可重構(gòu)力學(xué)超材料的設(shè)計(jì)與波動(dòng)特性研究1)

肖伯雅 楊 洮 馮亞菲 劉 宇 徐文帥 陳 猛,2) 姜 恒,3)王育人

* (中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所微重力實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

? (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院,北京 100049)

** (中國(guó)人民解放軍92228 部隊(duì),北京 100072)

引言

力學(xué)超材料由于其超常的物理屬性,如負(fù)泊松比[1-2]、剪切模量消隱[3]、負(fù)壓縮性[4]、可調(diào)剛度[5-7]、輕質(zhì)高強(qiáng)[8]等,結(jié)構(gòu)往往具備良好的抗變形、耐疲勞或耐高壓能力,在航空航天輕質(zhì)高強(qiáng)結(jié)構(gòu)[9-10]、隔振吸能結(jié)構(gòu)[11-13]、深海耐壓結(jié)構(gòu)[14-15]等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.其中具有可調(diào)剛度的可重構(gòu)雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)可以通過(guò)外加力場(chǎng)的方式主動(dòng)調(diào)控整體結(jié)構(gòu)的構(gòu)型,這一獨(dú)特屬性給研究人員提供了極大的設(shè)計(jì)自由度,大大拓展了功能材料的設(shè)計(jì)空間,因此近年來(lái)雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)受到科研人員的廣泛關(guān)注.

彎曲梁模型作為典型的雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)于2004 年由Qiu 等[16]提出,利用深反應(yīng)離子刻蝕(DRIE)制備了微米級(jí)的雙穩(wěn)梁,進(jìn)行了試驗(yàn)和仿真計(jì)算,其測(cè)試結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致.起初雙穩(wěn)態(tài)梁結(jié)構(gòu)主要應(yīng)用于微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS),Wu 等[17]利用雙穩(wěn)態(tài)梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)制造出了微懸臂致動(dòng)器,可以應(yīng)用于低功率雙穩(wěn)態(tài)繼電器中.Huang 等[18]通過(guò)雙穩(wěn)態(tài)梁結(jié)構(gòu)與杠桿結(jié)構(gòu)組成的雙穩(wěn)態(tài)裝置,用來(lái)制作微機(jī)電系統(tǒng)中具有雙穩(wěn)性和推入推拉功能的設(shè)備.后續(xù)科研人員對(duì)雙穩(wěn)態(tài)梁結(jié)構(gòu)也進(jìn)行了力學(xué)方面的研究,Yang 等[19]利用熱塑性聚氨酯彈性體橡膠(TPU)成功制備了彎曲梁雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),研究了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)整體力學(xué)性能的影響.之后Darwish 等[20]將鋼板作為骨架,用尼龍材料制備了彎曲梁可重構(gòu)結(jié)構(gòu),研究了多成分材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過(guò)程中的力學(xué)特性.Zhang 等[21]用PLA 材料作為骨架,將0.1 mm 厚的鋼板加工成彎曲梁結(jié)構(gòu),兩者合成的新型多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)相比于之前的同類結(jié)構(gòu)多了傾斜的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型.Hua 等[22]研究了彎曲梁結(jié)構(gòu)在隔振和吸能方面的性能,發(fā)現(xiàn)當(dāng)拱高與曲梁厚度之比為3.6 時(shí)結(jié)構(gòu)具備最優(yōu)的隔振吸能性能.Chen 等[23]利用彎曲梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)出了多層圓環(huán)式的多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),系統(tǒng)研究了幾何參數(shù)對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)的影響,提出了三層超材料結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)功能的有效方法.Yang 等[24]設(shè)計(jì)制造了可編程的周期性排列一維多穩(wěn)態(tài)圓柱結(jié)構(gòu),可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定且可重復(fù)使用的構(gòu)型轉(zhuǎn)變.

同時(shí),帶隙可主動(dòng)調(diào)控的結(jié)構(gòu)一直都是科研人員關(guān)注的熱點(diǎn),而彎曲梁雙穩(wěn)態(tài)模型的出現(xiàn)為主動(dòng)調(diào)控提供了一條新途徑,在此之前實(shí)現(xiàn)主動(dòng)調(diào)控的方式普遍都是通過(guò)外加各種物理場(chǎng)的形式來(lái)改變特殊胞元材料的密度和模量來(lái)實(shí)現(xiàn)的.Chen 等[25]提出了基于壓電材料以及電流變彈性體的主動(dòng)彈性超材料,同時(shí)進(jìn)行了理論分析和數(shù)值驗(yàn)證,可以用來(lái)設(shè)計(jì)目標(biāo)帶隙結(jié)構(gòu)以及特殊的波導(dǎo)裝置.Xia 等[26]利用聲學(xué)傳輸線法(ATLM)研究了溫度對(duì)聲學(xué)超材料產(chǎn)生帶隙的影響,結(jié)果發(fā)現(xiàn)溫度變化對(duì)結(jié)構(gòu)的色散特性具有顯著影響,為主動(dòng)控制聲學(xué)超材料的設(shè)計(jì)提供了新的方法.Zhang 等[27]通過(guò)在環(huán)氧樹脂桿上周期地布置含有負(fù)電容的壓電分流單元,構(gòu)造了壓電聲子晶體桿結(jié)構(gòu),通過(guò)理論和仿真計(jì)算證明通過(guò)改變不同諧振頻率的壓電分流單元的個(gè)數(shù),獲得多個(gè)局域共振帶隙,增強(qiáng)帶隙可調(diào)諧性.在彎曲梁雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)提出之后,大量的研究集中在構(gòu)型轉(zhuǎn)變對(duì)結(jié)構(gòu)色散特性的影響上.Meaud 等[28]研究了彎曲梁雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)不同構(gòu)型下的色散關(guān)系,仿真結(jié)果表明兩種構(gòu)型下結(jié)構(gòu)的色散特性發(fā)生了改變,該結(jié)構(gòu)可以應(yīng)用于聲學(xué)開關(guān).Tan 等[29]提出了一種基于屈曲的可編程負(fù)剛度超材料,通過(guò)橫向約束實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)構(gòu)型的轉(zhuǎn)變,結(jié)果表明穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)換可以調(diào)控彈性波的傳播,并指出在主動(dòng)調(diào)控聲學(xué)超材料方面引入形狀記憶材料值得嘗試.Liu 等[30]研究了周期性雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的非線性彈性響應(yīng),特別是沖擊波響應(yīng)方面,結(jié)果表明結(jié)構(gòu)一定程度上可以衰減沖擊波的強(qiáng)度,可以用于精密設(shè)備的保護(hù).Hu 等[31]利用形狀記憶材料(SMP)制備了彎曲梁雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)無(wú)需外加物理場(chǎng)的激發(fā)就可以實(shí)現(xiàn)構(gòu)型的自主轉(zhuǎn)變,同時(shí)系統(tǒng)地研究了模型的色散關(guān)系.針對(duì)不同構(gòu)型的彎曲梁雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)色散特性研究基本都局限于二維的平面構(gòu)型之中,而二維的可重構(gòu)結(jié)構(gòu)在外力驅(qū)動(dòng)調(diào)控之下由于其端部缺乏約束以及平面厚度較窄等因素,結(jié)構(gòu)往往會(huì)發(fā)生橫向變形和面內(nèi)彎曲,導(dǎo)致達(dá)不到穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變的變形要求.Hua 等[32]設(shè)計(jì)出了圓柱式的空間多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),探討了多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)作為吸能結(jié)構(gòu)的應(yīng)用前景并研究了幾何參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)吸能性能的影響.Giri 等[33]也對(duì)圓柱式多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究,主要分析了多層可重構(gòu)結(jié)構(gòu)中單層幾何參數(shù)的設(shè)置對(duì)整體構(gòu)型轉(zhuǎn)變順序的影響,同時(shí)也對(duì)其吸能性能進(jìn)行了對(duì)比.圓柱式空間可重構(gòu)結(jié)構(gòu)的提出解決了以往二維平面可重構(gòu)結(jié)構(gòu)容易產(chǎn)生多余變形的問(wèn)題,周期性排列的平面可重構(gòu)結(jié)構(gòu)可以相互為對(duì)方提供端部約束.但是針對(duì)三維空間構(gòu)型的可重構(gòu)結(jié)構(gòu)的研究集中在其力學(xué)性能方面,特別是結(jié)構(gòu)的吸能性能,而對(duì)其色散特性的研究工作進(jìn)行得很少.

因此,本文設(shè)計(jì)了基于彎曲梁結(jié)構(gòu)的六角空間可重構(gòu)模型,研究其構(gòu)型轉(zhuǎn)變過(guò)程中的力學(xué)特性以及不同構(gòu)型形式下的色散特性.第一節(jié)構(gòu)建中心受壓直梁模型,從理論出發(fā)探明可重構(gòu)結(jié)構(gòu)構(gòu)型轉(zhuǎn)變的基理,并設(shè)計(jì)了六角的空間可重構(gòu)結(jié)構(gòu);第二節(jié)介紹了標(biāo)準(zhǔn)拉伸試驗(yàn)以及結(jié)構(gòu)力學(xué)性能及聲學(xué)性能方面的仿真計(jì)算,并進(jìn)行了相應(yīng)的討論分析;第三節(jié)總結(jié)本文的研究成果.本工作采用數(shù)值仿真方法,研究了六角空間雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性與色散特性,以期為后續(xù)的進(jìn)一步研究提供參考數(shù)據(jù).

1 理論分析及結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.1 雙穩(wěn)態(tài)機(jī)制研究

基于彎曲梁可重構(gòu)機(jī)制進(jìn)行理論分析,建立中心受壓、兩端固定的彎曲梁模型,探明穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變的內(nèi)在機(jī)理,彎曲梁模型如圖1 所示.

圖1 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁模型Fig.1 Bistable buckling beam model

梁的基本微分方程為

式中,E為材料的楊氏模量,I=bt3/12 為梁的橫截面慣性矩,w為梁的撓度,p為梁的軸向力.其滿足的幾何條件為

其通解為

最終求得撓曲線方程的兩類解.第一類為

第二類為

式中c為待定常數(shù).

曲梁的初始形狀為

變形過(guò)程中軸向變形為dp,則變形過(guò)程中曲梁的真實(shí)長(zhǎng)度為

曲梁在受到力f作用變形時(shí),撓曲線可表示為式(4)和式(5)中解的疊加,即

式中,Ai為疊加各項(xiàng)的系數(shù),曲梁中點(diǎn)的位移d可表示為

根據(jù)胡克定律,軸向力為

曲梁的軸向變形為dp,在變形過(guò)程中由于軸向力壓縮產(chǎn)生的壓縮應(yīng)變能為

由于彎曲產(chǎn)生的應(yīng)變能為

由外力f做功引起的勢(shì)能變化為

系統(tǒng)的總能量表達(dá)式為

令 ?Ut=0 ,由 ?(Ai)|i=1,5,9,···=0解得各項(xiàng)的系數(shù)Ai

當(dāng)i=2,3,4,6,7,··· 時(shí),有

在變形過(guò)程中軸向力只能連續(xù)變化,因此第一種形式的力-位移關(guān)系是

由于梁的變形主要取決于前三階屈曲模態(tài),聯(lián)立式(9)、式(15)和式(17)并忽略高階模態(tài)(即Ai取0),解得

定義拱高厚度比Q=h/t,當(dāng)Q取值不同時(shí),力-位移曲線也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化,如圖2 所示.

圖2 彎曲梁的不同力-位移特性Fig.2 Different force-displacement behaviors

由力-位移曲線圖可以看出,當(dāng)Q達(dá)到第二階屈曲變形的臨界值2.31 時(shí),力-位移曲線此時(shí)正好與x軸相切,Q大于2.31 的情況下,梁的變形情況由第三階屈曲模態(tài)決定,比如Q=3 時(shí),變形過(guò)程力出現(xiàn)負(fù)值,表明結(jié)構(gòu)此時(shí)已經(jīng)具備了雙穩(wěn)態(tài)特性.在發(fā)生由第二階屈曲模態(tài)和第三階屈曲模態(tài)所決定的變形過(guò)程中結(jié)構(gòu)具備明顯的正剛度階段以及負(fù)剛度階段,特別是在Q=3 的情況下,其負(fù)剛度階段即為結(jié)構(gòu)發(fā)生突彈跳變(snap-through)的過(guò)程,在圖2 中紅圈標(biāo)注處,當(dāng)結(jié)構(gòu)力值再次為0 時(shí),此時(shí)結(jié)構(gòu)的勢(shì)能達(dá)到另一個(gè)極低點(diǎn),意味著結(jié)構(gòu)此時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)穩(wěn)定的構(gòu)型.

1.2 六角型模式轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

外力作用下單個(gè)二維的可重構(gòu)結(jié)構(gòu)在變形的過(guò)程中往往會(huì)發(fā)生面內(nèi)彎曲,而且最大承載力也比較小,這些問(wèn)題限制了模式轉(zhuǎn)換功能性材料的應(yīng)用范圍.因此,為了保證整體結(jié)構(gòu)變形的穩(wěn)定性,提高結(jié)構(gòu)的承載峰值力,基于二維的可重構(gòu)結(jié)構(gòu)單胞設(shè)計(jì)了六角型的模式轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)的具體幾何參數(shù)如圖3(a)所示,曲梁的跨長(zhǎng)為l,拱高為h,自身厚度為t,上下框架結(jié)構(gòu)的寬度均為a,結(jié)構(gòu)整體厚度為b,通過(guò)SolidWorks 得到的整體架構(gòu)如圖3(b)所示.

圖3 六角型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Hexagonal structure

2 標(biāo)準(zhǔn)拉伸試驗(yàn)與數(shù)值仿真

2.1 標(biāo)準(zhǔn)拉伸試驗(yàn)

選用萬(wàn)華化學(xué)公司熱塑性聚氨酯彈性體橡膠(TPU)作為制備雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的打印材料.TPU 材料的彈性模量可以通過(guò)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得,參考GB/T 528—2009 設(shè)計(jì)了單軸拉伸試件,試件的幾何尺寸如圖4 所示.

圖4 基于GB/T 528—2009 的拉伸試樣的尺寸Fig.4 Dimensions of tensile specimen based on GB/T 528—2009

為獲得材料的力學(xué)參數(shù)進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)拉伸試驗(yàn),拉伸的速度設(shè)為20 mm/min,采用引伸計(jì)記錄單軸拉伸過(guò)程中標(biāo)定段的位移,最終測(cè)得試樣的平均彈性模量為145.2 MPa,泊松比為0.46.圖5 為測(cè)試照片.

圖5 標(biāo)準(zhǔn)拉伸測(cè)試Fig.5 Standard tensile test

2.2 結(jié)構(gòu)力學(xué)性能數(shù)值仿真分析

通過(guò)雙穩(wěn)態(tài)機(jī)制的理論分析得知: 彎曲梁?jiǎn)伟膸缀螀?shù)(彎曲梁的厚度t、拱高h(yuǎn))對(duì)結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能起著決定性作用,為探明六角型結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)其整體力學(xué)性能的影響,采用控制變量方法,設(shè)定t=1 mm,b=4 mm,l=10 mm,h從2 mm 到9 mm,步長(zhǎng)為1;a為1 mm 到5 mm,步長(zhǎng)為0.5.利用ABAQUS/Explicit 研究不同幾何參數(shù)下結(jié)構(gòu)變形過(guò)程中的力學(xué)行為.仿真過(guò)程中通過(guò)在模型上表面耦合點(diǎn)施加位移載荷的方式實(shí)現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)的變形,同時(shí)在模型底部施加固定約束(如圖6 所示).依照標(biāo)準(zhǔn)拉伸測(cè)試測(cè)得數(shù)據(jù),采用 neo-Hookean 超彈性模型對(duì)材料本構(gòu)進(jìn)行擬合,網(wǎng)格劃分選用8 節(jié)點(diǎn)線性減縮積分實(shí)體單元(C3D8R).

圖6 ABAQUS 仿真示意圖Fig.6 ABAQUS simulation schematic diagram

對(duì)不同幾何參數(shù)六角型結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)化的仿真分析,得到了兩者之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的相圖(圖7).

圖7 幾何參數(shù)與力學(xué)性能相圖Fig.7 Phase diagram of geometric parameters and mechanical properties

結(jié)果顯示當(dāng)曲梁自身寬度t固定為1 mm,跨長(zhǎng)l固定為10 mm,其拱高h(yuǎn)與曲梁跨度l比值比較小如0.2 時(shí),隨著下壓位移的增加結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出負(fù)剛度特性,但作用力始終為正值,說(shuō)明結(jié)構(gòu)此時(shí)具備自恢復(fù)特性;而當(dāng)兩者比值達(dá)到0.3 后,隨著下壓位移的增加結(jié)構(gòu)也呈現(xiàn)出負(fù)剛度特性,不同的是作用力出現(xiàn)了負(fù)值的情況,說(shuō)明結(jié)構(gòu)具備雙穩(wěn)態(tài)特性.通過(guò)幾何參數(shù)與力學(xué)性能之間關(guān)系的研究分析,可以根據(jù)目標(biāo)性能設(shè)計(jì)出構(gòu)型合理的可重構(gòu)超材料結(jié)構(gòu).

2.3 結(jié)構(gòu)色散關(guān)系數(shù)值仿真分析

通過(guò)上述力學(xué)性能數(shù)值仿真分析得知具備雙穩(wěn)態(tài)特性的結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)可控變形的能力,圖8 展示了六角型空間結(jié)構(gòu)的構(gòu)型轉(zhuǎn)變行為,而其構(gòu)型的改變會(huì)導(dǎo)致色散特性出現(xiàn)變化,為了研究構(gòu)型改變對(duì)色散特性的具體影響情況,利用有限元數(shù)值仿真對(duì)雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了色散關(guān)系分析,在上下表面施加floquet 周期性邊界條件,對(duì)結(jié)構(gòu)豎直方向(z方向)色散特性進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,得到不同構(gòu)型下結(jié)構(gòu)的色散曲線.圖9 和圖10 分別給出了a=2 mm,h=4 mm 情況下拉伸和壓縮兩種構(gòu)型下的色散關(guān)系曲線.

圖8 幾何構(gòu)型轉(zhuǎn)變Fig.8 The geometric configuration switching

圖9 拉伸構(gòu)型下的色散關(guān)系曲線Fig.9 Dispersion relationship curve in stretched configuration

圖10 壓縮構(gòu)型下的色散關(guān)系曲線Fig.10 Dispersion relationship curve in compressed configuration

結(jié)果顯示在拉伸構(gòu)型下結(jié)構(gòu)在計(jì)算頻率范圍內(nèi)形成了兩個(gè)完全帶隙,分別位于1224.29～1740.16 Hz,1794.16～1842.44 Hz.其中第一帶隙位于第六支與第七支色散曲線之間,第二帶隙位于第七支與第八支色散曲線之間.而壓縮構(gòu)型下在計(jì)算頻率范圍內(nèi)則產(chǎn)生了三個(gè)帶隙,分別位于1087.22～1603.46 Hz,1745.19～1846.91 Hz 和1850.53～2047.68 Hz.其中第一帶隙介于第六支與第七支色散曲線之間,第二帶隙介于第七支與第八支色散曲線之間,第三帶隙介于第九支與第十支色散曲線之間.可以看出結(jié)構(gòu)構(gòu)型從拉伸轉(zhuǎn)變?yōu)閴嚎s的過(guò)程中,結(jié)構(gòu)的第一帶隙向低頻方向移動(dòng),壓縮構(gòu)型下的第二帶隙相比于拉伸情況下禁帶頻率范圍有所增加,另外由于構(gòu)型的轉(zhuǎn)變導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)發(fā)生了變化,從而改變了其色散模式,在壓縮構(gòu)型的情況下產(chǎn)生了新的第三帶隙.

仿真結(jié)果初步說(shuō)明可以通過(guò)結(jié)構(gòu)構(gòu)型的調(diào)整來(lái)改變結(jié)構(gòu)的波動(dòng)特性,實(shí)現(xiàn)對(duì)波的主動(dòng)控制.此外拉伸構(gòu)型下兩個(gè)帶隙中心頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)分別為0.282 m,0.198 m.而拉伸構(gòu)型下晶格尺寸為0.018 m,說(shuō)明結(jié)構(gòu)可以在亞波長(zhǎng)尺度下形成帶隙,可以推斷出這些帶隙是由局域共振機(jī)制引起的.為了進(jìn)一步驗(yàn)證六角型雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的帶隙形成機(jī)制,對(duì)其截至頻率處的振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行了研究分析,如圖11 所示,從左至右依次給出了拉伸構(gòu)型下兩個(gè)帶隙截至頻率處的振動(dòng)模態(tài)圖,可以看出在第一帶隙的振動(dòng)模態(tài)主要表現(xiàn)為上下質(zhì)量塊的振動(dòng),而在第二帶隙的振動(dòng)模態(tài)圖中可以看到框架結(jié)構(gòu)保持靜止而單胞的中間連接部分在振動(dòng),結(jié)合之前對(duì)中心頻率處波長(zhǎng)的計(jì)算數(shù)據(jù)可以判定拉伸構(gòu)型下的第一帶隙是由于上下框架結(jié)構(gòu)作為質(zhì)量塊振動(dòng)引起的局域共振,而第二帶隙則是由于彎曲梁部分振動(dòng)引起的局域共振.同時(shí)構(gòu)建了兩種構(gòu)型的動(dòng)力學(xué)特性分析模型以進(jìn)行頻率響應(yīng)(frequency response)計(jì)算,如圖12 所示兩者的動(dòng)力學(xué)特性分析模型均為單胞沿z軸周期性排布形成的,陣列數(shù)量為10.將模型中底部單胞下表面的邊界定義為激勵(lì)位置,施加沿z軸正向的指定加速度,加速度數(shù)值為0.1 mm/s2,并在此邊界定義積分條件作為頻響計(jì)算的初始值.同樣將模型端部第一個(gè)單胞的下表面作為響應(yīng)位置,定義積分條件作為頻響計(jì)算的響應(yīng)值.

圖11 模態(tài)振型Fig.11 Modal diagram

圖12 色散特性分析模型Fig.12 Dispersion characteristic analysis model

得到的結(jié)果如圖13 所示,頻響計(jì)算更為直觀地展現(xiàn)了結(jié)構(gòu)構(gòu)型改變對(duì)自身色散特性帶來(lái)的變化,從拉伸構(gòu)型到壓縮構(gòu)型的轉(zhuǎn)變過(guò)程中,帶隙是朝著低頻方向移動(dòng)的.

圖13 頻響曲線Fig.13 Frequency response curve

另外,對(duì)其他不同幾何參數(shù)的結(jié)構(gòu)也進(jìn)行了相應(yīng)的帶隙計(jì)算分析,通過(guò)柱狀圖的形式展示了帶隙隨著幾何參數(shù)的變化情況,如圖14～圖17 所示.

圖14 拉伸構(gòu)型下帶隙變化柱狀圖Fig.14 Histogram of band gap change in tensile configuration

圖14 為t=1 mm,a=5 mm,l=10 mm 情況下,結(jié)構(gòu)在拉伸構(gòu)型下產(chǎn)生的帶隙隨著拱高h(yuǎn)的變化示意圖,在h=4 mm 即h/l=0.4 時(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了四個(gè)帶隙,分別位于744.86～867.38 Hz,1336.86～1815.21 Hz,1820.92～2106.35 Hz 以及2148.52～2325.64 Hz 處;當(dāng)h為6 mm 即h/l=0.6 時(shí),結(jié)構(gòu)僅產(chǎn)生了兩個(gè)帶隙,分別位于777.95～852.12 Hz,1255.36～1814.53 Hz處;當(dāng)h為8 mm 即h/l為0.8 時(shí),結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了兩個(gè)帶隙,位于735.93～803.74 Hz,1145.05～1468.66 Hz 處.可以看出在拉伸構(gòu)型下,隨著拱高h(yuǎn)的增加,結(jié)構(gòu)的帶隙總體是朝著低頻移動(dòng)的,而且h為4 mm 時(shí)結(jié)構(gòu)在1800 Hz 之上產(chǎn)生的兩個(gè)帶隙隨著h的增加消失了.圖15 為t=1 mm,a=5 mm,l=10 mm 情況下,結(jié)構(gòu)在壓縮構(gòu)型下產(chǎn)生的帶隙隨著拱高h(yuǎn)的變化示意圖,可以看出隨著拱高h(yuǎn)的增加,帶隙數(shù)量逐漸減少,當(dāng)h為8 mm 時(shí)結(jié)構(gòu)僅產(chǎn)生了一個(gè)帶隙.

圖15 壓縮構(gòu)型下帶隙變化柱狀圖Fig.15 Histogram of band gap change in compressed configuration

圖16 給出了t=1 mm,h=6 mm,l=10 mm 的情況下,結(jié)構(gòu)在拉伸構(gòu)型下產(chǎn)生的帶隙隨著框架寬度a的變化示意圖.當(dāng)a為2 mm 即a/t=2 時(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了一個(gè)帶隙,位于1254.93～1665.67 Hz 處;當(dāng)a為3 mm 即a/t=3 時(shí)結(jié)構(gòu)也產(chǎn)生了一個(gè)帶隙,位于1216.04～1772.81 Hz 處;當(dāng)a為4 mm 即a/t=4 時(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的帶隙位于1270.88～1836.05 Hz 處;當(dāng)a為5 mm 即a/t=5 時(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了兩個(gè)帶隙,其中第一帶隙位于777.95～852.12 Hz,第二帶隙位于1255.36～1814.53 Hz 處.總體來(lái)看框架寬度對(duì)結(jié)構(gòu)的帶隙的影響作用甚微,除了在a=5 mm 的情況下產(chǎn)生了一個(gè)新帶隙之外,其他情況下帶隙的位置和帶寬變換均不大.圖17 給出了t=1 mm,h=6 mm,l=10 mm 的情況下,結(jié)構(gòu)在壓縮構(gòu)型下產(chǎn)生的帶隙隨著框架寬度a的變化示意圖.可以看出與拉伸構(gòu)型相同,框架寬度a對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙的影響不大,隨著a的持續(xù)增加,帶隙總體是朝著高頻移動(dòng)的,但移動(dòng)幅度也很有限.

圖16 拉伸構(gòu)型下帶隙變化柱狀圖Fig.16 Histogram of band gap change in tensile configuration

圖17 壓縮構(gòu)型下帶隙變化柱狀圖Fig.17 Histogram of band gap change in compressed configuration

結(jié)構(gòu)構(gòu)型轉(zhuǎn)換及幾何參數(shù)的變化對(duì)色散關(guān)系產(chǎn)生的影響證明,可以通過(guò)改變具備雙穩(wěn)態(tài)特性結(jié)構(gòu)的構(gòu)型來(lái)主動(dòng)調(diào)控波的傳輸特性,另一方面也可以根據(jù)目的帶隙來(lái)逆向設(shè)計(jì)合理幾何參數(shù)的雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).

3 結(jié)論

本文基于彎曲梁雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了六角型可重構(gòu)結(jié)構(gòu),并利用有限元數(shù)值仿真進(jìn)行了力學(xué)性能與色散特性分析.首先研究了六角型可重構(gòu)結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)其整體力學(xué)性能的影響,得到了具備自恢復(fù)、雙穩(wěn)態(tài)特性的具體結(jié)構(gòu)幾何參數(shù);之后在具備雙穩(wěn)態(tài)特性結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了兩種構(gòu)型下的色散關(guān)系分析,研究構(gòu)型變化對(duì)結(jié)構(gòu)色散關(guān)系的影響并進(jìn)行了相應(yīng)的頻率響應(yīng)計(jì)算.得到的結(jié)論可以總結(jié)如下.

(1) 通過(guò)研究幾何參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響,得到了具備不同力學(xué)性能的結(jié)構(gòu)幾何參數(shù),在彎曲梁自身寬度t為1 mm 且跨度l為10 mm 的基礎(chǔ)上,當(dāng)h/l大于等于0.3 時(shí)即h取值大于等于3 mm 時(shí)結(jié)構(gòu)即呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)特性,而h取值為2 mm 時(shí)結(jié)構(gòu)則呈現(xiàn)自恢復(fù)特性.

(2) 具備雙穩(wěn)態(tài)特性的結(jié)構(gòu)在兩種構(gòu)型下的色散曲線發(fā)生明顯變化,在t=1 mm,a=2 mm,h=4 mm,l=10 mm 的情況下,其壓縮構(gòu)型下的帶隙相比于拉伸構(gòu)型下,具備明顯的朝向低頻移動(dòng)趨勢(shì).兩種構(gòu)型幾何特征的改變導(dǎo)致其晶格常數(shù)出現(xiàn)差異,進(jìn)而影響到結(jié)構(gòu)整體的色散特性,導(dǎo)致帶隙的位置、范圍以及數(shù)量均發(fā)生變化.

(3) 通過(guò)對(duì)六角型可重構(gòu)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能和色散特性的分析,初步證明可以通過(guò)調(diào)整結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)整體力學(xué)性能的主動(dòng)設(shè)計(jì)和色散特性的主動(dòng)調(diào)控,可以根據(jù)應(yīng)用需求設(shè)計(jì)合適的結(jié)構(gòu)構(gòu)型.