基于逆有限元法的形狀還原傳感陣列及橋梁撓度監(jiān)測試驗

雷雨恒，任 亮，李宏男，尤潤州，魏易博

(大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部，遼寧，大連，116024)

橋梁工程是交通互通互聯(lián)的關(guān)鍵節(jié)點和樞紐工程，同時是國民經(jīng)濟發(fā)展和社會生活安全的重要保障。在橋梁工程保有量方面，我國已經(jīng)是世界第一的橋梁大國，公路橋梁數(shù)量達(dá)80 余萬座，全國橋梁總數(shù)達(dá)100 余萬座，且在世界排名前十位的各類橋梁中，我國均占1/2 以上[1-3]。隨著橋梁建設(shè)的高速發(fā)展，橋梁坍塌事故時有發(fā)生，且事故發(fā)生頻率總體上呈上升趨勢[4]。橋梁結(jié)構(gòu)在車輛等荷載作用、雨雪等自然因素的影響下，在長期服役期間不可避免地發(fā)生損傷與破壞[5-7]。而由上述原因引起的撓度直接反映了橋梁結(jié)構(gòu)的剛度，橋梁撓度是從設(shè)計階段到運維階段的重要控制指標(biāo)，當(dāng)變形量超過其自身撓度容許范圍，橋梁必然發(fā)生倒塌事故，故對橋梁工程進行撓度監(jiān)測是必要的。

目前常見的橋梁結(jié)構(gòu)撓度監(jiān)測方法主要分為人工測量與自動測量。人工測量法主要包括水準(zhǔn)測量法、全站儀三角高程法與連通管撓度監(jiān)測法。人工測量法雖然能節(jié)省費用，但存在費時費力、使用不便、實時測量比較困難等不足之處，其中連通管法還存在液體響應(yīng)速度慢，變形監(jiān)測滯后的問題。自動測量主要包括傾角儀法、加速度計法、近景攝影測量技術(shù)、GPS 技術(shù)、激光準(zhǔn)直感光法、撓度儀法等。傾角儀法易造成測量誤差積累，需對誤差做合理分配與處理，加速度積分法受到積分初值與誤差的制約。近景攝影測量技術(shù)雖然精度較高，但價格比較昂貴，監(jiān)測過程較為復(fù)雜，而GPS 技術(shù)精度較低，激光準(zhǔn)直感光法又容易受到氣流影響，撓度儀法則不能得到各點撓度變化曲線。綜上，常用測量方法均存在不足之處：或是不能實現(xiàn)實時監(jiān)測；或是成本過高，精度低；或是維護困難、不適合長期使用，安裝條件苛刻、實用性存在問題；或是易受環(huán)境影響穩(wěn)定性能差[8-15]。

“形狀傳感”是利用離散應(yīng)變數(shù)據(jù)對變形形狀進行實時重構(gòu)，依賴于應(yīng)變數(shù)據(jù)，可以連續(xù)測量靜態(tài)和動態(tài)響應(yīng)，根據(jù)靜態(tài)和運動方程提出各種算法，以獲得更高的精度和更快的運行效率[16]。JINEESH 等[17]利用振型推導(dǎo)出應(yīng)變-位移轉(zhuǎn)換矩陣，由實測的離散應(yīng)變數(shù)據(jù)重構(gòu)結(jié)構(gòu)的整體位移。KIM 等[18]將基于模態(tài)方法的位移-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)用于梁模型，實現(xiàn)葉片結(jié)構(gòu)的動態(tài)變形監(jiān)測。張合生[19]通過優(yōu)化布局的FBG 傳感網(wǎng)絡(luò)獲取結(jié)構(gòu)形態(tài)變化信息，然后，基于結(jié)構(gòu)形態(tài)擬合重構(gòu)方法實現(xiàn)板狀結(jié)構(gòu)的形態(tài)實時感知與重構(gòu)。上述方法對靜態(tài)、動態(tài)荷載作用下復(fù)雜結(jié)構(gòu)的全域形狀重構(gòu)中不具有優(yōu)勢，且需要一定的材料或荷載信息還原結(jié)構(gòu)變形。TESSLER 和SPANGLER[20]提出一種用于工程結(jié)構(gòu)位移監(jiān)測的逆有限元法(iFEM)，通過最小化加權(quán)最小二乘函數(shù)，應(yīng)用實測表面應(yīng)變重建結(jié)構(gòu)變形，并基于Mindlin 理論開發(fā)了一種新的三節(jié)點逆殼單元。隨后，逆有限元法主要因為如下優(yōu)勢：① 可以僅通過有限點的應(yīng)變快速、實時進行全域應(yīng)變場重構(gòu)，從而得到結(jié)構(gòu)位移；② 僅基于應(yīng)變-位移關(guān)系，不涉及力學(xué)平衡；③ 不需要材料信息，近些年來逐漸被應(yīng)用于結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測中[21-23]。

逆有限元法在橋梁變形監(jiān)測的應(yīng)用中存在一些問題：橋梁結(jié)構(gòu)所用材料屬性一般難以滿足連續(xù)、均勻、各向同性；橋梁結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變難以實時準(zhǔn)確地反應(yīng)在逆有限元模型中。本文基于逆有限元方法提出了可以實時、高效地利用實測應(yīng)變數(shù)據(jù)還原待測結(jié)構(gòu)位移的形狀還原傳感陣列，解決了上述應(yīng)用問題，并實現(xiàn)了將其應(yīng)用于土木工程領(lǐng)域中的橋梁撓度監(jiān)測，具有廣闊的工程應(yīng)用前景。

1 形狀還原傳感陣列

1.1 形狀還原傳感陣列概述

形狀還原傳感陣列由鋼梁、固定支座、固定鉸支座構(gòu)成，將鋼梁一端固接，每隔一定距離(一跨)布設(shè)固定鉸支座，實現(xiàn)對鋼梁垂直約束的同時不限制其產(chǎn)生轉(zhuǎn)角。將鋼梁每一跨視作一個傳感單元，在每個傳感單元上布設(shè)一定數(shù)量傳感器，用以實測應(yīng)變數(shù)據(jù)。將固定鉸支座與待測結(jié)構(gòu)固接，待測結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的變形即可視為與形狀還原傳感陣列發(fā)生的變形一致，通過還原傳感陣列變形即可進而達(dá)到還原待測結(jié)構(gòu)變形目的。在實際橋梁工程中，可將固定支座固接于橋墩或蓋梁位置，將固定鉸支座每隔一定距離固接于橋梁梁板，達(dá)到監(jiān)測橋梁撓度目的。

單元長度的選取和每個單元中應(yīng)變傳感器的數(shù)量是影響逆有限元方法準(zhǔn)確性和魯棒性的重要因素?？玳L(即單元長度)L越小，且每個跨長L上安裝傳感器數(shù)量越多(即獲得更多應(yīng)變數(shù)據(jù))的情況下，算法還原精度越高；而且，當(dāng)L長度增加時，可以通過增加傳感器數(shù)量，來保證還原精度，但監(jiān)測成本也會隨之增加。本文綜合考慮精度需求、監(jiān)測條件和測量環(huán)境，試驗采用的形狀還原傳感陣列設(shè)計為6 跨，跨長L為1 m，每個單元配置2 個傳感器，每跨上分別距離支座兩側(cè)L/6 處為應(yīng)變測點，采用應(yīng)變片作為應(yīng)變傳感器。將靠近固定支座處的固定鉸支座命名為1 號支座，由近及遠(yuǎn)命名為2 號～6 號支座。設(shè)計圖如圖1所示。

1.2 逆有限元法基本原理

形狀還原傳感陣列的每個傳感單元采用簡單有效的用于梁式結(jié)構(gòu)二維變形監(jiān)測的新型二節(jié)點逆梁單元iBeam3[24]。該單元的逆有限元公式推導(dǎo)基于Euler-Bernoulli 梁拉彎理論中考慮截面應(yīng)變的最小二乘變分原理，由于公式中只使用了應(yīng)變-位移關(guān)系，iBeam3 單元能夠在沒有任何材料或荷載信息的情況下重建結(jié)構(gòu)變形形狀。此外，由于經(jīng)典梁理論的平截面假設(shè)，該單元只需兩端節(jié)點即可實現(xiàn)橫向位移的3 次插值。

如圖2 所示，各向同性直梁單元每個節(jié)點有3 個位移自由度，厚度均勻2h，表面至中性層厚度為h，單元長度為L。(x，y，z)為局部坐標(biāo)系，(X，Y，Z)為整體坐標(biāo)系。局部坐標(biāo)系的原點位于單元端點。

基于經(jīng)典梁理論和有限元理論，iBeam3 單元的位移場定義為：

節(jié) 點 自 由度 包 括ui、vi、φi，ui和vi為 沿x軸與y軸的平動自由度，φi為繞z軸的轉(zhuǎn)動自由度，Ni為經(jīng)典梁單元形函數(shù)。由小變形假設(shè)，軸向應(yīng)變 ε 與 曲率k如下：

等式中所示的平方范數(shù)基于歐幾里德范數(shù)定義為：

綜上，采用逆有限元法進行形狀還原時，首先將結(jié)構(gòu)求解域離散化為若干個逆單元，在單元內(nèi)部建立求解矩陣方程，最后經(jīng)過總體系統(tǒng)集成，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)變形求解。

1.3 有限元模擬驗證

以圖1 所示形狀還原傳感陣列為算例，在有限元分析軟件ANSYS 中對其進行模擬分析，將每一跨劃分為3 個單元(逆有限元分析中每一跨劃分為1 個單元)，建模采用Beam188 單元，一端固接，將固接端位置記為0，在2 號和4 號支座位置(即形狀還原傳感陣列2000 mm 和4000 mm處)進行5 mm 位移控制加載，如圖3 所示。

加載后通過有限元模擬得到的圖1 中的各傳感單元兩個測點(分別距離支座兩側(cè)L/6 處)的應(yīng)變值如表1 所示，將其代入上述算法，得到還原結(jié)果，驗證形狀還原傳感陣列有效性。

表1 各個測點應(yīng)變值Table 1 Strain of measuring point

固定支座與1 號～6 號固定鉸支座處還原得到的位移結(jié)果與ANSYS 的數(shù)值模擬結(jié)果如表2所示。

表2 結(jié)果對比Table 2 Comparison of results

對比還原結(jié)果與模擬結(jié)果可知，在發(fā)生位移節(jié)點處相對誤差最大為2.78%，形狀還原傳感陣列能夠準(zhǔn)確獲得節(jié)點位移向量。經(jīng)過插值計算后還原結(jié)果如圖4 所示，僅通過有限測點的應(yīng)變值即可還原得到其全域位移值，還原得到的全域位移值與ANSYS 模擬結(jié)果最大相差0.296 mm，形狀還原傳感陣列能夠有效還原被測結(jié)構(gòu)位移場。

2 橋梁模型試驗研究

2.1 橋梁基本情況

本次試驗采用的橋梁模型原橋為大連市莊河建設(shè)大街東橋，該橋為混凝土自錨式懸索橋，跨徑布置為70 m+200 m+70 m=340 m，橋面寬27 m，主梁為鋼筋混凝土箱梁。

橋梁模型為混凝土自錨式懸索橋，模型圖如圖5 所示，主梁采用實體斷面，梁寬764 mm、高89 mm，沿橋梁模型橫向方向，兩側(cè)設(shè)懸臂梁。橋塔為門式結(jié)構(gòu)，設(shè)上、下橫梁。橋梁兩端為橋臺。主纜和吊索采用鋼絲繩制作。橋塔及橋臺處支座采用5 mm 厚橡膠板。

實拍圖如圖6 所示，由近及遠(yuǎn)分別為橋梁模型主梁第一跨、第二跨、第三跨，設(shè)計為跨徑組合2.5 m+7.14 m+2.5 m=12.14 m，本文所開展的試驗研究均在橋梁模型小變形范圍內(nèi)進行。

2.2 裝置布設(shè)

形狀還原傳感陣列設(shè)計如圖1 所示，共布設(shè)6 m，鋼梁選用截面尺寸為30 mm×3 mm 矩形彈簧鋼板，沿橋梁模型主梁縱向方向布設(shè)于主梁第二跨底部，固定支座通過建筑結(jié)構(gòu)膠與地面連接，固定鉸支座通過建筑結(jié)構(gòu)膠附著于橋梁模型主梁第二跨底部。6 號支座位于橋塔側(cè)，此處撓度值為0，但轉(zhuǎn)角值不為0°。

裝置具體布設(shè)位置如下：在橋梁模型主梁橫向方向上，裝置中的鋼梁外邊緣距離主梁第二跨外邊緣80 mm。在橋梁模型主梁縱向方向上，3 號支座位于橋梁模型主梁第二跨跨中，即1 號～6 號支座分別距離橋塔底部基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)邊緣1336 mm、2336 mm、3336 mm、4336 mm、5336 mm、6336 mm。裝置布設(shè)圖如圖7 所示，實拍圖如圖8 所示。

2.3 靜態(tài)試驗

在2 號～4 號支座處橋梁模型主梁上部放置鋼板實現(xiàn)加載，如圖9 所示。采用水準(zhǔn)儀對橋梁撓度進行測量，如圖10 所示，加載前后分別在1 號～5 號支座處的橋梁模型主梁上部垂直放置水準(zhǔn)尺，實測橋梁撓度變化。將形狀還原傳感陣列還原得到的橋梁撓曲線與水準(zhǔn)儀實測結(jié)果進行對比分析。

形狀還原傳感陣列還原得到的橋梁撓曲線如圖11 所示，其中負(fù)號代表向下方向。由圖中可以看出，在加載過后，橋梁模型主梁呈現(xiàn)跨中撓度大、兩側(cè)撓度小的趨勢，與實際相符，說明撓曲線還原準(zhǔn)確，形狀還原傳感陣列可以在靜態(tài)加載條件下還原出橋梁撓曲線，在實際使用中效果良好。

各工況還原結(jié)果與實測撓度相比，最大相差0.82 mm，最小相差僅為0.012 mm，平均相差0.261 mm，吻合程度較好。

為驗證還原結(jié)果準(zhǔn)確性與精度，在橋梁模型主梁上部跨中位置放置鋼板實現(xiàn)加載，分別在1 號～5 號支座下方設(shè)立激光位移計，如圖12 所示。形狀還原傳感陣列還原撓度與激光位移計測得數(shù)據(jù)結(jié)果如圖13 所示。

由形狀還原傳感陣列還原撓度與激光位移計測量所得撓度對比分析可知，兩者相差均在0.8 mm以內(nèi)，且最小僅相差0.115 mm。

2.4 動態(tài)試驗

動態(tài)加載采用如圖14 所示的小車上放置鋼板方式。首先將載有鋼板的小車放于橋梁模型主梁第二跨的1 號支座上方附近，而后在橋旁控制小車從起點由固定支座向固定鉸支座方向運動，運動到橋梁模型主梁第三跨，最后小車由第三跨返回到橋梁模型主梁第二跨的運動起點。撓度測量方式為在橋梁模型主梁第二跨跨中支座下部布設(shè)激光位移計，并將還原結(jié)果與其進行對比分析。

動態(tài)加載后，形狀還原傳感陣列撓度還原如圖15 所示，由激光位移計測量跨中撓度與形狀還原傳感陣列還原得到的撓度吻合程度較好，由圖中可以清晰看出小車靜止后從起點出發(fā)，由遠(yuǎn)及近駛向測量點過程中，撓度逐漸增大，小車遠(yuǎn)離測量點過程中，撓度逐漸減小。當(dāng)小車運動到橋梁模型主梁第三跨時，橋梁模型主梁第二跨出現(xiàn)向上位移。隨后小車在返回起點過程中，橋梁模型主梁第二跨跨中撓度變化趨勢與上述過程大致相同，最后當(dāng)小車運動回起點時橋梁模型主梁第二跨跨中撓度基本穩(wěn)定為0，與實際情況相符。

3 結(jié)論

本文提出一種形狀還原傳感陣列用以監(jiān)測橋梁撓度，該傳感陣列基于逆有限元法，比起常用的橋梁撓度監(jiān)測方法，其易于安裝，可以實時還原出橋梁撓曲線，且準(zhǔn)確性良好。本文將形狀還原傳感陣列應(yīng)用于混凝土自錨式懸索橋梁模型，并對橋梁模型進行靜態(tài)試驗與動態(tài)試驗。還原得到撓曲線結(jié)果與水準(zhǔn)儀讀數(shù)最大相差0.82 mm，最小僅相差0.012 mm，平均相差0.261 mm，還原得到的撓曲線符合橋梁模型主梁撓度變化規(guī)律。采用激光位移計驗證還原撓度準(zhǔn)確性，兩者相差0.8 mm 以內(nèi)，且最小僅相差0.115 mm。動態(tài)試驗還原得到結(jié)果與激光位移計測得結(jié)果吻合程度良好，該傳感陣列可以準(zhǔn)確、及時地還原出橋梁模型結(jié)構(gòu)撓度變化。

綜上，本文所提出的形狀還原傳感陣列對于橋梁撓度的監(jiān)測具有易于安裝、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確、實時性好的優(yōu)點，僅通過有限點的實測應(yīng)變數(shù)據(jù)，即可實時、準(zhǔn)確地還原出橋梁撓曲線，從而有效評估橋梁性能，對橋梁撓度監(jiān)測具有重要意義。