基于核心素養(yǎng)的導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)研究
——以“線(xiàn)面垂直的判定”教學(xué)為例

廣東廣州市第八十六中學(xué)（510700）魏勇

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中提到，高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。教師應(yīng)將這項(xiàng)目標(biāo)全面滲透到教學(xué)活動(dòng)中，進(jìn)而使學(xué)生的思維能力得到有效提升，使學(xué)生的潛力得到有效挖掘，使學(xué)生的發(fā)展需求得到滿(mǎn)足。

數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案是一種比較重要的學(xué)習(xí)方案，它能夠引導(dǎo)學(xué)生有針對(duì)性地學(xué)習(xí)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得到有效提升。對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，導(dǎo)學(xué)案發(fā)揮著十分重要的作用，因此數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)中有意識(shí)地落實(shí)核心素養(yǎng)。

下面以“線(xiàn)面垂直的判定”教學(xué)為例，談?wù)勅绾螌?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)滲透到導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)中。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.利用直觀(guān)感知對(duì)直線(xiàn)與平面垂直的畫(huà)法形成正確的認(rèn)識(shí)。

2.利用“直觀(guān)感知—?jiǎng)邮植僮鳌急嬲撟C”的認(rèn)識(shí)方法對(duì)直線(xiàn)與平面垂直的定理進(jìn)行判斷。

3.熟練掌握直線(xiàn)與平面垂直的判定方法。

4.能夠從實(shí)際生活中找出幾何圖形之間的聯(lián)系，提升邏輯思維能力和觀(guān)察能力。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）發(fā)放導(dǎo)學(xué)案，引導(dǎo)學(xué)生預(yù)習(xí)

教師發(fā)放導(dǎo)學(xué)案，引導(dǎo)學(xué)生課前預(yù)習(xí)完成導(dǎo)學(xué)案并由小組合作檢驗(yàn)，課堂上進(jìn)行展示、質(zhì)疑，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

附：導(dǎo)學(xué)案（局部）

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)（略）

二、重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的定義；

難點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定定理的探究。

三、學(xué)習(xí)過(guò)程

（一）直線(xiàn)與平面垂直的定義

有關(guān)概念：直線(xiàn)l叫平面α的__________，平面α叫作直線(xiàn)l的__________。直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫作__________。

（二）直線(xiàn)與平面垂直的判定定理

（三）例題講解

［例1］如圖3 所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)。求 證：（1）BD⊥平面PAC；（2）AM⊥平面PDC。

圖3

總結(jié)：

（1）證明線(xiàn)面垂直轉(zhuǎn)化為證明_____________；

（2）證明異面直線(xiàn)垂直轉(zhuǎn)化為證明_____________。

［例2］如圖4 三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點(diǎn)。

圖4

（1）求證：AC⊥平面VKB；

（2）求證：VB⊥AC。

思路：（1）

（二）創(chuàng)設(shè)情境，建構(gòu)概念

知識(shí)點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的定義。

復(fù)習(xí)1：直線(xiàn)與平面有幾種位置關(guān)系？

生1：平行、相交、線(xiàn)在面內(nèi)。

復(fù)習(xí)2：為什么沒(méi)有直線(xiàn)與平面垂直呢？

生2：垂直是相交的一種特殊情況。

引入課題：既然“垂直”那么重要，我們今天就來(lái)一起研究“直線(xiàn)與平面垂直”。

問(wèn)題1：在陽(yáng)光下對(duì)垂直插在地面上的旗桿AB及其在地面上的影子BC進(jìn)行仔細(xì)的觀(guān)察，這時(shí)能夠觀(guān)察到隨著時(shí)間的變化，影子的位置也在不斷移動(dòng)，而旗桿所在的直線(xiàn)AB與其影子所在的直線(xiàn)BC的夾角隨著時(shí)間的變化是不是也會(huì)產(chǎn)生變化？角度又是如何變化的？

生3：旗桿所在的直線(xiàn)AB與其影子所在的直線(xiàn)BC的夾角始終保持不變，都是直角。

問(wèn)題2：旗桿AB和地面上任意一條不過(guò)旗桿底部B的直線(xiàn)m之間形成怎樣的位置關(guān)系？

生4：旗桿AB和地面上任意一條不過(guò)旗桿底部B的直線(xiàn)m都垂直。

問(wèn)題3：通過(guò)旗桿AB和地面垂直、旗桿AB和地面上任意一條直線(xiàn)垂直關(guān)系的思考，哪位同學(xué)可以說(shuō)出直線(xiàn)與平面垂直的定義？

生5：如果直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)l與平面α互相垂直。直線(xiàn)l叫作平面α的垂線(xiàn)，平面α叫作直線(xiàn)l的垂面。直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫作垂足。

（三）實(shí)驗(yàn)探究，操作確認(rèn)

實(shí)驗(yàn)探究：準(zhǔn)備三角形紙片，如圖5，在△ABC的頂點(diǎn)A將紙片翻過(guò)來(lái)折起來(lái)，折痕AD，然后將其放到桌面上（BD，DC和桌面接觸）。

圖5

問(wèn)題4：折痕AD與桌面一定垂直嗎？

生6：不一定。

問(wèn)題5：怎樣翻折才能使折痕AD與桌面垂直？

學(xué)生7：折痕AD⊥BC時(shí)，AD與桌面垂直。（如圖6和圖7）

圖6

圖7

問(wèn)題6：由折痕AD⊥BC，翻折之后的垂直關(guān)系A(chǔ)D⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

生8：由折痕AD⊥BC可知，翻折之后AD⊥CD，AD⊥BD，由此可以得到直線(xiàn)AD與桌面是垂直關(guān)系。

問(wèn)題7：哪位同學(xué)可以總結(jié)歸納直線(xiàn)與平面垂直的判定定理？

生9：如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么該直線(xiàn)與此平面垂直。

（四）數(shù)學(xué)引用，鞏固新知

［例1］如圖8，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)。求證：（1）BD⊥平面PAC；（2）AM⊥平面PDC。

圖8

思路：（1）要證BD⊥平面PAC，即證BD⊥AC（已知），BD⊥PA；

要證BD⊥PA，即證PA⊥面ABCD（已知）。

（2）要證AM⊥平面PDC，即證AM⊥PD，AM⊥CD；

要證AM⊥PD，即證PA=AD（已知）且PM=DM；

要證AM⊥CD，即證CD⊥面PAD。

總結(jié)：

（1）證明線(xiàn)面垂直轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；

（2）證明異面直線(xiàn)垂直轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直。

設(shè)計(jì)意圖：理解直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，掌握直線(xiàn)和平面垂直的本質(zhì)，即直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，從而將線(xiàn)面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)換為線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題。線(xiàn)線(xiàn)垂直可分為共面垂直和異面垂直，共面垂直屬于平面幾何問(wèn)題，異面垂直可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直。通過(guò)倒推的方式讓學(xué)生理解立體幾何證明的思維模式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

［例2］如圖9，三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點(diǎn)。

圖9

（1）求證：AC⊥平面VKB；（2）求證：VB⊥AC。

思路：（1）要證AC⊥平面VKB，即證AC⊥VK，AC⊥BK；

要證AC⊥VK，即證VA=VC，AK=CK（已知）；

要證AC⊥BK，即證BA=BC，AK=CK（已知）。

（2）要證VB⊥AC，即證AC⊥平面VKB（已知）。

設(shè)計(jì)意圖：理解并掌握共面垂直的常見(jiàn)類(lèi)型，矩形、正方形的鄰邊，菱形的對(duì)角線(xiàn)，等腰三角形的中線(xiàn)等；了解異面直線(xiàn)垂直的證明方法。

三、導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)反思

（一）導(dǎo)學(xué)案的學(xué)習(xí)目標(biāo)需立足“四基”

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，要通過(guò)豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本思想、基本技能以及基本知識(shí)來(lái)實(shí)現(xiàn)。如果沒(méi)有“四基”，很難提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)形成全面的了解，能夠領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的基本思想、基本技能等，只有這樣才能夠有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀(guān)感知及已有經(jīng)驗(yàn)（兩條相交直線(xiàn)確定一個(gè)平面），進(jìn)行合情推理，獲得直線(xiàn)與平面垂直的判定定理：如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么該直線(xiàn)與此平面垂直。

（二）導(dǎo)學(xué)案需創(chuàng)設(shè)合適的情境

只有在合適的數(shù)學(xué)情境中，學(xué)生才能進(jìn)行深度思考與交流，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)才能得到提升。本文主要圍繞直線(xiàn)與平面垂直的定義、直線(xiàn)與平面垂直的判定定理來(lái)設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案。學(xué)生通過(guò)完成導(dǎo)學(xué)案能夠使自身的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到顯著提升。教師需要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際需求，為學(xué)生創(chuàng)建良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生合理利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)思想，解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題。只有創(chuàng)設(shè)合適的情境，學(xué)生才能夠?qū)⑿屡f知識(shí)聯(lián)系在一起，進(jìn)而對(duì)新知識(shí)有更加全面的理解，同時(shí)激活已有經(jīng)驗(yàn)，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。有研究者認(rèn)為，學(xué)生只有在具體的情境中完成知識(shí)的建構(gòu)，才會(huì)認(rèn)識(shí)到知識(shí)的價(jià)值，這是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的前提。

（三）導(dǎo)學(xué)案應(yīng)重視探究活動(dòng)

要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，最重要的就是開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。本節(jié)課的導(dǎo)學(xué)案結(jié)合兩個(gè)探究活動(dòng)展開(kāi)設(shè)計(jì)。通過(guò)對(duì)地面和旗桿的位置關(guān)系進(jìn)行觀(guān)察，進(jìn)而總結(jié)出線(xiàn)面垂直的概念；通過(guò)對(duì)地面垂直和三角形折疊的折線(xiàn)之間的關(guān)系開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步總結(jié)出直線(xiàn)和平面垂直的判定定理。

教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，從任務(wù)確定到任務(wù)探究、任務(wù)分配、流程安排到活動(dòng)組織、成果展示、結(jié)果評(píng)價(jià)等諸多環(huán)節(jié)，都要去設(shè)計(jì)和安排，保證探究活動(dòng)的有效開(kāi)展，減少探究的盲目性，避免課堂的無(wú)序性，準(zhǔn)確把握學(xué)生探究學(xué)習(xí)的深度。

（四）導(dǎo)學(xué)案應(yīng)著力引導(dǎo)學(xué)生思考

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師組織學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng)，能使學(xué)生的思維能力得到提升，使學(xué)生懂得運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問(wèn)題。教師應(yīng)該充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，采取多樣化的教學(xué)方式，促使學(xué)生更主動(dòng)地學(xué)習(xí)。導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計(jì)越貼近學(xué)生的思維，課堂就越能按照預(yù)設(shè)的主線(xiàn)前進(jìn)。當(dāng)然，有時(shí)也會(huì)遇到一些生成性問(wèn)題，學(xué)生對(duì)某些例題可能會(huì)形成多種解題思路。學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的生成性問(wèn)題都是由學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)與新知識(shí)之間的沖突形成的，是非常寶貴的教學(xué)資源。閱讀自學(xué)、動(dòng)手實(shí)踐、獨(dú)立思考、自主探究、合作交流、展示質(zhì)疑等都是導(dǎo)學(xué)案的學(xué)習(xí)方式，教師應(yīng)通過(guò)多種方式引導(dǎo)學(xué)生思考，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。