā)現(xiàn)第二種解法需要改進(jìn)的地方了嗎？平時(shí)很少發(fā)言的學(xué)生林某舉起手，說道：“之前王某在判斷g′(x)在(0,+∞)上有唯一的零點(diǎn)時(shí)，只說明了g′(1)=2-2a≥0，而沒有找到一個(gè)正數(shù)m，使得g′(m)＜0，他用‘當(dāng)x→0時(shí)，g′(x)→-∞’這種極限的技巧來代替‘找到一個(gè)正數(shù)m，使得g′(m)＜0’，確實(shí)很妙，但是超出了高中數(shù)學(xué)知識(shí)的范疇，在考試中可能會(huì)被扣分?！薄澳阌^察得很仔細(xì)，我們判斷零點(diǎn)是否存在一定要嚴(yán)格依照零點(diǎn)存在定理來判斷。下面讓我們一起把第二種解法的補(bǔ)丁打上吧，即找到一個(gè)正數(shù)m，使得g′(m)＜0?！惫P者說道?！斑@不是我們之前研究過的一個(gè)有關(guān)取點(diǎn)的技巧嗎？從趨勢上看，當(dāng)x→0時(shí)，g′(x)=ex-1+lnx+1-2ax中的()

ex-1+1-2ax→常數(shù)，而lnx→-∞，我們只要適當(dāng)放縮變形一下g′(x)就可以了?！睂W(xué)生馬某說。“嗯，很不錯(cuò)，直接找一個(gè)正數(shù)m，使得g′(m)＜0 有點(diǎn)困難，那么我們?nèi)绾螌?duì)g′(x)進(jìn)行變形呢？”筆者接著問道。平時(shí)擅長放縮變形的學(xué)生李某這時(shí)站出來展示他熟練的放縮技巧：

注意到g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增且g′(1)=2-2a≥0，下面要找一個(gè)數(shù)m∈(0,1)，使得g′(m)＜0。g′(m)=em-1+lnm+1-2am＜lnm+2-2am=ln e2m-2am≤e2m-1-2am（這里用到切線放縮不等式x-1 ≥lnx）。若e2m-1-2am＜0，即m＜，則g′(m)＜0，因此取m=時(shí)，g′(m)＜0。

他精彩的放縮步驟贏得了同學(xué)們熱烈的掌聲。正當(dāng)筆者準(zhǔn)備講評(píng)下一道題目時(shí)，李某再次舉手表示他有一個(gè)新的簡便方法來解決本題。方法如下：

要證ex-1+x(lnx-ax)≥0 恒成立，即證+(lnx-ax)≥0 恒成立，即證ex-1-lnx+(lnx-ax)≥0，由切線放縮不等式ex-1≥x可得ex-1-lnx+(lnx-ax)≥x-lnx+lnx-ax=(1-a)x。當(dāng)a≤1時(shí)，即可得到ex-1-lnx+(lnx-ax)≥0 恒成立；當(dāng)a＞1時(shí)，記g(x)=ex-1+x(lnx-ax)，則g(1)=1-a＜0，說明ex-1+x(lnx-ax)≥0不恒成立。故當(dāng)a＞1時(shí)不符題意，因此a≤1。

這個(gè)方法既新穎又簡便，出乎筆者意料，全班學(xué)生也對(duì)李某欽佩不已。筆者問道：“這么巧妙的方法你是怎么想到的？”李某謙虛地說：“我平時(shí)在刷題過程中，遇到過類似的問題，便想著這題是不是也可以這么解，結(jié)果還真解出來了?！彼贸銎綍r(shí)積累的數(shù)學(xué)筆記和資料，找了一道類似本題的題目分享給大家，題目如下：

若x(e2x-a)≥1 +x+lnx在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范圍。

“同學(xué)們，學(xué)霸就是這么養(yǎng)成的，十年磨一劍，每天堅(jiān)持不懈地學(xué)習(xí)和總結(jié)，才換來現(xiàn)在課堂上的精彩表現(xiàn)！我建議大家再給他一些熱烈的掌聲！”筆者懷著激動(dòng)的心情說道。平時(shí)很少發(fā)言的張某在一旁飛速計(jì)算著李某分享的題目，他舉起手并說道：“李某提供的方法確實(shí)妙，我們記h(x)=x(e2xa)-(1+x+lnx)=e2x+lnx-ax-(1+x+lnx)≥2x+lnx+1-ax-(1+x+lnx)=(1-a)x，當(dāng)a≤1時(shí)，即可得h(x)≥0 恒成立。當(dāng)a＞1時(shí)，則h(1)=e2-a-2，此時(shí)我們無法判斷h(1)的正負(fù)，從而不能判斷當(dāng)a＞1時(shí)h(x)≥0 是否恒成立?！薄捌鋵?shí)當(dāng)a＞1時(shí)是可以取到一個(gè)點(diǎn)x0，使得h(x0)＜0 的。不過這次的取點(diǎn)不像前一道題那樣簡單。本題要取一個(gè)這樣的點(diǎn)x0，須滿足2x0+lnx0=0，即=1。此時(shí)，h(x0)==(1-a)x0，由a＞1可知h(x0)＜0。”李某回應(yīng)道?！澳闶窃趺聪氲揭∫粋€(gè)這樣的點(diǎn)x0，使它滿足2x0+lnx0=0 的呢？”筆者追問道。李某回答說：“這其實(shí)和我們所用的切線放縮不等式有關(guān)，我們知道ex≥x+1 當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，本題中，我們是用到了e2x+lnx≥2x+lnx+1這個(gè)形式的切線放縮，因此取等號(hào)條件變?yōu)楫?dāng)且僅當(dāng)2x+lnx=0 了，我們只要取滿足方程2x+lnx=0 的根x0即可。當(dāng)a＞1時(shí)，將使得上述不等式的不等號(hào)變方向，即找到一個(gè)點(diǎn)x0，使得h(x0)＜0?！边@番精彩的分析，立刻收到大家熱烈的掌聲。“這種方法具有普遍性嗎？在什么情況下適用？”筆者接著追問道?！斑@種方法不是萬能的，比如說：證明當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，x2ex＞lnx+1 恒成立，上述方法就不適用。因?yàn)閤2ex=ex+2lnx≥x+2 lnx+1，但我們無法證明x+2 lnx+1＞lnx+1 也恒成立，所以這道題就不太適用此方法。”李某回答?！澳敲?，這種方法在什么情況下適用？”筆者問道。過了一會(huì)兒，趙某舉手回答：“我覺得可以逆向思考，本方法的實(shí)質(zhì)是使用切線不等式ex≥x+1進(jìn)行放縮，因此可以得出如下式子ealnx+bx+c≥alnx+bx+c+1，即滿足xaebx+c≥alnx+bx+c+1 形式的式子可以使用此方法。”大家聽完趙某的分析之后恍然大悟，其實(shí)這種方法的本質(zhì)就是切線放縮的一種特殊形式，不過由于其變形方式獨(dú)特，一直未被大家所發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用。就在此時(shí)，趙某再次提出一個(gè)問題：“剛才我們分析的‘若x(e2x-a)≥1 +x+lnx在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范圍?！@道題可以用分離參數(shù)法來解答嗎？我在用這種方法分析的過程中遇到一個(gè)困難：原不等式等價(jià)于記f(x)=，則f′(x)=，顯然g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且g(1)＞0，。g(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點(diǎn)x0，即，當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)g(x)＞0，即f′(x)＞0；當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)g(x)＜0，即f′(x)＜0，∴f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增。這時(shí)我發(fā)現(xiàn)f(x)的最小值似乎求不出來?！比鄬W(xué)生陷入沉思之中，一方面大家都認(rèn)為f(x)的最小值是可以求出來的，但是既求不出x0，又無法將+lnx0=0這個(gè)式子整體代換到f(x)的最小值中消去x0。這時(shí)筆者不失時(shí)機(jī)地提醒+lnx0=0這個(gè)式子還可以化簡嗎？”“哦，好像可以構(gòu)造同構(gòu)式來化簡。由前知等價(jià)于ln(-lnx0)，即ln(2x0)+lnx0+2x0=ln(-lnx0)，即ln(2x0)+2x0=ln(-lnx0)+(-lnx0)，由y=lnx+x單調(diào)遞增可知，2x0=-lnx0，”趙某激動(dòng)地說，“這樣一來即a≤1?！壁w某精彩的發(fā)言再次贏得了全班熱烈的掌聲。

波利亞曾經(jīng)說過，當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再環(huán)顧四周，它們總是成群生長的。在數(shù)學(xué)課堂上如何引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究興趣，如何啟發(fā)學(xué)生的思維是教師需要深入思考的問題。如果只是單獨(dú)解答一道題，學(xué)生很難從中有很大的收獲，教師應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生由此及彼，通過深入研究一道題，找到解決一類題的方法，或者是通過一題多解，開闊學(xué)生的視野，鍛煉學(xué)生的思維能力。更重要的是，在探究的過程中，凸顯問題的本質(zhì)，揭示出知識(shí)之間的聯(lián)系，從而使得課堂教學(xué)更加高效。