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    底部加熱肥皂泡上準(zhǔn)二維湍流的數(shù)值模擬*

    2022-11-09 05:52:56賀嘯秋熊永亮彭澤瑞

    賀嘯秋,熊永亮,徐 順,彭澤瑞,陳 波

    (華中科技大學(xué) 航空航天學(xué)院 力學(xué)系,武漢 430074)

    引言

    湍流運(yùn)動(dòng)廣泛存在于自然界中,從星系中的星際介質(zhì)運(yùn)動(dòng),到杯子中被攪拌的咖啡流動(dòng),雖然時(shí)空尺度差距懸殊但都屬于湍流流動(dòng)[1].流體的湍流運(yùn)動(dòng)對(duì)傳熱傳質(zhì)具有重要的影響[2].當(dāng)湍流流場(chǎng)中流體的運(yùn)動(dòng)僅具有兩個(gè)獨(dú)立的空間自由度時(shí),稱之為二維湍流[3-6].相比三維湍流,二維湍流的結(jié)構(gòu)更易于觀察與分析,且在直接數(shù)值模擬(DNS)所需要的計(jì)算資源顯著減小的同時(shí)又保留著湍流的許多關(guān)鍵特征[3].另一方面,二維湍流并不是三維湍流進(jìn)行簡(jiǎn)單維度壓縮的結(jié)果,它也具有與三維湍流完全不同的顯著差別[3].其中最核心的差別是最早由Kraichnan[7]、Leith[8]和Batchelor[9]發(fā)現(xiàn)的反向能量串級(jí),即在充分發(fā)展的二維湍流中,在特定尺度范圍內(nèi)存在著能量從尺寸較小的渦向尺寸較大的渦反向傳遞的現(xiàn)象.在研究海洋或者大氣中的大尺度運(yùn)動(dòng)時(shí),海洋或大氣的側(cè)向尺寸遠(yuǎn)大于高度方向的尺寸,在研究較大尺度的流動(dòng)問題時(shí)可以忽略掉流體在高度方向的運(yùn)動(dòng)而作二維流動(dòng)處理[10-11].因而,在地球物理與行星物理學(xué)中,二維湍流具有重要的研究價(jià)值[12].

    嚴(yán)格意義下的二維湍流在實(shí)驗(yàn)室或自然界中并不存在[3],研究二維湍流主要依賴于DNS[3]或者在實(shí)驗(yàn)條件下借助肥皂膜及電磁力抑制形成準(zhǔn)二維流動(dòng)[13].眾所周知,肥皂薄膜的厚度只有數(shù)微米,但其側(cè)向尺寸可以達(dá)到數(shù)十厘米以上,肥皂薄膜被廣泛用于準(zhǔn)二維湍流實(shí)驗(yàn)[12].Kellay[13]在實(shí)驗(yàn)中研究了加熱肥皂泡中的準(zhǔn)二維湍流.實(shí)驗(yàn)中一個(gè)半球形的肥皂泡被固定在基座上,基座以水浴的方法對(duì)肥皂泡底部進(jìn)行加熱,肥皂泡上的流體在浮力的驅(qū)動(dòng)下形成復(fù)雜的湍流運(yùn)動(dòng)[14-15].肥皂泡上的流體運(yùn)動(dòng)與大氣流動(dòng)都具有準(zhǔn)二維流動(dòng)特征,且具有相似的幾何特征,這使得學(xué)者以肥皂泡為簡(jiǎn)化模型開展了大氣流動(dòng)中尺度結(jié)構(gòu)特征的研究[13-19].熱帶氣旋是大氣中的一種特殊中尺度結(jié)構(gòu),對(duì)人類社會(huì)具有重要的影響,是多種極端天氣與自然災(zāi)害的直接原因[10].Seychelles 等[14]在實(shí)驗(yàn)中觀察到肥皂泡上出現(xiàn)了能長時(shí)間獨(dú)立存在的島渦,島渦的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與大氣中的熱帶氣旋類似,都具有超擴(kuò)散的特征[14,16].此外,島渦的強(qiáng)度隨時(shí)間變化的規(guī)律與大氣中的熱帶氣旋類似[15].基于這些特點(diǎn),Meuel 等[17]基于肥皂泡上島渦與颶風(fēng)的運(yùn)動(dòng)特征提出了預(yù)測(cè)大氣氣旋運(yùn)動(dòng)軌跡的模型.在湍流方面,研究者們發(fā)現(xiàn)肥皂泡上的流動(dòng)具有其特有的曲面準(zhǔn)二維熱對(duì)流特征,通過實(shí)驗(yàn)與DNS,可利用這一標(biāo)準(zhǔn)模型開展湍流流動(dòng)機(jī)理的研究與湍流理論的考察[16,19-21].例如通過對(duì)肥皂泡的旋轉(zhuǎn),發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)效應(yīng)產(chǎn)生了新的溫度小尺度脈動(dòng)標(biāo)度關(guān)系[18].因而研究肥皂泡上的湍流熱對(duì)流不僅具有重要的應(yīng)用價(jià)值,同時(shí)也可以拓展與豐富學(xué)界對(duì)湍流物理機(jī)制的認(rèn)識(shí).

    借助赤平極射投影法,Xiong 等[20]首先實(shí)現(xiàn)了具有半球面幾何的二維流場(chǎng)DNS.他們計(jì)算了Rayleigh 數(shù)為1×108的肥皂泡流場(chǎng),由于缺乏能量耗散,所得到的計(jì)算結(jié)果并不穩(wěn)定[20].Meuel 等[15]通過實(shí)驗(yàn)研究了肥皂泡上的漩渦結(jié)構(gòu)特征,并與DNS 計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,發(fā)現(xiàn)兩者符合得較好.此后,Bruneau 等[19]在DNS 代碼中引入了能量耗散項(xiàng),使得計(jì)算得到的流場(chǎng)能夠達(dá)到統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài),計(jì)算獲得的流場(chǎng)與實(shí)驗(yàn)觀察到的肥皂泡上的流動(dòng)具有相同的特征,同時(shí)還發(fā)現(xiàn)DNS 計(jì)算結(jié)果對(duì)一定的外部耗散并不敏感,他們還通過DNS 結(jié)果發(fā)現(xiàn)了肥皂泡對(duì)流具有Bo59標(biāo)度律,這與實(shí)驗(yàn)中肥皂泡上觀察到的結(jié)果一致.最近,Meuel 等[18]同時(shí)使用實(shí)驗(yàn)與DNS 方法研究了旋轉(zhuǎn)肥皂泡上的溫度脈動(dòng),他們的研究中實(shí)驗(yàn)與DNS 獲得了非常相近的結(jié)果.經(jīng)過近十年的發(fā)展,肥皂泡上熱對(duì)流的DNS 已日趨成熟,相比實(shí)驗(yàn)方法,使用DNS 研究肥皂泡上的湍流熱對(duì)流也展露出較大的優(yōu)勢(shì).首先,目前的實(shí)驗(yàn)手段在獲得肥皂泡上的空間特征結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)上還具有一定難度,難以同時(shí)測(cè)量整個(gè)流場(chǎng)[13-14,17].對(duì)肥皂泡上的準(zhǔn)二維湍流的深入研究有必要獲得包含全部尺度特征的完整流場(chǎng)信息,而采用DNS 方法可以滿足這一需求[22].其次,實(shí)驗(yàn)方法也難以精確地在曲面幾何中測(cè)量如能量級(jí)串、結(jié)構(gòu)函數(shù)等湍流的小尺度特征[23-24].而DNS 獲得的流場(chǎng)包含全部尺度的特征,可以使用編程后處理的方法高效快捷地計(jì)算湍流的小尺度特征.另外,使用DNS 方法可以方便地在更大、更明確的參數(shù)空間內(nèi)研究肥皂泡曲面空間上的熱對(duì)流,并規(guī)避了如非Boussinesq 效應(yīng)、不均勻加熱邊界、材質(zhì)與外界擾動(dòng)等實(shí)驗(yàn)中常見的誤差來源.本文將詳細(xì)介紹這一套簡(jiǎn)便求解肥皂泡上流場(chǎng)的并行計(jì)算DNS 方法,以及針對(duì)球面二維湍流的分析方法.

    文中通過該方法對(duì)多個(gè)高Rayleigh 數(shù)下的熱對(duì)流開展了DNS,并探索了肥皂泡上的湍流雙級(jí)串現(xiàn)象與小尺度脈動(dòng)的標(biāo)度關(guān)系.

    1 模型介紹與控制方程

    本文研究的是在底部加熱的半球形肥皂泡上的準(zhǔn)二維湍流.肥皂薄膜的厚度遠(yuǎn)小于肥皂泡的半徑R,可以忽略流體在肥皂薄膜厚度方向的運(yùn)動(dòng),使用二維半球面來近似肥皂泡的幾何外形.赤道是肥皂泡與基座接觸的邊界,幾何外形為一個(gè)半徑為R的圓周.首先,需要建立坐標(biāo)系描述肥皂泡上流體微元的空間位置.三維直角坐標(biāo)系Oxyz以二維半球面的球心O為原點(diǎn),ex,ey和ez分別為x,y和z方向上的單位基矢,其中ez方向與重力方向相反.在直角坐標(biāo)系下,肥皂泡用曲面方程x2+y2+z2=R2(z≥0)描述,赤道的曲線方程為x2+y2=R2.采用球坐標(biāo)系Or?θ,其中r≡R可方便地將該問題簡(jiǎn)化為二維,球坐標(biāo)系的單位基矢用er,e?和eθ表示.與球坐標(biāo)類似,地理坐標(biāo)系?*Oθ*能更加直觀地描述肥皂泡上任意一點(diǎn)的空間位置,經(jīng)度定義為?*=?,緯度定義為θ*=90?-θ.肥皂泡頂部緯度為 90?(θ*=90?),而在赤道緯度為 0?(θ*=0?),地理坐標(biāo)系的基矢為e?*=e?,eθ*=-eθ.對(duì)于肥皂泡上的速度場(chǎng)u有如下定義:

    肥皂泡上流場(chǎng)的唯一邊界是赤道,邊界條件為恒溫?zé)o滑移(T=T0,u=0)邊界條件.若肥皂泡的初始溫度遠(yuǎn)小于肥皂泡的赤道溫度,隨著時(shí)間的推進(jìn),在赤道附近的流體,通過赤道從外界吸收熱量,使其溫度升高密度降低.此時(shí),流體在浮力的驅(qū)動(dòng)下向肥皂泡頂部運(yùn)動(dòng),肥皂泡中產(chǎn)生熱對(duì)流.數(shù)值模擬中,Boussinesq 近似常被用來描述流體溫度與密度的關(guān)系.當(dāng)流體運(yùn)動(dòng)至遠(yuǎn)離赤道的位置時(shí),熱量向周圍的低溫空氣擴(kuò)散,導(dǎo)致溫度下降密度逐漸上升,受到的浮力逐漸減弱.觀察實(shí)驗(yàn)中的肥皂泡流場(chǎng)可以發(fā)現(xiàn),由于肥皂泡既向冷空氣散熱又與冷空氣產(chǎn)生摩擦,肥皂泡上的湍流熱對(duì)流不斷持續(xù)并達(dá)到了統(tǒng)計(jì)平衡態(tài)[13-18].為了使DNS 中肥皂泡進(jìn)入統(tǒng)計(jì)平衡態(tài),外冷卻項(xiàng)ST和外摩擦項(xiàng)Fu被分別加入到能量方程與動(dòng)量方程中,用于描述流體與環(huán)境冷空氣的散熱與摩擦,S為外冷卻系數(shù),而F是外摩擦因數(shù).以往的研究表明,外冷卻項(xiàng)和外摩擦項(xiàng)可以較好地描述肥皂泡與實(shí)驗(yàn)環(huán)境之間的能量交換[19-21].因此,流體在肥皂泡上運(yùn)動(dòng)的控制方程可寫為Ra建立了流體受到的浮力與黏性力之間的一個(gè)關(guān)系,Pr則反映了動(dòng)量傳輸及熱量傳輸速率之比,對(duì)于特定的物質(zhì),Pr是流體本身的屬性,此處為一定值.

    考慮到需要在球坐標(biāo)系下求解控制方程(4),則在肥皂泡的頂點(diǎn)處引入了奇異性.而在直角坐標(biāo)系下無法對(duì)這一曲面進(jìn)行二維描述,采用三維描述并進(jìn)行離散則降低了曲面的光滑性.通過赤平極射投影法引入的投影空間坐標(biāo)系x?Oy?可以規(guī)避以上全部缺點(diǎn).首先,定義肥皂泡的頂點(diǎn)關(guān)于赤道平面的鏡像點(diǎn)為B點(diǎn),B點(diǎn)在無量綱直角坐標(biāo)系Ox?y?z?中的坐標(biāo)為(0,0,-1).令A(yù)點(diǎn)為肥皂泡上任意一點(diǎn),存在唯一直線經(jīng)過A點(diǎn)與B點(diǎn),直線AB與赤道平面的交點(diǎn)為C,C點(diǎn)就是A點(diǎn)的赤平極射投影點(diǎn).圖 1 展示了赤平極射投影幾何關(guān)系,其中橙色平面為赤道平面,A是肥皂泡上任意一點(diǎn),B為肥皂泡頂點(diǎn)關(guān)于赤道平面的鏡像點(diǎn),C為投影點(diǎn).投影坐標(biāo)系Ox?y?的原點(diǎn)為肥皂泡的球心,x?軸與x?軸重合,y?軸與y?軸重合.由簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出,無量綱的直角坐標(biāo)系向投影空間的正變換is為

    圖1 赤平極射投影法示意圖Fig.1 An illustration of the stereographic projection

    而對(duì)應(yīng)的逆變換為

    在計(jì)算空間內(nèi),基矢不再是常向量,而隨著空間坐標(biāo)變化而變化.通過基矢的變換(12)與逆變換(13)可以方便地求得在投影空間與物理空間的矢量之間的轉(zhuǎn)換公式.例如,速度在投影空間與物理空間的分量具有以下關(guān)系:

    使用基矢的逆變換(13)代入到速度定義(14)中,即可獲得速度的逆變換公式:

    在投影空間中求解控制方程(4)還需要計(jì)算矢量算符在投影空間中的形式.變換is的Jacobi 矩陣為

    2 數(shù)值方法

    圖2 交錯(cuò)網(wǎng)格示意圖Fig.2 The scheme of the staggered mesh

    圖3 并行算法示意圖Fig.3 The scheme of the parallel algorithm

    3 結(jié)果討論

    3.1 算例信息與瞬時(shí)流場(chǎng)

    本文一共設(shè)置了三個(gè)算例用以分析Rayleigh 數(shù)對(duì)流場(chǎng)的影響,三個(gè)算例的Ra分別為3×107,3×109和3×1011,詳細(xì)信息見表 1.所有算例的Pr固定為7,因?yàn)榉试硭奈锢硇再|(zhì)與水近似.以往的研究表明S? =F?=0.06是一個(gè)合理的選擇[19,21],本文計(jì)算中也采用該值.為了消除網(wǎng)格分辨率對(duì)結(jié)果的影響,對(duì)每個(gè)算例都嘗試了多個(gè)網(wǎng)格分辨率:256×256,512×512,1 024×1 024,1 536×1 536,2 048×2 048和2 560×2 560.圖 4 顯示了算例2 在不同網(wǎng)格分辨率下,系統(tǒng)總擬渦能隨時(shí)間的變化曲線.從圖中可以觀察到,不同的網(wǎng)格分辨率下肥皂泡上的總擬渦能都在 50個(gè)無量綱時(shí)間單位內(nèi)達(dá)到了統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài).在本文所有的數(shù)值模擬中,每個(gè)算例都保證足夠的計(jì)算時(shí)長,使流場(chǎng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài),并對(duì)結(jié)果進(jìn)行長時(shí)間的統(tǒng)計(jì)計(jì)算.隨著網(wǎng)格分辨率的提升,總擬渦能的統(tǒng)計(jì)平均值在緩慢增加,但當(dāng)網(wǎng)格分辨率超過2 048×2 048時(shí),DNS 已可以獲得網(wǎng)格獨(dú)立結(jié)果.得益于并行計(jì)算效率的提升,本文首次使用2 048×2 048的網(wǎng)格分辨率開展了肥皂泡上熱對(duì)流的DNS,同時(shí)也將DNS 的Rayleigh 數(shù)提升到Ra=3×1011.

    圖4 不同網(wǎng)格分辨率下,算例2 的總擬渦能隨時(shí)間的變化曲線(左)和擬渦能總量的統(tǒng)計(jì)值隨網(wǎng)格分辨率變化曲線(右)Fig.4 The temporal evolution of the total enstrophy on the bubble with different mesh resolutions(left)&the variation of the mean total enstropy with the mesh resolutions(right)

    表1 算例參數(shù)信息Table 1 Information for the simulated cases

    通過觀察瞬態(tài)流場(chǎng)云圖可以直觀地分析肥皂泡上流場(chǎng)的宏觀特點(diǎn).圖 5 展示了三個(gè)算例的瞬時(shí)溫度場(chǎng)T,瞬時(shí)動(dòng)能場(chǎng)u2/2和瞬時(shí)擬渦能場(chǎng)ω2/2.從圖 5 中可以清晰地觀察肥皂泡上非常卷曲的羽流以及尺度較大的島渦.在經(jīng)典的Rayleigh-Bénard 對(duì)流中,流場(chǎng)由冷熱羽流所自組織的大尺度環(huán)流(large scale circulation)所主導(dǎo).當(dāng)對(duì)流槽具有特定的縱橫比時(shí),在合適的Rayleigh 數(shù)控制下,流場(chǎng)中還會(huì)出現(xiàn)角渦.肥皂泡沒有冷邊界,流場(chǎng)中不存在冷羽流;而肥皂泡同時(shí)也沒有側(cè)向邊界及其形成的角渦,肥皂泡上的相干結(jié)構(gòu)主要由熱羽流及其演化形成.從溫度云圖上可以觀察到,邊界層上產(chǎn)生了大量的羽流,羽流在浮力的作用下向更高緯度運(yùn)動(dòng).而同一時(shí)刻的擬渦能云圖則顯示羽流的形成與運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生了不同尺寸的渦,一些渦相互融合后形成了尺度較大的島渦,島渦主要居于較高緯度,與實(shí)驗(yàn)中觀察到的情況相同[15,17].從動(dòng)能云圖中可以發(fā)現(xiàn)流場(chǎng)的動(dòng)能集中在一些尺寸較大的島渦中.

    圖5 瞬時(shí)流場(chǎng)圖:(a)無量綱瞬時(shí)溫度場(chǎng),Ra=3×107;(b)無量綱瞬時(shí)溫度場(chǎng),Ra=3×109;(c)無量綱瞬時(shí)溫度場(chǎng),Ra=3×1011;(d)無量綱瞬時(shí)動(dòng)能場(chǎng),Ra=3×107;(e)無量綱瞬時(shí)動(dòng)能場(chǎng),Ra=3×109;(f)無量綱瞬時(shí)動(dòng)能場(chǎng),Ra=3×1011;(g)無量綱瞬時(shí)擬渦能場(chǎng),Ra=3×107;(h)無量綱瞬時(shí)擬渦能場(chǎng),Ra=3×109;(i)無量綱瞬時(shí)擬渦能場(chǎng),Ra=3×1011Fig.5 The instantaneous flow field:(a)dimensionless instantaneous temperature field,Ra=3×107;(b)dimensionless instantaneous temperature field,Ra=3×109;(c)dimensionless instantaneous temperature field,Ra=3×1011;(d)dimensionless instantaneous kinetic energy field,Ra=3×107;(e)dimensionless instantaneous kinetic energy field,Ra=3×109;(f)dimensionless instantaneous kinetic energy field,Ra=3×1011;(g)dimensionless instantaneous enstrophy field,Ra=3×107;(h)dimensionless instantaneous enstrophy field,Ra=3×109;(i)dimensionless instantaneous enstrophy field,Ra=3×1011

    而隨著Ra的增加,瞬時(shí)流場(chǎng)出現(xiàn)了明顯變化.當(dāng)Ra=3×107時(shí),羽流和渦的尺寸較大,動(dòng)能分布在較大的流動(dòng)結(jié)構(gòu)中,而且可以從溫度云圖中清晰的觀察到邊界層.當(dāng)Ra增加到3×109時(shí),羽流更加細(xì)小與卷曲,而渦的尺寸也明顯變小,同時(shí)羽流和渦的數(shù)量有明顯增加,動(dòng)能集中在更加細(xì)長的流動(dòng)結(jié)構(gòu)中.另外,溫度邊界層的厚度大幅減小,從溫度云圖中已經(jīng)無法清晰觀察到邊界層.而當(dāng)Ra=3×1011時(shí),羽流和渦變得更加小,而其數(shù)量更進(jìn)一步增加時(shí),動(dòng)能云圖顯示流動(dòng)結(jié)構(gòu)的尺寸將繼續(xù)減小.

    3.2 動(dòng)能與擬熱能的波數(shù)譜與通量

    流場(chǎng)量的波數(shù)譜和通量表征了湍流場(chǎng)不同尺度的渦之間的相互作用,對(duì)于三維流場(chǎng)或二維平面流場(chǎng),計(jì)算波數(shù)譜和通量需要進(jìn)行空間Fourier 變換.肥皂泡上的流場(chǎng)具有曲面幾何,需要專門的數(shù)學(xué)工具來計(jì)算波數(shù)譜和通量.任意球?qū)ΨQ空間函數(shù)Ψ 均可以展開為球諧函數(shù)的級(jí)數(shù):

    在肥皂泡上尋找Bo59標(biāo)度律需要考慮曲面幾何帶來的影響.由于肥皂泡上不同緯度上的重力投影隨著緯度而變化,這是Bo59假設(shè)中所不包含的特點(diǎn).這暗示只有在重力隨緯度變化較小的區(qū)域內(nèi),有可能發(fā)現(xiàn)Bo59標(biāo)度律.對(duì)于緯度為 θ*,重力加速度在球面切向的投影為gcosθ*,對(duì)之求 θ*的導(dǎo)數(shù)為gsinθ*,這說明越接近赤道重力投影隨緯度的變化越小.然而,在導(dǎo)出Bo59標(biāo)度律的理論中假定邊界條件不產(chǎn)生影響,因而只有在足夠遠(yuǎn)離赤道才能發(fā)現(xiàn)Bo59標(biāo)度律.結(jié)合以上幾點(diǎn)考慮,Bo59標(biāo)度律只在一定緯度范圍內(nèi)有效.

    本文三個(gè)算例的動(dòng)能與擬熱能的波數(shù)譜如圖 6 所示,圖中虛線為Bo59標(biāo)度參考線.觀察圖 6 中的動(dòng)能波數(shù)譜可以發(fā)現(xiàn),在5≤kR≤100的范圍內(nèi),Bo59標(biāo)度律準(zhǔn)確地描述了不同Ra下的動(dòng)能譜隨波數(shù)的標(biāo)度規(guī)律.相反的是,圖 6 中的擬熱能的波數(shù)譜則表明,在本文所考慮的三個(gè)Ra條件下,肥皂泡的擬熱能波數(shù)譜標(biāo)度特征沒有觀察到Bo59標(biāo)度律.在肥皂泡上流場(chǎng)中,邊界層中流體的溫度最高,而當(dāng)流體隨著羽流上升離開邊界層后,溫度快速下降.He 等[21]發(fā)現(xiàn),邊界層的平均溫度與脈動(dòng)溫度均遠(yuǎn)大于肥皂泡其余部分,這暗示邊界層對(duì)肥皂泡上溫度場(chǎng)具有很強(qiáng)的影響.圖 6 中的擬熱能波數(shù)譜包含了整個(gè)肥皂泡上溫度場(chǎng)的脈動(dòng)信息,溫度邊界條件對(duì)波數(shù)譜的影響無法忽略,所以擬熱能波數(shù)譜相比動(dòng)能包含了更多邊界的影響而沒有Bo59標(biāo)度律.隨著Ra的增加,在小波數(shù)的范圍內(nèi),動(dòng)能譜和擬熱能有較明顯的減小,這與瞬時(shí)流場(chǎng)中羽流和渦的尺寸隨著Ra增加而明顯變小的規(guī)律相符合.對(duì)于圖 6 中所有Ra的波數(shù)譜,隨著波數(shù)k的增加,動(dòng)能譜與擬熱能譜逐漸減小.這表明肥皂泡上尺寸越大的流動(dòng)結(jié)構(gòu)具有更大的動(dòng)能與擬熱能,與從瞬時(shí)流場(chǎng)觀察到的現(xiàn)象相同.

    圖6 動(dòng)能與擬熱能的波數(shù)譜:(a)動(dòng)能;(b)擬熱能Fig.6 The wave number spectra for the kinetic energy and entropy:(a)the kinetic energy;(b)the entropy

    通量(flux)代表了湍流場(chǎng)中不同尺度的渦之間的物理量傳遞,大于0的通量表明物理量從大尺度的渦向小尺度的渦級(jí)串.反之當(dāng)通量小于 0時(shí),物理量從小尺度的渦向大尺度渦逆級(jí)串.Kraichnan[7]、Leith[8]和Batchelor[9]的二維湍流理論預(yù)言了雙級(jí)串的現(xiàn)象:一個(gè)尺度范圍中,動(dòng)能能級(jí)逆級(jí)串而擬渦能保持正向級(jí)串.圖 7 顯示了整個(gè)肥皂泡上動(dòng)能、擬渦能、擬熱能和浮力項(xiàng)的通量,圖中包含全部三個(gè)算例的結(jié)果.在三個(gè)不同的Ra條件下,圖 7 中的 ΠE曲線都具有相同的規(guī)律,在較小波數(shù)的區(qū)間ΠE>0,隨著波數(shù)的增加,ΠE快速減小到負(fù)值.在 ΠE達(dá)到最小值之后,ΠE隨著波數(shù)的增加逐漸增加,重新達(dá)到ΠE>0,此時(shí) ΠE隨波數(shù)的變化較小.三個(gè)算例中的流場(chǎng)均出現(xiàn)了動(dòng)能能級(jí)逆級(jí)串的現(xiàn)象,隨著Ra的增加,能級(jí)擬級(jí)串的尺度區(qū)間逐漸變大.

    通過觀察圖 7 中的擬渦能通量曲線可以發(fā)現(xiàn),三個(gè)算例的 ΠW始終大于0,肥皂泡上擬渦能始終保持從大渦向小渦的傳遞方向.在不同的Ra下,ΠW在較小波數(shù)的范圍內(nèi)保持穩(wěn)定,但隨著波數(shù)的增加,ΠW先快速增加,達(dá)到最大值之后又快速減少.三個(gè)算例的擬熱能的通量同樣始終大于0,這說明溫度也始終是由較大的渦傳遞給較小的渦.從瞬時(shí)溫度場(chǎng)可以觀察到,羽流和渦在赤道處產(chǎn)生時(shí)尺寸較大,在向高緯度運(yùn)動(dòng)的過程中破碎消散,這一過程符合擬熱能通量所描述的逆熱能傳遞特征.當(dāng)Ra=3×1011與Ra=3×109時(shí),ΠT隨著波數(shù)的增加單調(diào)緩慢減小.而在Ra=3×107的條件下,擬渦能通量曲線隨著波數(shù)的增加先增加后減小,出現(xiàn)一個(gè)極大值.

    浮力通量是對(duì)整個(gè)肥皂泡上的浮力場(chǎng)Teθ*進(jìn)行球諧分解后計(jì)算獲得,計(jì)算方法與動(dòng)能的通量計(jì)算方法相同.由于肥皂泡上的流體運(yùn)動(dòng)是由浮力所驅(qū)動(dòng),浮力通量具有特別的重要性.圖 7 中的浮力通量曲線顯示三個(gè)算例的ΠBuoy始終大于0.不同Ra下的浮力通量曲線具有相同的變化規(guī)律.在區(qū)間kR≤5中,ΠBuoy隨著波數(shù)增加保持穩(wěn)定.在kR≥10的條件下,浮力通量隨著波數(shù)的增加而增加,達(dá)到最大值之后又快速減小.ΠBuoy的上升暗示一個(gè)在較小尺度上存在局部的湍流動(dòng)能注入,而這個(gè)湍流動(dòng)能注入來源是動(dòng)能能量逆級(jí)串:小尺度渦向大尺度渦注入了湍流動(dòng)能.隨著Ra的增加,ΠBuoy顯著減小.由于Ra的增加會(huì)使得羽流的尺寸快速減小,而且小尺寸的熱羽流受到的浮力更小,于是浮力通量在整個(gè)波數(shù)范圍上都減小了.

    圖7 肥皂泡上的動(dòng)能通量、擬渦能通量、擬熱能通量和浮力的通量:(a)動(dòng)能;(b)擬渦能;(c)擬熱能;(d)浮力Fig.7 The fluxes of kinetic energy,enstrophy,entropy and buoyancy on the soap bubble:(a)the kinetic energy;(b)the enstrophy;(c)the entropy;(d)the buoyancy

    3.3 結(jié)構(gòu)函數(shù)

    Kolmogrov 在1941 年提出各向同性均勻湍流假設(shè),并使用結(jié)構(gòu)函數(shù)來描述不同尺度渦之間的能量交換.結(jié)構(gòu)函數(shù)被定義在物理空間中,更加直觀地揭示出流場(chǎng)脈動(dòng)的特點(diǎn),并且能夠給出更高階的流場(chǎng)信息.n階速度結(jié)構(gòu)函數(shù)的定義如下:

    x是空間中一點(diǎn)的位置矢量,而d為距離矢量,d=|d|,n為正整數(shù),〈·〉算符代表系綜平均.按照同樣的方法,可以定義n階溫度結(jié)構(gòu)函數(shù):

    圖8 結(jié)構(gòu)函數(shù)計(jì)算方法Fig.8 The scheme of the distance for calculating the structure function

    由于溫度場(chǎng)與速度場(chǎng)的具有連續(xù)性,當(dāng)d足夠小時(shí),溫度與速度結(jié)構(gòu)函數(shù)的標(biāo)度系數(shù)退化為n以滿足Taylor 展開特性.在計(jì)算結(jié)構(gòu)函數(shù)時(shí),需要對(duì)物理量的差值進(jìn)行時(shí)間,經(jīng)度和緯度上的平均.所有達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡態(tài)之后的時(shí)間步都在時(shí)間平均的范圍內(nèi),而經(jīng)度平均的范圍在0?≤?*≤360?.為了能在消除邊界層的影響同時(shí)保證計(jì)算的準(zhǔn)確性,緯度平均的范圍被限制在10?≤θ*≤90?.圖 9 顯示了緯度與經(jīng)度方向上的從2 到9 階結(jié)構(gòu)函數(shù),其中緯度方向上的結(jié)構(gòu)函數(shù)在左邊,經(jīng)度方向上的結(jié)構(gòu)函數(shù)在右邊.將緯度方向上的溫度或速度結(jié)構(gòu)函數(shù)與經(jīng)度方向上的結(jié)構(gòu)函數(shù)相對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)兩者的標(biāo)度規(guī)律非常接近,但是數(shù)值有一些微小的差別.這與Bo59標(biāo)度律成立的前提條件相符合:速度或溫度的差值僅與兩點(diǎn)之間的距離相關(guān),與方向無關(guān).

    圖9 緯度與經(jīng)度方向上2 到9 階的溫度和速度結(jié)構(gòu)函數(shù):(a)緯度方向的溫度結(jié)構(gòu)函數(shù);(b)緯度方向的速度結(jié)構(gòu)函數(shù);(c)經(jīng)度方向的溫度結(jié)構(gòu)函數(shù);(d)經(jīng)度方向的速度結(jié)構(gòu)函數(shù)Fig.9 The temperature and velocity structure functions in the latitude and longitude directions,n=2~9:(a)the temperature structure functions in the latitude direction;(b)the velocity structure functions in the latitude direction;(c)the temperature structure functions in the longitude direction;(d)the velocity structure functions in the longitude direction

    從圖 9 可以觀察到,速度結(jié)構(gòu)函數(shù)在d/R≤O(0.01)的范圍內(nèi),標(biāo)度系數(shù)為n.而在0.01≤d/R≤0.1的區(qū)間中,Bo59標(biāo)度律較好地描述了速度結(jié)構(gòu)函數(shù)的標(biāo)度特征.在階數(shù)n逐漸增加的情況下,速度結(jié)構(gòu)函數(shù)始終能在同一區(qū)間內(nèi)較好地滿足Bo59標(biāo)度律,但受到湍流間歇的影響,其指數(shù)在高階時(shí)并非線性增加.

    另一方面,觀察溫度結(jié)構(gòu)函數(shù)曲線上可以發(fā)現(xiàn),溫度結(jié)構(gòu)函數(shù)在d/R≤O(0.01)的區(qū)間內(nèi)滿足而在 0.01≤d/R≤0.1的區(qū)間內(nèi)較好地符合Bo59標(biāo)度律.由于排除了邊界層的影響,結(jié)構(gòu)函數(shù)得到的結(jié)果與波數(shù)譜不同.

    4 結(jié)論與展望

    本文介紹了底部加熱的半個(gè)肥皂泡這一新的準(zhǔn)二維湍流,同時(shí)詳細(xì)介紹了其DNS 方法.計(jì)算中針對(duì)肥皂泡二維球面的曲面幾何特點(diǎn),借助球極投影,將物理空間的控制方程轉(zhuǎn)換到投影坐標(biāo)系中,降低了離散化控制方程的難度.此后還介紹了球面上利用球諧分解計(jì)算波數(shù)譜與通量,以及計(jì)算結(jié)構(gòu)函數(shù)的分析方法.最后,針對(duì)Ra=3×107,Ra=3×109,Ra=3×1011三個(gè)算例,本文計(jì)算了動(dòng)能和擬熱能的波數(shù)譜,以及動(dòng)能、擬熱能、擬渦能和浮力的通量.另外也計(jì)算了Ra=3×1011算例的溫度與速度結(jié)構(gòu)函數(shù).不同Ra的結(jié)果都表明了肥皂泡上存在二維湍流中雙級(jí)串的現(xiàn)象.湍流動(dòng)能波數(shù)譜較好地滿足了Bo59標(biāo)度律的理論預(yù)示,但擬熱能由于主要受邊界的影響較大,其波數(shù)譜中沒有觀察到足Bo59標(biāo)度律.但通過湍流結(jié)構(gòu)函數(shù),在去除了赤道邊界的高溫邊界層影響后,無論速度還是溫度結(jié)構(gòu)函數(shù),都在一定范圍較好地符合Bo59的理論預(yù)示.未來可進(jìn)一步通過增加Rayleigh 數(shù)范圍,研究Rayleigh 數(shù)與能量注入尺度以及不同維度上浮力作用間的聯(lián)系.

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