底部加熱肥皂泡上準(zhǔn)二維湍流的數(shù)值模擬*

賀嘯秋，熊永亮，徐 順，彭澤瑞，陳 波

（華中科技大學(xué) 航空航天學(xué)院 力學(xué)系，武漢 430074）

引言

湍流運(yùn)動(dòng)廣泛存在于自然界中，從星系中的星際介質(zhì)運(yùn)動(dòng)，到杯子中被攪拌的咖啡流動(dòng)，雖然時(shí)空尺度差距懸殊但都屬于湍流流動(dòng)[1].流體的湍流運(yùn)動(dòng)對傳熱傳質(zhì)具有重要的影響[2].當(dāng)湍流流場中流體的運(yùn)動(dòng)僅具有兩個(gè)獨(dú)立的空間自由度時(shí)，稱之為二維湍流[3-6].相比三維湍流，二維湍流的結(jié)構(gòu)更易于觀察與分析，且在直接數(shù)值模擬（DNS）所需要的計(jì)算資源顯著減小的同時(shí)又保留著湍流的許多關(guān)鍵特征[3].另一方面，二維湍流并不是三維湍流進(jìn)行簡單維度壓縮的結(jié)果，它也具有與三維湍流完全不同的顯著差別[3].其中最核心的差別是最早由Kraichnan[7]、Leith[8]和Batchelor[9]發(fā)現(xiàn)的反向能量串級(jí)，即在充分發(fā)展的二維湍流中，在特定尺度范圍內(nèi)存在著能量從尺寸較小的渦向尺寸較大的渦反向傳遞的現(xiàn)象.在研究海洋或者大氣中的大尺度運(yùn)動(dòng)時(shí)，海洋或大氣的側(cè)向尺寸遠(yuǎn)大于高度方向的尺寸，在研究較大尺度的流動(dòng)問題時(shí)可以忽略掉流體在高度方向的運(yùn)動(dòng)而作二維流動(dòng)處理[10-11].因而，在地球物理與行星物理學(xué)中，二維湍流具有重要的研究價(jià)值[12].

嚴(yán)格意義下的二維湍流在實(shí)驗(yàn)室或自然界中并不存在[3]，研究二維湍流主要依賴于DNS[3]或者在實(shí)驗(yàn)條件下借助肥皂膜及電磁力抑制形成準(zhǔn)二維流動(dòng)[13].眾所周知，肥皂薄膜的厚度只有數(shù)微米，但其側(cè)向尺寸可以達(dá)到數(shù)十厘米以上，肥皂薄膜被廣泛用于準(zhǔn)二維湍流實(shí)驗(yàn)[12].Kellay[13]在實(shí)驗(yàn)中研究了加熱肥皂泡中的準(zhǔn)二維湍流.實(shí)驗(yàn)中一個(gè)半球形的肥皂泡被固定在基座上，基座以水浴的方法對肥皂泡底部進(jìn)行加熱，肥皂泡上的流體在浮力的驅(qū)動(dòng)下形成復(fù)雜的湍流運(yùn)動(dòng)[14-15].肥皂泡上的流體運(yùn)動(dòng)與大氣流動(dòng)都具有準(zhǔn)二維流動(dòng)特征，且具有相似的幾何特征，這使得學(xué)者以肥皂泡為簡化模型開展了大氣流動(dòng)中尺度結(jié)構(gòu)特征的研究[13-19].熱帶氣旋是大氣中的一種特殊中尺度結(jié)構(gòu)，對人類社會(huì)具有重要的影響，是多種極端天氣與自然災(zāi)害的直接原因[10].Seychelles 等[14]在實(shí)驗(yàn)中觀察到肥皂泡上出現(xiàn)了能長時(shí)間獨(dú)立存在的島渦，島渦的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與大氣中的熱帶氣旋類似，都具有超擴(kuò)散的特征[14,16].此外，島渦的強(qiáng)度隨時(shí)間變化的規(guī)律與大氣中的熱帶氣旋類似[15].基于這些特點(diǎn)，Meuel 等[17]基于肥皂泡上島渦與颶風(fēng)的運(yùn)動(dòng)特征提出了預(yù)測大氣氣旋運(yùn)動(dòng)軌跡的模型.在湍流方面，研究者們發(fā)現(xiàn)肥皂泡上的流動(dòng)具有其特有的曲面準(zhǔn)二維熱對流特征，通過實(shí)驗(yàn)與DNS，可利用這一標(biāo)準(zhǔn)模型開展湍流流動(dòng)機(jī)理的研究與湍流理論的考察[16,19-21].例如通過對肥皂泡的旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)效應(yīng)產(chǎn)生了新的溫度小尺度脈動(dòng)標(biāo)度關(guān)系[18].因而研究肥皂泡上的湍流熱對流不僅具有重要的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也可以拓展與豐富學(xué)界對湍流物理機(jī)制的認(rèn)識(shí).

借助赤平極射投影法，Xiong 等[20]首先實(shí)現(xiàn)了具有半球面幾何的二維流場DNS.他們計(jì)算了Rayleigh 數(shù)為1×108的肥皂泡流場，由于缺乏能量耗散，所得到的計(jì)算結(jié)果并不穩(wěn)定[20].Meuel 等[15]通過實(shí)驗(yàn)研究了肥皂泡上的漩渦結(jié)構(gòu)特征，并與DNS 計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)兩者符合得較好.此后，Bruneau 等[19]在DNS 代碼中引入了能量耗散項(xiàng)，使得計(jì)算得到的流場能夠達(dá)到統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài)，計(jì)算獲得的流場與實(shí)驗(yàn)觀察到的肥皂泡上的流動(dòng)具有相同的特征，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)DNS 計(jì)算結(jié)果對一定的外部耗散并不敏感，他們還通過DNS 結(jié)果發(fā)現(xiàn)了肥皂泡對流具有Bo59標(biāo)度律，這與實(shí)驗(yàn)中肥皂泡上觀察到的結(jié)果一致.最近，Meuel 等[18]同時(shí)使用實(shí)驗(yàn)與DNS 方法研究了旋轉(zhuǎn)肥皂泡上的溫度脈動(dòng)，他們的研究中實(shí)驗(yàn)與DNS 獲得了非常相近的結(jié)果.經(jīng)過近十年的發(fā)展，肥皂泡上熱對流的DNS 已日趨成熟，相比實(shí)驗(yàn)方法，使用DNS 研究肥皂泡上的湍流熱對流也展露出較大的優(yōu)勢.首先，目前的實(shí)驗(yàn)手段在獲得肥皂泡上的空間特征結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)上還具有一定難度，難以同時(shí)測量整個(gè)流場[13-14,17].對肥皂泡上的準(zhǔn)二維湍流的深入研究有必要獲得包含全部尺度特征的完整流場信息，而采用DNS 方法可以滿足這一需求[22].其次，實(shí)驗(yàn)方法也難以精確地在曲面幾何中測量如能量級(jí)串、結(jié)構(gòu)函數(shù)等湍流的小尺度特征[23-24].而DNS 獲得的流場包含全部尺度的特征，可以使用編程后處理的方法高效快捷地計(jì)算湍流的小尺度特征.另外，使用DNS 方法可以方便地在更大、更明確的參數(shù)空間內(nèi)研究肥皂泡曲面空間上的熱對流，并規(guī)避了如非Boussinesq 效應(yīng)、不均勻加熱邊界、材質(zhì)與外界擾動(dòng)等實(shí)驗(yàn)中常見的誤差來源.本文將詳細(xì)介紹這一套簡便求解肥皂泡上流場的并行計(jì)算DNS 方法，以及針對球面二維湍流的分析方法.

文中通過該方法對多個(gè)高Rayleigh 數(shù)下的熱對流開展了DNS，并探索了肥皂泡上的湍流雙級(jí)串現(xiàn)象與小尺度脈動(dòng)的標(biāo)度關(guān)系.

1 模型介紹與控制方程

本文研究的是在底部加熱的半球形肥皂泡上的準(zhǔn)二維湍流.肥皂薄膜的厚度遠(yuǎn)小于肥皂泡的半徑R，可以忽略流體在肥皂薄膜厚度方向的運(yùn)動(dòng)，使用二維半球面來近似肥皂泡的幾何外形.赤道是肥皂泡與基座接觸的邊界，幾何外形為一個(gè)半徑為R的圓周.首先，需要建立坐標(biāo)系描述肥皂泡上流體微元的空間位置.三維直角坐標(biāo)系Oxyz以二維半球面的球心O為原點(diǎn)，ex，ey和ez分別為x，y和z方向上的單位基矢，其中ez方向與重力方向相反.在直角坐標(biāo)系下，肥皂泡用曲面方程x2+y2+z2=R2(z≥0)描述，赤道的曲線方程為x2+y2=R2.采用球坐標(biāo)系Or?θ，其中r≡R可方便地將該問題簡化為二維，球坐標(biāo)系的單位基矢用er，e?和eθ表示.與球坐標(biāo)類似，地理坐標(biāo)系?*Oθ*能更加直觀地描述肥皂泡上任意一點(diǎn)的空間位置，經(jīng)度定義為?*=?，緯度定義為θ*=90?-θ.肥皂泡頂部緯度為 90?（θ*=90?）,而在赤道緯度為 0?（θ*=0?），地理坐標(biāo)系的基矢為e?*=e?，eθ*=-eθ.對于肥皂泡上的速度場u有如下定義：

肥皂泡上流場的唯一邊界是赤道，邊界條件為恒溫?zé)o滑移（T=T0,u=0）邊界條件.若肥皂泡的初始溫度遠(yuǎn)小于肥皂泡的赤道溫度，隨著時(shí)間的推進(jìn)，在赤道附近的流體，通過赤道從外界吸收熱量，使其溫度升高密度降低.此時(shí)，流體在浮力的驅(qū)動(dòng)下向肥皂泡頂部運(yùn)動(dòng)，肥皂泡中產(chǎn)生熱對流.數(shù)值模擬中，Boussinesq 近似常被用來描述流體溫度與密度的關(guān)系.當(dāng)流體運(yùn)動(dòng)至遠(yuǎn)離赤道的位置時(shí)，熱量向周圍的低溫空氣擴(kuò)散，導(dǎo)致溫度下降密度逐漸上升，受到的浮力逐漸減弱.觀察實(shí)驗(yàn)中的肥皂泡流場可以發(fā)現(xiàn)，由于肥皂泡既向冷空氣散熱又與冷空氣產(chǎn)生摩擦，肥皂泡上的湍流熱對流不斷持續(xù)并達(dá)到了統(tǒng)計(jì)平衡態(tài)[13-18].為了使DNS 中肥皂泡進(jìn)入統(tǒng)計(jì)平衡態(tài)，外冷卻項(xiàng)ST和外摩擦項(xiàng)Fu被分別加入到能量方程與動(dòng)量方程中，用于描述流體與環(huán)境冷空氣的散熱與摩擦，S為外冷卻系數(shù)，而F是外摩擦因數(shù).以往的研究表明，外冷卻項(xiàng)和外摩擦項(xiàng)可以較好地描述肥皂泡與實(shí)驗(yàn)環(huán)境之間的能量交換[19-21].因此，流體在肥皂泡上運(yùn)動(dòng)的控制方程可寫為Ra建立了流體受到的浮力與黏性力之間的一個(gè)關(guān)系，Pr則反映了動(dòng)量傳輸及熱量傳輸速率之比，對于特定的物質(zhì)，Pr是流體本身的屬性，此處為一定值.

考慮到需要在球坐標(biāo)系下求解控制方程（4），則在肥皂泡的頂點(diǎn)處引入了奇異性.而在直角坐標(biāo)系下無法對這一曲面進(jìn)行二維描述，采用三維描述并進(jìn)行離散則降低了曲面的光滑性.通過赤平極射投影法引入的投影空間坐標(biāo)系x?Oy?可以規(guī)避以上全部缺點(diǎn).首先，定義肥皂泡的頂點(diǎn)關(guān)于赤道平面的鏡像點(diǎn)為B點(diǎn)，B點(diǎn)在無量綱直角坐標(biāo)系Ox?y?z?中的坐標(biāo)為(0,0,-1).令A(yù)點(diǎn)為肥皂泡上任意一點(diǎn)，存在唯一直線經(jīng)過A點(diǎn)與B點(diǎn)，直線AB與赤道平面的交點(diǎn)為C，C點(diǎn)就是A點(diǎn)的赤平極射投影點(diǎn).圖 1 展示了赤平極射投影幾何關(guān)系，其中橙色平面為赤道平面，A是肥皂泡上任意一點(diǎn)，B為肥皂泡頂點(diǎn)關(guān)于赤道平面的鏡像點(diǎn)，C為投影點(diǎn).投影坐標(biāo)系Ox?y?的原點(diǎn)為肥皂泡的球心，x?軸與x?軸重合，y?軸與y?軸重合.由簡單的幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出，無量綱的直角坐標(biāo)系向投影空間的正變換is為

圖1 赤平極射投影法示意圖Fig.1 An illustration of the stereographic projection

而對應(yīng)的逆變換為

在計(jì)算空間內(nèi)，基矢不再是常向量，而隨著空間坐標(biāo)變化而變化.通過基矢的變換（12）與逆變換（13）可以方便地求得在投影空間與物理空間的矢量之間的轉(zhuǎn)換公式.例如，速度在投影空間與物理空間的分量具有以下關(guān)系：

使用基矢的逆變換（13）代入到速度定義（14）中，即可獲得速度的逆變換公式：

在投影空間中求解控制方程(4)還需要計(jì)算矢量算符在投影空間中的形式.變換is的Jacobi 矩陣為

2 數(shù)值方法

圖2 交錯(cuò)網(wǎng)格示意圖Fig.2 The scheme of the staggered mesh

圖3 并行算法示意圖Fig.3 The scheme of the parallel algorithm

3 結(jié)果討論

3.1 算例信息與瞬時(shí)流場

本文一共設(shè)置了三個(gè)算例用以分析Rayleigh 數(shù)對流場的影響，三個(gè)算例的Ra分別為3×107，3×109和3×1011，詳細(xì)信息見表 1.所有算例的Pr固定為7，因?yàn)榉试硭奈锢硇再|(zhì)與水近似.以往的研究表明S? =F?=0．06是一個(gè)合理的選擇[19,21]，本文計(jì)算中也采用該值.為了消除網(wǎng)格分辨率對結(jié)果的影響，對每個(gè)算例都嘗試了多個(gè)網(wǎng)格分辨率：256×256，512×512，1 024×1 024，1 536×1 536，2 048×2 048和2 560×2 560.圖 4 顯示了算例2 在不同網(wǎng)格分辨率下，系統(tǒng)總擬渦能隨時(shí)間的變化曲線.從圖中可以觀察到，不同的網(wǎng)格分辨率下肥皂泡上的總擬渦能都在 50個(gè)無量綱時(shí)間單位內(nèi)達(dá)到了統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài).在本文所有的數(shù)值模擬中，每個(gè)算例都保證足夠的計(jì)算時(shí)長，使流場達(dá)到統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài)，并對結(jié)果進(jìn)行長時(shí)間的統(tǒng)計(jì)計(jì)算.隨著網(wǎng)格分辨率的提升，總擬渦能的統(tǒng)計(jì)平均值在緩慢增加，但當(dāng)網(wǎng)格分辨率超過2 048×2 048時(shí)，DNS 已可以獲得網(wǎng)格獨(dú)立結(jié)果.得益于并行計(jì)算效率的提升，本文首次使用2 048×2 048的網(wǎng)格分辨率開展了肥皂泡上熱對流的DNS，同時(shí)也將DNS 的Rayleigh 數(shù)提升到Ra=3×1011.

圖4 不同網(wǎng)格分辨率下，算例2 的總擬渦能隨時(shí)間的變化曲線（左）和擬渦能總量的統(tǒng)計(jì)值隨網(wǎng)格分辨率變化曲線（右）Fig.4 The temporal evolution of the total enstrophy on the bubble with different mesh resolutions(left)&the variation of the mean total enstropy with the mesh resolutions(right)

表1 算例參數(shù)信息Table 1 Information for the simulated cases

通過觀察瞬態(tài)流場云圖可以直觀地分析肥皂泡上流場的宏觀特點(diǎn).圖 5 展示了三個(gè)算例的瞬時(shí)溫度場T，瞬時(shí)動(dòng)能場u2/2和瞬時(shí)擬渦能場ω2/2.從圖 5 中可以清晰地觀察肥皂泡上非常卷曲的羽流以及尺度較大的島渦.在經(jīng)典的Rayleigh-Bénard 對流中，流場由冷熱羽流所自組織的大尺度環(huán)流（large scale circulation）所主導(dǎo).當(dāng)對流槽具有特定的縱橫比時(shí)，在合適的Rayleigh 數(shù)控制下，流場中還會(huì)出現(xiàn)角渦.肥皂泡沒有冷邊界，流場中不存在冷羽流；而肥皂泡同時(shí)也沒有側(cè)向邊界及其形成的角渦，肥皂泡上的相干結(jié)構(gòu)主要由熱羽流及其演化形成.從溫度云圖上可以觀察到，邊界層上產(chǎn)生了大量的羽流，羽流在浮力的作用下向更高緯度運(yùn)動(dòng).而同一時(shí)刻的擬渦能云圖則顯示羽流的形成與運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生了不同尺寸的渦，一些渦相互融合后形成了尺度較大的島渦，島渦主要居于較高緯度，與實(shí)驗(yàn)中觀察到的情況相同[15,17].從動(dòng)能云圖中可以發(fā)現(xiàn)流場的動(dòng)能集中在一些尺寸較大的島渦中.

圖5 瞬時(shí)流場圖：（a）無量綱瞬時(shí)溫度場，Ra=3×107；（b）無量綱瞬時(shí)溫度場，Ra=3×109；（c）無量綱瞬時(shí)溫度場，Ra=3×1011；（d）無量綱瞬時(shí)動(dòng)能場，Ra=3×107；（e）無量綱瞬時(shí)動(dòng)能場，Ra=3×109；（f）無量綱瞬時(shí)動(dòng)能場，Ra=3×1011；（g）無量綱瞬時(shí)擬渦能場，Ra=3×107；（h）無量綱瞬時(shí)擬渦能場，Ra=3×109；（i）無量綱瞬時(shí)擬渦能場，Ra=3×1011Fig.5 The instantaneous flow field:(a)dimensionless instantaneous temperature field,Ra=3×107;(b)dimensionless instantaneous temperature field,Ra=3×109;(c)dimensionless instantaneous temperature field,Ra=3×1011;(d)dimensionless instantaneous kinetic energy field,Ra=3×107;(e)dimensionless instantaneous kinetic energy field,Ra=3×109;(f)dimensionless instantaneous kinetic energy field,Ra=3×1011;(g)dimensionless instantaneous enstrophy field,Ra=3×107;(h)dimensionless instantaneous enstrophy field,Ra=3×109;(i)dimensionless instantaneous enstrophy field,Ra=3×1011

而隨著Ra的增加，瞬時(shí)流場出現(xiàn)了明顯變化.當(dāng)Ra=3×107時(shí)，羽流和渦的尺寸較大，動(dòng)能分布在較大的流動(dòng)結(jié)構(gòu)中，而且可以從溫度云圖中清晰的觀察到邊界層.當(dāng)Ra增加到3×109時(shí)，羽流更加細(xì)小與卷曲，而渦的尺寸也明顯變小，同時(shí)羽流和渦的數(shù)量有明顯增加，動(dòng)能集中在更加細(xì)長的流動(dòng)結(jié)構(gòu)中.另外，溫度邊界層的厚度大幅減小，從溫度云圖中已經(jīng)無法清晰觀察到邊界層.而當(dāng)Ra=3×1011時(shí)，羽流和渦變得更加小，而其數(shù)量更進(jìn)一步增加時(shí)，動(dòng)能云圖顯示流動(dòng)結(jié)構(gòu)的尺寸將繼續(xù)減小.

3.2 動(dòng)能與擬熱能的波數(shù)譜與通量

流場量的波數(shù)譜和通量表征了湍流場不同尺度的渦之間的相互作用，對于三維流場或二維平面流場，計(jì)算波數(shù)譜和通量需要進(jìn)行空間Fourier 變換.肥皂泡上的流場具有曲面幾何，需要專門的數(shù)學(xué)工具來計(jì)算波數(shù)譜和通量.任意球?qū)ΨQ空間函數(shù)Ψ 均可以展開為球諧函數(shù)的級(jí)數(shù)：

在肥皂泡上尋找Bo59標(biāo)度律需要考慮曲面幾何帶來的影響.由于肥皂泡上不同緯度上的重力投影隨著緯度而變化，這是Bo59假設(shè)中所不包含的特點(diǎn).這暗示只有在重力隨緯度變化較小的區(qū)域內(nèi)，有可能發(fā)現(xiàn)Bo59標(biāo)度律.對于緯度為 θ*，重力加速度在球面切向的投影為gcosθ*，對之求 θ*的導(dǎo)數(shù)為gsinθ*，這說明越接近赤道重力投影隨緯度的變化越小.然而，在導(dǎo)出Bo59標(biāo)度律的理論中假定邊界條件不產(chǎn)生影響，因而只有在足夠遠(yuǎn)離赤道才能發(fā)現(xiàn)Bo59標(biāo)度律.結(jié)合以上幾點(diǎn)考慮，Bo59標(biāo)度律只在一定緯度范圍內(nèi)有效.

本文三個(gè)算例的動(dòng)能與擬熱能的波數(shù)譜如圖 6 所示，圖中虛線為Bo59標(biāo)度參考線.觀察圖 6 中的動(dòng)能波數(shù)譜可以發(fā)現(xiàn)，在5≤kR≤100的范圍內(nèi)，Bo59標(biāo)度律準(zhǔn)確地描述了不同Ra下的動(dòng)能譜隨波數(shù)的標(biāo)度規(guī)律.相反的是，圖 6 中的擬熱能的波數(shù)譜則表明，在本文所考慮的三個(gè)Ra條件下，肥皂泡的擬熱能波數(shù)譜標(biāo)度特征沒有觀察到Bo59標(biāo)度律.在肥皂泡上流場中，邊界層中流體的溫度最高，而當(dāng)流體隨著羽流上升離開邊界層后，溫度快速下降.He 等[21]發(fā)現(xiàn)，邊界層的平均溫度與脈動(dòng)溫度均遠(yuǎn)大于肥皂泡其余部分，這暗示邊界層對肥皂泡上溫度場具有很強(qiáng)的影響.圖 6 中的擬熱能波數(shù)譜包含了整個(gè)肥皂泡上溫度場的脈動(dòng)信息，溫度邊界條件對波數(shù)譜的影響無法忽略，所以擬熱能波數(shù)譜相比動(dòng)能包含了更多邊界的影響而沒有Bo59標(biāo)度律.隨著Ra的增加，在小波數(shù)的范圍內(nèi)，動(dòng)能譜和擬熱能有較明顯的減小，這與瞬時(shí)流場中羽流和渦的尺寸隨著Ra增加而明顯變小的規(guī)律相符合.對于圖 6 中所有Ra的波數(shù)譜，隨著波數(shù)k的增加，動(dòng)能譜與擬熱能譜逐漸減小.這表明肥皂泡上尺寸越大的流動(dòng)結(jié)構(gòu)具有更大的動(dòng)能與擬熱能，與從瞬時(shí)流場觀察到的現(xiàn)象相同.

圖6 動(dòng)能與擬熱能的波數(shù)譜：（a）動(dòng)能；（b）擬熱能Fig.6 The wave number spectra for the kinetic energy and entropy:(a)the kinetic energy;(b)the entropy

通量（flux）代表了湍流場中不同尺度的渦之間的物理量傳遞，大于0的通量表明物理量從大尺度的渦向小尺度的渦級(jí)串.反之當(dāng)通量小于 0時(shí)，物理量從小尺度的渦向大尺度渦逆級(jí)串.Kraichnan[7]、Leith[8]和Batchelor[9]的二維湍流理論預(yù)言了雙級(jí)串的現(xiàn)象：一個(gè)尺度范圍中，動(dòng)能能級(jí)逆級(jí)串而擬渦能保持正向級(jí)串.圖 7 顯示了整個(gè)肥皂泡上動(dòng)能、擬渦能、擬熱能和浮力項(xiàng)的通量，圖中包含全部三個(gè)算例的結(jié)果.在三個(gè)不同的Ra條件下，圖 7 中的 ΠE曲線都具有相同的規(guī)律，在較小波數(shù)的區(qū)間ΠE＞0，隨著波數(shù)的增加，ΠE快速減小到負(fù)值.在 ΠE達(dá)到最小值之后，ΠE隨著波數(shù)的增加逐漸增加，重新達(dá)到ΠE＞0，此時(shí) ΠE隨波數(shù)的變化較小.三個(gè)算例中的流場均出現(xiàn)了動(dòng)能能級(jí)逆級(jí)串的現(xiàn)象，隨著Ra的增加，能級(jí)擬級(jí)串的尺度區(qū)間逐漸變大.

通過觀察圖 7 中的擬渦能通量曲線可以發(fā)現(xiàn)，三個(gè)算例的 ΠW始終大于0，肥皂泡上擬渦能始終保持從大渦向小渦的傳遞方向.在不同的Ra下，ΠW在較小波數(shù)的范圍內(nèi)保持穩(wěn)定，但隨著波數(shù)的增加，ΠW先快速增加，達(dá)到最大值之后又快速減少.三個(gè)算例的擬熱能的通量同樣始終大于0，這說明溫度也始終是由較大的渦傳遞給較小的渦.從瞬時(shí)溫度場可以觀察到，羽流和渦在赤道處產(chǎn)生時(shí)尺寸較大，在向高緯度運(yùn)動(dòng)的過程中破碎消散，這一過程符合擬熱能通量所描述的逆熱能傳遞特征.當(dāng)Ra=3×1011與Ra=3×109時(shí)，ΠT隨著波數(shù)的增加單調(diào)緩慢減小.而在Ra=3×107的條件下，擬渦能通量曲線隨著波數(shù)的增加先增加后減小，出現(xiàn)一個(gè)極大值.

浮力通量是對整個(gè)肥皂泡上的浮力場Teθ*進(jìn)行球諧分解后計(jì)算獲得，計(jì)算方法與動(dòng)能的通量計(jì)算方法相同.由于肥皂泡上的流體運(yùn)動(dòng)是由浮力所驅(qū)動(dòng)，浮力通量具有特別的重要性.圖 7 中的浮力通量曲線顯示三個(gè)算例的ΠBuoy始終大于0.不同Ra下的浮力通量曲線具有相同的變化規(guī)律.在區(qū)間kR≤5中，ΠBuoy隨著波數(shù)增加保持穩(wěn)定.在kR≥10的條件下，浮力通量隨著波數(shù)的增加而增加，達(dá)到最大值之后又快速減小.ΠBuoy的上升暗示一個(gè)在較小尺度上存在局部的湍流動(dòng)能注入，而這個(gè)湍流動(dòng)能注入來源是動(dòng)能能量逆級(jí)串：小尺度渦向大尺度渦注入了湍流動(dòng)能.隨著Ra的增加，ΠBuoy顯著減小.由于Ra的增加會(huì)使得羽流的尺寸快速減小，而且小尺寸的熱羽流受到的浮力更小，于是浮力通量在整個(gè)波數(shù)范圍上都減小了.

圖7 肥皂泡上的動(dòng)能通量、擬渦能通量、擬熱能通量和浮力的通量：（a）動(dòng)能；（b）擬渦能；（c）擬熱能；（d）浮力Fig.7 The fluxes of kinetic energy,enstrophy,entropy and buoyancy on the soap bubble:(a)the kinetic energy;(b)the enstrophy;(c)the entropy;(d)the buoyancy

3.3 結(jié)構(gòu)函數(shù)

Kolmogrov 在1941 年提出各向同性均勻湍流假設(shè)，并使用結(jié)構(gòu)函數(shù)來描述不同尺度渦之間的能量交換.結(jié)構(gòu)函數(shù)被定義在物理空間中，更加直觀地揭示出流場脈動(dòng)的特點(diǎn)，并且能夠給出更高階的流場信息.n階速度結(jié)構(gòu)函數(shù)的定義如下：

x是空間中一點(diǎn)的位置矢量，而d為距離矢量，d=|d|，n為正整數(shù)，〈·〉算符代表系綜平均.按照同樣的方法，可以定義n階溫度結(jié)構(gòu)函數(shù)：

圖8 結(jié)構(gòu)函數(shù)計(jì)算方法Fig.8 The scheme of the distance for calculating the structure function

由于溫度場與速度場的具有連續(xù)性，當(dāng)d足夠小時(shí)，溫度與速度結(jié)構(gòu)函數(shù)的標(biāo)度系數(shù)退化為n以滿足Taylor 展開特性.在計(jì)算結(jié)構(gòu)函數(shù)時(shí)，需要對物理量的差值進(jìn)行時(shí)間，經(jīng)度和緯度上的平均.所有達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡態(tài)之后的時(shí)間步都在時(shí)間平均的范圍內(nèi)，而經(jīng)度平均的范圍在0?≤?*≤360?.為了能在消除邊界層的影響同時(shí)保證計(jì)算的準(zhǔn)確性，緯度平均的范圍被限制在10?≤θ*≤90?.圖 9 顯示了緯度與經(jīng)度方向上的從2 到9 階結(jié)構(gòu)函數(shù)，其中緯度方向上的結(jié)構(gòu)函數(shù)在左邊，經(jīng)度方向上的結(jié)構(gòu)函數(shù)在右邊.將緯度方向上的溫度或速度結(jié)構(gòu)函數(shù)與經(jīng)度方向上的結(jié)構(gòu)函數(shù)相對比，可以發(fā)現(xiàn)兩者的標(biāo)度規(guī)律非常接近，但是數(shù)值有一些微小的差別.這與Bo59標(biāo)度律成立的前提條件相符合：速度或溫度的差值僅與兩點(diǎn)之間的距離相關(guān)，與方向無關(guān).

圖9 緯度與經(jīng)度方向上2 到9 階的溫度和速度結(jié)構(gòu)函數(shù)：（a）緯度方向的溫度結(jié)構(gòu)函數(shù)；（b）緯度方向的速度結(jié)構(gòu)函數(shù)；（c）經(jīng)度方向的溫度結(jié)構(gòu)函數(shù)；（d）經(jīng)度方向的速度結(jié)構(gòu)函數(shù)Fig.9 The temperature and velocity structure functions in the latitude and longitude directions,n=2～9:(a)the temperature structure functions in the latitude direction;(b)the velocity structure functions in the latitude direction;(c)the temperature structure functions in the longitude direction;(d)the velocity structure functions in the longitude direction

從圖 9 可以觀察到，速度結(jié)構(gòu)函數(shù)在d/R≤O(0．01)的范圍內(nèi)，標(biāo)度系數(shù)為n.而在0．01≤d/R≤0．1的區(qū)間中，Bo59標(biāo)度律較好地描述了速度結(jié)構(gòu)函數(shù)的標(biāo)度特征.在階數(shù)n逐漸增加的情況下，速度結(jié)構(gòu)函數(shù)始終能在同一區(qū)間內(nèi)較好地滿足Bo59標(biāo)度律，但受到湍流間歇的影響，其指數(shù)在高階時(shí)并非線性增加.

另一方面，觀察溫度結(jié)構(gòu)函數(shù)曲線上可以發(fā)現(xiàn)，溫度結(jié)構(gòu)函數(shù)在d/R≤O(0．01)的區(qū)間內(nèi)滿足而在 0．01≤d/R≤0．1的區(qū)間內(nèi)較好地符合Bo59標(biāo)度律.由于排除了邊界層的影響，結(jié)構(gòu)函數(shù)得到的結(jié)果與波數(shù)譜不同.

4 結(jié)論與展望

本文介紹了底部加熱的半個(gè)肥皂泡這一新的準(zhǔn)二維湍流，同時(shí)詳細(xì)介紹了其DNS 方法.計(jì)算中針對肥皂泡二維球面的曲面幾何特點(diǎn)，借助球極投影，將物理空間的控制方程轉(zhuǎn)換到投影坐標(biāo)系中，降低了離散化控制方程的難度.此后還介紹了球面上利用球諧分解計(jì)算波數(shù)譜與通量，以及計(jì)算結(jié)構(gòu)函數(shù)的分析方法.最后，針對Ra=3×107，Ra=3×109，Ra=3×1011三個(gè)算例，本文計(jì)算了動(dòng)能和擬熱能的波數(shù)譜，以及動(dòng)能、擬熱能、擬渦能和浮力的通量.另外也計(jì)算了Ra=3×1011算例的溫度與速度結(jié)構(gòu)函數(shù).不同Ra的結(jié)果都表明了肥皂泡上存在二維湍流中雙級(jí)串的現(xiàn)象.湍流動(dòng)能波數(shù)譜較好地滿足了Bo59標(biāo)度律的理論預(yù)示，但擬熱能由于主要受邊界的影響較大，其波數(shù)譜中沒有觀察到足Bo59標(biāo)度律.但通過湍流結(jié)構(gòu)函數(shù)，在去除了赤道邊界的高溫邊界層影響后，無論速度還是溫度結(jié)構(gòu)函數(shù)，都在一定范圍較好地符合Bo59的理論預(yù)示.未來可進(jìn)一步通過增加Rayleigh 數(shù)范圍，研究Rayleigh 數(shù)與能量注入尺度以及不同維度上浮力作用間的聯(lián)系.