高中數(shù)學(xué)“學(xué)科育人”的五個(gè)維度
——以“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用”教學(xué)為例

廣西南寧市第三中學(xué)（530021）王學(xué)建

教育部于2017 年8 月17 日發(fā)布的《中小學(xué)德育工作指南》，要求將育人目標(biāo)細(xì)化落實(shí)到各學(xué)科課程的教學(xué)目標(biāo)之中，滲透到教學(xué)全過程。數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度抽象、邏輯嚴(yán)密、廣泛應(yīng)用的顯著特點(diǎn)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的態(tài)度、方法、能力有很大的幫助。數(shù)學(xué)教學(xué)有助于學(xué)生樹立勇于創(chuàng)新、求真求實(shí)的思想品質(zhì)。數(shù)學(xué)教學(xué)在學(xué)科育人中發(fā)揮著重要的作用。本文以“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用”的教學(xué)為例，從知識(shí)、技能、活動(dòng)、思想、生活五個(gè)維度闡述高中數(shù)學(xué)“學(xué)科育人”的實(shí)施途徑。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）新課引入

師：在本章的前兩節(jié)中，大家學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算，知道了導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，它定量地刻畫了函數(shù)的局部變化。大家能否利用導(dǎo)數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)呢？

師：觀察視頻中佩奇家汽車的燈光變化（如圖1），你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖1

問題1：能不能從這個(gè)動(dòng)畫中看出數(shù)學(xué)問題？試抽象出數(shù)學(xué)模型。

分析：汽車燈光的方向在汽車行進(jìn)過程中發(fā)生變化，引導(dǎo)學(xué)生利用這一常見的生活現(xiàn)象抽象出數(shù)學(xué)問題，即將行進(jìn)路線抽象為函數(shù)的圖像，將光線抽象為函數(shù)的切線，將山坡抽象為函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間D上的圖像，將汽車抽象為圖像上一點(diǎn)，將汽車的燈光抽象的過這一點(diǎn)的切線（如圖2）。

圖2

問題2：當(dāng)汽車在行進(jìn)的過程中，燈光的變化對(duì)應(yīng)的函數(shù)具有怎樣的性質(zhì)？

引導(dǎo)學(xué)生利用圖表提取關(guān)鍵信息，將生活實(shí)際與數(shù)學(xué)問題對(duì)應(yīng)，完成數(shù)學(xué)建模過程（如圖3）。

圖3

設(shè)計(jì)意圖：這節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)在于將導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系起來，并抽象出兩者的關(guān)系。借助生活中常見的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅能順利引出課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)，還能滲透數(shù)學(xué)建模的基本思想，體現(xiàn)“生活育人”的重要作用。

（二）概念形成

問題3：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么聯(lián)系？

拖動(dòng)點(diǎn)M，觀察點(diǎn)M在增區(qū)間和減區(qū)間上運(yùn)動(dòng)時(shí)切線斜率的變化情況（如圖4）。

圖4

引導(dǎo)學(xué)生得出以下結(jié)論。

函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間具有如下關(guān)系：

在某個(gè)區(qū)間（a，b）上，如果f′(x)＞0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增；

在某個(gè)區(qū)間（a，b）上，如果f′(x)＜0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際可操作的“形”出發(fā)，著眼于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，歷經(jīng)實(shí)際觀察、大膽猜想、細(xì)致歸納、嚴(yán)格證明等過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程，提煉出一般性結(jié)論，從而使學(xué)生真正成為“育人”對(duì)象。

（三）概念深化

問題4：將生活實(shí)際抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題是了解數(shù)學(xué)知識(shí)的常用方法。剛才通過觀察與分析，大家得出了結(jié)論。那么，這個(gè)結(jié)論是否具有一般性，如何探究結(jié)論是否正確？

分析：函數(shù)的單調(diào)性是“形”上的特性，要想驗(yàn)證結(jié)論最直接的方法是另外找?guī)讉€(gè)函數(shù)來分析，更精確的方法是從“數(shù)”的角度，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系來推導(dǎo)。

活動(dòng)一：請同學(xué)們研究學(xué)過的函數(shù)，然后與小組同學(xué)討論總結(jié)出導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，驗(yàn)證前面的猜想，并填寫表1。

表1

啟示：從特殊到一般，再從一般到特殊，是認(rèn)識(shí)事物的基本規(guī)律，也是重要的數(shù)學(xué)思想方法。

活動(dòng)二：從導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的定義出發(fā)，進(jìn)行小組探究。

分析：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增，等價(jià)于?x1,x2∈(a,b),f(x)在x1與x2之間函數(shù)的平均變化率恒為正，即?x1,x2∈(a,b)，恒有該式的幾何意義是經(jīng)過點(diǎn)A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))的割線AB的斜率。

因?yàn)閒(x)在區(qū)間（a，b）上處處有導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)y=f(x)的圖像在區(qū)間（a，b）上處處有切線。?x1,x2∈(a,b)，不妨設(shè)x1＜x2，當(dāng)x在區(qū)間(x1,x2)上從左端點(diǎn)x1變化到右端點(diǎn)x2時(shí)，函數(shù)圖像的切線也會(huì)隨著變化。從直觀上看，能找到一點(diǎn)T(x0,f(x0))，使函數(shù)y=f(x)的圖像在點(diǎn)T處的切線與直線AB平行。因此，存在x0∈(x1,x2)，使得從而函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增。

問題5：如果在某個(gè)區(qū)間上恒有f′(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特性？

分析：如果在某個(gè)區(qū)間I上恒有f′(x)=0，那么對(duì)于區(qū)間I上任意一點(diǎn)x0，函數(shù)y=f(x)的圖像在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率為0，從而函數(shù)圖像在該點(diǎn)處的切線平行于x軸，在(x0,f(x0))附近幾乎沒有升降。因?yàn)閤0是區(qū)間I上任意一點(diǎn)，所以函數(shù)y=f(x)的圖像在任意一點(diǎn)(x0,f(x0))，x0∈I附近幾乎沒有升降，從而函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上為常數(shù)函數(shù)，即f(x)=c（c為常數(shù)）。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已學(xué)過的函數(shù)，驗(yàn)證猜想的正確性，加深對(duì)結(jié)論內(nèi)涵的理解。利用函數(shù)單調(diào)性的定義給出嚴(yán)格的證明，既體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，又突出了數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，合作探究是重要的教學(xué)手段，契合“活動(dòng)育人”的要求。

（四）應(yīng)用探索

［例1］利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性。

（1）f(x)=x3+3x；

（2）f(x)=sinx-x,x∈(0,π)；

（3）f(x)=

（4）f(x)=ex-x。

活動(dòng)：用幾何畫板畫出這四個(gè)函數(shù)的圖像，觀察、驗(yàn)證得到的結(jié)論。

圖5

圖6

圖7

圖8

一般情況下，可以通過如下步驟判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性。

第一步，確定函數(shù)的定義域。

第二步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)。

第三步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。

［例2］已知導(dǎo)函數(shù)f′(x)的下列信息。

當(dāng)1＜x＜4時(shí)，f′(x)＞0；

當(dāng)x＜1或x＞4時(shí)，f′(x)＜0；

當(dāng)x=1或x=4時(shí)，f′(x)=0。

試畫出函數(shù)f(x)圖像的大致形狀。

活動(dòng)：在同一坐標(biāo)系中同時(shí)畫出f(x)與f′(x)的圖像（如圖9），并進(jìn)行比較。

圖9

設(shè)計(jì)意圖：例1 利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，并畫出圖像檢驗(yàn)，規(guī)范了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟。例2 結(jié)合圖像展現(xiàn)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)出用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的優(yōu)越性。這兩個(gè)例題重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生用導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)的單調(diào)性的問題，深化學(xué)生對(duì)結(jié)論的理解。

（五）歸納總結(jié)

問題6：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些感想？具體學(xué)到了什么？為什么有這樣的結(jié)論？應(yīng)該如何應(yīng)用這些結(jié)論？

教師小結(jié)：

1.本節(jié)課從曲線切線斜率與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系入手，研究了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系。在某個(gè)區(qū)間（a，b）上，如果f′(x)＞0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增；在某個(gè)區(qū)間（a，b）上，如果f′(x)＜0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減。

2.可以通過導(dǎo)數(shù)f′(x)的正負(fù)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性以及確定其單調(diào)區(qū)間。

3.通過由“形”到“數(shù)”、由“數(shù)”到“形”的數(shù)學(xué)建模過程，展現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”這一重要數(shù)學(xué)思想。

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)反思的良好習(xí)慣，升華本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容；讓學(xué)生通過自我評(píng)價(jià)來獲得成就感，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣與信心。

二、教學(xué)評(píng)析

“育人”是教育的最終目標(biāo)，是教師的職責(zé)，也是課堂教學(xué)的價(jià)值所在。本節(jié)課的各個(gè)環(huán)節(jié)充分凸顯了以提高學(xué)科核心素養(yǎng)為使命的育人取向。

（一）知識(shí)育人——傳授學(xué)科知識(shí)，使學(xué)生形成學(xué)科語言

學(xué)科教學(xué)最基本的任務(wù)是傳授學(xué)科知識(shí)，導(dǎo)數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，又是高等數(shù)學(xué)的基本概念，還是研究函數(shù)的重要工具，更是研究其他自然科學(xué)的法寶。

通過必修一的學(xué)習(xí)，學(xué)生了解了函數(shù)單調(diào)性的定義，能借助函數(shù)圖像和函數(shù)單調(diào)性的定義來研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)發(fā)現(xiàn)某些較復(fù)雜的函數(shù)難以從圖像和定義得到單調(diào)性。

本節(jié)課從生活實(shí)際出發(fā)，通過觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖像的切線斜率有關(guān)，抽象出導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)。從生活實(shí)際問題中抽象出的“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么聯(lián)系？”解決了“為什么要學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容”的問題，激發(fā)了學(xué)生求知的主動(dòng)性和自覺性。

本節(jié)課基于導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義提出了新問題，以引導(dǎo)學(xué)生利用已掌握的知識(shí)來研究新的問題，并為后面教學(xué)函數(shù)的極值、最值做了鋪墊。教師的安排讓知識(shí)之間建立了聯(lián)系，讓學(xué)科知識(shí)有了前后依托，為學(xué)生形成學(xué)科語言提供了基礎(chǔ)條件。

（二）技能育人——使學(xué)生習(xí)得技能，發(fā)展能力

整個(gè)教學(xué)過程，基本遵循研究數(shù)學(xué)問題的一般思路：實(shí)際問題—抽象建?！獙?shí)例驗(yàn)證—證明結(jié)論—應(yīng)用探索—回顧反思。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能了解研究的步驟和方法，明確解決一般新問題的思路，提升解決問題的能力。

解答例1 后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題步驟，增強(qiáng)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性的能力。例2 要求學(xué)生依據(jù)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)信息分析原函數(shù)f(x)的圖像特征，并畫出圖像的大致形狀，這相當(dāng)于讓學(xué)生從結(jié)論的反面入手研究問題，極大地提高了學(xué)生的解題技能。通過兩個(gè)例題，差異化設(shè)置問題，讓學(xué)生從多個(gè)角度理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，使學(xué)生習(xí)得了技能，發(fā)展了能力。

（三）活動(dòng)育人——開展實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)過程

本節(jié)課中教師充分考慮學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，從學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂活動(dòng)，讓學(xué)生在小組合作中動(dòng)手操作、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、體會(huì)思想、體驗(yàn)過程。

在“概念形成”環(huán)節(jié)，教師通過演示幾何畫板，從一個(gè)實(shí)例發(fā)現(xiàn)問題，并通過猜想得出結(jié)論。在“概念深化”環(huán)節(jié)，教師根據(jù)認(rèn)知規(guī)律及數(shù)學(xué)研究的思路設(shè)計(jì)了兩個(gè)活動(dòng)，以驗(yàn)證這一結(jié)論。

活動(dòng)一：請同學(xué)們研究學(xué)過的函數(shù)，然后與小組同學(xué)討論總結(jié)出導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，驗(yàn)證前面的猜想，并填寫表1。這一活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平，強(qiáng)調(diào)合作學(xué)習(xí)，體現(xiàn)出一定的實(shí)踐性、探究性和綜合性。

活動(dòng)二：從導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的定義出發(fā)研究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。這一活動(dòng)以小組探究形式開展，致力于讓學(xué)生體會(huì)“勞動(dòng)”才能出“碩果”，讓學(xué)生在與同伴的合作中懂得尊重別人和改變自己，實(shí)現(xiàn)“自我育人”。

（四）思想育人——重視思維培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生生命成長

本節(jié)課以實(shí)際情境引入，問題1 引導(dǎo)學(xué)生將生活實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要求；利用圖表精煉問題中的核心要素，建立導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要求。

在“概念深化”環(huán)節(jié)，問題4 強(qiáng)調(diào)由特例得出的結(jié)論不具有一般性，因此必須驗(yàn)證結(jié)論是否普遍適用。設(shè)置的兩個(gè)活動(dòng)，分別從“形”與“數(shù)”的角度深化問題研究，滲透數(shù)形結(jié)合思想，又從特殊化推演到一般性，契合數(shù)學(xué)學(xué)科嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，同時(shí)點(diǎn)明從特殊到一般，再從一般到特殊，既是認(rèn)識(shí)事物的基本規(guī)律，又是重要的數(shù)學(xué)思想方法。

問題5 從概念的外延設(shè)問，如果不滿足結(jié)論的條件，又將如何？這種質(zhì)疑精神也是數(shù)學(xué)思維的獨(dú)有特質(zhì)。

例1 的4 個(gè)小題對(duì)應(yīng)滿足條件的不同情形，是結(jié)論一般化的體現(xiàn)。答題后，再通過圖像驗(yàn)證結(jié)論，進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想；例2 要求結(jié)合性質(zhì)畫出函數(shù)的大致圖像，是一個(gè)開放性問題，核心仍然體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

通過典型例題的教學(xué)，多角度、多層次進(jìn)行思維訓(xùn)練，學(xué)生在對(duì)比分析、歸納總結(jié)中，學(xué)習(xí)解題方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。

（五）生活育人——提煉生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問題

數(shù)學(xué)知識(shí)除了來源于數(shù)學(xué)本身的邏輯推理，還有很大一部分來源于人們生活經(jīng)驗(yàn)的積淀和提煉。教師通過教學(xué)，將數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想轉(zhuǎn)化為學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，以達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問題的目的。

本節(jié)課的問題提出本身就是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生難以將導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性這兩個(gè)抽象的概念聯(lián)系在一起。在新課引入環(huán)節(jié)，教師通過播放動(dòng)畫片《小豬佩奇》的片段，引導(dǎo)學(xué)生觀察上下坡時(shí)汽車燈光的變化規(guī)律，既吸引了學(xué)生的注意力，又為實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模鋪設(shè)了道路，激發(fā)了學(xué)生的求知欲。

教師在教學(xué)中注意提煉生活經(jīng)驗(yàn)，在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下設(shè)計(jì)合理的活動(dòng)，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，提升核心素養(yǎng)，在面對(duì)生活難題時(shí)有膽量、有辦法，進(jìn)而過上有意義、有品質(zhì)的生活。這能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的價(jià)值。