P-CS 不確定性量化模型與其性能數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)更新方法1)

何佳琦 賈曉璇 吳偉達(dá) 鐘杰華 羅陽(yáng)軍,2)

* (大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院,遼寧大連 116024)

?(中國(guó)運(yùn)載火箭研究院,北京 100076)

引言

實(shí)際工程問(wèn)題往往包含多源不確定性變量,如荷載、結(jié)構(gòu)自身材料屬性(楊氏模量、磁導(dǎo)率等)、結(jié)構(gòu)服役環(huán)境(磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)等)、結(jié)構(gòu)加工誤差以及傳感器測(cè)試誤差等.這些不確定性信息直接或間接影響著工程結(jié)構(gòu)形式設(shè)計(jì)[1]、結(jié)構(gòu)性能評(píng)估與預(yù)測(cè)[2]以及在役結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別[3]等工作的開(kāi)展與決策.建立合適的數(shù)學(xué)模型來(lái)量化這些不確定性變量是開(kāi)展考慮上述不確定性的結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)工作的前提與基礎(chǔ).

傳統(tǒng)處理不確定性變量的方法通常將其量化為概率統(tǒng)計(jì)變量[4-6],但概率模型只適用于先驗(yàn)信息充足且測(cè)試樣本容量足夠大的客觀不確定性.對(duì)于無(wú)充足先驗(yàn)知識(shí)、僅具有少量數(shù)據(jù)樣本的客觀或主觀不確定性變量,Ben-Hahn[7-8]在20 世紀(jì)90 年代放棄傳統(tǒng)概率理論框架,提出了用凸集模型描述變量不確定性的非概率思想.近年來(lái),大量學(xué)者針對(duì)非概率模型的建立與結(jié)構(gòu)性能非概率測(cè)度描述方法做了一系列的研究工作[9-12].

對(duì)于具備有限先驗(yàn)知識(shí)與有限數(shù)據(jù)樣本的情況,一些學(xué)者還結(jié)合區(qū)間理論提出了非精確概率不確定性量化方法,核心思想是用一個(gè)概率的區(qū)間模型取代精確概率值來(lái)表現(xiàn)由于先驗(yàn)知識(shí)與數(shù)據(jù)樣本不充足而引入的主觀不確定性,并形成了一系列相關(guān)方法論,主要包括DS 證據(jù)理論[13-14]、P-Boxes 模型[15-16]與模糊概率模型(fuzzy probabilities)[17-18].其中,DS 證據(jù)理論基于信任函數(shù)和似然函數(shù)給出上限概率與下限概率,為不確定性量化尤其是多源不確定信息融合提供了合理且較為完備的理論框架,已廣泛應(yīng)用于多傳感器監(jiān)測(cè)信息融合[19]、失效模式分析[20]、結(jié)構(gòu)可靠性評(píng)估[21]等領(lǐng)域.P-Boxes 模型本質(zhì)上是通過(guò)求解一系列優(yōu)化問(wèn)題尋找到非精確概率不確定性變量的邊界概率密度累積函數(shù),進(jìn)而用這些邊界概率密度累積函數(shù)界定變量的不確定性范圍.目前,已有一些學(xué)者利用P-Boxes 模型開(kāi)展多源不確定性量化分析[22]、結(jié)構(gòu)剩余壽命評(píng)估[23],以及考慮不確定性的侵入式結(jié)構(gòu)有限元分析[24]等問(wèn)題的研究.模糊概率模型是模糊集理論與概率模型的結(jié)合,隨機(jī)不確定性由概率模型描述,而概率模型的不精確性由模糊集隸屬度函數(shù)(membership function)[25-26]描述.目前已有一些學(xué)者基于模糊概率模型提出了結(jié)構(gòu)可靠性評(píng)估方法[18,25-29]與疲勞強(qiáng)度分析方法[30].考慮到結(jié)構(gòu)在服役期間,不確定性因素會(huì)隨時(shí)間變化,一些學(xué)者針對(duì)時(shí)變不確定性問(wèn)題開(kāi)展了研究.Li 等[31]基于P-Box 模型提出了一種用于量化時(shí)變不確定性的非精確隨機(jī)過(guò)程模型;Ping 等[32]基于正交級(jí)數(shù)展開(kāi)、稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分以及混沌多項(xiàng)式展開(kāi)等數(shù)值方法提出了對(duì)于非高斯隨機(jī)過(guò)程的不確定性傳播算法;考慮到時(shí)變不確定性的結(jié)構(gòu)失效概率在一個(gè)時(shí)間段為一區(qū)間值,Wang等[33]提出了一種非概率區(qū)間過(guò)程模型,Meng 等[34]結(jié)合概率模型(量化隨機(jī)不確定性變量)與凸集模型(量化功能函數(shù)在某一時(shí)間段的變化范圍)提出了一種求解時(shí)變可靠性指標(biāo)的迭代算法;為避免因大規(guī)模求解功能函數(shù)而造成時(shí)間成本過(guò)高的問(wèn)題,一些學(xué)者結(jié)合Kriging 代理模型提出了效率較高的失效概率區(qū)間計(jì)算方法[35-36].

盡管上述各類模型與算法根據(jù)各自的適用范圍已廣泛應(yīng)用于不同領(lǐng)域各類問(wèn)題中,然而,多源不確定性量化依舊存在下述兩個(gè)問(wèn)題難以兼顧解決:(1)實(shí)際工程問(wèn)題往往既包含可用概率模型量化的不確定性變量,也包含適用于非概率模型量化的不確定性變量,兩者之間存在復(fù)雜層級(jí)關(guān)系;(2)一些不確定性變量在使用過(guò)程中隨時(shí)間變化,且在使用過(guò)程中難以直接測(cè)量,需要根據(jù)間接性能測(cè)試信息在使用工程中更新不確定性量化模型.這些不確定性變量既包括隨時(shí)間變化的客觀不確定性變量如環(huán)境載荷(冰、雪、風(fēng)、波浪等)、結(jié)構(gòu)本身屬性(楊氏模量、屈服強(qiáng)度、阻尼系數(shù)等),也包括隨著更多相關(guān)信息加入而不確定性逐步減小的主觀不確定性變量.對(duì)于問(wèn)題(1),盡管P-Boxes 模型可融合概率不確定性變量與非概率不確定性變量,但由于該模型求解較為復(fù)雜,很難基于P-Boxes 模型進(jìn)行基于性能測(cè)試數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的量化更新計(jì)算.對(duì)于問(wèn)題(2),一些學(xué)者基于貝葉斯理論[37]與證據(jù)合成理論[38]分別針對(duì)概率模型[39]與非概率模型[40]提出了更新算法.但考慮到兼顧問(wèn)題(1)與問(wèn)題(2),目前尚沒(méi)有能統(tǒng)一描述多源不確定性且易于性能數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)更新的不確定性量化模型.

本文為兼顧解決上述問(wèn)題,提出一種P-CS(probability-convex set)不確定性量化模型,用以實(shí)現(xiàn)多源、多類型不確定性的統(tǒng)一量化以及性能測(cè)試數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型的更新計(jì)算.基于該模型,可將概率模型、非概率模型以及非精確概率模型在同一框架下統(tǒng)一表達(dá),本文將分別用一維、二維與三維P-CS 模型詳細(xì)展示P-CS 模型的構(gòu)建過(guò)程并討論其概率與非概率特性.進(jìn)而,基于貝葉斯理論提出P-CS 模型參數(shù)在性能數(shù)據(jù)測(cè)試樣本驅(qū)動(dòng)下的更新算法,并分別采用懸臂梁結(jié)構(gòu)與框架結(jié)構(gòu)算例來(lái)展示更新計(jì)算過(guò)程并驗(yàn)證算法的適用性.

1 P-CS 不確定性量化模型

1.1 P-CS 不確定性量化模型表達(dá)形式

當(dāng)給定隨機(jī)變量的概率模型后,凸集模型Ω用來(lái)表征: 在某一概率水平 α 下,一簇概率模型的隨機(jī)變量分位數(shù)Xα相對(duì)于隨機(jī)變量的分位數(shù)的變化范圍.P-CS 模型可定義如下

1.2 一維P-CS 模型構(gòu)建方法

由表1 可知,只有針對(duì)“已知變量可能的概率分布形式,概率參數(shù)不確定但有界”的非精確客觀不確定性變量,P-CS 模型的構(gòu)建區(qū)別于傳統(tǒng)的概率模型與非概率模型.對(duì)于這種情況,其概率分布為一族函數(shù),如圖1 所示.

表1 多源不確定性變量的P-CS 量化模型Table 1 P-CS models for multi-source uncertainty

圖1 非精確概率模型示意圖Fig.1 Schematic illustration of imprecise probabilistic model

式(3)中,Xα關(guān)于變量 μ與 σ 為線性變化,因此

1.3 多維P-CS 模型構(gòu)建方法

由此,無(wú)量綱橢球模型可表達(dá)為

圖2 橢球模型旋轉(zhuǎn)角度示意圖Fig.2 Schematic illustration of the rotation angle of ellipsoidal model

在實(shí)際工程中,對(duì)于非精確概率變量很難給出清晰的不確定性變量之間的相關(guān)性關(guān)系,一般只能憑借工程經(jīng)驗(yàn)判斷變量之間是否相關(guān).因此,本文將非概率橢球模型中關(guān)于變量間的相關(guān)性進(jìn)行模糊處理.考慮到隨著后續(xù)測(cè)試樣本的輸入,可逐步降低變量間相關(guān)性的模糊程度,使非概率多橢球模型逐漸變得精確.故而,初始多橢球模型可構(gòu)建為包絡(luò)超立方盒模型 Ωcubic的最小體積超橢球模型.在幾何學(xué)上,可包絡(luò)Ni維區(qū)間模型的最小橢球,其主軸方向 θ0沿區(qū)間長(zhǎng)度最大的維度,其第k維度半軸長(zhǎng)與變化范圍區(qū)間長(zhǎng)度dk=存在下述對(duì)應(yīng)關(guān)系式

2 性能測(cè)試信息驅(qū)動(dòng)的P-CS 不確定性量化模型更新算法

結(jié)構(gòu)在服役過(guò)程中往往會(huì)產(chǎn)生新的測(cè)試數(shù)據(jù),這些新的測(cè)試數(shù)據(jù)的加入使得主觀不確定性減小,不確定變量之間非概率相關(guān)性模糊程度降低,表現(xiàn)為P-CS 模型中表征不確定性范圍的多橢球凸集模型體積減小與橢球方向角的改變.實(shí)時(shí)性能測(cè)試數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)P-CS 模型更新就是根據(jù)實(shí)時(shí)性能測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)P-CS 模型中表征不確定性范圍的多橢球凸集模型參數(shù)進(jìn)行更新計(jì)算,本質(zhì)上就是在計(jì)及實(shí)時(shí)性能測(cè)試數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上尋求當(dāng)前最可能的參數(shù)值組合.為了尋求可能性最大的參數(shù)值組合,這里把參數(shù)值的可能性用參數(shù)“信度”這一概念加以量化.

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化參數(shù)取值范圍做m個(gè)劃分Ai(i=1,2,···,m),Ai滿足如式(13)所列出的條件,將X落入Ai的概率定義為信度,記為Pl(X∈Ai)或簡(jiǎn)略為Pl(Ai) .

圖3 二維焦元示意圖Fig.3 Schematic illustration of 2-dimensional focus elements

多個(gè)焦元Bi,i=1,2,···,n的并集的信度等于每個(gè)焦元信度的和,即

2.1 似然信度定義

其中,fPDF(·) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù),τi表示第i個(gè)多維橢球模型參數(shù).

2.2 基于貝葉斯理論更新P-CS 模型

考慮到基于不同多橢球按照優(yōu)化列式(17)計(jì)算得到的性能可能取值范圍會(huì)存在重疊現(xiàn)象.而根據(jù)式(16)的定義,當(dāng)一個(gè)樣本值落入到重疊部分,不同的焦元會(huì)獲得相同的似然信度.不同焦元對(duì)應(yīng)的多橢球模型體積不同,顯然基于體積越大的多橢球模型可獲得范圍更大的性能取值域.因此,在式(16)對(duì)似然信度定義的基礎(chǔ)上,對(duì)多橢球模型的體積進(jìn)行了“懲罰”,即定義焦元對(duì)應(yīng)的多橢球模型體積與焦元似然信度成反比例,在P-CS 模型更新過(guò)程中,對(duì)于給定P-CS 模型 C(m),測(cè)試樣本為 ν=ν0的似然信度可進(jìn)一步定義為

其中,Vm為P-CS 模型 C(m)中多橢球模型體積.

基于貝葉斯方法,可根據(jù)性能測(cè)試樣本數(shù)據(jù)更新多橢球模型參數(shù)取值劃分的信度.對(duì)于第j個(gè)參數(shù) τj,其信度更新貝葉斯公式如下

其中,Pl(ν=ν0) 表示參數(shù)τj取任意值,測(cè)試樣本為ν=ν0的似然信度,根據(jù)式(15),信度具有可加性,所以

對(duì)無(wú)初始信度信息的問(wèn)題,參數(shù)先驗(yàn)信度可定義為每一個(gè)焦元等信度,即

在更新計(jì)算過(guò)程中,可按下式計(jì)算更新后橢球模型參數(shù)的參數(shù)值,即

2.3 更新算法流程

考慮到焦元數(shù)量M=R2N-1,為提高計(jì)算效率,本文采取一種根據(jù)參數(shù)后驗(yàn)信度分布,逐漸減小參數(shù)值取值范圍的多次數(shù)更新策略.在讀入樣本數(shù)據(jù)后,更新算法流程圖如圖4 所示,具體步驟詳述如下.

圖4 更新計(jì)算方法流程圖Fig.4 A flow chart of the updating method

步驟1:根據(jù)式(18)確定各初始參數(shù)取值范圍,并分別將各初始參數(shù)取值范圍做R個(gè)劃分,建議R≤6,并根據(jù)式(23)定義初始先驗(yàn)信度分布,根據(jù)式(17)計(jì)算每一個(gè)焦元對(duì)應(yīng)的性能函數(shù)值的期望變化范圍Ie,進(jìn)而根據(jù)式(21)做第k=1 次更新計(jì)算,得出參數(shù)后驗(yàn)分布.

步驟2:若在第k次更新計(jì)算后,第j個(gè)參數(shù)的第i個(gè)劃分的后驗(yàn)信度則在參數(shù)取值范圍中將區(qū)間去掉,得到取值范圍

步驟3:將取值范圍做R個(gè)劃分,并根據(jù)式(23)定義初始先驗(yàn)信度分布,根據(jù)式(17)計(jì)算每一個(gè)焦元對(duì)應(yīng)的性能函數(shù)值的期望變化范圍Ie,進(jìn)而根據(jù)式(21)做更新計(jì)算,得出參數(shù)后驗(yàn)分布.

步驟4:重復(fù)步驟2 與步驟3,直至在第K次更新計(jì)算中,每一個(gè)參數(shù)的劃分區(qū)間都足夠小,則終止多次更新計(jì)算.可定義多次更新計(jì)算終止條件為

考慮到可能會(huì)出現(xiàn)某一參數(shù)在其取值區(qū)間內(nèi)變化對(duì)結(jié)構(gòu)性能影響很小的情況,會(huì)使該參數(shù)在該取值區(qū)間內(nèi)的每個(gè)劃分的后驗(yàn)信度近似相等,在 1/R附近以較小的幅值波動(dòng),即可理解為該參數(shù)在該取值區(qū)間內(nèi)可以取任意值.對(duì)于上述情況的出現(xiàn),可終止對(duì)該參數(shù)的進(jìn)一步更新計(jì)算,可將該取值區(qū)間的中心點(diǎn)值作為該參數(shù)本次更新計(jì)算的結(jié)果,并在第k=k+1次更新計(jì)算中不再改變?cè)搮?shù)的取值.因此,可定義第j個(gè)參數(shù)的多次更新終止條件

步驟5:在多次更新計(jì)算終止后,根據(jù)式(24)逐次倒序計(jì)算參數(shù)取值.若步驟3 中共進(jìn)行K次更新計(jì)算,即

3 數(shù)值算例

3.1 P-CS 量化模型構(gòu)建

3.1.1 一維不確定性變量算例

假定待量化的某不確定性變量描述為X～Nμ ∈[3.5,4.5],σ2∈[0.5,1.5] .該不確定性變量本質(zhì)上可量化為一族無(wú)限個(gè)精確概率模型的組合.取該族內(nèi)8 個(gè)概率密度累積函數(shù)可繪制成圖5.

圖5 概率密度累積函數(shù)族Fig.5 Family of probability density cumulative functions

概率密度累積函數(shù)族的邊界分別由四個(gè)正態(tài)分布概率密度累積函數(shù)構(gòu)成,分別為X～N(4.5,1.5),X～N(4.5,0.5),X～N(3.5,1.5),X～N(3.5,0.5),如圖6 所示.

圖6 概率密度累積函數(shù)族的邊界Fig.6 Boundaries for the family of probability density cumulative functions

圖7 等概率水平條件下不確定性變量變化范圍驗(yàn)證Fig.7 Validation of the variation range of uncertainties under equal probability levels

3.1.2 二維不確定性變量算例

對(duì)于給定某一概率水平 α,即可根據(jù)式(30)～式(33)分別計(jì)算Xα相對(duì)于的變化范圍 Ω .考慮到本算例變量間存在相關(guān)性,可以用一個(gè)最小體積的橢圓模型將在某一概率水平 α下Xα的所有可能取值包絡(luò).選取2 個(gè)隨機(jī)變量分位數(shù)=(4,3) 與=(3,2.6),可得出在該隨機(jī)變量分位數(shù)處,由等概率原則得到的非概率橢圓凸集模型范圍,如圖8 所示.

圖8 二維 P-CS 模型示意圖Fig.8 Schematic illustration of the 2D P-CS model

為驗(yàn)證與討論橢圓模型對(duì)上述一簇概率隨機(jī)變量分位數(shù)的包絡(luò)性,在本問(wèn)題的概率密度函數(shù)族中選取16 組邊界概率密度函數(shù)(μ1,σ1,μ2,σ2分別取最大值與最小值進(jìn)行排列組合),并分別計(jì)算出與隨機(jī)變量分位數(shù)與等概率水平下的其他16 組概率密度函數(shù)對(duì)應(yīng)的分位數(shù).如圖9 所示,橢圓中心點(diǎn)為隨機(jī)變量分位數(shù)與.對(duì)于同等概率水平下的,其16 個(gè)點(diǎn)(圖9(a)中每個(gè)角點(diǎn)包含4 個(gè)位置重復(fù)的點(diǎn))皆位于橢圓模型邊界上;對(duì)于同等概率水平下的,其12 個(gè)點(diǎn)位于橢圓模型內(nèi),4 個(gè)角點(diǎn)皆位于橢圓模型邊界上.因此,可以驗(yàn)證由本文提出的凸集構(gòu)建方法可構(gòu)造出包絡(luò)等概率水平下一簇隨機(jī)變量分位數(shù)的最小橢圓模型.3 維及3 維以上多維橢球模型與二維橢圓模型情況完全類似,不再多加討論.

圖9 等概率水平下橢圓模型包絡(luò)性驗(yàn)證Fig.9 Validation of elliptic model envelope under equal probability levels

3.1.3 多源不確定性輸入構(gòu)建P-CS 模型

圖10 多源不確定性P-CS 模型示意圖Fig.10 Schematic illustration of the multidimensional P-CS model

3.2 懸臂梁結(jié)構(gòu)算例

本算例為一懸臂梁算例,其結(jié)構(gòu)形式如圖11 所示,懸臂梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1 m,橫截面慣性矩為I=1×10-4m4,材料彈性模量為E=100 GPa .結(jié)構(gòu)承受集中載荷P1與均布載(荷P2.)集中載荷與均布載荷存在不確定性,P1～,μ1∈[3.5,4.5]kN,σ1=1 kN,P2∈[1.5,2.5] kN/m.假定均布載荷P1與集中載荷P2之間存在相關(guān)性,性能測(cè)試信息為梁端處轉(zhuǎn)角位移 β,具體樣本數(shù)值統(tǒng)計(jì)為表2.由于本文算例為驗(yàn)證算法合理性,故文中性能測(cè)試樣本皆為數(shù)值模擬計(jì)算產(chǎn)生,非試驗(yàn)測(cè)試值.

表2 懸臂梁結(jié)構(gòu)算例性能測(cè)試樣本Table 2 Performance test samples of the example of a cantilevered beam structure10-4/rad

圖11 懸臂梁結(jié)構(gòu)Fig.11 A cantilevered beam structure

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)原理,可推導(dǎo)出懸臂梁端轉(zhuǎn)角β與載荷之間的數(shù)學(xué)表達(dá)關(guān)系式為

圖12 第1 次更新計(jì)算后參數(shù)后驗(yàn)信度分布Fig.12 Posterior credibility distributions after the first updating

根據(jù)第一次更新后的信度分布情況,選取下一次更新的參數(shù)取值范圍為Pr1∈[1.207,1.311],Pr2∈[1,1.104],θ∈[π/4,π/2] .將上述取值范圍分別做4 個(gè)劃分,形成64 個(gè)焦元.在第二次更新計(jì)算后,參數(shù)后驗(yàn)信度如圖13 所示.

圖13 第2 次更新計(jì)算后參數(shù)后驗(yàn)信度分布Fig.13 Posterior credibility distributions after the second updating

根據(jù)第二次更新后的信度分布情況,選取下一次更新的參數(shù)取值范圍為Pr1∈[1.207,1.259],Pr2∈[1,1.052],θ∈[5π/16,π/2] .將上述取值范圍分別做4 個(gè)劃分,形成64 個(gè)焦元.在第三次更新計(jì)算后,參數(shù)后驗(yàn)信度如圖14 所示.

圖14 第3 次更新計(jì)算后參數(shù)后驗(yàn)信度分布Fig.14 Posterior credibility distributions after the third updating

共進(jìn)行了3 次更新計(jì)算后,對(duì)于參數(shù) θ,根據(jù)式(26),=0,對(duì)于參數(shù)Pr1與Pr2,根據(jù)式(25),ε1=0.03 ＜0.05,滿足了多次更新終止條件.3 次更新計(jì)算共形成了192 個(gè)焦元,最終信度分布如圖15 所示,最終參數(shù)取值根據(jù)式(27) 計(jì)算為Pr1=1.239,Pr2=1.038,θ=1.205 .為驗(yàn)證本文焦元選取策略的準(zhǔn)確性,對(duì)初始參數(shù)取值范圍分別做40 個(gè)劃分,形成64 000 個(gè)焦元,經(jīng)一次更新計(jì)算后根據(jù)式(24)計(jì)算得到參數(shù)取值為Pr1=1.232,Pr2=1.037,θ=0.996 .對(duì)于參數(shù)Pr1與Pr2,計(jì)算誤差分別為0.6%與0.1%.對(duì)于參數(shù) θ,由其后驗(yàn)分布可以看出,當(dāng)θ ∈[5π/16,π/2]時(shí),其參數(shù)真實(shí)值落在每一個(gè)劃分的信度均等,即參數(shù)可以取為該范圍內(nèi)任何值.由此可見(jiàn),本文提供的焦元選取策略可以在較少焦元計(jì)算量的基礎(chǔ)上獲得較高的計(jì)算精度.

圖15 懸臂梁結(jié)構(gòu)算例最終參數(shù)后驗(yàn)信度分布Fig.15 Final posterior credibility distributions of the example of a cantilevered beam structure

在更新過(guò)程中,每一個(gè)新的樣本點(diǎn)輸入后皆按2.3 節(jié)所述的多次更新策略更新參數(shù)劃分的后驗(yàn)信度,進(jìn)而根據(jù)式(27)計(jì)算得出當(dāng)前的P-CS 模型參數(shù).在得到更新后的模型參數(shù)后,可根據(jù)優(yōu)化列式(17)計(jì)算出當(dāng)前梁端轉(zhuǎn)角上限βup與下限βlow,其變化趨勢(shì)與均值點(diǎn)處橢圓凸集模型變化如圖16所示.

圖16 懸臂梁結(jié)構(gòu)算例更新過(guò)程圖Fig.16 The updating process of the example of a cantilevered beam structure

從圖16 中可以看出,樣本測(cè)試值一直處于基于當(dāng)前P-CS 模型的梁端轉(zhuǎn)角上限與下限范圍內(nèi).前10 個(gè)性能測(cè)試樣本點(diǎn)變化范圍較小,表示不確定性變量波動(dòng)范圍較小,P-CS 模型中表征不確定性范圍的橢圓模型逐步變小,同時(shí)梁端轉(zhuǎn)角上限與下限范圍也在縮小.當(dāng)?shù)?1 個(gè)性能測(cè)試樣本點(diǎn)輸入后,該次采樣點(diǎn)較之前采樣點(diǎn)數(shù)值變化很大,這說(shuō)明不確定性變量從第11 個(gè)點(diǎn)開(kāi)始波動(dòng)到了另一個(gè)范圍,該范圍顯然不在當(dāng)前P-CS 模型的不確定性范圍內(nèi),所以P-CS 中表征不確定性范圍的橢圓模型變大,同時(shí)梁端轉(zhuǎn)角上限與下限范圍也在變大.而后續(xù)采樣點(diǎn)較第11 個(gè)采樣點(diǎn)變化較小,所以橢圓模型變小同時(shí)梁端轉(zhuǎn)角范圍也在變小.當(dāng)?shù)?1 個(gè)性能測(cè)試樣本點(diǎn)輸入后,該次采樣點(diǎn)較第11 至第20 采樣點(diǎn)數(shù)值變化很大,這說(shuō)明不確定性變量從第21 個(gè)點(diǎn)開(kāi)始波動(dòng)到了另一個(gè)范圍,而新的變化范圍仍在當(dāng)前P-CS 模型范圍內(nèi),因此P-CS 模型中表征不確定性范圍的橢圓模型繼續(xù)變小,同時(shí)梁端轉(zhuǎn)角上限與下限范圍也在繼續(xù)變小.

3.3 框架結(jié)構(gòu)算例

本算例為一框架結(jié)構(gòu),如圖17 所示.該結(jié)構(gòu)由3 根梁構(gòu)成,兩個(gè)梁之間為剛性連接,2 號(hào)梁與 3 號(hào)梁在3 號(hào)節(jié)點(diǎn)與4 號(hào)節(jié)點(diǎn)施加固支約束.1 號(hào)梁的長(zhǎng)度L1=1.44 m,2 號(hào)梁與3 號(hào)梁的長(zhǎng)度L2=L3=0.96 m.3 根梁的橫截面相同,皆為邊長(zhǎng)為 0.1 m 的正方形.結(jié)構(gòu)承受垂直方向的均布載荷P1與水平方向局部載荷P2,P3,其中水平方向的均布載荷P2與P3大小相等,方向相反.不確定性變量包括: 橫向梁(1號(hào)梁)材料彈(性模量)E1,E1∈[29,31] GPa(,載荷不)確定性P1～,P23=P2=P3～μ1=μ2∈[36,44] kN,σ1=σ2=2 kN,載荷不確定性變量P1與P23相關(guān).2 號(hào)梁與3 號(hào)梁的材料彈性模量分別為E2=E3=30 GPa .性能測(cè)試信息為角點(diǎn)1 處轉(zhuǎn)角位移 β,具體樣本數(shù)值統(tǒng)計(jì)為表3.由于本文算例為驗(yàn)證算法合理性,故文中性能測(cè)試樣本皆為數(shù)值模擬計(jì)算產(chǎn)生,非試驗(yàn)測(cè)試值.可基于有限元方法建立2 號(hào)角點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移 β 與不確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,即β=g(X) .

圖17 框架結(jié)構(gòu)Fig.17 A frame structure

表3 框架結(jié)構(gòu)算例性能測(cè)試樣本(10-4/rad)Table 3 Performance test samples of the example of a frame structure (10-4/rad)

圖18 框架結(jié)構(gòu)算例最終參數(shù)后驗(yàn)信度分布Fig.18 Final posterior credibility distributions of the example of a frame structure

圖18 框架結(jié)構(gòu)算例最終參數(shù)后驗(yàn)信度分布(續(xù))Fig.18 Final posterior credibility distributions of the example of a frame structure (continued)

隨著性能測(cè)試信息 β*輸入,每一個(gè)新的樣本點(diǎn)輸入后皆按3.3 節(jié)所述的多次更新策略更新參數(shù)劃分的后驗(yàn)信度,進(jìn)而根據(jù)式(27) 計(jì)算得出當(dāng)前的P-CS 模型參數(shù).在得到更新后的模型參數(shù)后,可根據(jù)優(yōu)化列式(17)計(jì)算出當(dāng)前轉(zhuǎn)角位移的上限 βup與下限βlow,其變化趨勢(shì)與均值點(diǎn)處多橢球凸集模型變化如圖19 所示.

圖19 框架結(jié)構(gòu)算例更新過(guò)程圖Fig.19 The updating process of the example of a frame structure

從圖19 中可以看出,樣本測(cè)試值一直處于基于當(dāng)前P-CS 模型的轉(zhuǎn)角位移上限與下限范圍內(nèi).前10 個(gè)性能測(cè)試樣本點(diǎn)變化范圍較小,表示不確定性變量波動(dòng)范圍較小,P-CS 模型中表征不確定性范圍的橢圓模型逐步變小,同時(shí)轉(zhuǎn)角位移上限與下限范圍也在縮小.當(dāng)?shù)?1 個(gè)性能測(cè)試樣本點(diǎn)輸入后,該次采樣點(diǎn)較之前采樣點(diǎn)數(shù)值變化很大,而后續(xù)采樣點(diǎn)較第11 個(gè)采樣點(diǎn)變化較小,這說(shuō)明不確定性變量從第11 個(gè)點(diǎn)開(kāi)始波動(dòng)到了另一個(gè)范圍,因此P-CS模型中表征不確定性范圍的橢圓模型變大,同時(shí)轉(zhuǎn)角位移上限與下限范圍也在變大.

4 結(jié)論

本文提出的P-CS 不確定性量化模型可以將概率隨機(jī)變量、非概率凸集變量與非精確概率隨機(jī)變量統(tǒng)一在一個(gè)模型框架下進(jìn)行表征,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)多源不確定性變量的統(tǒng)一模型量化.進(jìn)而基于P-CS 模型,提出了一種性能測(cè)試信息驅(qū)動(dòng)P-CS 模型參數(shù)更新的算法.

P-CS 不確定性量化模型由隨機(jī)變量概率模型部分與多橢球非概率模型兩部分組成,既具有概率特性也具有非概率特性.在給定某一概率水平的前提下,根據(jù)等概率原則可推導(dǎo)計(jì)算出在隨機(jī)變量分位數(shù),與其具有相同概率特性的不確定性變量取值范圍.在數(shù)值算例1 中,本文詳細(xì)闡述了一維、二維與三維P-CS 模型構(gòu)建過(guò)程與其概率、非概率特性.

基于貝葉斯原理,提出了一種性能測(cè)試信息驅(qū)動(dòng)P-CS 模型參數(shù)更新算法.采用參數(shù)信度概念取代傳統(tǒng)貝葉斯理論框架內(nèi)的條件概率進(jìn)行更新計(jì)算,從而實(shí)現(xiàn)根據(jù)性能測(cè)試信息更新P-CS 模型參數(shù)的目的.數(shù)值算例中,本文分別提供了承受不確定性均布載荷與集中載荷的懸臂梁結(jié)構(gòu)算例以及考慮材料屬性與載荷不確定性耦合的框架結(jié)構(gòu)算例,上述兩個(gè)力學(xué)算例驗(yàn)證了本文提出的更新算法的適用性.

本文提出的P-CS 不確定性量化模型可解決多源、時(shí)變不確定性變量的量化與更新問(wèn)題,并且該更新算法不需要在結(jié)構(gòu)服役過(guò)程中對(duì)不確定性變量進(jìn)行直接測(cè)量采樣.該量化模型與其更新方法有著很強(qiáng)的實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值,有望應(yīng)用于考慮時(shí)變不確定性的結(jié)構(gòu)形面、振動(dòng)主動(dòng)控制問(wèn)題中.