基于8-鄰域和曲率的多階偏微分方程混合去噪*

孟東東 周先春 王文艷 楊傳兵 汪志飛 吳曉慧

（1.南京信息工程大學電子與信息工程學院 南京 210044）（2.南京信息工程大學人工智能學院 南京 210044）

1 引言

在圖像去噪研究過程中，目前常用的傳統(tǒng)去噪算法是偏微分方程圖像去噪。偏微分方程算法通過圖像本身鄰域像素點之間的關系建立數學方程模型，并求出方程最優(yōu)解獲得去噪圖像。但低階偏微分方程ID［1］、PM［2］、TV［3］模型會產生邊緣模糊或“階梯效應”。有學者為避免邊緣模糊提出將水平集曲率和梯度作為模型中的邊緣檢測因子，加強邊緣銳化［4］。有學者提出四階偏微分方程YK［5］模型。四階偏微分方程雖然能抑制“階梯效應”的產生［6］，但會產生“斑點效應”。對此，研究人員在偏微分方程模型上不斷改進以提升去噪性能。文獻［7］在各向異性濾波中提出新的擴散系數；文獻［8］利用時間-分數導數順序控制時間分數擴散方程的擴散過程；文獻［9］將BM3D和偏微分方程結合，避免人為效應和偏置效應；文獻［10］將二階、四階偏微分方程模型結合（MBM模型）以實現將其各自的優(yōu)點相結合并規(guī)避其各自的缺點；文獻［11］通過全局稀疏梯度模型（GSG）解決傳統(tǒng)梯度算子對噪聲敏感導致偽像的問題；文獻［12］建立梯度和曲率雙驅動函數，并將雙驅動函數引入TV模型以提高圖像去噪性能；文獻［13］將偏微分方程去噪的先驗知識和卷積神經網絡的訓練相結合，以訓練出去噪性能更好的去噪模型。

本文所提出新模型在二階和四階偏微分方程混合使用中利用隱式曲率構造自適應權重函數控制兩類偏微分去噪時比例，有效避免邊緣模糊和“階梯效應”的同時進一步保護圖像細節(jié)特征和邊緣細節(jié)。

2 相關算法理論

假設圖像的噪聲模型為

式中：u0(x，y)是含噪圖像，u(x，y)是原始圖像，n(x，y)是高斯噪聲。

2.1 ID模型

ID去噪模型如式（2）所示：

式中：λ是拉格朗日乘子，?表示梯度。

由于各向同性擴散去噪模型擴散系數是1，所以擴散在所有方向是相同的，這雖然能夠去除噪聲，但會導致邊緣模糊。

2.2 PM模型

Perona和Malik提出了各向異性擴散模型［14］，Weickert［15］使用能量函數得PM模型：

因為在式（3）中不能保證解的唯一性，所以PM模型是一個病態(tài)模型，當噪聲和邊緣具有相同梯度時，PM去噪效果不佳。

2.3 TV模型

TV去噪模型：

式中：λ控制保真項和正則化之間的權衡［16］。TV模型具有良好的邊緣保持和圖像平滑性能，但在平滑區(qū)域會產生“階梯效應”。

2.4 高斯曲率濾波

高斯曲率濾波是曲率濾波［17～19］中最常用濾波方式之一，通過假設原始圖像構成的曲面是分塊可展的，達到邊緣保護的作用。

高斯曲率能量公式：

式中：E是總能量，EΦd是數據擬合項，用于度量返回圖像U和輸入圖像I的匹配程度，EΦr是正則能量項，λ是正則能量的權重。

3 新模型

為解決二階偏微分方程圖像去噪時產生的階梯效應，考慮到四階偏微分方程在圖像光滑區(qū)域消除階梯效應的能力，本文提出基于8-鄰域和隱式曲率的多階偏微分方程混合去噪方法，利用8-鄰域和隱式曲率構造權重函數去控制兩類方程在圖像去噪時的比例，實現二階偏微分方程和四階偏微分方程的自適應調整去噪，將其各自優(yōu)點最大化。

式中：?是梯度算子，||?u是梯度u的模，u是原圖像，u0是含噪圖像，w、β、δ、α是權重函數。λ是保真項控制函數，g(||?u)是擴散函數。

其中u、ρ是以圖像梯度和拉普拉斯算子為自變量的函數：

式中：L1、L2、L3、L4是固定值。

式中：q是固定值，ν是圖像某一中心元素及其8-鄰域元素的均方差，d是中心元素到8-鄰域元素切平面的最小距離。本文為了保護圖像的邊緣信息，通過直接調整各點像素值使其位于8-鄰域像素的切平面去滿足分段可展的假設，實現隱式使用圖像曲率信息，并采用最小距離原則，在8-鄰域像素組成的切平面中，尋找與當前中心像素距離最近的面，對像素進行調整。避免顯示計算圖像曲率所需圖像二階可微的條件，達到減少計算復雜度的作用［20］。式（11）中：k為門限閾值，用于區(qū)分平坦區(qū)域和邊緣。

為了更好使用圖像曲率信息，新模型選用8-鄰域為最小切面構造區(qū)域并使用半窗切平面組合和最小三角切平面組合作為基礎投影算子，將8-鄰域分成4種半窗三角切平面和4種最小三角切平面；使用局部方差作為區(qū)分邊緣和平坦區(qū)域的邊緣檢測因子。

4 實驗結果分析

利用Matlab仿真軟件進行噪聲去除分析，驗證新模型的可靠性，本文采用峰值信噪比（PSNR）、平均絕對誤差（MAE）、結構相似性（SSIM）指標去評價去噪效果，與PM、TV、ID、MBM模型進行對比。

PSNR定義如式（12）所示：

式中：u(x，y)代表原始圖像，u′(x，y)代表去噪后圖像，m、n分別代表圖像尺寸中的行數和列數。峰值信噪比PSNR越大越好。

MAE定義如式（14）所示：

MAE是絕對誤差的平均值，其值越小表示與原始圖像的偏差越小，圖像質量越好。

SSIM定義如式（15）所示：

式中：ux和uy分別是樣本x和y的均值，σx2和σy2是樣本x和y的方差，σxy是樣本x和y的協(xié)方差。c1和c2是常數用來避免除零。結構相似性SSIM∈（0-1），去噪后圖像和原圖像越接近SSIM值越大。

圖1是ZX、Cameraman、Barbara的原圖，圖像像素分別為512×512、256×256、512×512。圖2是添加了標準差為20的高斯噪聲的ZX、Cameraman、Barbara含噪圖像。圖3～圖5是TV、PM、ID、MBM模型和新模型對圖2進行去噪后得到的效果圖（圖像左上角均為局部細節(jié)放大圖）。

圖1 Lena、Cameraman、Barbara原圖

圖2 Lena、Cameraman、Barbara加噪圖

圖3 不同模型去噪效果圖

圖5 不同模型去噪效果圖

圖3（c）整體去噪效果較好，但棕熊鼻子處出現了邊緣模糊，這是因為ID模型無法有效區(qū)分圖像邊緣和平滑區(qū)域，在平滑區(qū)域存在“過平滑”；從圖3（a）的整體上可以看出棕熊影子和地面以及防護欄和防護欄后面的樹木形成了明顯的“階梯效應”；圖3（b）較圖3（a）、（c）在棕熊鼻子處的細節(jié)特征保護的更加完善，但在棕熊的嘴角處存在邊緣混疊，這與PM是病態(tài)的模型有一定的關系；圖3（d）中棕熊鼻子上方的輪廓較圖3（b）更加明顯；圖3（e）較圖3（d）不僅在棕熊鼻子上方輪廓更加清晰，而且鼻孔處的輪廓也更加明顯，這是因為新模型通過圖像的細節(jié)信息構造權重函數控制去噪時二階、四階偏微分方程比例，能充分利用圖像的細節(jié)信息，將二階、四階偏微分方程各自優(yōu)點最大化。

觀察比較圖4中Cameraman面部和后方建筑物輪廓、圖5中Barbara頭巾條紋和手掌邊緣輪廓發(fā)現，新模型較其余4個模型對圖像邊緣結構細節(jié)具有更好的保護作用。

圖4 不同模型去噪效果圖

本文中L1、L2、L3、L4分別取1/20、1/40、1/50、1/25，k=15，q=0.001。原始圖像加性噪聲參數分別為標準差為σ=15、20、25的高斯噪聲。

表1、2、3為 不 同 去 噪 模 型 的PSNR、MAE、SSIM。觀察表1、2、3，新模型較TV、PM、ID、MBM模型PSNR、SSIM值最大，MAE值最小。在σ=15、20、25時，ZX圖PSNR增 大0～1.7dB，SSIM提 升0.01～0.03，MAE降低0.06～2.56；Barbara圖PSNR增大0.27～0.95dB，SSIM提 升0.01～0.08，MAE降 低0.14～2.72；Cameraman圖PSNR增 大0.41dB～2.18dB，SSIM提升0.01～0.24，MAE降低0.43～3.53。

表1 不同去噪模型的PSNR

表2 不同去噪模型的MAE

新模型不僅有較好的PSNR、MAE、SSIM值，更能對于圖像邊緣結構信息保護的更加完善，無論是從圖像去噪效果上看，還是從去噪性能對比上看，本文都具有更加理想的去噪性能。

5 結語

本文提出的新模型通過將二階、四階偏微分方程混合使用，規(guī)避某一種方程單獨去噪時會產生的缺點，將其各自的優(yōu)點最大化，并通過圖像中任意一中心元素及其8-鄰域像素的關系，將隱式使用的曲率作為邊緣檢測因子，實現偏微分方程根據圖像曲率信息自適應調整權重函數w，從而自適應調整二階、四階偏微分方程的去噪比例。

表3 不同去噪模型的SSIM

實驗結果表明新模型相較其他算法有較大改進。新模型相較二階偏微分方程圖像去噪可以避免邊緣模糊和“階梯效應”；相較四階偏微分方程圖像去噪可有效抑制“斑點效應”；相較其他混合偏微分方程圖像去噪，新模型具有更好的PSNR、MAE、SSIM值。