變截面二維功能梯度微梁的振動和屈曲特性*

雷 劍，謝宇陽，姚明格，何玉明

（1.華中科技大學(xué) 航空航天學(xué)院，武漢 430074；2.天津航天瑞萊科技有限公司，武漢 430056）

引言

功能梯度結(jié)構(gòu)是近三十年發(fā)展起來的一種新型復(fù)合結(jié)構(gòu)，其是由兩種以上材料依據(jù)特定的設(shè)計原則，所形成的材料性能沿一定方向光滑變化的組織和結(jié)構(gòu).相比傳統(tǒng)復(fù)合結(jié)構(gòu)，功能梯度結(jié)構(gòu)的顯著特點(diǎn)是各組分間沒有明顯的界面，避免了因材料性能突變而造成的應(yīng)力集中和層間破壞.目前，功能梯度材料在工程中得到了廣泛應(yīng)用，如土木工程、船舶和航空航天工程等.

建立功能梯度結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的理論模型并分析其內(nèi)在規(guī)律是功能梯度結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計和工程應(yīng)用的前提和基礎(chǔ).基于此，國內(nèi)外諸多學(xué)者開展了相關(guān)研究工作.例如，Sina 等[1]建立了功能梯度梁自由振動的解析模型并分析了邊界條件、體積分?jǐn)?shù)等對固有頻率和模態(tài)的影響.Alshorbagy 等[2]基于Euler-Bernoulli 梁理論和虛功原理建立了功能梯度梁的自由振動力學(xué)模型，并用有限元法得到了相關(guān)數(shù)值解.?im?ek[3]研究了移動質(zhì)量塊影響下功能梯度梁的振動特性.Aydogdu[4]采用半逆解法分析了軸向功能梯度梁的振動和屈曲行為.王偉斌等[5]建立了多孔功能梯度材料Timoshenko 梁的力學(xué)模型，并分析了其自由振動特性.蒲育等[6]基于改進(jìn)型廣義微分求積法研究了功能梯度梁的屈曲行為.馬連生等[7]應(yīng)用一階剪切變形理論研究了FGM 梁的過屈曲行為.此外，葛仁余等[8]基于Euler-Bernoulli 梁理論，研究了軸向載荷下軸向功能梯度變截面梁的振動和屈曲問題.杜運(yùn)興等[9]基于物理中面的概念，研究了軸向力作用下材料性能沿厚度方向變化的變截面功能梯度Timoshenko 梁的振動特性.

隨著材料科學(xué)、微電子技術(shù)和微加工技術(shù)的發(fā)展，各類微/納米機(jī)電系統(tǒng)(MEMS/NEMS)相繼出現(xiàn)并得到廣泛應(yīng)用，功能梯度結(jié)構(gòu)的應(yīng)用范圍也被進(jìn)一步拓展到了MEMS/NEMS 領(lǐng)域[10-11].微納米結(jié)構(gòu)的一個顯著特點(diǎn)是其力學(xué)行為表現(xiàn)出明顯的尺度效應(yīng)[12-15].為描述微結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的尺度效應(yīng)，包含額外材料尺度參數(shù)的非經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論相繼出現(xiàn)并得到了廣泛的應(yīng)用，如非局部彈性理論[16]、應(yīng)變梯度彈性理論[13]和修正的偶應(yīng)力理論[17]等.

近些年來，許多研究者針對微尺度功能梯度梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能開展了研究工作.Asghari 等[18]基于Euler-Bernoulli 梁理論和修正的偶應(yīng)力理論分析了功能梯度微尺度梁的靜態(tài)彎曲和自由振動尺度效應(yīng).Reddy[19]基于Euler-Bernoulli 和Timoshenko 梁理論建立了功能梯度微尺度梁靜態(tài)彎曲、自由振動和屈曲力學(xué)模型，并分析了尺度參數(shù)、材料梯度指數(shù)等的影響.隨后，?im?ek 和Reddy[20]基于統(tǒng)一的高階剪切變形梁理論和修正的偶應(yīng)力理論研究了功能梯度微尺度梁的彎曲和振動行為.考慮物理中面的影響，Al-Basyouni 和Tounsi 等[21]研究了功能梯度微尺度梁的彎曲和動態(tài)特性.Lei 等[22]基于應(yīng)變梯度彈性理論和正弦剪切變形梁理論對功能梯度微梁的靜動態(tài)力學(xué)特性和穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究.此外，Lei 等基于修正的偶應(yīng)力理論和非局部熱彈性理論分別研究了熱環(huán)境下微米量級功能梯度梁的振動和屈曲特性[23]以及軸向功能梯度納米梁的熱屈曲行為[24].楊子豪等[25]基于新修正偶應(yīng)力理論研究了平面正交各向異性功能梯度微梁的自由振動行為.Ebrahimi 等[26]建立了剪切變形功能梯度納米曲梁的屈曲模型，模型中同時考慮了非局部效應(yīng)和應(yīng)變梯度效應(yīng)的影響.

以上研究工作主要針對宏微觀厚度方向和軸向功能梯度梁的力學(xué)性能開展，其材料性能沿一個方向連續(xù)變化.目前，材料性能沿單方向變化的一維功能梯度結(jié)構(gòu)已無法完全滿足工程結(jié)構(gòu)在不同方向上的溫度和應(yīng)力分布要求，開展材料性能同時沿厚度和軸向變化的二維功能梯度結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的研究工作顯得更為迫切和重要.例如，Lei 等[27]基于一新穎的高階剪切變形理論研究了二維功能梯度梁的后屈曲行為，并分析了孔隙率的影響.Tang 等[28]研究了濕熱環(huán)境下二維功能梯度梁的非線性振動特性.Barati 等[29]分析了磁場中二維功能梯度納米梁的橫向振動行為.Huang 等[30]研究得到了二維功能梯度Timoshenko 梁靜態(tài)彎曲變形的精確解.

本文的主要目的是建立變截面二維功能梯度微尺度梁自由振動和穩(wěn)定性問題的力學(xué)模型，研究梁的錐度比、功能梯度指數(shù)和軸向功能梯度指數(shù)、尺度效應(yīng)等因素對其振動和屈曲行為的影響，以期為多維功能梯度結(jié)構(gòu)的設(shè)計和優(yōu)化提供理論支撐.

1 理論模型

1.1 變截面二維功能梯度微尺度梁

考慮如圖1 所示的微尺度變截面二維功能梯度梁，長度為L，厚度和寬度隨坐標(biāo)x變化，分別記為h(x)和b(x)，其材料性能同時沿厚度方向和軸向連續(xù)變化.假定組分材料的體積分?jǐn)?shù)符合冪律分布，根據(jù)混合律模型[31-32]，微梁的等效材料性能可以表示為

圖1 二維變截面功能梯度微梁示意圖Fig.1 Schematic diagram of a 2D variable-cross-section functionally graded microbeam

式中，Px和Pz為非負(fù)參數(shù)，分別表示軸向功能梯度指數(shù)和厚度方向功能梯度指數(shù).下標(biāo)“ c”和“ m”分別表示材料的陶瓷組分和金屬組分.當(dāng)Γ 分別為E，ν 和ρ時，可以得到微梁的等效彈性模量、等效Poisson 比和等效密度.

設(shè)定梁的厚度和寬度沿軸向線性變化，有

式中，hL和bL分別為微梁左端面的厚度和寬度，ch和cb（0≤ch＜1，0≤cb＜1）分別為微梁對應(yīng)于厚度和寬度的錐度比.

1.2 振動和屈曲行為的控制方程

采用圖1 中的直角坐標(biāo)系，基于Timoshenko 梁理論，二維功能梯度變截面微尺度梁上任意一點(diǎn)的位移為

式中，u和w分別為微梁幾何中面上一點(diǎn)的軸向和橫向位移，φ 為微梁橫截面繞y軸的轉(zhuǎn)角.

傳統(tǒng)應(yīng)變張量的非零分量為

根據(jù)Hooke 定律，可得微梁的軸向正應(yīng)力和橫向剪應(yīng)力為

式中，ks為 剪切修正系數(shù).

Yang 等[17]發(fā)展的修正的偶應(yīng)力理論含有一個與材料微結(jié)構(gòu)有關(guān)的內(nèi)稟特征尺度參數(shù)，可以預(yù)測微尺度構(gòu)件力學(xué)行為的尺度效應(yīng).其本構(gòu)關(guān)系中對稱曲率張量 χij和偶應(yīng)力張量的偏斜部分mij分別定義如下：

式中，l為材料內(nèi)稟特征尺度參數(shù)，μ為剪切模量.

材料內(nèi)稟特征尺度參數(shù)是微尺度材料的本征材料常數(shù)，已有研究者通過靜態(tài)彎曲實(shí)驗得出環(huán)氧樹脂（epoxy）的尺度參數(shù)為17.6 μm[13].對于金屬材料，已通過振動實(shí)驗測得鎳（Ni）、銅（Cu）和鈦（Ti）的尺度參數(shù)分別為1.553 μm，1.422 μm 和0.775 μm[14-15].從以上研究中可以看出，不同材料的內(nèi)稟特征尺度參數(shù)是有差異的，尤其是不同種類的材料.因此，對于由金屬和陶瓷組成的二維功能梯度微尺度梁，根據(jù)以上分析，并參考文獻(xiàn)[21,33]，我們假定其內(nèi)稟特征尺度參數(shù)同樣符合混合律.根據(jù)式（1），微梁的等效材料內(nèi)秉特征尺度參數(shù)可以表示為

將式（5）代入式（7）中，可得對稱旋轉(zhuǎn)梯度張量的非零分量為

將式（10）代入式（8）中，可得偶應(yīng)力張量的非零分量為

微梁在時間區(qū)間[t1,t2]上累積的應(yīng)變能的一階變分表達(dá)式為

式中，N，M，P和Q為各應(yīng)力分量在微梁橫截面上的合力，其表達(dá)式分別為

其中，A為微梁的橫截面積，其大小為坐標(biāo)x的函數(shù)，

微梁在時間區(qū)間[t1,t2]上累積的動能的一階變分表達(dá)式為

式中

軸向載荷Nx在時間區(qū)間[t1,t2]上所做的功的一階變分為

微梁振動和屈曲行為的控制方程可由Hamilton 變分原理獲得：

項目1：科研項目過程管理現(xiàn)狀分析與體系構(gòu)建，創(chuàng)新之處在于系統(tǒng)地進(jìn)行國內(nèi)外現(xiàn)狀分析及構(gòu)思信息化核算體系的搭建方案。

將式（12）、（15）和（17）代入式（18）中，可得微梁的運(yùn)動方程為

微梁兩端部（x=0和x=L）的邊界條件為

將式（13）代入式（19）～（21）中，可得微梁位移形式的運(yùn)動方程為

式中

同樣地，微梁兩端部（x=0和x=L）位移形式的邊界條件為

2 振動和屈曲問題的Ritz 解法

應(yīng)用Ritz 法，可以獲得任意邊界條件下變截面二維功能梯度微梁振動和穩(wěn)定性問題的數(shù)值解.

對微梁振動和屈曲控制方程進(jìn)行加權(quán)積分，可得弱形式的控制方程，其等效于相應(yīng)的運(yùn)動方程和邊界條件.根據(jù)式（26）～（28），變截面二維功能梯度微尺度梁弱形式的控制方程可由以下加權(quán)積分得到：

式中，ψ1，ψ2和 ψ3為權(quán)函數(shù)，分別滿足u，w和φ 在端部的邊界條件.

對式（35）～（37）進(jìn)行分部積分，則變截面二維功能梯度微尺度梁弱形式的控制方程為

式中，域內(nèi)積分部分為微梁的運(yùn)動方程，邊界積分為對應(yīng)的運(yùn)動邊界條件.

將位移函數(shù)u，w和?展開成以下形式：

式中，aj，bj和cj為待定系數(shù)；f1(x)，f2(x)和f3(x)為滿足邊界條件的函數(shù)，定義如下：

其中，指標(biāo)p1，p2，s1，s2和t1，t2用于指定不同類型的邊界條件，根據(jù)前述的位移限制條件，可得各指標(biāo)的值，如表1 所示（表中C-C 表示兩端固支，H-H 表示兩端鉸結(jié)，F(xiàn)-F 表示兩端自由；C-H 表示左端固支右端鉸結(jié)；HC 表示左端鉸結(jié)右端固支；C-F 表示左端固支右端自由；F-C 表示左端自由右端固支，后同）.

表1 不同邊界條件時p1,p2,s1,s2 及t1,t2 的取值Table 1 Values of p1，p2，s1，s2 and t1，t2 with different boundary conditions

根據(jù)推導(dǎo)弱形式控制方程的相關(guān)原理，可令權(quán)函數(shù) ψ1，ψ2和 ψ3分別等于邊界函數(shù)f1(x)，f2(x)和f3(x).

將式（41）代入式（38）～（40）中，消去時間項，由控制方程的域內(nèi)積分部分，可得到相應(yīng)的特征值方程，對特征值方程進(jìn)行求解，可得到微梁振動和屈曲問題的數(shù)值解.為了便于對比分析，引入以下無量綱參數(shù)：

3 算例分析與結(jié)果討論

本節(jié)將給出基于Ritz 法的若干數(shù)值算例，詳細(xì)分析尺度效應(yīng)、錐度比、功能梯度指數(shù)等對變截面二維功能梯度微梁一階固有頻率和一階臨界屈曲載荷的影響.為便于表述，后續(xù)提到固有頻率和屈曲載荷時均省略“一階”.如無特別聲明，設(shè)定功能梯度微梁由鋁（Al：Em=70 GPa，ρm=2702 kg/m3，νm=0．3）和氧化鋁（Al2O3：Ec=380 GPa，ρc=3960 kg/m3，νc=0．3）組成.假定微梁左端部的寬度等于左端部的厚度.此外，根據(jù)1.2 小節(jié)中的分析，金屬組分Al 的內(nèi)稟特征尺度參數(shù)取為lm=1．5 μm，因文獻(xiàn)中沒有關(guān)于陶瓷材料內(nèi)稟特征尺度參數(shù)的相關(guān)實(shí)驗數(shù)據(jù)，不妨設(shè)定陶瓷組分Al2O3的內(nèi)稟特征尺度參數(shù)等于金屬組分的內(nèi)稟特征尺度參數(shù)（lc=lm=1．5 μm）.

3.1 結(jié)果驗證

為驗證當(dāng)前力學(xué)模型的收斂性，表2 給出了nt逐漸增大時兩端固支等截面二維功能梯度微梁的無量綱頻率.從表中結(jié)果可以看出，隨著nt的增加，計算結(jié)果迅速收斂，當(dāng)nt取14 時，所得結(jié)果滿足精度要求.此外，表3給出了宏觀功能梯度等截面梁無量綱頻率本文模型的計算結(jié)果與文獻(xiàn)[34]中結(jié)果的對比，從中可以看出，兩者吻合較好.表4 給出了宏觀均質(zhì)錐形梁無量綱頻率本文模型的計算結(jié)果與文獻(xiàn)[35]中基于Euler-Bernoulli 梁理論的結(jié)果對比，兩者相吻合.以上分析表明，本文模型是準(zhǔn)確可靠的.

表2 二維功能梯度等截面微梁無量綱頻率的收斂性分析（hL=1．5 μm，L=20hL，ch=cb=0，lc=lm=1．5 μm）Table 2 Convergence analysis of dimensionless frequencies of the 2D functionally graded equal-cross-section microbeam（hL=1．5 μm，L=20hL，ch=cb=0，lc=lm=1.5 μm）

表3 基于本文模型的宏觀功能梯度等截面梁無量綱頻率與文獻(xiàn)[34]中結(jié)果的對比（h=1 m）Table 3 Comparison of dimensionless frequencies of macro traditional equal-cross-section FG beams with ref.[34](h=1 m)

表4 基于本文模型的宏觀均質(zhì)錐形梁前三階無量綱頻率與文獻(xiàn)[35]中結(jié)果的對比（C-F 邊界，Pz=Px=0，此算例中Table 4 Comparison of the 1st 3 order dimensionless frequencies of macro traditional tapered beams with ref.[35](in this case：C-F boundary condition，

表4 基于本文模型的宏觀均質(zhì)錐形梁前三階無量綱頻率與文獻(xiàn)[35]中結(jié)果的對比（C-F 邊界，Pz=Px=0，此算例中Table 4 Comparison of the 1st 3 order dimensionless frequencies of macro traditional tapered beams with ref.[35](in this case：C-F boundary condition，

cbmodelch=0chmodelcb=0 ?ω1?ω2?ω3?ω1?ω2?ω3 0present3.509 021.737 359.780 40present3.509 021.737 359.780 4 ref.[35]3.516 022.034 561.697 2ref.[35]3.516 022.034 561.697 2 0.4present4.087 922.806 860.821 40.4present3.730 718.940 549.305 9 ref.[35]4.097 023.118 662.776 3ref.[35]3.737 119.113 850.353 7 0.8present5.382 925.296 963.660 80.8present4.286 315.662 236.475 6 ref.[35]5.397 625.655 865.747 0ref.[35]4.292 515.742 736.885 5

3.2 算例分析

圖2～5 給出了不同邊界條件下，微梁的無量綱頻率隨錐度比變化的情況.從圖2 中可以看出，對于兩端固支錐形微梁，無量綱頻率隨著錐度比ch的增大逐漸減??；對于錐度比cb，當(dāng)其較小時（0≤cb≤0．6），無量綱頻率變化不明顯，當(dāng)cb繼續(xù)增大時，無量綱頻率有較為明顯的減小.在圖3 中，兩端鉸支錐形微梁的無量綱頻率隨錐度比變化情況與兩端固支時類似.從圖4 可以看出，對于兩端自由微梁，當(dāng)錐度比ch增大時，無量綱頻率先減小后增大；當(dāng)錐度比cb增大時，無量綱頻率在cb較小時緩慢增加，隨后增長較快，這與兩端固支和兩端鉸支邊界時有明顯差異.

圖2 兩端固支邊界時錐度比對微梁無量綱頻率的影響（hL=3 μm，L=20hL，lc=lm=1．5 μm）Fig.2 The effects of taper ratios on the dimensionless frequencies of microbeams with clamped boundary conditions(hL=3 μm，L=20hL，lc=lm=1．5 μm)

圖3 兩端鉸支邊界時錐度比對微梁無量綱頻率的影響（hL=3 μm，L=20hL，lc=lm=1．5 μm）Fig.3 The effects of taper ratios on the dimensionless frequencies of microbeams with hinged boundary conditions(hL=3 μm，L=20hL，lc=lm=1．5 μm)

圖4 兩端自由邊界時錐度比對微梁無量綱頻率的影響（hL=3 μm，L=20hL，lc=lm=1．5 μm）Fig.4 The effects of taper ratios on the dimensionless frequencies of microbeams with free boundary conditions （hL=3 μm，L=20hL，lc=lm=1．5 μm）

圖5 展示了左端固支右端自由（C-F）和左端自由右端固支（F-C）邊界時錐形微梁的無量綱頻率變化情況.結(jié)果表明，對于左端固支右端自由（C-F）微梁，其無量綱頻率隨著錐度比ch或cb的增大而增大；相反，對于左端自由右端固支（F-C）微梁，其無量綱頻率隨著錐度比ch或cb的 增大而減小.這說明，對于懸臂邊界錐形微梁，固定端在錐頂（F-C）還是在錐底（C-F）對微梁無量綱頻率有重要影響.

圖5 懸臂邊界時錐度比對微梁無量綱頻率的影響（hL=3 μm，L=20hL，lc=lm=1．5 μm）Fig.5 The effects of taper ratios on the dimensionless frequencies of microbeams with cantilever boundary conditions(hL=3 μm，L=20hL，lc=lm=1．5 μm)

為探究微梁組分材料的軸向梯度分布和微梁軸向變截面效應(yīng)對其無量綱頻率的影響異同，圖6～8 分別給出了僅考慮材料軸向梯度分布、厚度方向錐度比（ch）和寬度方向錐度比（cb）時，微梁的無量綱頻率變化情況.從圖6 可以看出，當(dāng)軸向功能梯度指數(shù)較小時（Px＜ 5），微梁無量綱頻率隨著Px的增大迅速降低，隨后趨于平緩，這是因為，軸向功能梯度指數(shù)在0～5 范圍內(nèi)變化時，微梁軸向的材料分布改變明顯，對微梁頻率的影響顯著.從圖7 和圖8 中可以看出，錐度比（ch，cb）對微梁頻率的影響與微梁的邊界條件相關(guān)，相關(guān)影響規(guī)律在圖2～5 中已進(jìn)行了詳細(xì)描述.此外，厚度方向錐度比（ch）的影響還與微梁的尺度效應(yīng)相關(guān)，從圖7 中可知，當(dāng)考慮微梁的尺度效應(yīng)時，ch對微梁無量綱頻率的影響減弱.綜合以上分析可知，三個因素均對微梁的無量綱頻率有顯著影響，而影響效果則存在較大差異，微梁的無量綱頻率變化規(guī)律是微梁的材料分布、變截面效應(yīng)、尺度效應(yīng)和邊界條件等因素綜合作用的結(jié)果.

圖6 軸向功能梯度指數(shù)對微梁無量綱頻率的影響（hL=3 μm，L=20hL，ch=cb=0，Pz=0）Fig.6 The effects of axial functional gradient indexes on the dimensional frequencies of microbeams （hL=3 μm，L=20hL，ch=cb=0，Pz=0）

圖7 錐度比（ch）對微梁無量綱頻率的影響（hL=3 μm，L=20hL，cb=0，Px=Pz=0）Fig.7 The effects of taper ratios（ch）on the dimensional frequencies of microbeams （hL=3 μm，L=20hL，cb=0，Px=Pz=0）

圖8 錐度比（cb）對微梁無量綱頻率的影響（hL=3 μm，L=20hL，ch=0，Px=Pz=0）Fig.8 The effects of taper ratios（cb）on the dimensional frequencies of microbeams （hL=3 μm，L=20hL，ch=0，Px=Pz=0）

前述分析表明，自由邊界時，頻率隨厚度方向錐度比（ch）變化時存在極小值點(diǎn)，這與其他邊界條件時單調(diào)變化不同（圖4 和圖7）.為深入探究自由邊界時微梁頻率隨錐度比（ch）的變化規(guī)律，圖9 給出了自由邊界時有無尺度效應(yīng)、不同功能梯度指數(shù)下的頻率變化情況.圖中結(jié)果表明不論是否考慮尺度效應(yīng)，頻率隨著ch的變化均出現(xiàn)極小值點(diǎn)，區(qū)別在于不考慮尺度效應(yīng)時，極小值點(diǎn)出現(xiàn)在錐度比很大時（約0.95），考慮尺度效應(yīng)時極小值點(diǎn)位置的ch約為0.7.此外，圖中結(jié)果還說明，功能梯度指數(shù)的變化對極值點(diǎn)位置沒有明顯的影響.綜合以上分析可知，頻率極值點(diǎn)存在與否與梁是否有外界約束相關(guān)，尺度效應(yīng)則會改變自由邊界下頻率極值點(diǎn)出現(xiàn)的錐度比（ch）.

圖9 錐度比（ch）對自由邊界條件微梁無量綱頻率的影響（hL=3 μm，L=20hL，cb=0，F(xiàn)-F）Fig.9 The effects of taper ratios（ch）on the dimensional frequencies of microbeams with free boundary conditions （hL=3 μm，L=20hL，cb=0，F(xiàn)-F）

圖10 繪制了不同厚度下微梁的無量綱頻率隨梁的長厚比變化的曲線.結(jié)果表明，當(dāng)微梁為厚梁時（L/h＜10），其無量綱頻率隨著長厚比減小而逐漸減小，當(dāng)微梁長厚比大于10 時，微梁的無量綱頻率變化趨于平緩.這說明當(dāng)梁的長厚比較小時，剪切變形效應(yīng)明顯，梁的無量綱剛度明顯降低，無量綱頻率降低.此外，當(dāng)微梁厚度逐漸增大時，無量綱頻率減小，說明隨著厚度的增加，小尺度效應(yīng)逐漸降低.圖11 繪制了陶瓷-金屬的內(nèi)稟特征尺度參數(shù)比變化時，無量綱頻率的變化情況.圖中結(jié)果表明，總體上來看，隨著陶瓷-金屬的特征尺度參數(shù)比逐漸增大，微梁的無量綱頻率隨之增大；但是微梁的邊界條件不同時，各曲線的斜率不同，表明邊界條件不同時，微梁尺度效應(yīng)的影響不同.

圖10 長厚比對微梁無量綱頻率的影響（C-C，ch=cb=0．2，Px=Pz=1，lc=lm=1．5 μm）Fig.10 The effects of length-to-thickness ratios on the dimensionless frequencies of microbeams(C-C,ch=cb=0．2,Px=Pz=1,lc=lm=1．5 μm)

圖11 陶瓷和金屬的材料尺度參數(shù)比對微梁無量綱頻率的影響（hL=3 μm，L=20hL，Px=Pz=1， ch=cb=0．2，lm=1．5 μm）Fig.11 The effects of the length scale parameter ratios of ceramic and metal on the dimensionless frequencies of microbeams(hL=3 μm，L=20hL，Px=Pz=1，ch=cb=0．2，lm=1．5 μm)

圖12 給出了不同厚度下微梁的無量綱臨界屈曲載荷隨著功能梯度指數(shù)和軸向功能梯度指數(shù)變化的情況.結(jié)果表明，隨著功能梯度指數(shù)或軸向功能梯度指數(shù)的增大，微梁的無量綱臨界屈曲載荷逐漸減??；隨著微梁厚度的增大，無量綱臨界屈曲載荷同樣隨之減小.

圖12 兩端固支（C-C）微梁的臨界屈曲載荷隨功能梯度指數(shù)和軸向功能梯度指數(shù)的變化情況（L=20hL，lc=lm=1．5 μm，ch=cb=0．2）Fig.12 The effects of the functionally graded indexes on the critical buckling loads of microbeams （L=20hL，lc=lm=1．5 μm，ch=cb=0．2）

4 結(jié)論

本文基于修正的偶應(yīng)力理論和Timoshenko 梁理論，應(yīng)用變分原理建立了變截面二維功能梯度微尺度梁自由振動和穩(wěn)定性問題的力學(xué)模型.采用Ritz 法給出了任意邊界下振動基頻和臨界屈曲載荷的數(shù)值解.通過若干數(shù)值算例探究了材料內(nèi)稟特征尺度參數(shù)、錐度比、功能梯度指數(shù)和軸向功能梯度指數(shù)等對微梁振動和屈曲行為的影響，本文主要結(jié)論可以總結(jié)為：

1）自由邊界時，頻率隨厚度方向錐度比（ch）變化時存在極小值點(diǎn)，在其他邊界條件下，頻率隨ch的 改變單調(diào)變化.

2）長厚比較小時，剪切變形效應(yīng)明顯，微梁的無量綱頻率降低；微梁厚度逐漸減小時，尺度效應(yīng)增強(qiáng)，無量綱頻率逐漸增加.

3）微梁的無量綱頻率隨著陶瓷和金屬的材料內(nèi)稟特征尺度參數(shù)比（lc/lm）增大而增大，且不同邊界條件時，增大的程度不同，這也表明，不同邊界條件時，尺度效應(yīng)對微梁的影響程度不同.

4）微梁的無量綱臨界屈曲載荷隨著微梁厚度的增大而減小，隨著軸向功能梯度指數(shù)或厚度方向功能梯度指數(shù)的增大而減小.