偽距單點定位兩域聯(lián)合平差解的等價性分析

胡小華，劉長建，張熙

(1.中國人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學 地理空間信息學院,鄭州 450001；2.61363 部隊,西安 710000)

0 引言

測繪領域中，融合多類觀測數(shù)據(jù)進行聯(lián)合平差的應用十分豐富，如基于觀測信息以及各類導出信息的融合[1-4]、多源異構數(shù)據(jù)的融合[5-7]等，其函數(shù)模型大多為非線性模型.導航領域中，融合多系統(tǒng)全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)(GNSS)定位也越來越普遍，同樣是非線性觀測模型聯(lián)合平差問題.

對于線性觀測模型的聯(lián)合平差問題中，不同等級水準網(wǎng)的聯(lián)合平差，利用參數(shù)加權平差，理論上完全可以證明其結果與平差值域聯(lián)合平差結果相同；不同等級水準網(wǎng)單獨平差結果的聯(lián)合平差，但非線性觀測模型下情況卻有所不同.國內外學者雖就非線性模型的線性化程度度量方法[8-9]、非線性模型的參數(shù)估計[10-14]以及非線性模型的直接解法[15-18]等進行了研究，但目前最常用的仍是將模型線性化迭代求解，即采用高斯-牛頓迭代法或迭代最小二乘法[19].由于迭代求解時，觀測值聯(lián)合平差時的近似值與不同類觀測值單獨平差的近似值不同，該不同所引起的線性化模型誤差對兩域聯(lián)合平差結果的等價性影響如何正是本文探討的內容.

偽距單點定位(SPP) 是20 世紀80～90 年代，最初由GPS 設計時采用的主要導航定位方法，也是目前各GNSS 處理軟件提供的基本方法之一.日本東京海洋大學于2020 年12 月推出RTKLIB(b34) 版本，其SPP 模式立足于單歷元迭代最小二乘求解，實現(xiàn)GPS、GLONASS、星基增強系統(tǒng)(SBAS)、準天頂衛(wèi)星系統(tǒng)(QZSS)、Galileo、北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BDS)、印度區(qū)域導航衛(wèi)星系統(tǒng)(IRNSS)七個系統(tǒng)單頻偽距任意組合時的解算.本文將以RTKLIB SPP 應用進行兩域平差結果等價性的數(shù)值分析.

1 觀測值域聯(lián)合平差解

RTKLIB SPP 模式中，GNSS 偽距觀測方程形式上被統(tǒng)一表為

式中：P為某系統(tǒng)選定的單頻偽距觀測值；(x,y,z)、(xs,ys,zs)為 接收機 和衛(wèi)星坐標；dtr、dts為接收機和衛(wèi)星鐘差(以距離為單位)，當為非GPS 時，dtr為接收機在該系統(tǒng)中的鐘差與在GPS 中的鐘差之差或系統(tǒng)間時延偏差；τs為衛(wèi)星端硬件延遲或差分碼偏差；I、T為電離層、對流層延遲項；εP為偽距多路徑效應等未模型化誤差和測量噪聲之和.

該模式的未知參數(shù)固定設置為8 個且順序保持不變，即

式中，G、R、E、C、I 分別代表GPS、GLONASS、Galileo、BDS、IRNSS (SBAS、QZSS 視為同GPS).借助虛擬觀測值思想，RTKLIB SPP 巧妙地實現(xiàn)了同一套程序求解GNSS 多個系統(tǒng)任意組合時的參數(shù).

為方便討論，下面將各GNSS 的接收機鐘差參數(shù)恢復為各系統(tǒng)的原始鐘差，這兩種解法是等價的[19].于是，各GNSS 偽距觀測值聯(lián)合平差的誤差方程可表為

式中：Pi(i=G,R,E,C,I)表示i系統(tǒng)經(jīng)過相應改正后的所有偽距向量；Vi為對應的殘差；fi為對應的歐幾里德幾何距離向量；為對應的接收機三維坐標平差值或位置解向量；ei為對應的元素全為1 的列向量；為對應的各系統(tǒng)接收機原始鐘差平差值.

根據(jù)參數(shù)分組平差求解原理[20]，由式(7)可解得

位置解及其協(xié)方差陣為：

式(8)～(10)即觀測值域聯(lián)合平差位置解迭代公式，其中，本次迭代的X0取為上次迭代計算的，直至收斂(RTKLIB SPP 設置的條件為要指出的是，式(10)是用驗前單位權方差求得的，因為用式(6)定權時由于每歷元求解時多余觀測數(shù)較少，使用驗前單位權方差進行精度估計是RTKLIB 等軟件通常采用的方法.

2 平差值域聯(lián)合平差解

下面采用兩種方法推導出平差值域聯(lián)合平差位置解公式.

2.1 推導方法一

將式(8)變形為

設每個GNSS 可以單獨平差，相應式(5)、式(6)，平差模型為

同樣地，式(14)又可以寫為

式(22)～(23) 為平差值域聯(lián)合平差位置解公式，由式(8)～(10)等價變形得到，假設了單系統(tǒng)每次迭代求解時的X0與觀測值域聯(lián)合平差時相同.不難理解，這一假設實際中難以滿足，由此造成的兩域聯(lián)合平差結果的差異和fi有關，并且不同非線性模型非線性強度不同，由線性化近似導致的誤差也不同[21].此外，也不難理解，若fi為線性函數(shù)則不存在此問題，因為線性模型平差解不需要迭代且與近似值的選取無關.

2.2 推導方法二

直接視式(18)中的X?˙i為歷元位置X的虛擬觀測值[1]，可列平差值域聯(lián)合平差的模型為：

于是，根據(jù)參數(shù)平差公式得法方程為

平差值域聯(lián)合平差的位置解及其協(xié)方差陣為：

該兩式與式(22)～(23)相同.

3 SPP 兩域聯(lián)合平差解等價性分析

由前知，對于非線性觀測模型，欲使兩域平差解完全相同，需要每次迭代時觀測域聯(lián)合平差的近似值與不同類觀測值單獨平差的近似值X0相同，但實際中難以保證.這一不同造成兩域聯(lián)合平差解差異有多大，與具體應用的非線性函數(shù)有關.下面以LHAZ 站2021-02-18 T 00:10:30 的RTKLIB SPP 結果為例進行分析，該歷元GPS、BDS、GLONASS、Galileo 均能單獨取得收斂解.

算例一為該歷元GPS、BDS 進行兩域聯(lián)合平差，結果如表1 所示.表中，x、y、z表示位置解的平差值、表示表示sign(·)表示該項的符號.由表1 可知，兩系統(tǒng)兩域平差解在毫米量級上相同.

算例二為該歷元GPS、BDS、GLONASS 進行兩域聯(lián)合平差，結果如表2 所示.表中符號同算例一.由表2 同樣可知，三系統(tǒng)兩域平差在毫米量級上也相同.

表2 GPS、BDS、GLONASS 兩域平差結果 m

算例三為該歷元GPS、BDS、GLONASS、Galileo進行兩域聯(lián)合平差，結果如表3 所示.表中符號同算例一、算例二.表3 同樣表明了四系統(tǒng)兩域平差在毫米量級上也相同.

表3 GPS、BDS、GLONASS、Galileo 兩域平差結果 m

綜合以上3 個數(shù)值算例可見，在組合系統(tǒng)和單系統(tǒng)求解配置相同情況下(如高度限制角相同等)，RTKLIB SPP 觀測值域聯(lián)合平差解和平差值域聯(lián)合平差解在毫米量級上完全相同，受非線性函數(shù)模型線性化的影響很小，其原因可以解釋為觀測值域單系統(tǒng)和聯(lián)合平差的收斂解相差很小，它們收斂解的前一次解也相差較小，由此引起的線性化誤差差異可以忽略不計.另外還要說明的是，上述三個算例中單BDS 和含有BDS 組合系統(tǒng)的觀測值域聯(lián)合平差時，RTKLIB SPP 均檢測到BDS C02 衛(wèi)星異常，以上收斂解均為排除該星后的收斂解，這進一步表明了異常情況下兩域平差結果在毫米量級上也是等價的.

4 結論

當采用迭代最小二乘求解時，本文就SPP 模型探討了非線性誤差方程兩域聯(lián)合平差解的等價性，主要結論如下：

1)非線性觀測模型，計算中無需進行線性化和迭代計算，非線性模型各類觀測值單獨迭代求解時的近似值與觀測值域聯(lián)合平差迭代求解時的近似值不同，其對兩域聯(lián)合平差解的影響與非線性函數(shù)的非線性強度相關，需具體問題具體分析；

2)在配置相同的情況下，對2021 年2 月18 日LHAZ 站單歷元數(shù)據(jù)采用RTKLIB SPP 的計算結果表明，不同系統(tǒng)組合的兩域平差位置解在毫米量級上數(shù)值相同，對于SPP 應用可以認為兩域聯(lián)合平差解等價；

3)本文探討的內容具有一定的普遍性，如關于多系統(tǒng)GNSS 的其他應用等，它們兩域聯(lián)合平差解的等價性可類似進行探討，其中，如何構造優(yōu)秀的算法，盡量縮小兩域平差解的差異，仍是一個重要研究課題.