2022年新高考Ⅱ卷第21題的解法探究與推廣

廣西南寧市第三中學(xué)（530021）欒功

一、試題呈現(xiàn)

分析：試題第（1）問考查雙曲線的漸近線和標(biāo)準(zhǔn)方程的基本概念；第（2）問以直線與雙曲線的位置關(guān)系為背景，創(chuàng)新性地設(shè)置了與中點(diǎn)弦有關(guān)的開放性問題，要求考生從①②③三個(gè)命題中選擇兩個(gè)作為條件，一個(gè)作為結(jié)論并證明?？忌小斑x①②證明③”“選②③證明①”“選①③證明②”三種方案可選擇。開放的試題形式給考生提供了獨(dú)立思考、發(fā)揮能力的空間，有效測(cè)查了考生的創(chuàng)新能力、分析問題和解決問題的能力。

二、解法探究

圖1

方案1：選擇①②證明③。

于是xM=xN，yM=yN，即點(diǎn)M 與點(diǎn)N 重合，從而|MA|=|MB|，問題得證。

評(píng)注：由①②為條件證明③，因?yàn)辄c(diǎn)M 在直線AB 上，故只需證明點(diǎn)M 與AB 的中點(diǎn)N 重合，即坐標(biāo)相等。點(diǎn)N 為AB 的中點(diǎn)，由其坐標(biāo)自然聯(lián)系到中點(diǎn)坐標(biāo)公式，問題轉(zhuǎn)化為求解點(diǎn)A，B 的坐標(biāo)，回到問題本質(zhì)，即求解直線AB與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)；再看點(diǎn)M 的坐標(biāo)，由題設(shè)知點(diǎn)M 在兩條直線上，其坐標(biāo)也自然回歸到了兩條直線的交點(diǎn)問題。該方案的解答過程充分體現(xiàn)了解決解析幾何問題的一般性思考程序和通性通法。

方案2：選擇②③證明①。

評(píng)注：方案2的解答與方案1的解答異曲同工，都是依據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)N坐標(biāo)之間的關(guān)系解決問題。

方案3：選擇①③證明②。

評(píng)注：由題干解析知點(diǎn)M 的軌跡是一條直線，通過點(diǎn)和直線的位置關(guān)系建立直線PQ 的斜率k 與AB 的斜率m 之間的相等關(guān)系，從而證明PQ ∥AB。如同方案1、2，問題的解決都依靠點(diǎn)的坐標(biāo)驅(qū)動(dòng)，整個(gè)解答過程都在體現(xiàn)解決解析幾何問題的通性通法。

評(píng)注：該解法從直線PQ 的斜率入手探究點(diǎn)M的軌跡，符合考生解題的思維視角，不足之處是運(yùn)算量略大。運(yùn)算過程中對(duì)代數(shù)式的合理變形決定運(yùn)算的快慢與結(jié)果的正誤。平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷這樣的運(yùn)算過程，暴露學(xué)生的運(yùn)算卡點(diǎn)，以幫助學(xué)生突破運(yùn)算瓶頸。該解法的亮點(diǎn)是對(duì)漸近線方程的處理。單墫教授在《解析幾何的技巧》中寫道：“將兩個(gè)一次方程乘起來是一個(gè)重要的手法，在組成二次曲線束時(shí)常常需要這樣做。”［1］

評(píng)注：該解法很能凸顯考生的思維能力，由中點(diǎn)弦知識(shí)容易知道kABkOM==3，由于要證PQ ∥AB，即證kPQ=kAB，問題自然轉(zhuǎn)化為求證kPQkOM=3，繼而借助點(diǎn)差法的巧勁步步為贏，值得稱贊。

評(píng)注：該解法的思路源于解法3，是對(duì)解法3的進(jìn)一步思考和優(yōu)化。由兩個(gè)中點(diǎn)弦關(guān)系容易得kABkOM=3，kPQkOE=3，要證kPQ=kAB，只需證明kOE=kOM，而合比定理的應(yīng)用避免了復(fù)雜的運(yùn)算，很大程度上優(yōu)化了運(yùn)算。

以上三種方案和不同解法既開闊了學(xué)生的解題視野，也逐步揭示了問題本質(zhì)。下面我們通過對(duì)問題一般化的推廣及證明，進(jìn)一步理解運(yùn)算對(duì)象，探索運(yùn)算路徑的優(yōu)化方法，剖析運(yùn)算對(duì)象間的本質(zhì)聯(lián)系。

三、一般化推廣

推廣1、2 的證明同解法3，在此不再贅述。下面繼續(xù)探究點(diǎn)M 一般化情形下的軌跡及各條件間的內(nèi)在規(guī)律。

（1）若M在AB上，PQ ∥AB，則|MA|=|MB|；（2）若M在AB上，|M A|=|MB|，則PQ ∥AB；（3）若PQ ∥AB，|M A|=|MB|，則M在AB上；（4）若M，E分別為AB，PQ的中點(diǎn)，則O，E，M三點(diǎn)共線。

推廣4 的證明過程如上述三個(gè)方案的解答，在此不再贅述，感興趣的讀者可以繼續(xù)探究試題內(nèi)部結(jié)構(gòu)，在嘗試提出更具探究性、開放性的問題的過程中，進(jìn)一步領(lǐng)悟試題本質(zhì)。

四、教學(xué)建議

（一）強(qiáng)化通性通法的教學(xué)，突破數(shù)學(xué)運(yùn)算瓶頸

解析幾何為新教材的主干知識(shí)，內(nèi)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的最佳素材，自然也是新高考數(shù)學(xué)壓軸題的熱門之選，教師在教學(xué)中應(yīng)該引起高度重視?？v觀近三年新高考數(shù)學(xué)試卷中的解析幾何壓軸題，減少了技巧性問題，強(qiáng)化了通性通法的考查。例如本文所選考題的三種方案都用到了直線方程的合理表達(dá)，求解兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法。即使問題的難度有所降低，但考生的解答并不理想，主要表現(xiàn)在設(shè)參不自信，算法設(shè)計(jì)不明確，這導(dǎo)致運(yùn)算難以達(dá)到目標(biāo)。面對(duì)這種困境，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生思考點(diǎn)、直線不同設(shè)法背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自信地設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，而對(duì)于代數(shù)式化簡(jiǎn)的關(guān)鍵步驟，要敢于交流展示并暴露運(yùn)算的卡點(diǎn)，通過學(xué)生間、師生間的交流討論，探索解決運(yùn)算卡點(diǎn)的思維途徑，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，突破數(shù)學(xué)運(yùn)算瓶頸。

（二）注重創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，創(chuàng)新育人方式

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》在“高考命題建議”中明確指出：命題時(shí)，應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問題，還應(yīng)包括開放性問題和探究性問題，重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)［2］。如本文所選考題，打破了固有的命題模式，創(chuàng)新性地讓考生獨(dú)立自主地選擇和設(shè)計(jì)問題，既降低了機(jī)械刷題的效益，又給不同層次的考生提供了發(fā)揮能力的空間，更有利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。在一線教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行深度改編，盡可能地挖掘教材例題和習(xí)題的功能，進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生命制開放性試題。在這樣獨(dú)立自主的問題解決環(huán)境中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、分析問題和解決問題的能力，育人于潛移默化中。