混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)

葉紅玲， 王秀華， 王偉偉， 王振祺

(北京工業(yè)大學(xué)材料與制造學(xué)部， 北京 100124)

雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)是一種具有2種不同穩(wěn)定狀態(tài)，并在一定驅(qū)動(dòng)條件(機(jī)械驅(qū)動(dòng)、智能材料驅(qū)動(dòng)等)下穩(wěn)定狀態(tài)可相互轉(zhuǎn)變的結(jié)構(gòu). 因其具有質(zhì)量輕、力學(xué)性能優(yōu)異及空間利用率高等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛地應(yīng)用于可變形機(jī)翼[1]、能量吸收機(jī)構(gòu)[2]、變形結(jié)構(gòu)[3]及智能裝置[4]等方面. 根據(jù)組成成分不同，雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)主要分為以下2類：復(fù)合材料雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)與混合材料雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).

其中復(fù)合材料雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)根據(jù)鋪層方式分為正交鋪設(shè)層合板(例[0°n/90°n])和反對(duì)稱圓柱殼結(jié)構(gòu)(例[αn/-αn])，兩者在不同穩(wěn)定狀態(tài)下均具有規(guī)則的圓柱狀外輪廓，但前者2種穩(wěn)態(tài)構(gòu)型下的曲率方向相反，后者曲率方向相同. 針對(duì)正交鋪設(shè)層合板，Hyer[5]首先對(duì)該類殼結(jié)構(gòu)力學(xué)特性進(jìn)行了理論分析和實(shí)驗(yàn)研究. 在此基礎(chǔ)上，Wang等[6]設(shè)計(jì)出了新型實(shí)驗(yàn)裝置，通過一點(diǎn)加載法捕獲了正交鋪設(shè)層合板的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程，獲得了載荷- 位移曲線，并對(duì)其第二穩(wěn)態(tài)構(gòu)型進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證. Tawfik等[7]通過實(shí)驗(yàn)與數(shù)值仿真研究了不同初始構(gòu)型對(duì)正交鋪設(shè)層合板雙穩(wěn)態(tài)特性的影響規(guī)律. 針對(duì)反對(duì)稱圓柱殼結(jié)構(gòu)，Daton-Lovett[8]發(fā)現(xiàn)反對(duì)稱層合圓柱殼結(jié)構(gòu)具有2種穩(wěn)定狀態(tài)，且均有規(guī)則的圓柱狀外輪廓. Zhang等[9-10]基于最小勢(shì)能原理建立了雙穩(wěn)態(tài)理論模型，得到了穩(wěn)態(tài)特性理論表達(dá)式，通過兩點(diǎn)加載法捕獲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程，并通過數(shù)值仿真進(jìn)行驗(yàn)證. 張淑杰等[11]探討了穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程圓柱殼結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布隨加載時(shí)間的變化趨勢(shì). 在此基礎(chǔ)上，Zhang等[12]以雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，以穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷最大為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)以提高殼結(jié)構(gòu)的承載力.

與復(fù)合材料雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)相比，含金屬層的混合材料雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)具有更大的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷，能夠提供更高的承載力. 目前混合材料雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)主要分為混合材料正交鋪設(shè)層合板與混合材料對(duì)稱鋪設(shè)層合板. 對(duì)于混合材料正交鋪設(shè)層合板，Daynes等[13]受復(fù)合材料正交鋪設(shè)層合板啟發(fā)，制備了多種混合材料鋪設(shè)層合板[0°3/metal/90°3]試件，通過實(shí)驗(yàn)方法探討了不同金屬層材料對(duì)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷及構(gòu)型的影響. 李昊等[14]對(duì)混雜雙穩(wěn)定層合板 [0°/A1/90°]試件穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變之間的負(fù)剛度特性進(jìn)行了研究，并利用其制備了準(zhǔn)零剛度隔振裝置. 對(duì)于混合材料對(duì)稱鋪設(shè)層合板，Li等[15]提出了一種[90°n/Al/90°n]T∪[90°n/0°m/90°n]T∪[90°n/Al/90°n]T新型混合對(duì)稱層合板，通過理論模型、實(shí)驗(yàn)及數(shù)值仿真分析了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)其雙穩(wěn)態(tài)力學(xué)性能的影響規(guī)律. 在此基礎(chǔ)上，Mukherjee等[16]提出了具有懸臂邊界構(gòu)型的混合材料對(duì)稱鋪設(shè)層合板模型，預(yù)測(cè)了其穩(wěn)態(tài)構(gòu)型和轉(zhuǎn)變過程. 通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)以上2種混合材料雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)第二穩(wěn)態(tài)構(gòu)型都有規(guī)則的圓柱狀外輪廓，但第一穩(wěn)態(tài)曲率與第二穩(wěn)態(tài)曲率方向均相反. 隨后Dai等[17]設(shè)計(jì)了特殊鋪層的混合材料層合板[0°/90°/metal]來獲取2種穩(wěn)態(tài)曲率方向相同的結(jié)構(gòu)，但發(fā)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)構(gòu)型均為扭曲的圓柱形.

國內(nèi)外學(xué)者主要對(duì)混合材料雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程力學(xué)性能進(jìn)行分析，但對(duì)2種穩(wěn)定狀態(tài)既具有規(guī)則圓柱狀輪廓，同時(shí)曲率方向又相同的混合材料雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能及優(yōu)化設(shè)計(jì)研究較少. 為了彌補(bǔ)這一不足，本文設(shè)計(jì)了一種新型混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)，對(duì)其穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程進(jìn)行數(shù)值仿真分析；研究殼結(jié)構(gòu)各幾何參數(shù)對(duì)力學(xué)性能的影響規(guī)律；通過參數(shù)主次影響分析方法確定對(duì)力學(xué)性能具有重要影響的幾何參數(shù)；基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法和響應(yīng)面方法建立優(yōu)化模型，采用序列二次規(guī)劃算法對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行求解分析. 研究結(jié)果對(duì)于提高雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能和優(yōu)化構(gòu)型設(shè)計(jì)具有理論參考意義.

1 混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)模型建立

1.1 幾何模型

圖1 混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Model of bistable hybrid shell

混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)([θ°/-θ°/Metal/θ°/-θ°)是一種開口薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)，其幾何模型如圖1所示. 結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)為: 軸向長度L=100 mm，初始橫截面半徑R=25 mm，鋪層角θ=45°，中間金屬層厚度T=0.14 mm. 材料分別選用碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料T700/3234與彈簧鋼，其材料參數(shù)如表1所示.

表1 材料參數(shù)

1.2 有限元模型

本文利用有限元軟件ABAQUS建立了混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)加載有限元模型，如圖2所示，其中包括壓頭、支撐板和混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu). 在混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變仿真時(shí)，底部支撐板固定不動(dòng)，在壓頭中間橫截面圓心處建立了參考點(diǎn)RF，并通過剛體約束Rigid body與壓頭連接，同時(shí)在壓頭與殼結(jié)構(gòu)、殼結(jié)構(gòu)與夾具之間設(shè)置接觸. 為提高計(jì)算效率并獲得較好的收斂性，網(wǎng)格選用S4R單元，采用靜力/通用求解器進(jìn)行求解.

圖2 有限元模型Fig.2 Finite element model

圖3 混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定狀態(tài)Fig.3 Stable states of bistable hybrid shells

在穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程中創(chuàng)建了2個(gè)階段. 1)加載階段：對(duì)壓頭施加沿Z軸方向位移載荷，向混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼體邊緣施加載荷，產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)力矩來實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程. 2)卸載階段：壓頭回到初始位置，得到雙穩(wěn)態(tài)殼體的第二穩(wěn)定狀態(tài). 圖3為混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)2種穩(wěn)定狀態(tài)，從中可以看出初始穩(wěn)態(tài)半徑R與第二穩(wěn)態(tài)卷曲半徑r曲率大小不同，在初始穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)初始曲率kx=0,ky=1/R，而第二穩(wěn)態(tài)曲率kx=1/r，ky=0，但兩構(gòu)型曲率均在同一方向. 第二穩(wěn)態(tài)Mises應(yīng)力大致呈點(diǎn)對(duì)稱分布，其最大應(yīng)力σmax=347.8 MPa出現(xiàn)在對(duì)角線頂點(diǎn)處，為避免殼結(jié)構(gòu)失效，應(yīng)當(dāng)避免應(yīng)力過大.

2 混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)性能研究

2.1 穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程仿真分析

基于數(shù)值仿真對(duì)相同厚度的反對(duì)稱圓柱殼結(jié)構(gòu)[45°/-45°/0°/45°/-45°]與混合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)[45°/-45°/steel/45°/-45°]力學(xué)性能進(jìn)行研究，得到力學(xué)性能隨加載過程的變化規(guī)律. 圖4(a)為2種雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程中載荷- 位移曲線. 從中發(fā)現(xiàn)：載荷隨著壓頭位移增加而上升，達(dá)到峰值力后(即穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷F)又緩慢下降到0，這表明殼結(jié)構(gòu)從第一種穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榈诙N穩(wěn)態(tài). 其中穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷F代表了雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)的承載能力，其值越大表明承載能力越高，因此混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)的承載性能高于復(fù)合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu). 圖4(b)為2種雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程應(yīng)變能- 時(shí)間曲線，2種殼結(jié)構(gòu)應(yīng)變能E前期均隨著加載時(shí)間增加而上升至峰值，之后發(fā)生突變快速下降，最后收斂到第二穩(wěn)定狀態(tài)應(yīng)變能. 混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)第二穩(wěn)態(tài)應(yīng)變能高于復(fù)合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)，需更多能量進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，其承載性能更優(yōu)異.

圖4 力學(xué)性能的變化曲線Fig.4 Curve of mechanical properties

2.2 網(wǎng)格收斂性分析

網(wǎng)格尺寸對(duì)數(shù)值仿真結(jié)果和計(jì)算效率具有重要的作用. 為避免其對(duì)仿真結(jié)果的影響，采用了4種網(wǎng)格尺寸進(jìn)行分析. 網(wǎng)格尺寸分別設(shè)置為1 mm(7 979個(gè)節(jié)點(diǎn)，7 800個(gè)網(wǎng)格)、2 mm(2 091個(gè)節(jié)點(diǎn)，2 000個(gè)網(wǎng)格)、4 mm(567個(gè)節(jié)點(diǎn)，520個(gè)網(wǎng)格)和6 mm(255個(gè)節(jié)點(diǎn)，224個(gè)網(wǎng)格)，其力學(xué)性能如表2所示. 結(jié)果表明：任意2種網(wǎng)格尺寸的有限元模型各力學(xué)性能指標(biāo)相對(duì)偏差均小于5%，說明該4種網(wǎng)格尺寸均能夠保證足夠的精度. 隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加，計(jì)算時(shí)間急劇上升，因此考慮計(jì)算成本，本文選擇2 mm的網(wǎng)格尺寸進(jìn)行計(jì)算.

表2 不同網(wǎng)格尺寸下的力學(xué)性能

3 雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)參數(shù)影響規(guī)律分析

為獲得各幾何參數(shù)對(duì)混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響規(guī)律，采用單一變量法分別研究殼結(jié)構(gòu)金屬層厚度、鋪層角度、初始橫截面半徑和軸向長度對(duì)雙穩(wěn)態(tài)力學(xué)性能的影響規(guī)律.

3.1 金屬層厚度對(duì)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響

保持幾何參數(shù)θ=45°、R=25 mm、L=100 mm不變，研究單一參數(shù)金屬層厚度T對(duì)混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響規(guī)律. 中間金屬層厚度從0.10 mm增加到0.20 mm，間隔為0.02 mm，其對(duì)力學(xué)性能影響規(guī)律如圖5所示. 隨著金屬層厚度增加，第二穩(wěn)態(tài)卷曲半徑、最大應(yīng)力、第二穩(wěn)態(tài)應(yīng)變能和穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷分別增長了5.10%、32.66%、67.09%和86.59%. 從中看出金屬層厚度對(duì)第二穩(wěn)態(tài)卷曲半徑影響不大，但對(duì)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷、第二穩(wěn)態(tài)應(yīng)變能影響較大. 穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷大幅度上升，表明增加金屬厚度可使混合雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)具有更大的承載能力.

圖5 金屬層厚度對(duì)力學(xué)性能的影響規(guī)律Fig.5 Effects of the metal thickness on mechanical properties

3.2 鋪層角度對(duì)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響

混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)初始橫截面半徑R=25 mm、金屬層厚度T=0.14 mm、軸向長度L=100 mm，改變層合板鋪層角度θ，研究其對(duì)混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響規(guī)律，如圖6所示. 隨著鋪層角度的增加，第二穩(wěn)態(tài)卷曲半徑從88.56 mm下降到22.91 mm，第二穩(wěn)態(tài)應(yīng)力呈先下降后上升趨勢(shì)，最小值在鋪層角度40°處，而穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷和第二穩(wěn)態(tài)應(yīng)變能則大幅度上升.

圖6 鋪層角度對(duì)力學(xué)性能的影響規(guī)律Fig.6 Effects of the ply angle on mechanical properties

3.3 橫截面半徑對(duì)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響

采用控制變量法研究初始橫截面半徑R對(duì)混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響規(guī)律，如圖7所示. 從中可以發(fā)現(xiàn)初始橫截面半徑對(duì)雙穩(wěn)態(tài)性能的影響規(guī)律與層合板鋪層角度對(duì)雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響規(guī)律大致相反. 第二穩(wěn)態(tài)卷曲半徑與初始橫截面半徑近似呈線性上升變化；而穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷、第二穩(wěn)態(tài)應(yīng)變能及應(yīng)力隨初始橫截面半徑的增加而下降，這表明殼結(jié)構(gòu)初始橫截面半徑與承載性能之間為負(fù)相關(guān)關(guān)系.

圖7 初始半徑對(duì)力學(xué)性能的影響規(guī)律Fig.7 Effects of the initial radius on mechanical properties

3.4 軸向長度對(duì)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響

在設(shè)計(jì)參數(shù)T=0.14 mm、R=25 mm、θ=45°保持不變的條件下，通過調(diào)整混合雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)軸向長度L的大小分析其對(duì)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響規(guī)律，軸向長度L從70 mm增加到120 mm，間隔為10 mm，如圖8所示. 結(jié)果表明:軸向長度對(duì)第二穩(wěn)態(tài)應(yīng)力和卷曲半徑影響不大；相反穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷和第二穩(wěn)態(tài)應(yīng)變能受軸向長度影響較大. 隨著長度的增加，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷從147.220 N增加到220.061 N，應(yīng)變能從1 942.32 mJ增加到3 343.32 mJ，表明增加軸向長度會(huì)提高混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)承載能力.

圖8 軸向長度對(duì)力學(xué)性能的影響規(guī)律Fig.8 Effects of the axial length on mechanical properties

4 參數(shù)主次影響分析

基于多元線性回歸方程對(duì)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行主次影響分析，探討各力學(xué)性能指標(biāo)對(duì)幾何參數(shù)的敏感程度，以得到具有顯著影響的幾何參數(shù).

線性回歸方程：

y=b0+b1x1+…+bm-1xm-1

(1)

由于受變量單位取值的影響，偏回歸系數(shù)b1,b2,…,bm-1自身數(shù)值大小不能很好地反映各變量對(duì)力學(xué)響應(yīng)的重要程度. 為解決此問題，需對(duì)偏回歸系數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)Pj(j=1,2,…,m-1)，Pj的計(jì)算式[18]為

(2)

實(shí)際工程中混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)需要具有一定的承載能力以及可靠性，故主要分析穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷及第二穩(wěn)態(tài)卷曲應(yīng)力等力學(xué)響應(yīng)對(duì)幾何尺寸的敏感程度. 基于最優(yōu)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，獲得16組樣本點(diǎn)及力學(xué)響應(yīng)，如表3所示. 根據(jù)式(2)計(jì)算得到各參數(shù)下的標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及順序，如表4所示.

從表4中各標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)可知：第二穩(wěn)態(tài)卷曲應(yīng)力受幾何參數(shù)影響程度由大到小依次為橫截面半徑、鋪層角度、金屬層厚度、軸向長度；4個(gè)幾何參數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷影響程度由大到小依次為橫截面半徑、鋪層角度、金屬層厚度、軸向長度，其中軸向長度對(duì)卷曲應(yīng)力的影響程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他幾何參數(shù). 為提高響應(yīng)面精度，需剔除對(duì)力學(xué)性能影響較小的無關(guān)變量. 因此，綜合各幾何參數(shù)對(duì)力學(xué)性能主次影響因素分析結(jié)果，選擇幾何參數(shù)中影響程度較大的鋪層角度、橫截面半徑及金屬層厚度作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量.

5 混合材料殼結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

5.1 優(yōu)化模型

根據(jù)工程實(shí)際需要，應(yīng)當(dāng)提高殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷以便獲得更優(yōu)異的承載性能，降低第二穩(wěn)態(tài)卷曲應(yīng)力來保證殼結(jié)構(gòu)可靠性與安全性. 因此考慮在應(yīng)力約束下，選擇以穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷最大作為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行殼結(jié)構(gòu)最優(yōu)幾何設(shè)計(jì)，提高力學(xué)性能. 其優(yōu)化模型為

表3 樣本點(diǎn)設(shè)計(jì)及響應(yīng)

表4 標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)

(3)

5.2 基于響應(yīng)面方法的多項(xiàng)式擬合

本文采取三因子三水平實(shí)驗(yàn)方法得到樣本點(diǎn). 設(shè)計(jì)區(qū)域選擇：鋪層角度θ從30°增大到55°，間距為5°；初始橫截面半徑R從20 mm增加到45 mm，間隔為5 mm；金屬層厚度T從0.10 mm到0.18 mm，間隔為0.02 mm. 基于數(shù)值仿真獲得樣本點(diǎn)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能，包括第二穩(wěn)態(tài)卷曲應(yīng)力、穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷. 27個(gè)樣本點(diǎn)及力學(xué)性能如表5所示.

采用MATLAB對(duì)混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷與第二穩(wěn)態(tài)應(yīng)力進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，最終得到穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷與最大應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式為

F(R,θ,T)=0.186R2+0.041θ2+2 894.569T2- 0.102Rθ-41.307RT+28.633Tθ-9.011R+ 1.717θ+6.393T+173.026

(4)

σmax(R,θ,T)=0.429R2+1.565θ2+ 2 788.194T2-0.507Rθ-38.208RT+ 34.938Tθ-10.821R-117.146θ- 46.215T+2 903.951

(5)

5.3 響應(yīng)面擬合檢驗(yàn)

表5 樣本點(diǎn)設(shè)計(jì)及響應(yīng)

(6)

(7)

式中：yi為真實(shí)值；i為估計(jì)值；為真實(shí)平均值；n為樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；k為擬合函數(shù)中非常數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù).

為測(cè)試代理模型是否能滿足其他數(shù)據(jù)點(diǎn)精度需求，在設(shè)計(jì)區(qū)間內(nèi)選取6個(gè)測(cè)試點(diǎn)，基于數(shù)值仿真進(jìn)行重構(gòu). 有限元結(jié)果與響應(yīng)面結(jié)果誤差如表7所示，最大誤差為9.6%，因此多項(xiàng)式擬合函數(shù)在設(shè)計(jì)區(qū)間內(nèi)是準(zhǔn)確的.

表6 精度檢驗(yàn)

表7 測(cè)試點(diǎn)誤差分析

5.4 單目標(biāo)優(yōu)化求解

采用NLPQL算法求解優(yōu)化模型，進(jìn)行如下設(shè)置：收斂精度和最大迭代次數(shù)分別為0.001和40. 設(shè)計(jì)變量空間殼結(jié)構(gòu)初始橫截面半徑R、鋪層角度θ及金屬層厚度T求解區(qū)域上限為[35,55,0.18]，下限為[25,35,0.10]，初始設(shè)計(jì)點(diǎn)Initial design取中心點(diǎn)[30,45,0.14]. 為避免混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)第二穩(wěn)態(tài)存在應(yīng)力過大、降低殼結(jié)構(gòu)可靠性等問題，給定最大應(yīng)力約束上限為300 MPa.

計(jì)算得到優(yōu)化結(jié)果：初始橫截面半徑為31.59 mm，鋪層角度為43.69°，金屬層厚度為0.18 mm. 表8中給出了初始設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的比較，在應(yīng)力σmax從289.2 MPa上升到300.0 MPa(滿足約束條件)時(shí)，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷F從155.964 N增加到170.520 N，上升約為9.3%，其承載能力得到有效提高. 同時(shí)為了驗(yàn)證優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性，將其進(jìn)行有限元重新建模，得到數(shù)值仿真結(jié)果穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷F=164.499 N、最大應(yīng)力σmax=285.5 MPa. 優(yōu)化結(jié)果與有限元結(jié)果力學(xué)性能指標(biāo)之間的誤差最大為4.8%，驗(yàn)證了優(yōu)化模型求解的準(zhǔn)確性. 最終得到混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)在滿足應(yīng)力約束條件下，力學(xué)性能最佳的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果為初始橫截面R=31.59 mm，鋪層角度θ=43.69°，金屬層厚度T=0.18 mm.

表8 初始設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)比較

6 結(jié)論

本文基于數(shù)值仿真方法對(duì)混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程力學(xué)性能進(jìn)行分析，獲得了該過程中雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)其力學(xué)性能的影響規(guī)律. 基于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法和響應(yīng)面方法建立優(yōu)化模型，采用NLPQL算法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，并得到以下結(jié)論：

1) 獲得了混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)在不同金屬層厚度、橫截面半徑、鋪層角度、軸向長度下，其穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷與穩(wěn)態(tài)構(gòu)型性能的變化規(guī)律. 金屬層厚度的上升使各力學(xué)性能指標(biāo)均增高；橫截面半徑與鋪層角度對(duì)各力學(xué)性能的影響規(guī)律相反；軸向長度的增加對(duì)第二穩(wěn)態(tài)卷曲半徑與應(yīng)力幾乎沒有影響，但提高了穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷與第二穩(wěn)態(tài)應(yīng)變能.

2) 基于最優(yōu)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法得到樣本點(diǎn)與力學(xué)響應(yīng)，通過主次因素影響分析方法得到各力學(xué)響應(yīng)對(duì)幾何參數(shù)的敏感性，獲得了對(duì)力學(xué)性能指標(biāo)影響較大的幾何參數(shù)——金屬層厚度、鋪層角度及初始橫截面半徑.

3) 基于三因子三水平實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法與響應(yīng)面方法，建立了以混合材料雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷最大為目標(biāo)的優(yōu)化模型，并通過序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行求解，得到最優(yōu)幾何參數(shù)初始橫截面R=31.59 mm，鋪層角度θ=43.69°，金屬層厚度T=0.18 mm. 通過有限元建模驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的有效性和可行性.