基于響應(yīng)面法和改進(jìn)算術(shù)優(yōu)化算法的抱桿優(yōu)化設(shè)計(jì)*

陶 然，周煥林，孟 增，楊小猛

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009）

引言

抱桿是組立特高壓輸電鐵塔的重要施工設(shè)備[1].抱桿自重過大增加了制造和運(yùn)輸成本，加大了安裝和拆卸的風(fēng)險(xiǎn).目前，關(guān)于抱桿的研究包括力學(xué)性能分析和試驗(yàn)[2]以及可靠度優(yōu)化設(shè)計(jì)[3].抱桿的設(shè)計(jì)一般參考抱桿規(guī)范[1]和起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范[4]，采用許用應(yīng)力法確定荷載組合和安全系數(shù)，并進(jìn)行有限元分析計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果對結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行優(yōu)化選型.目前，缺少針對大型空間桿系結(jié)構(gòu)抱桿的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究.因此，研究抱桿優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，對抱桿的經(jīng)濟(jì)性和安全性具有重要意義.

優(yōu)化方法包括經(jīng)典的梯度類算法和新興的元啟發(fā)式算法.現(xiàn)代工程優(yōu)化問題不僅涉及混合變量和多重約束，且大部分問題難以確定優(yōu)化目標(biāo)和約束條件與設(shè)計(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系.經(jīng)典的梯度類算法解決這類問題時具有以下缺陷：①需要梯度信息來改進(jìn)初始解；②要求設(shè)計(jì)空間連續(xù)；③容易陷入局部最優(yōu)解.與梯度類算法相比，元啟發(fā)式算法具有不受梯度信息限制、不受設(shè)計(jì)空間限制、全局搜索能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).因此，元啟發(fā)式算法被廣泛應(yīng)用于各類復(fù)雜工程優(yōu)化問題[5-8].算術(shù)優(yōu)化算法（AOA）是由Abualigah 等[9]在2021 年提出的一種新興的元啟發(fā)式算法.AOA 結(jié)合算術(shù)運(yùn)算符的特征構(gòu)建優(yōu)化策略，從一組候選解中確定符合特定標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)解.AOA 具有無需調(diào)整參數(shù)、收斂速度快的優(yōu)點(diǎn).盡管AOA 的性能較優(yōu)，但根據(jù)“沒有免費(fèi)午餐（no free lunch，NFL）定理”以及Abualigah 等的分析[9-10]，仍有必要對AOA 進(jìn)行改進(jìn)以適應(yīng)更復(fù)雜的優(yōu)化問題.AOA 在處理高維等復(fù)雜優(yōu)化問題時，存在求解精度較低，容易陷入局部最優(yōu)的缺陷[11].因此，可以通過引入局部搜索技術(shù)，進(jìn)一步增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力，改善算法的求解精度[12].分?jǐn)?shù)階積分（fractional-order calculus）因其獨(dú)特的記憶存儲特性被引入演化算法[13-15].其中，Pires 等[13]將分?jǐn)?shù)階積分與粒子群算法結(jié)合，改善了算法的收斂性能.Mousavi 和Alfi[14]采用分?jǐn)?shù)階積分提取候選解的迭代信息改善了螢火蟲算法的性能，并成功應(yīng)用于混沌系統(tǒng)的參數(shù)辨識問題.Deshmukh 和Rani[15]利用分?jǐn)?shù)階積分增強(qiáng)了灰狼優(yōu)化算法的收斂速度.因此，采用分?jǐn)?shù)階積分改進(jìn)AOA 算法值得研究.

大型結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)通常無法確定可行域，導(dǎo)致優(yōu)化需要大量結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算成本過高，而且部分非可行解可能會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)有限元分析的停滯，進(jìn)而導(dǎo)致優(yōu)化迭代的中斷.代理模型方法通過少量樣本信息，構(gòu)建與原模型結(jié)果（數(shù)值分析或試驗(yàn)觀測結(jié)果）相近的數(shù)學(xué)模型，可以極大地減小計(jì)算成本[16].經(jīng)典的代理模型包括多項(xiàng)式響應(yīng)面模型、徑向基函數(shù)模型、Kriging 模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[17].

本文提出了一種改進(jìn)的算術(shù)優(yōu)化算法(IAOA)，引入分?jǐn)?shù)階積分改進(jìn)AOA 的局部搜索能力，提高了算法的求解精度和收斂速度.采用響應(yīng)面法(RSM)構(gòu)建抱桿結(jié)構(gòu)代理模型，將IAOA 與RSM 相結(jié)合，對抱桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

1 AOA

AOA 包括初始化、探索和開發(fā)三個核心階段.AOA 采用隨機(jī)生成候選解的方式完成算法初始化.AOA 的探索和開發(fā)階段分別對應(yīng)兩個運(yùn)算符，即探索階段對應(yīng)于除法（÷）和乘法（×），而開發(fā)階段對應(yīng)減法（-）和加法（+）.

1.1 初始化

AOA 采用式（1）隨機(jī)生成初始解X，其中N和d分別表示解的個數(shù)和維數(shù)：

1.2 探索階段

AOA 的探索階段利用除法和乘法算子生成高分布值，以達(dá)成算法在搜索域內(nèi)進(jìn)行全局探索的目標(biāo).AOA 探索階段解的更新表達(dá)式為

1.3 開發(fā)階段

AOA 的開發(fā)策略是利用減法和加法算子來獲得分布密度低的值.AOA 的開發(fā)算子基于兩種搜索策略對搜索區(qū)域進(jìn)行深度探索，這兩種搜索策略的模型如下：

當(dāng)r3＜0.5 時，采用減法算子進(jìn)行更新，反之則采用加法算子.

1.4 AOA 的優(yōu)化流程

綜上所述，AOA 的優(yōu)化過程是從生成隨機(jī)候選解開始的.在整個搜索過程中，每個新解都從最優(yōu)解中獲取信息進(jìn)行更新.AOA 的優(yōu)化流程如圖1 所示.r1為隨機(jī)數(shù)，當(dāng)r1＜rMOA時，算法更新進(jìn)入探索階段；當(dāng)r1＞rMOA時，算法則進(jìn)入開發(fā)階段.

圖1 AOA 優(yōu)化流程Fig.1 The optimization process of AOA

1.5 AOA 的計(jì)算復(fù)雜度

初始化過程、適應(yīng)度函數(shù)評估和解的更新是影響AOA 計(jì)算復(fù)雜度的三個關(guān)鍵因素.初始化過程的復(fù)雜度為O(N)，其中N表示種群大小.更新解的復(fù)雜度為O(M×N)+O(M×N×d)，其中M表示迭代次數(shù)，d表示設(shè)計(jì)變量的維數(shù).因此，AOA 的計(jì)算復(fù)雜度為O(N×(M×d+ 1)).

2 IAOA

2.1 基于分?jǐn)?shù)階積分的局部搜索策略

在AOA 中，對于全局最優(yōu)解沒有任何特定的更新策略.因此，對其進(jìn)行改進(jìn)可以改善算法的計(jì)算精度和收斂速度.分?jǐn)?shù)階積分對問題的真實(shí)響應(yīng)具有較好的擬合性[18]，將其引入AOA 的開發(fā)階段作為全局最優(yōu)解的局部搜索策略，提出IAOA，利用迭代歷史中全局最優(yōu)解的信息對全局最優(yōu)解進(jìn)行更新.Grunwald-Letnikov（GL）分?jǐn)?shù)階積分[19]定義為

其中Dλ(xt)為λ 階的GL 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，Γ(·)表示Gamma 函數(shù).在離散時間內(nèi)，式(6)可改寫為

其中T是采樣周期，r是之前事件或記憶數(shù)據(jù)的項(xiàng)數(shù)，xt是離散變量.當(dāng)λ=1 時，式(8)可以改寫為

其中D1[xt]是相鄰兩次事件的差值.

為了采用分?jǐn)?shù)階積分的定義來增強(qiáng)算法的局部搜索能力，將式(9)與(5)結(jié)合，可得

將基于GL 定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)代入式(10)可得

利用式(8)中的GL 定義，可得T= 1 時式(10)的表達(dá)式：

由上式可得全局最優(yōu)解的更新公式為

選擇前三代歷史數(shù)據(jù)更新當(dāng)前全局最優(yōu)解(r=3)，則

2.2 IAOA 的計(jì)算復(fù)雜度

AOA 的計(jì)算復(fù)雜度為O(N×(M×d+ 1))，IAOA 并未改變原算法的初始化過程，僅對每次迭代的當(dāng)前全局最優(yōu)解的更新方式進(jìn)行了改進(jìn).由式（5）和（14）可知，新提出的當(dāng)前全局最優(yōu)解的更新方式并未增加新的循環(huán)計(jì)算.因此，IAOA 與AOA 具有相同的計(jì)算復(fù)雜度.

2.3 IAOA 的收斂性

元啟發(fā)式算法收斂定義既可以針對個體，也可以針對整個種群.假設(shè)種群中某粒子在t時刻的位置為x(t)，xp為整個搜索空間內(nèi)的某一任意位置，則粒子收斂定義如下[20]：

如果種群中的所有粒子都達(dá)到收斂，則整個種群也就不再變化，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，即算法達(dá)到收斂.相應(yīng)地，xbest值也不再變化.IAOA 和AOA 相同，其開發(fā)策略是利用減法和加法算子來獲得分布密度低的值，控制算法的收斂性能.由式（5）可得

與此同時，由式（4）可得

將式（17）代入式（16）可得

由式（18）可知，隨著迭代的進(jìn)行，IAOA 中的所有粒子最終收斂到全局最優(yōu)粒子所在的位置，證明算法中的粒子最終達(dá)到穩(wěn)定.

3 RSM

RSM 采用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)技術(shù)尋找輸出和輸入數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并構(gòu)造二者之間的顯性函數(shù)表達(dá)式.針對結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，RSM 只需要一定數(shù)量的樣本點(diǎn)和相應(yīng)的響應(yīng)值，擬合設(shè)計(jì)變量與結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)之間的函數(shù)表達(dá)式，構(gòu)造可供優(yōu)化的代理模型，進(jìn)而完成隨機(jī)分析對有限元分析的替代.

結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量X與結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)y之間的關(guān)系可用下式表示：

其中y?(X)為響應(yīng)函數(shù)，即響應(yīng)面，δ 為總誤差.響應(yīng)面y?(X)可以定義為

其中a0為常數(shù)項(xiàng)，ai為第i個基函數(shù)的系數(shù)，n為基函數(shù)個數(shù).選擇二階響應(yīng)面進(jìn)行研究，由式（20）可得二階響應(yīng)面公式為

從設(shè)計(jì)變量空間中選擇樣本點(diǎn)，確定φi(X)和對應(yīng)的真實(shí)響應(yīng)矢量.采用最小二乘法，以誤差最小化為目標(biāo)，對響應(yīng)面近似模型的系數(shù)列陣a進(jìn)行迭代優(yōu)化，求得響應(yīng)面的具體表達(dá)式.響應(yīng)面代理模型的構(gòu)建精度主要取決于設(shè)計(jì)樣本點(diǎn)的選取.對設(shè)計(jì)變量較多的大型空間進(jìn)行采樣，工程中常使用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法.拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)根據(jù)等概率隨機(jī)正交分布的原則，可以通過極少的試驗(yàn)點(diǎn)得到較高精度的響應(yīng)面近似方程.

4 抱桿優(yōu)化設(shè)計(jì)

本文研究的抱桿高度為87 m，額定吊重為7 600 kg，如圖2 所示.抱桿包含26 節(jié)標(biāo)準(zhǔn)節(jié)（3 m/節(jié)），標(biāo)準(zhǔn)節(jié)為1.52 m × 1.52 m 方形截面.抱桿鋼材采用Q345，彈性模量為206 GPa，密度為7.85 × 10-6kg/mm3.抱桿標(biāo)準(zhǔn)節(jié)的桿件分為主桿、橫桿和斜桿，均由方形空心鋼管組成.選擇三種桿件的截面尺寸為設(shè)計(jì)變量，抱桿許用應(yīng)力和位移為約束條件，抱桿質(zhì)量最小化為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).所有設(shè)計(jì)變量均為離散整數(shù)變量.抱桿的優(yōu)化模型可表示為

圖2 抱桿Fig.2 The holding pole

其中X為設(shè)計(jì)變量，包括主桿的截面長度b1和寬度t1、橫桿的截面長度b2和寬度t2及斜桿的截面長度b3和寬度t3，W為抱桿的實(shí)際質(zhì)量，σ 和 σ分別為應(yīng)力和許用應(yīng)力，d和d分別為位移和許用位移.

4.1 抱桿有限元模型

抱桿主桿、橫桿和斜桿均采用梁單元模擬.抱桿荷載包括重力荷載、風(fēng)荷載、吊重（包括吊鉤、起吊鋼絲繩重量），選取最危險(xiǎn)工況對抱桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，得到抱桿最大位移、最大應(yīng)力和抱桿質(zhì)量.

4.2 建立響應(yīng)面模型

為減小試驗(yàn)次數(shù)，提高計(jì)算效率，采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法獲取30 個樣本點(diǎn)，通過有限元計(jì)算，可得各樣本點(diǎn)的結(jié)構(gòu)性能指標(biāo).樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)如表1 所示.

表1 抱桿結(jié)構(gòu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果Table 1 Latin hypercube experimental design results of the holding pole

采用最小二乘法分別構(gòu)造應(yīng)力和位移關(guān)于桿件截面尺寸的二階響應(yīng)面代理模型，具體如下：

采用方差分析法對構(gòu)造的代理模型進(jìn)行準(zhǔn)確性檢驗(yàn)，誤差平方δ2、相對平均絕對誤差δRAAE和相對最大絕對誤差δRMAE的具體計(jì)算式如下：

其中m為隨機(jī)選取驗(yàn)證樣本點(diǎn)數(shù)量.隨機(jī)選取10 個樣本點(diǎn)進(jìn)行準(zhǔn)確性檢驗(yàn)，結(jié)果如表2所示.

由表2 可知，誤差平方δ2、相對平均絕對誤差δRAAE和相對最大絕對誤差δRMAE的高適應(yīng)性區(qū)間分別為0.9 ～ 1，0 ～ 0.2 和0 ～ 0.3.δ2表示真實(shí)值與響應(yīng)面模型之間的相似程度.R2越趨近于1，整個模型的全局近似度就會越好；δRAAE，δRMAE越接近于0，表明模型的平均和局部誤差越小.響應(yīng)面模型的隨機(jī)樣本點(diǎn)檢驗(yàn)結(jié)果均位于高適應(yīng)性區(qū)間內(nèi)，且都趨近于最優(yōu)值，表明所構(gòu)造的響應(yīng)面模型具有良好的擬合性.

表2 響應(yīng)面模型隨機(jī)樣本點(diǎn)檢驗(yàn)結(jié)果Table 2 Test results of random sample points for the response surface model

與此同時，從優(yōu)化設(shè)計(jì)域內(nèi)隨機(jī)選擇兩組非樣本點(diǎn)b1=130，t1=9，b2=71，t2=9，b3=41，t3=4；b1=138，t1=10，b2=43，t2=7，b3=57，t3=4 建模進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與響應(yīng)面模型計(jì)算結(jié)果如表3 所示.隨機(jī)非樣本點(diǎn)檢驗(yàn)結(jié)果誤差很小，精度較高.

表3 響應(yīng)面模型隨機(jī)非樣本點(diǎn)檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 Test results of random non-sample points for the response surface model

4.3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

基于RSM 構(gòu)造的應(yīng)力和位移的響應(yīng)面代理模型，采用IAOA 對抱桿進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，約束條件采用罰函數(shù)法進(jìn)行處理：

其中桿件許用應(yīng)力 σ取235 MPa，許用位移d取500 mm.采用IAOA 對抱桿進(jìn)行優(yōu)化，為了檢驗(yàn)改進(jìn)算法的性能，將優(yōu)化結(jié)果與遺傳算法（genetic algorithm，GA）、粒子群算法（particle swarm algorithm，PSO）、螢火蟲算法（firefly algorithm，F(xiàn)A）和AOA 進(jìn)行對比，各算法的主要參數(shù)和優(yōu)化結(jié)果對比見表4、5.所有算法種群數(shù)為10，最大迭代次數(shù)為100，均采用罰函數(shù)處理約束條件.抱桿的初始設(shè)計(jì)參數(shù)與優(yōu)化后設(shè)計(jì)參數(shù)，以及采用有限元軟件和響應(yīng)面法對抱桿進(jìn)行單次分析時間的對比見表6.圖3給出了五種算法的迭代曲線，其中f為目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度值，t為當(dāng)前迭代次數(shù).

表4 各算法的參數(shù)值Table 4 Parameter values for each algorithm

表6 抱桿優(yōu)化前后結(jié)果對比Table 6 Results comparison before and after optimization for the holding pole

從表5、6 和圖3 中可以看出，IAOA 得到了抱桿的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，最終質(zhì)量為39 780.55 kg，與初始設(shè)計(jì)相比質(zhì)量減輕了8.2%.相較于GA、PSO 和FA，IAOA 能用較少的迭代步數(shù)（25 步）獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案.相較于AOA，引入分?jǐn)?shù)階積分的IAOA 的計(jì)算精度得到明顯的改善，算法跳出局部最優(yōu)解的能力得到了提升.與此同時，采用有限元軟件對抱桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行1 000 次分析所需時間為24 060.15 s，而基于改進(jìn)算術(shù)算法和RSM 對抱桿進(jìn)行1 000 次分析僅需要0.06 s，顯著降低了計(jì)算成本.

表5 不同算法抱桿優(yōu)化結(jié)果對比Table 5 Optimization results comparison by different algorithms for the holding pole

圖3 不同算法收斂曲線對比Fig.3 Comparison of convergence curves for different algorithms

5 結(jié)論

本文基于RSM 和IAOA，對抱桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).將分?jǐn)?shù)階積分引入AOA 更新全局最優(yōu)解，利用歷史全局最優(yōu)解的信息，改善算法的計(jì)算精度.將RSM 引入抱桿優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，構(gòu)建了抱桿應(yīng)力和位移關(guān)于其主桿、橫桿和斜桿截面尺寸的代理模型.建立以抱桿質(zhì)量最小化為優(yōu)化目標(biāo)，抱桿許用應(yīng)力和位移為約束條件，桿件截面尺寸為設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化模型.采用IAOA 對抱桿優(yōu)化模型進(jìn)行求解.計(jì)算結(jié)果表明：構(gòu)建的二階響應(yīng)面模型能夠準(zhǔn)確模擬抱桿結(jié)構(gòu)的響應(yīng)值；相比于標(biāo)準(zhǔn)AOA，IAOA 的求解精度得到明顯改善，且算法跳出局部最優(yōu)解的能力得到了提升；響應(yīng)面代理模型不僅顯著降低了有限元分析所需的計(jì)算代價(jià)，而且避免了非可行解可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)有限元分析停滯和迭代中斷的問題；與初始設(shè)計(jì)相比，在滿足應(yīng)力和位移約束的情況下，優(yōu)化后抱桿結(jié)構(gòu)的質(zhì)量減輕，優(yōu)化效果顯著，與初始設(shè)計(jì)相比質(zhì)量減輕了8.2%.聯(lián)合使用RSM 和IAOA 可有效求解大型空間桿系結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題.AOA 作為一種新發(fā)展的元啟發(fā)式算法，未來可結(jié)合列維飛行、反向?qū)W習(xí)、混沌映射等方法，提高算法的優(yōu)化效率，以解決高維或超高維設(shè)計(jì)變量的大規(guī)模工程結(jié)構(gòu)全局優(yōu)化設(shè)計(jì)問題.對于大規(guī)模工程結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，還可以發(fā)展基于Pareto 支配的多目標(biāo)AOA.