顧及星座穩(wěn)定性及綜合成本的低軌導(dǎo)航星座優(yōu)化設(shè)計方法

賀備，蔡昌盛，潘林，蔡成林

(1.中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院,長沙 410083；2.湘潭大學(xué) 自動化與電子信息學(xué)院,湖南 湘潭 411100)

0 引言

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)已經(jīng)在導(dǎo)航、定位和授時(PNT) 領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用，但GNSS 自身的可靠性和可用性較為脆弱[1]，如在進(jìn)行GNSS 精密單點(diǎn)定位(PPP)時收斂時間過長，而且由于GNSS 軌道高度高，地面接收站所接收到的信號較弱，特別是在遮蔽環(huán)境下影響更為嚴(yán)重.相比而言，低軌道地球衛(wèi)星(LEO) 的軌道高度較低，信號在傳播過程中損失較少，地面接收信號強(qiáng).此外，LEO 運(yùn)行速度快，衛(wèi)星的快速運(yùn)動有助于星座空間幾何形態(tài)的快速變化，可以促進(jìn)PPP 收斂速度的提升.楊元喜院士[2]提出綜合PNT 系統(tǒng)和彈性PNT 概念，并將低軌衛(wèi)星增強(qiáng)技術(shù)作為PNT 體系中的核心技術(shù).近年來，低軌衛(wèi)星技術(shù)發(fā)展迅速，國內(nèi)外機(jī)構(gòu)相繼提出低軌衛(wèi)星發(fā)展計劃.

低軌衛(wèi)星對GNSS 進(jìn)行導(dǎo)航增強(qiáng)的前提是具有分布合理的星座構(gòu)型.基于此，有不少學(xué)者開展了星座設(shè)計研究.GE 等[3]從軌道傾角、衛(wèi)星數(shù)、軌道平面數(shù)等方面開展星座設(shè)計，并將不同傾角的LEO 星座組合在一起與GNSS 聯(lián)合進(jìn)行PPP 定位.HE 等[4]為增加可見衛(wèi)星數(shù)沿緯度分布的均勻性，設(shè)計了不同軌道傾角組合的混合星座.田野等[5]推導(dǎo)了低軌衛(wèi)星軌道高度與可視球冠以及太空垃圾的關(guān)系，提出精度衰減因子(DOP) 值較小的不同傾角軌道組合方案.上述研究工作均采用分析枚舉法設(shè)計低軌星座構(gòu)型，難以衡量星座設(shè)計構(gòu)型是否達(dá)到最優(yōu).徐哲宇等[6]基于Flower 星座構(gòu)型并結(jié)合差分進(jìn)化算法進(jìn)行了軌道參數(shù)優(yōu)化，設(shè)計了一種區(qū)域?qū)Ш皆鰪?qiáng)的星座方案.GUAN 等[7]基于遺傳算法與非支配遺傳算法針對多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)行了混合Walker 星座設(shè)計.MA 等[8]設(shè)計了綜合多種星座構(gòu)型的混合星座，在固定衛(wèi)星顆數(shù)以及仰角的條件下采用遺傳算法求取最優(yōu)組合.上述研究工作采用優(yōu)化算法進(jìn)行星座設(shè)計，但他們在優(yōu)化設(shè)計過程中未顧及衛(wèi)星綜合成本以及混合星座的穩(wěn)定性.謝愷等[9]在星座設(shè)計中粗略分析了星座設(shè)計的發(fā)射成本因子，然而沒有考慮到衛(wèi)星制造成本，無法全面衡量星座設(shè)計的綜合成本.YANG 等[10]提出在設(shè)計混合星座時需要考慮軌道面之間的進(jìn)動角速度影響，從而使得混合星座具有穩(wěn)定構(gòu)型.

本文同時顧及星座穩(wěn)定性及綜合成本進(jìn)行低軌導(dǎo)航星座的優(yōu)化設(shè)計.以Walker 星座作為基本構(gòu)型，在保證混合星座穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上顧及綜合成本及導(dǎo)航性能，利用遺傳算法開展了低軌混合星座優(yōu)化設(shè)計.

1 星座設(shè)計方法

1.1 遺傳算法

星座設(shè)計的目的是將功能相似的多顆衛(wèi)星分布在不同的軌道上，從而實(shí)現(xiàn)特定任務(wù).目前而言，進(jìn)行星座設(shè)計的主要方法包括幾何解析法、仿真比較分析法以及優(yōu)化算法[11].采用遺傳算法等優(yōu)化算法，可以顧及多目標(biāo)任務(wù)，在空間范圍內(nèi)搜索最優(yōu)的星座設(shè)計參數(shù)，能夠彌補(bǔ)傳統(tǒng)的幾何解析法以及仿真比較法的不足，從而實(shí)現(xiàn)低軌星座的最優(yōu)化設(shè)計.

遺傳算法借鑒達(dá)爾文的進(jìn)化論與自然選擇學(xué)說，實(shí)際上是一種隨機(jī)全局搜索的優(yōu)化方法.遺傳算法采用適者生存的原則，將問題編碼成為二進(jìn)制串染色體生成初始種群，通過設(shè)置適應(yīng)度函數(shù)，保留種群中的最優(yōu)個體，在此基礎(chǔ)上針對編碼個體進(jìn)行選擇、交叉及變異等操作得到新的種群，不斷優(yōu)勝劣汰直至得到最優(yōu)解[12].相較于傳統(tǒng)算法而言，遺傳算法采用面對面的全局搜索方法，避免陷入優(yōu)化過程中局部最優(yōu)的情況，且具有較高的搜索能力和極強(qiáng)的魯棒性[13].本文使用遺傳算法處理附有整數(shù)約束條件的低軌星座優(yōu)化問題.

1.2 Walker 星座構(gòu)型

Walker 星座是一種常用的星座構(gòu)型，具有很好的全球?qū)ΨQ均勻分布特性，在實(shí)際星座設(shè)計中應(yīng)用廣泛.Walker 星座可由T、P、F三個參數(shù)確定[12].其中，T為星座中的衛(wèi)星總數(shù)，P為星座的軌道面數(shù)，F(xiàn)為相位因子，用來確定相鄰軌道間的相位差，F(xiàn)的取值范圍為(0～P-1).

將第一個軌道面的第一顆衛(wèi)星定義為種子衛(wèi)星，確定種子衛(wèi)星的軌道參數(shù)即可計算得到Walker 星座中所有衛(wèi)星的軌道參數(shù)，式(1)給出了軌道參數(shù)的計算方法[14].

a0、e0、i0、ω0、Ω0、M0分別表示種子衛(wèi)星的半長軸、偏心率、傾角、近地點(diǎn)角距、升交點(diǎn)赤經(jīng)以及平近點(diǎn)角.在上述參數(shù)中，半長軸和偏心率決定了軌道的形狀，軌道傾角與升交點(diǎn)赤經(jīng)決定了軌道平面的位置，近地點(diǎn)角距決定軌道半長軸方向，平近點(diǎn)角決定了衛(wèi)星相對于時間的位置.j表示第j個軌道面，(j,k)表示第j個軌道面上的第k個衛(wèi)星，由上式可計算第j個軌道面上第k顆衛(wèi)星的軌道參數(shù).

1.3 星座綜合成本計算

在設(shè)計低軌導(dǎo)航增強(qiáng)星座過程中，考慮導(dǎo)航性能增強(qiáng)指標(biāo)如可見衛(wèi)星數(shù)目以及分布均勻性的同時，也應(yīng)該考慮綜合成本.以Starlink 為例，完成62 顆衛(wèi)星的組網(wǎng)布設(shè)需要花費(fèi)成本費(fèi)用高達(dá)6 200 萬美元[15]，由此可知星座的成本費(fèi)用是非常巨大的，所以在保證星座性能的同時應(yīng)盡可能降低成本.

星座綜合成本可分為星座制造成本、發(fā)射成本以及維護(hù)成本.星座成本模型很難具體定量分析，到目前為止還沒有完善的星座成本模型.但已有研究表明，星座綜合成本與衛(wèi)星數(shù)、軌道平面數(shù)、軌道高度以及軌道傾角有關(guān)[9].衛(wèi)星數(shù)越多則制造與維護(hù)成本越大；衛(wèi)星發(fā)射通常采用一箭多星技術(shù)使得衛(wèi)星落在同一軌道面上，所以發(fā)射成本會隨軌道面的增加而增加；軌道高度越高，相應(yīng)需要的發(fā)射能量越大；軌道傾角增加時，借助地球自轉(zhuǎn)能量越少，同樣增加了發(fā)射成本.基于此，本研究將衛(wèi)星綜合成本因子表達(dá)為

式中：P為軌道面?zhèn)€數(shù)；P0為軌道面數(shù)下限；i為軌道傾角，單位為rad；h為軌道高度；h0為軌道高度下限；T為衛(wèi)星數(shù)目；T0為衛(wèi)星數(shù)目下限.值得注意的是，該衛(wèi)星綜合成本因子只表示在一個具體問題中不同方案的相對成本.

1.4 星座優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)設(shè)置

本文旨在設(shè)計導(dǎo)航增強(qiáng)的低軌星座，對于導(dǎo)航定位而言，必須實(shí)現(xiàn)可見衛(wèi)星數(shù)目大于4，在此基礎(chǔ)上可見衛(wèi)星越多，觀測值的冗余度越高，導(dǎo)航定位的可靠性和精度也越高，同時可見衛(wèi)星分布越均勻，越有利于提升導(dǎo)航定位的精度.所以對設(shè)計星座的性能評價可分為全球平均可見衛(wèi)星數(shù)、可見衛(wèi)星分布的均勻程度以及星座綜合成本因子三個指標(biāo).

由于Walker 星座構(gòu)型為全球均勻?qū)ΨQ分布，其在全球的可見性也是均勻分布的.為簡化計算且考慮到全球經(jīng)濟(jì)以及人口分布大部分在北半球，我們選取經(jīng)度為0°的經(jīng)線，在緯度方向每隔2.5°建立高度為25 m 的虛擬觀測站，這樣共建有37 個虛擬觀測站，設(shè)置截止高度角為7°.目標(biāo)函數(shù)為

式中：E[v(x)]為全球平均可見衛(wèi)星數(shù)；STD([v(x)]) 為全球可見衛(wèi)星數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏離值，即全球可見衛(wèi)星數(shù)STD值，用于衡量可見衛(wèi)星分布均勻程度；c ost(x) 為綜合成本因子，其中w1、w2、w3表示各部分所占權(quán)重，將w1、w2、w3分別設(shè)置為-0.2、0.7、0.1，這樣的定權(quán)方式表明：可見衛(wèi)星數(shù)目越多，分布越均勻，星座綜合成本越少，則認(rèn)為星座配置最優(yōu).

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 基于遺傳算法的銥星星座優(yōu)化

銥星是以Walker 為星座構(gòu)型的低軌衛(wèi)星星座，軌道傾角為86.4°，軌道高度為780 km，通過STK 與MATLAB 互聯(lián)對銥星軌道進(jìn)行積分并輸出銥星的空間三維構(gòu)型，如圖1 所示.

圖1 銥星三維構(gòu)型

采用1.4 節(jié)星座優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，顧及綜合成本并基于遺傳算法對銥星星座進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，設(shè)置決策變量為 [i,F]，其中i表示軌道傾角，F(xiàn)表示相位因子，決策變量取值范圍如表1 所示.

表1 銥星星座決策變量范圍

由于實(shí)驗(yàn)中采取了整數(shù)約束，染色體編碼采用實(shí)數(shù)編碼，形式為

在種群繁衍和進(jìn)化的過程中，適應(yīng)度最強(qiáng)的個體直接存活至下一代而不做任何改變的精英個體數(shù)目設(shè)置為2.此外，為了求解混合整數(shù)約束的最優(yōu)化問題，使用了工具箱中的整數(shù)GA 求解器，采用等級適應(yīng)度函數(shù)排序，隨機(jī)均勻選擇算子.交叉算子選擇GA 求解器中的約束依賴模式，根據(jù)優(yōu)化函數(shù)的約束選擇不同的函數(shù)，交叉概率設(shè)置為0.8，變異算子采用自適應(yīng)變異函數(shù)，適應(yīng)度大的個體變異概率小，適應(yīng)度小的個體變異概率相對較大.實(shí)驗(yàn)中采取了整數(shù)約束，遺傳算法試圖使懲罰值函數(shù)達(dá)到最小而不是目標(biāo)函數(shù)最小，程序內(nèi)部將使用懲罰函數(shù)值代替目標(biāo)函數(shù)值，對于滿足約束條件的解，其懲罰值就成為目標(biāo)函數(shù)，而對于不滿足約束條件的解，其懲罰值等于滿足約束條件的最大目標(biāo)函數(shù)值加上相應(yīng)的違例懲罰項以降低其適應(yīng)度[8].

遺傳算法中合適的初始種群大小和遺傳代數(shù)對于提高計算效率和有效尋求最優(yōu)解很重要，如果初始種群和遺傳代數(shù)太小，算法可能無法有效地搜索空間中的最優(yōu)解，如果初始種群和遺傳代數(shù)過大，則會降低計算效率，增加搜索時間.在本次實(shí)驗(yàn)中設(shè)置種群大小為40，遺傳代數(shù)為50.

成本因子定義為

圖2 顯示了對銥星星座優(yōu)化50 代的平均和最佳懲罰值軌跡圖.從圖2 中可以看出，隨著種群的選擇、交叉、變異、繁殖，種群的適應(yīng)度逐漸增強(qiáng)，相應(yīng)的懲罰值逐漸趨于穩(wěn)定.

圖2 遺傳算法搜索銥星星座最優(yōu)解過程

最終確定優(yōu)化后的星座軌道傾角為70°，相位因子為3.優(yōu)化后的星座三維構(gòu)型如圖3 所示，表2 給出了銥星優(yōu)化前后的星座性能統(tǒng)計結(jié)果.

表2 銥星優(yōu)化前后的星座性能對比

圖3 優(yōu)化后的銥星星座三維構(gòu)型

圖4 給出了銥星優(yōu)化前后可見衛(wèi)星數(shù)隨緯度的變化情況.由于銥星軌道傾角接近90°，所以高緯度地區(qū)銥星的可見衛(wèi)星數(shù)目大于優(yōu)化后的星座.在65°以下的區(qū)域，優(yōu)化后的可見衛(wèi)星數(shù)顯著優(yōu)于優(yōu)化前的銥星，而且優(yōu)化后的可見衛(wèi)星數(shù)整體上沿位置緯度變化更為平緩.計算結(jié)果表明，無論可見衛(wèi)星數(shù)、STD值還是綜合成本因子較優(yōu)化前的銥星星座均有明顯改善，全球可見衛(wèi)星數(shù)均值由2.3 顆增至2.9 顆，可見衛(wèi)星數(shù)STD由2.3 降至0.7，綜合成本因子由5.3 降至4.5，證明了本設(shè)計方法的有效性.

圖4 銥星優(yōu)化前后星座隨緯度變化的可見衛(wèi)星數(shù)

2.2 基于遺傳算法的混合星座設(shè)計

2.2.1 星座構(gòu)型穩(wěn)定性

當(dāng)衛(wèi)星星座的高度和傾角不同時，由于地球的非球形攝動力引起的軌道面進(jìn)動產(chǎn)生差異會導(dǎo)致不同高度和傾角構(gòu)成的星座不穩(wěn)定，從而改變星間以及衛(wèi)星和地球之間的幾何關(guān)系[16]，無法保證星座能否按照設(shè)計方案準(zhǔn)確運(yùn)行.因此，混合星座優(yōu)化的前提是星座構(gòu)型具有穩(wěn)定特性.

在設(shè)計星座軌道高度時，需要考慮的不僅是覆蓋性能，更需要考慮空間環(huán)境，如太空垃圾分布、輻射粒子以及太空引力等實(shí)際因素.文獻(xiàn)[7]使用STK 分析了500～1 100 km 的大氣阻力對軌道因素的影響，并指出當(dāng)軌道高度低于900 km 時大氣阻力顯著增加.當(dāng)軌道高度高于1 500 km 時會受到范艾倫輻射帶的影響，所以適宜的軌道高度范圍為900～1 500 km.

低傾角和高傾角的取值范圍分別在(0°，45°)、(45°，90°)，這樣能夠使得傾角較小的星座增加赤道附近地區(qū)的衛(wèi)星可見度，傾角較大的星座可以更好地覆蓋高緯度地區(qū).

為了保持星座穩(wěn)定構(gòu)型，必須在相同的進(jìn)動速度下選擇軌道[10].式(6) 給出了軌道面進(jìn)動速度計算公式

式中：Ω 為軌道面進(jìn)動速度；Re為地球半徑；e為偏心率；a為軌道高度；ω 為衛(wèi)星的角速率；J2=1.086×103.

在軌道高度范圍和軌道傾角范圍內(nèi)進(jìn)行遍歷求解軌道面進(jìn)動速度，軌道高度精度設(shè)置為1 km，軌道傾角精度設(shè)置為1°.由以上分析可知，當(dāng)?shù)蛢A角星座與高傾角星座軌道進(jìn)動速度相同時即可確定相對應(yīng)的軌道高度和軌道傾角，具體構(gòu)型設(shè)計如表3所示.

表3 混合星座軌道傾角與高度構(gòu)型設(shè)計

2.2.2 混合星座優(yōu)化

將混合星座決策變量設(shè)置為[P1,N1,F1,P2,N2,F2]，P為軌道面數(shù)，N為單個軌道面上的衛(wèi)星數(shù)，F(xiàn)表示相位因子，且下標(biāo)表示組合星座中的子星座，決策變量取值范圍如表4 所示.

表4 決策變量取值范圍

染色體編碼形式為

在種群繁衍和進(jìn)化的過程中，適應(yīng)度最強(qiáng)的個體直接存活至下一代而不做任何改變的精英個體數(shù)目設(shè)置為3，其余處理策略與2.1 節(jié)中策略一致.

綜合成本因子表示為

式中：P為軌道面?zhèn)€數(shù)；P0為軌道面數(shù)下限；i為軌道傾角，單位為rad；h為軌道高度；h0為軌道高度下限；T為衛(wèi)星數(shù)目；T0為衛(wèi)星數(shù)目下限；下標(biāo)1、2 分別為混合星座中的兩種不同的星座構(gòu)型.

目標(biāo)函數(shù)為

在遺傳算法中設(shè)置初始種群為60，遺傳代數(shù)為50.圖5 顯示了對混合星座50 代的平均及最佳懲罰值軌跡圖，從圖5 中可以看出，隨著種群的選擇、交叉、變異、繁殖，種群的適應(yīng)度逐漸增強(qiáng)，相應(yīng)的懲罰值減少，直至收斂.

圖5 遺傳算法搜索混合星座最優(yōu)解過程

通過遺傳算法搜索最優(yōu)解后得到軌道高度為1 360 km、軌道傾角為160 的Walker24/4/1 星座與軌道高度為975 km、軌道傾角為620 的Walker35/5/2星座.圖6 給出了優(yōu)化后的低軌混合星座(Walker24/4/1 與Walker35/5/2)三維構(gòu)型.為進(jìn)一步驗(yàn)證混合星座對GNSS 的增強(qiáng)性能，圖7 給出了北斗/低軌混合星座的三維構(gòu)型，并分別對低軌混合星座、北斗星座以及北斗/低軌混合星座進(jìn)行性能評估.

圖6 優(yōu)化后的低軌混合星座三維構(gòu)型

圖7 北斗/低軌混合星座三維構(gòu)型

表5 為低軌混合星座與北斗星座以及北斗/低軌混合星座的可見衛(wèi)星數(shù)以及STD值，由于在設(shè)計混合星座過程中就已經(jīng)顧及星座成本，所以此處沒有對成本因子進(jìn)行評估.將組合后的星座與北斗星座相比較，全球可見衛(wèi)星數(shù)均值由6.9 顆增至9.3，可見衛(wèi)星數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差由1.1 降至0.4.可見衛(wèi)星數(shù)沿緯度變化如圖8 所示.本文主要針對于低軌衛(wèi)星對于現(xiàn)有北斗系統(tǒng)的導(dǎo)航增強(qiáng)，所以即使混合低軌星座可見衛(wèi)星數(shù)目小于4，雖然不能進(jìn)行單獨(dú)的導(dǎo)航定位，但是在與北斗系統(tǒng)混合之后，增加了可見衛(wèi)星數(shù)，降低了STD值，能夠起到導(dǎo)航增強(qiáng)的作用.

圖8 不同星座可見衛(wèi)星數(shù)沿緯度位置變化分布

表5 不同星座性能

3 結(jié)束語

本文通過顧及星座穩(wěn)定性及綜合成本，基于遺傳算法對銥星星座以及混合星座進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計.在顧及導(dǎo)航性能以及綜合成本的基礎(chǔ)上，設(shè)計目標(biāo)函數(shù)，采用與銥星相同的軌道構(gòu)型，對軌道傾角、相位因子進(jìn)行搜索，得到傾角70°，相位因子為3 的優(yōu)化后的銥星星座構(gòu)型，與優(yōu)化前的銥星星座相比，全球平均可見衛(wèi)星數(shù)由2.3 增至2.9，STD值由2.3 降至0.7，同時成本因子由5.3 降至4.5，驗(yàn)證了本文方法的有效性.在保證星座構(gòu)型穩(wěn)定性的條件下，確定高傾角與低傾角混合星座的軌道高度和軌道傾角，固定Walker星座的相位因子為0，利用遺傳算法得到軌道高度為1 360 km、傾角為16°的Walker 24/4/1 星座與軌道高度為975 km、傾角為62°的Walker 35/5/2 星座.將設(shè)計得到的低軌混合星座與北斗星座組合后，與北斗星座相比平均可見衛(wèi)星數(shù)由6.9 增至9.3，STD值由1.1 降至0.4.在未來的星座優(yōu)化設(shè)計過程中應(yīng)該考慮到更多的實(shí)際因素，如星座運(yùn)行過程中是否存在碰撞風(fēng)險、衛(wèi)星軌道是否存在衰減可能等.