變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的廣義高斯原理及其對(duì)高階非完整系統(tǒng)的推廣1)

張 毅 陳欣雨

(蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院,江蘇蘇州 215011)

引言

高斯[1]于1829 年提出了一個(gè)微分變分原理,它是分析力學(xué)的普遍原理.陳濱[2]曾指出: “從力學(xué)概念上來(lái)說(shuō),把高斯原理作為基本原理似乎是最恰當(dāng)?shù)摹?梅鳳翔[3]認(rèn)為“高斯原理可作為分析動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)”.Udwadia 等[4]在他們的《分析力學(xué)》著作中以高斯原理作為出發(fā)點(diǎn)采用矩陣代數(shù)運(yùn)算導(dǎo)出分析力學(xué)的基本方程及其對(duì)完整和非完整系統(tǒng)的應(yīng)用,揭示了高斯原理在描述約束系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方面的廣泛適用性.不同于d’Alembert-Lagrange 原理和Jourdain原理,高斯原理具有極值性質(zhì),可表示為拘束函數(shù)的高斯變分等于零[1].利用高斯最小拘束原理可以直接通過(guò)求函數(shù)極值的方法獲得質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[5-6].因此,高斯原理在復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模以及近似計(jì)算等方面發(fā)揮其獨(dú)特的作用.例如,機(jī)器人動(dòng)力學(xué)[5]、多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[6-14]、彈性桿動(dòng)力學(xué)[15-18]以及混合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題[19]等.梅鳳翔等[20]對(duì)高斯原理的起源及其發(fā)展現(xiàn)狀做了很好的綜述.迄今,約束系統(tǒng)的高斯原理和最小拘束原理及其應(yīng)用研究已有諸多成果[21-28].然而,盡管高斯原理在處理理想的一階約束系統(tǒng)時(shí)是完備的[2],但是對(duì)于高階約束系統(tǒng),高斯原理及其極值問(wèn)題仍是一個(gè)開(kāi)放的課題.此外,在工程實(shí)際和自然界中存在大量變質(zhì)量系統(tǒng)的實(shí)例[29-31],例如以噴射高速氣流而實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)動(dòng)的火箭、高空環(huán)境下工作的爬壁機(jī)器人、混凝土攪拌機(jī)以及噴淋系統(tǒng)等.近年來(lái),在變質(zhì)量系統(tǒng)的分析力學(xué)研究方面亦取得重要進(jìn)展[32-38].本文將研究變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的高斯原理.文中建立了變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的高斯最小拘束原理,并通過(guò)定義變質(zhì)量非完整系統(tǒng)修正的拘束函數(shù),給出變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的高斯最小拘束原理;提出了變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的廣義高斯原理,通過(guò)定義廣義拘束函數(shù),建立了變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的廣義高斯最小拘束原理,并將方法推廣到高階非完整力學(xué)系統(tǒng).

1 變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的高斯原理

1.1 高斯原理

設(shè)變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成,其位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs確定.第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi=mi(qs,t),則Meщepcкий方程給出[39]

其中 δG(·) 表示高斯變分,即僅對(duì)加速度取變分,而坐標(biāo)和速度不變[2].在高斯意義下,理想約束條件為

將式(3)代入方程(2),得

式(4)是變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的高斯原理[39].

1.2 高斯最小拘束原理

高斯原理是建立在最小拘束概念的基礎(chǔ)之上的.對(duì)于變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng),由于主動(dòng)力Fi和反推力Ri不依賴(lài)于加速度,因此它們的高斯變分等于零.于是,原理(4)可改寫(xiě)為

類(lèi)似于常質(zhì)量情形[1-2],定義變質(zhì)量系統(tǒng)的拘束函數(shù)為

則式(5)成為

因此,式(7)表明: 對(duì)于具有雙面理想約束的變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng),每一瞬時(shí)在其所有與約束相容的可能加速度之中,真實(shí)運(yùn)動(dòng)的加速度使拘束函數(shù)Z在高斯變分下取得極小值.因此,式(7)可稱(chēng)為變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的高斯最小拘束原理.

如果系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量保持不變,則Ri==0,式(7) 給出經(jīng)典的常質(zhì)量情形下的高斯最小拘束原理[3].

將式(6)展開(kāi),得

其中,省略號(hào)“···”表示與加速度無(wú)關(guān)的項(xiàng).而

稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的加速度能量[3].因此,拘束函數(shù)Z可表為

將點(diǎn)的矢徑ri=ri(qs,t) 對(duì)時(shí)間t求二階導(dǎo)數(shù),得

因此有

將式(11)求高斯變分,并考慮到式(13),得

其中

分別為質(zhì)點(diǎn)系的廣義力和廣義反推力.于是,式(7)給出

這是變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)高斯原理的Appell 形式[39].

1.3 高斯最小拘束原理對(duì)變質(zhì)量二階線(xiàn)性非完整系統(tǒng)的推廣

假設(shè)系統(tǒng)受到理想二階線(xiàn)性非完整約束

則約束加在加速度空間的虛位移上的限制為

其中aε+β,s和aε+β是廣義坐標(biāo)qs,廣義速度和時(shí)間t的函數(shù).

如果系統(tǒng)受到的是理想一階非線(xiàn)性非完整約束

可將方程(19)求導(dǎo),得

因此,比較式(17)和式(20),對(duì)于一階非完整約束式(19),有

構(gòu)造函數(shù)

其中 λβ=λβ(qs,,t)是約束乘子.函數(shù)Zf可稱(chēng)為變質(zhì)量非完整力學(xué)系統(tǒng)修正的拘束函數(shù),等號(hào)右邊第二項(xiàng)可視作由于存在非完整約束而對(duì)拘束Z的一個(gè)修正.將式(11)和式(17)代入式(22),得

容易證明

實(shí)際上,對(duì)式(23)求高斯變分,并注意到 λβ的高斯變分為零,我們得到

將式(16)和式(18)代入式(25),即得式(24).

類(lèi)似于式(8),我們有

于是,式(24)表明: 對(duì)于具有雙面理想約束的變質(zhì)量二階線(xiàn)性非完整力學(xué)系統(tǒng),每一瞬時(shí)在其所有與約束相容的可能加速度之中,真實(shí)運(yùn)動(dòng)的加速度使修正的拘束函數(shù)Zf在高斯變分下取得極小值.式(24)可稱(chēng)為變質(zhì)量二階線(xiàn)性非完整力學(xué)系統(tǒng)的高斯最小拘束原理.

由式(25)和式(24)可表為

式(27)可稱(chēng)為變質(zhì)量二階線(xiàn)性非完整力學(xué)系統(tǒng)的高斯原理的Appell 形式.

2 變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的廣義高斯原理

2.1 廣義高斯原理

其中 δGk(·)可稱(chēng)為在k次加速度空間中高斯意義下的變分,或簡(jiǎn)稱(chēng)k次高斯變分,其變分規(guī)則為

在廣義坐標(biāo)下的形式為

當(dāng)k=0時(shí),δGk(·) 成為經(jīng)典的高斯變分.

在k次加速度空間,高斯意義下的理想約束條件為

于是式(28)成為

式(32)稱(chēng)為變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的廣義高斯原理,可表述為: 對(duì)于具有雙面理想約束的變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng),在每一瞬時(shí),真實(shí)運(yùn)動(dòng)不同于所有可能運(yùn)動(dòng)之處僅在于,真實(shí)運(yùn)動(dòng)使主動(dòng)力、慣性力和反推力在k次加速度空間的任何虛位移上所做元功之和等于零.當(dāng)k=0 時(shí),式(32)退化為式(4).

若各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量保持不變,則式(32)退化為

式(33)可稱(chēng)為常質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的廣義高斯原理.

2.2 廣義高斯最小拘束原理

將拘束函數(shù)(6)對(duì)時(shí)間t求k階導(dǎo)數(shù),并將其定義為廣義拘束函數(shù),即

于是式(32)成為

當(dāng)k=0 時(shí),式(36)成為式(7).

式(36)表明: 對(duì)于具有雙面理想約束的變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng),在每一瞬時(shí)k次加速度空間所有與約束相容的可能加速度之中,真實(shí)運(yùn)動(dòng)的加速度使廣義拘束函數(shù)Z～在k次高斯變分下取得極小值.式(36)可稱(chēng)為變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的廣義高斯最小拘束原理.

將矢徑ri=ri(qs,t) 對(duì)時(shí)間t求k+2 階導(dǎo)數(shù),得

因此有

將加速度能量S對(duì)時(shí)間t求k階導(dǎo)數(shù),得到

因此有

由式(39)、式(41)、式(35)和式(15),式(36)可表為Appell 形式

當(dāng)k=0 時(shí),原理(42)成為式(16).

若各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量保持不變,則式(42)成為

式(43)可稱(chēng)為常質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的廣義高斯原理的Appell 形式.

2.3 廣義高斯最小拘束原理對(duì)高階非完整系統(tǒng)的推廣

假設(shè)系統(tǒng)受有理想k+2 階線(xiàn)性非完整約束

如果系統(tǒng)受到的是理想k+1 階非線(xiàn)性非完整約束

可將方程(46)求導(dǎo),得

因此,比較式(44)和式(47),對(duì)于k+1 階非線(xiàn)性非完整約束式(46),有

構(gòu)造函數(shù)

將式(42)和式(45)代入式(51),得到

類(lèi)似于式(37),我們有

式(52)表明: 對(duì)于具有雙面理想約束的變質(zhì)量高階非完整力學(xué)系統(tǒng),在每一瞬時(shí)k次加速度空間所有與約束相容的可能加速度之中,真實(shí)運(yùn)動(dòng)的加速度使得廣義拘束函數(shù)在k次高斯變分下取得極小值.式(52)可稱(chēng)為變質(zhì)量高階非完整力學(xué)系統(tǒng)的廣義高斯最小拘束原理.

由式(51),式(52)也可表為

式(54)可稱(chēng)為變質(zhì)量高階非完整力學(xué)系統(tǒng)的廣義高斯原理的Appell 形式.

3 算 例

例1.研究燃燒著的勻質(zhì)圓球沿粗糙水平面的慣性運(yùn)動(dòng).設(shè)球的初始半徑為r0,密度為 ρ .試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程.

解:設(shè)由于燃燒所引起的質(zhì)量減少與球的表面積成比例,即[40]

取球心坐標(biāo)x,y以及3 個(gè)Euler 角 ψ,θ,φ 為廣義坐標(biāo),則球的加速度能可表為[40]

由于圓球沿水平面作慣性運(yùn)動(dòng),且微粒分離的相對(duì)速度為零,因此廣義力和廣義反推力等于零.

圓球與粗糙水平面的接觸點(diǎn)的速度等于零,即系統(tǒng)有2 個(gè)一階非完整約束

將式(57)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù),得到

由本文給出的修正的拘束函數(shù)式(23),得到

計(jì)算高斯變分 δGZf,并令其為零,得到

對(duì)于本問(wèn)題,5 個(gè)廣義坐標(biāo),2 個(gè)非完整約束,因此有3 個(gè)自由度.依據(jù)Lagrange 乘子法,由式(60)可得

方程(61)是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,與文獻(xiàn)[40]用Nielsen 方程給出的結(jié)果一致.

約束(58)對(duì)加速度空間的虛位移的限制為

根據(jù)式(16),由式(56),可得

由式(59),系統(tǒng)的可能運(yùn)動(dòng)的拘束函數(shù)為

由式(64)和式(59),并利用式(62)和式(63),得到可能運(yùn)動(dòng)的拘束與真實(shí)運(yùn)動(dòng)的拘束Zf之差為

因此,真實(shí)運(yùn)動(dòng)的拘束函數(shù)Zf取得極小值.

例2.變質(zhì)量Hamel 例[40].

質(zhì)量為m=m(t) 的質(zhì)點(diǎn)在力的作用下在空間中運(yùn)動(dòng),它的運(yùn)動(dòng)受有理想三階非完整約束

試建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程.

解:以x,y,z為廣義坐標(biāo),質(zhì)點(diǎn)的加速度能為

由式(11),拘束Z為

其中Q1,Q2,Q3是廣義力,u1,u2,u3是質(zhì)點(diǎn)分離或并入的微粒相對(duì)質(zhì)點(diǎn)的速度u在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影.

約束方程(66)可寫(xiě)成

因此,廣義拘束函數(shù)(49)給出

依據(jù)Lagrange 乘子法,由式(71)可得

這是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程.方程(72)與文獻(xiàn)[40]用Nielsen 方程給出的結(jié)果一致.

4 結(jié)論

與d’Alembert 原理和Jourdain 原理不同,高斯原理是極值原理,由此可直接獲得質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)[5-7].而變質(zhì)量系統(tǒng)在工程實(shí)際和自然界普遍存在,因此研究變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的廣義高斯原理及其最小拘束形式具有重要意義.

(1)建立了變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的高斯最小拘束原理,構(gòu)造了非完整系統(tǒng)修正的拘束函數(shù),得到了變質(zhì)量二階線(xiàn)性和一階非線(xiàn)性非完整力學(xué)系統(tǒng)的高斯最小拘束原理.

(2)提出了變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)任意階情形的廣義高斯原理,并通過(guò)對(duì)拘束函數(shù)求k階導(dǎo)數(shù)定義k次加速度空間的廣義拘束函數(shù),建立了變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)廣義高斯最小拘束原理.

(3)構(gòu)建高階非完整系統(tǒng)的廣義拘束函數(shù),建立了變質(zhì)量高階非完整力學(xué)系統(tǒng)的高斯最小拘束原理.