淺談含容電路回路電阻理想化處理的正確性

孫朝暉

(寧波市北侖中學 浙江 寧波 315800)

圖1所示的含容電路中質(zhì)量為m的導體棒垂直于無限長直導軌放置且接觸良好；電容器為C，初時刻不帶電；忽略回路電感；導軌寬為L．規(guī)定矢量向右為正，電容器下極板電勢為零，回路電流逆時針流向為正，磁感應強度B如圖所示．

圖1 導體棒在含容電路中切割磁感線示意圖

下文將在導體棒處于不同初始條件下，分別對回路各部分的狀態(tài)量、過程量等進行定量計算并分析討論，從而分析兩種初始條件下回路電阻理想化處理的正確性．

1 導體棒以初速度v0向右切割磁感線

如圖2所示，導體棒從初速度v0減速至最終速度v1，后以無限趨近v1的速度做勻速運動，穩(wěn)態(tài)時導體棒動生電動勢與電容器電勢差相等，回路電流為零．

圖2 導體棒在含容電路中以初速度v0切割磁感線示意圖

1.1 理想化處理：忽略回路電阻

因忽略電阻，故回路未產(chǎn)生焦耳熱．該系統(tǒng)導體棒在向右做減速運動過程中，動能減小部分完全轉(zhuǎn)化為電容器的電場能．可得

E1=BLv1

(1)

Q1=CE1

(2)

(3)

(4)

由

ΔEk=WC

再結(jié)合式(1)解得最終速度為

(5)

注：如此分析存在問題，后文會進行討論．

1.2 不忽略回路電阻R

回路電阻為R，則該系統(tǒng)導體棒動能的減小部分轉(zhuǎn)化為電容器的電場能和回路電阻的焦耳熱．對導體棒用動量定理，有

dp=Fdt=-BILdt=-BLdq

即為

mv1-mv0=-B2L2Cv1

(6)

從而解得

(7)

分別單獨計算導體棒從初態(tài)到穩(wěn)態(tài)的過程中動能減小量ΔEk、電場能增量WC以及電阻的焦耳熱Q

(8)

(9)

考慮導體棒切割磁感線過程中的一般情況，由基爾霍夫電壓定律得

該式兩邊對時間求導得

由以上微分方程解得回路電流的表達式為

(10)

通過積分求得電阻在t0時間內(nèi)的焦耳熱為

(11)

導體棒達到最終速度的過程中，總焦耳熱為

(12)

1.3 討論

1.2中的式(8)、(9)、(12) 經(jīng)驗證，ΔEk=WC+Q恒成立，符合能量守恒定律，回路存在焦耳熱但無額外電磁輻射能量損耗．

發(fā)現(xiàn)電阻最終焦耳熱Q(∞)表達式與電阻R無關(guān)，不能因為R很小就將之忽略，否則能量就不守恒了．而式(5)與式(7)的差異就在于，前者對回路電阻理想化處理．在1.1中若忽略回路電阻，則動生電動勢時刻等于電容器電壓，電容器時刻處于滿充狀態(tài)，于是回路也就沒有電流了，明顯與初狀態(tài)矛盾．故回路電阻不能理想化忽略，式(5)計算錯誤，式(7)計算正確．

實際上，回路電阻越小，則回路RC常數(shù)越小，回路充電就越快，但由于充電電流較大，由式(11)可知距初態(tài)相同時間t0內(nèi)的焦耳熱會越大．由式(12)可知，從初態(tài)到穩(wěn)態(tài)的全過程中，由于達到穩(wěn)態(tài)所需時間無窮大，在考慮總焦耳熱時不能因電阻很小而作理想化處理將之忽略．但在有限時間t0內(nèi)，由式(11)可知，R越小，Q越小，當R→0時，焦耳熱Q(t0)→0，此時將回路電阻作理想化處理是正確的．

2 靜止導體棒受恒力F向右加速

如圖3所示，導體棒從靜止開始受恒力F與安培力的合力，向右做加速運動．

圖3 導體棒在含容電路中受恒力F由靜止開始切割磁感線示意圖

2.1 忽略回路電阻

(13)

F-BIL=ma

(14)

以上兩式解得導體棒加速度和回路電流為

(15)

(16)

由式(15)可知導體棒做勻加速直線運動．恒力F在有限時間t0內(nèi)做功WF，該功轉(zhuǎn)化為電容電場能WC及導體棒動能Ek．可計算得

(17)

(18)

(19)

經(jīng)驗證，確實WF=WC+Ek符合能量守恒定律，因忽略電阻，故回路無焦耳熱．

2.2 考慮回路電阻R

動生電動勢等于電容器與電阻上的壓降之和

該式兩邊對時間求導有

又

(20)

解得導體棒加速度及回路電流的表達式為

(21)

(22)

進一步通過積分求得電阻的焦耳熱為

故對于電阻焦耳熱的計算

(23)

2.3 討論

在有限的時間t0內(nèi)，由式(23)可知當R→0時，焦耳熱Q→0，此時將電阻理想化處理而忽略焦耳熱是正確的．但在無限長時間內(nèi)，電阻焦耳熱為無窮大．

3 結(jié)論

結(jié)合上文的分析，將電磁感應中含容電路在兩種初始條件下運動情況及回路電阻理想化處理的正確性進行匯總分析，如表1所示．

表1 兩種初始條件下導體棒運動情況

在導體棒以初速度v0向右切割磁感線的初始條件下，電容器初態(tài)端電壓為零，而導體棒初態(tài)電動勢非零，此時回路若無電阻，可得電容器端電壓等于導體棒端電壓，但這明顯是矛盾的．因此，研究電容器的充電電流等相關(guān)問題時，不能將回路電阻理想化處理而忽略．

在理想化處理中，忽略電阻的焦耳熱并不機械地等同于回路沒有電阻．上述兩種初始條件，在有限的時間內(nèi)，當回路電阻R趨近于零的時候，回路的焦耳熱也確實趨近于零，此時在研究回路的能量時將焦耳熱忽略是正確的．但由于電阻的存在，電容器電壓并不等于導體棒的感應電動勢，電容器還時刻處于充電狀態(tài)，回路電阻也因兩端電勢差非零而使得回路存在充電電流．雖然回路電阻很小，或回路充電電流很小，在無限長的時間里，其焦耳熱的累加也并非為零．因此，在有限的時間里，若僅研究回路的焦耳熱，在回路電阻很小的時候可以將之忽略．但在研究電容器的充電電流等相關(guān)問題時，不能將回路電阻理想化處理而忽略；在無限長時間里，在考慮回路焦耳熱和電容器充電電流問題時，往往不能將回路電阻忽略．