巧用教材原題及衍生題探析“法拉第圓盤”類問(wèn)題

周佳

(清華附中嘉興實(shí)驗(yàn)高中 浙江 嘉興 314000)

1 引言

高中物理人教版上放置了兩道“法拉第圓盤”類問(wèn)題．一道在新、舊教材的“渦流、電磁阻尼和電磁驅(qū)動(dòng)”一節(jié)中，另一道先在舊教材“楞次定律”一節(jié)中[1]，后在新教材中轉(zhuǎn)移到“電磁感應(yīng)”一章的“復(fù)習(xí)與提高”板塊[2]并增加了一個(gè)小題．這兩道教材原題與之后在各類考試中出現(xiàn)的衍生題均引起了師生的廣泛討論，筆者將這類問(wèn)題梳理、對(duì)比，糾正部分學(xué)生的錯(cuò)誤觀念，總結(jié)出切實(shí)可行的解題思路與方法．

2 教材原題及解析

【教材題1】有一個(gè)銅盤，輕輕撥動(dòng)它，能長(zhǎng)時(shí)間地繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)．如果在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)把蹄形磁鐵的兩極放在銅盤的邊緣，但并不與銅盤接觸(圖1)，銅盤就能在較短的時(shí)間內(nèi)停止．分析這個(gè)現(xiàn)象產(chǎn)生的原因．

圖1 題圖

解析:銅盤可視為由無(wú)數(shù)根導(dǎo)線并列組成，形成無(wú)數(shù)個(gè)閉合回路．在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)每根“導(dǎo)線”都會(huì)切割磁感線從而產(chǎn)生感應(yīng)電流，宏觀上形成渦流．由楞次定律可知，“通電導(dǎo)線”受到的安培力與其相對(duì)運(yùn)動(dòng)的反向相反，故銅盤能在較短的時(shí)間內(nèi)停止．

疑難梳理:部分學(xué)生存在疑惑，在銅盤轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，其面積沒(méi)有變化，則通過(guò)銅盤的磁通量也不變，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，不會(huì)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，怎么會(huì)有安培力呢？這是典型的 “通量法則佯謬”，回顧法拉第電磁感應(yīng)定律的完整表述——閉合電路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，跟穿過(guò)這一電路的磁通量的變化率成正比．須注意到磁通量變化必須針對(duì)某一閉合回路來(lái)講，學(xué)生的誤區(qū)在于認(rèn)為整個(gè)圓盤只有一個(gè)大回路(圖2)．事實(shí)上雖然整個(gè)圓盤的磁通量不變，但圓盤上可以劃取無(wú)數(shù)回路，其中任何一個(gè)回路都在隨著圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)[3]，如圖3所示，回路a、b在進(jìn)出磁場(chǎng)的過(guò)程中都會(huì)發(fā)生磁通量的變化，從而產(chǎn)生感應(yīng)電流，宏觀上形成渦流．

圖2 學(xué)生認(rèn)為的閉合回路

圖3 銅盤中的無(wú)數(shù)回路

【教材題2】圖4是法拉第發(fā)明的圓盤發(fā)電機(jī)示意圖，銅盤安裝在水平的銅軸上，它的邊緣正好在兩磁極之間，兩塊銅片C、D分別與轉(zhuǎn)動(dòng)軸和銅盤的邊緣接觸．使銅盤轉(zhuǎn)動(dòng)，電阻R中就有電流通過(guò)．

圖4 法拉第圓盤發(fā)電機(jī)示意圖

(1)說(shuō)明圓盤發(fā)電機(jī)的原理．

(2)圓盤如圖4方向轉(zhuǎn)動(dòng)，請(qǐng)判斷通過(guò)R的電流方向．

(3)如果圓盤的半徑為r，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T，圓盤處在一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)之中．請(qǐng)討論這個(gè)發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)與上述物理量的關(guān)系．

解析:(1)從“切割”的角度來(lái)看，圓盤可看成由無(wú)數(shù)根半徑為r的輻條組成，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)每根輻條都在切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，相當(dāng)于電源的作用；從電磁感應(yīng)定律的角度來(lái)看，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中閉合回路CDRC的磁通量發(fā)生變化，從而產(chǎn)生感應(yīng)電流．

(2)由右手定則可知，感應(yīng)電流方向?yàn)镃至D．

(3)如圖5所示，順著磁場(chǎng)方向看，閉合回路CDRC在極短時(shí)間Δt內(nèi)的面積變化量為扇形CDD′的面積，設(shè)圓盤半徑為r，旋轉(zhuǎn)角速度為ω，則

圖5 回路CDRC的面積變化

由電磁感應(yīng)定律可得

疑難梳理：部分學(xué)生沿用上一題的思路分析該題，認(rèn)為既然磁場(chǎng)范圍足夠大，那么圓盤上任何回路的磁通量在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中都不變，無(wú)法產(chǎn)生感應(yīng)電流．該疑惑的癥結(jié)在于機(jī)械照搬方法而沒(méi)有抓住“閉合回路”的正確觀念，此題中的閉合回路是由圓盤輻條CD與外電路構(gòu)成的，即CDRC回路，而其他主觀劃分的回路均不與外電路連通，因此沒(méi)有分析的意義．這時(shí)有學(xué)生提出，圖中顯示CDRC回路平面與磁場(chǎng)方向平行，因此磁通量始終為零．該觀點(diǎn)的錯(cuò)誤之處在于認(rèn)為CD部分是固定不動(dòng)的，但事實(shí)上CD是圓盤沿半徑方向的“輻條”，隨圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)．還有學(xué)生從“切割”的角度加以分析，認(rèn)為每根輻條在一瞬間切割之后就與外電路斷開，因此不會(huì)形成穩(wěn)定電流．該思路忽視了圓盤是由無(wú)數(shù)根輻條并排而成的，上一根輻條與外電路斷開后的下一瞬間，下一個(gè)輻條便與外電路連通，該過(guò)程隨著圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)而不斷重復(fù)，因此能夠形成穩(wěn)定的電流．綜上，該題結(jié)果與勻強(qiáng)磁場(chǎng)的范圍無(wú)關(guān)．

3 教材衍生題及解析

【衍生題1】有一個(gè)銅盤，輕輕撥動(dòng)它，能長(zhǎng)時(shí)間地繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)．若將銅盤置于足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中(圖6)，銅盤能在較短的時(shí)間內(nèi)停止下來(lái)嗎？

圖6 衍生題1題圖

解析：如圖7所示，由于勻強(qiáng)磁場(chǎng)足夠大，所以對(duì)于銅盤上所有的回路，其磁通量在轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候都不變，因此不會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，銅盤不會(huì)在較短時(shí)間內(nèi)停下來(lái)．

圖7 銅盤上的無(wú)數(shù)回路

疑難梳理：若將題干中的足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)改為足夠大的非勻強(qiáng)磁場(chǎng)呢？圓盤轉(zhuǎn)到不同位置時(shí)，其回路的磁通量會(huì)發(fā)生變化，所以會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流與安培力，銅盤能夠在較短時(shí)間內(nèi)停下來(lái)．

【衍生題2】電阻不可忽略的導(dǎo)電圓盤的邊緣用電阻不計(jì)的導(dǎo)電材料包裹，圓盤可繞固定點(diǎn)O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，其軸心O和邊緣處電刷A均不會(huì)在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生阻力，空氣阻力也忽略不計(jì)．用導(dǎo)線將電動(dòng)勢(shì)為E的電源、導(dǎo)電圓盤、電阻和開關(guān)連接成閉合回路，如圖8(a)所示在圓盤所在區(qū)域內(nèi)充滿豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖8(b)所示只在A、O之間的一塊圓形區(qū)域內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩圖中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，且磁場(chǎng)區(qū)域固定．將圖8(a)和圖8(b)中的開關(guān)S1和S2閉合，經(jīng)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，兩圖中的圓盤轉(zhuǎn)速均達(dá)到穩(wěn)定．則( )

圖8 衍生題2題圖

A.從上往下看，圓盤沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)

B.剛閉合開關(guān)時(shí)，圖8(a)中的圓盤比圖8(b)中的圓盤加速得快

C.將兩圖中的開關(guān)斷開，圖8(b)中的圓盤仍然勻速轉(zhuǎn)動(dòng)

D.將兩圖中的開關(guān)斷開，圖8(a)中的圓盤比圖8(b)中的圓盤減速得快

解析:圖8(a)、(b)中圓盤上的電流方向均為O到A，根據(jù)左手定則可知，從上往下看圓盤沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤．因?yàn)閮蓤D中的圓盤完全相同，因此剛閉合開關(guān)時(shí)，圓盤的加速度大小僅取決于安培力大小，需要針對(duì)安培力公式F=BIL中的3個(gè)因素加以分析．由于電路和圓盤完全相同，所以兩圖中從O至A的電流大小相同，此外磁感應(yīng)強(qiáng)度B也相同，所以安培力大小只須看兩圖中L的大小．圖8(a)中圓盤受到安培力部分的有效長(zhǎng)度為半徑OA，圖8(b)中的有效長(zhǎng)度為圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑，小于OA．綜上圖8(a)圓盤受到的安培力更大，所以加速得更快，選項(xiàng)B正確．若將開關(guān)斷開，由于圖8(a)中的磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，因此圓盤上任何回路在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的磁通量都不變，不會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流和安培力，仍然勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．而圖8(b)中的磁場(chǎng)在有限區(qū)域內(nèi)，因此圓盤上所有回路在進(jìn)出磁場(chǎng)時(shí)都會(huì)引起磁通量的變化，從而產(chǎn)生感應(yīng)電流和安培力，將減速轉(zhuǎn)動(dòng)，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤．故選項(xiàng)B正確．

疑難梳理:開關(guān)閉合時(shí)的物理本質(zhì)為通電導(dǎo)線所受的安培力，兩圖區(qū)別為“導(dǎo)線”的有效長(zhǎng)度不同．開關(guān)斷開時(shí)的物理本質(zhì)為電磁感應(yīng)，物理模型為孤立導(dǎo)體盤，圖8(a)相當(dāng)于衍生題1，圖8(b)相當(dāng)于教材原題1，分析時(shí)抓住閉合回路的磁通量這一關(guān)鍵點(diǎn)．也可以從“切割”的角度分析，開關(guān)斷開后的孤立圓盤可看作由無(wú)數(shù)根沿半徑方向的輻條并排而成，因?yàn)閳D8(a)磁場(chǎng)布滿整個(gè)圓盤，所以這些輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)都等大，電荷只在盤心和盤邊緣處積累，無(wú)法在圓盤內(nèi)部形成電流，故不會(huì)產(chǎn)生安培力．而圖8(b)中的磁場(chǎng)存在于部分區(qū)域內(nèi)，只有一部分輻條產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，可以在圓盤中形成電流(圖9)[4]，產(chǎn)生安培力．

圖9 輻條切割磁感線產(chǎn)生的電流

如何理解題干中“經(jīng)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，兩圖中的圓盤轉(zhuǎn)速均達(dá)到穩(wěn)定”？這與反電動(dòng)勢(shì)有關(guān)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電流，進(jìn)一步產(chǎn)生安培力，阻礙圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，并且隨著速度的增大而增大，當(dāng)該反向安培力與此前的正向安培力平衡時(shí)，圓盤達(dá)到最大速度，之后速度保持不變．

圖10 衍生題3

(1)線圈的EF邊剛剛越過(guò)磁場(chǎng)邊界OA時(shí)，該線圈產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)的大小和受到的安培力大小F；

(2)以EF邊通過(guò)磁場(chǎng)邊界OA為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，畫出該線圈穿越Ⅰ、Ⅱ兩磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中電流隨時(shí)間的變化圖像，以逆時(shí)針為電流正方向；

(3)從EF邊通過(guò)磁場(chǎng)邊界OA開始，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)一圈的過(guò)程中，94個(gè)線圈產(chǎn)生的總熱量Q．

解析:(1)EF邊切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，其大小

E=nBLv

因?yàn)閞比L大很多，所以

v≈ωr

可得

E=nBLωr

代入數(shù)據(jù)得

E=15 V

根據(jù)安培力公式可得

代入數(shù)據(jù)得

F=6 N

(2)EF邊進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ且GH邊沒(méi)有進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ時(shí)，僅EF邊切割磁感線，感應(yīng)電流大小為

可得I=3 A，根據(jù)右手定則可知電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針；EF邊進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ且GH邊進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ時(shí)，EF和GH邊均切割磁感線，根據(jù)右手定則可知，此時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小E′=2E=30 V,感應(yīng)電流大小

即I′=6 A，方向?yàn)轫槙r(shí)針；EF邊離開磁場(chǎng)Ⅱ且GH邊尚在磁場(chǎng)Ⅱ時(shí)，僅GH邊切割磁感線，此時(shí)感應(yīng)電流

即I=3 A，方向?yàn)槟鏁r(shí)針．因?yàn)檗D(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，所以進(jìn)、出磁場(chǎng)時(shí)間相同，每個(gè)階段持續(xù)的時(shí)間均為

代入數(shù)據(jù)得

綜上可畫出I-t圖像，如圖11所示．

圖11 電流隨時(shí)間的變化圖像

(3)在轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)一圈的過(guò)程中，對(duì)任意線圈分析可得熱量

Q=2I2RΔt+I′2RΔt

代入數(shù)據(jù)得

Q=3.6 J

由題意可知所有線圈都相同，且相對(duì)于轉(zhuǎn)盤圓心對(duì)稱分布，因此總熱量

Q總=94Q=338.4 J

疑難梳理:該題不直接考查法拉第圓盤的原理，而是將原理分解轉(zhuǎn)化為題干，體現(xiàn)在一處簡(jiǎn)化與四處理想化處理．解題時(shí)須關(guān)注四個(gè)理想化處理的目的，處理(1)說(shuō)明可以用BLv計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；處理(2)為了簡(jiǎn)化第二小題感應(yīng)電流的計(jì)算；處理(3)說(shuō)明每個(gè)線圈都挨個(gè)連續(xù)進(jìn)入磁場(chǎng)，中間沒(méi)有空檔期；處理(4)說(shuō)明了線圈在同一切割階段內(nèi)產(chǎn)生感應(yīng)電流大小不變．此題難在審題，易在計(jì)算，若事先掌握了教材原題1的物理模型，則不會(huì)對(duì)看似復(fù)雜的題干產(chǎn)生陌生感和恐懼感，能夠迅速完成解題．

4 總結(jié)

通過(guò)以上教材原題與衍生題的分析，我們發(fā)現(xiàn)解決法拉第圓盤類問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定閉合回路．外接無(wú)源回路時(shí)，分析對(duì)象是由圓盤輻條與外電路所組成的閉合回路；無(wú)外接回路時(shí)，分析的對(duì)象是圓盤內(nèi)部的無(wú)數(shù)個(gè)任意回路．外接有源回路時(shí)，圓盤運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)，也會(huì)形成感應(yīng)電流．由此可以總結(jié)出在不同外接回路及所處磁場(chǎng)的情況下，法拉第圓盤類題目的物理特征，如表1所示．若將“部分勻強(qiáng)磁場(chǎng)”與圓盤所處的無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域看作一個(gè)整體，該整體相當(dāng)于一個(gè)“全域非勻強(qiáng)磁場(chǎng)”，因此表1中第四、五行的結(jié)果是相同的，本文不作具體論述．

表1 不同條件下“法拉第圓盤”類問(wèn)題的物理特征