諧變力作用功能梯度旋轉(zhuǎn)圓板強(qiáng)非線(xiàn)性主共振

王永剛，胡宇達(dá)，徐浩然

(1. 燕山大學(xué)建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北，秦皇島 066004；2. 燕山大學(xué)河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北，秦皇島 066004；3. 晉西工業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司，山西，太原 030027)

功能梯度材料(FGM)[1]作為一種新型材料，具有良好的力學(xué)性能，是一種近年來(lái)被廣泛應(yīng)用的材料，在航空航天、核工業(yè)、機(jī)械制造以及醫(yī)療設(shè)備等方面都有著廣闊的應(yīng)用前景。由功能梯度材料制成的各種形狀的構(gòu)件常處于復(fù)雜的特定工作環(huán)境中。因此，為了滿(mǎn)足生產(chǎn)實(shí)踐需求，研究復(fù)雜環(huán)境下功能梯度材料構(gòu)件的力學(xué)性能十分必要。

隨著功能梯度材料在生產(chǎn)生活的應(yīng)用推廣，學(xué)者們對(duì)其制備、服役及其力學(xué)性能等方面做了大量研究，胡君逸等[2]研究了熱環(huán)境下正交各向異性板的固有特性和激勵(lì)響應(yīng)。趙軍等[3]闡述了功能梯度材料的概念、設(shè)計(jì)及制備方法以及不同領(lǐng)域上的應(yīng)用。溫度對(duì)功能梯度材料的影響不可忽視，學(xué)者們對(duì)此進(jìn)行了深入的研究，TU 等[4]基于高階剪切理論導(dǎo)出了功能梯度板振動(dòng)方程，并分析了溫度的影響。李世榮等[5]研究了材料性質(zhì)沿厚度變化FGM 圓板的熱彈阻尼特性。趙偉東和KIANI 等[6-7]分析了FGM 扁球殼和板的熱屈曲及穩(wěn)定性問(wèn)題。何昊南等[8]研究了功能梯度指數(shù)和溫度對(duì)FGM 梁熱后屈曲路徑和后屈曲振動(dòng)的影響規(guī)律。HU 等[9]針對(duì)陶瓷－金屬FGM 圓板的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)及分岔特性進(jìn)行了研究。BAYAT 和KORDKHEILI 等[10-11]分別分析了功能梯度旋轉(zhuǎn)圓板和圓環(huán)板的熱彈性問(wèn)題。SONI 等[12]考慮熱效應(yīng)，研究了含裂紋功能梯度板的振動(dòng)響應(yīng)及頻率特性。胡宇達(dá)等[13]研究了FGM 板的熱彈固有振動(dòng)特性，分析了旋轉(zhuǎn)因素的影響。旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可能會(huì)引起功能梯度材料失穩(wěn)和破壞等問(wèn)題，使材料表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。YEH 和HASHEMI等[14-15]分別研究了旋轉(zhuǎn)圓環(huán)板和厚板的振動(dòng)問(wèn)題。BAYA 和MARETIC 等[16-17]研究了FGM 旋轉(zhuǎn)圓形板的彎曲和穩(wěn)定性問(wèn)題。LI 等[18-19]研究了具有熱彈性阻尼(TED)的FGM 板，用復(fù)頻率法得到了解析解，討論了剪切變形、材料梯度指數(shù)、板厚等因素對(duì)FGM 板熱變形的影響。旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是圓形板構(gòu)件最常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)之一，使構(gòu)件處于復(fù)雜的受力環(huán)境中，且由于功能梯度板密度連續(xù)變化，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的內(nèi)力變化，因此，對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)功能梯度板振動(dòng)行為的研究具有重要意義。

當(dāng)新型材料結(jié)構(gòu)處于復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或復(fù)雜場(chǎng)環(huán)境中時(shí)，將表現(xiàn)出非線(xiàn)性耦合特征。其中，對(duì)于轉(zhuǎn)速影響下FGM 結(jié)構(gòu)強(qiáng)非線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題的研究還很少。本文針對(duì)金屬-陶瓷功能梯度圓板，研究旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下系統(tǒng)強(qiáng)非線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題，建立縱橫耦合非線(xiàn)性振動(dòng)方程組，求解強(qiáng)非線(xiàn)性共振系統(tǒng)的近似解析解，確定共振特征量變化規(guī)律。

1 基本振動(dòng)方程

1.1 材料屬性

研究圖1 柱坐標(biāo)系 (r,θ,z)下的功能梯度圓板，其上表面到下表面由金屬逐漸過(guò)渡到陶瓷，呈梯度變化規(guī)律，h、R和 Ω分別為板厚、半徑和旋轉(zhuǎn)速度，且圓板做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，不考慮旋轉(zhuǎn)角加速度影響。

1.2 動(dòng)能和勢(shì)能

對(duì)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的圓板結(jié)構(gòu)，因板內(nèi)點(diǎn)的速度分量表達(dá)式為[21]：

根據(jù)以上動(dòng)能和勢(shì)能的給出，根據(jù)哈密頓變分原理，推得旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)FGM 圓板的非線(xiàn)性縱橫耦合位移型運(yùn)動(dòng)方程組：

1.3 非線(xiàn)性方程

2 方程的伽遼金離散與靜撓度

假設(shè)圓板周邊為夾支約束，其邊界條件為：

基于分離變量法，將滿(mǎn)足式(14)的振型函數(shù)取為冪級(jí)數(shù)展開(kāi)形式，可將式(12)、式(13)的解設(shè)為[13]：

3 改進(jìn)多尺度法求解強(qiáng)非線(xiàn)性問(wèn)題

將式(24)代入方程中，展開(kāi)后令兩邊 α的同次冪系數(shù)相等，得到各階近似方程：

再將定常解代回方程，可得強(qiáng)非線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)的近似解析解：

基于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論，由式(29)、式(30)可得判別定常解穩(wěn)定性的特征方程，并基于其特征根情況，最終推得非線(xiàn)性系統(tǒng)定常解的穩(wěn)定性判別條件式：

4 算例分析

針對(duì)考慮熱效應(yīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)功能梯度圓板的主共振進(jìn)行算例分析。圓板的泊松比μ=0.3，阻尼系數(shù) ξ=0.01 ， 所在的環(huán)境溫度為T(mén)0=300 K，圓板金屬側(cè)溫度為T(mén)m=300 K，陶瓷側(cè)溫度為可變溫度，用Tc表示。其組分由 Si3N4和 SUS304構(gòu)成。其中Si3N4的 密 度 和 熱 傳 導(dǎo) 率 為： ρc=2370 kg/m3，κc=9.19 W/(m·K) ； SUS304密度和熱傳導(dǎo)率為：ρm=8166 kg/m3，κm=12.04 W/(m·K)。圓板的彈性模量和熱膨脹系數(shù)與環(huán)境溫度有關(guān)，材料的溫度相關(guān)系數(shù)P0、P-1、P1、P2和P3見(jiàn)表1。

表1 兩種材料的溫度相關(guān)系數(shù)Table 1 The coefficients of two materials related to temperature

4.1 振幅隨頻率變化規(guī)律

選取功能梯度圓板的半徑為R=0.4 m，厚度h=0.008 m ， 體 積 分 數(shù) 指 數(shù)n=1 ， 轉(zhuǎn) 速Ω=2000 r/min ， 激勵(lì)力F0=2000N/m2，陶瓷側(cè)溫度Tc=400 K ， 圓板內(nèi)各點(diǎn)起始溫度T0=300 K。

圖2 給出了熱環(huán)境中，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)功能梯度圓板共振幅值隨調(diào)諧值變化的幅頻響應(yīng)特性曲線(xiàn)。圖中的實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)分別代表穩(wěn)定解和不穩(wěn)定解(下同)。圖2(a)～圖2(f)分別是不同轉(zhuǎn)速、激勵(lì)力、體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、半徑、板厚和溫度時(shí)的幅值-調(diào)諧值特征曲線(xiàn)(變化的參數(shù)詳見(jiàn)圖中，其余固定的參數(shù)均由前文給出，下同)。由圖可知，隨著調(diào)諧值由負(fù)及正逐漸增大，在調(diào)諧值等于 0附近激發(fā)共振，幅頻圖出現(xiàn)分岔點(diǎn)，共振幅值由單解變?yōu)槎嘟?，共振表現(xiàn)出強(qiáng)非線(xiàn)性特征。圖2(a)～圖2(f)中曲線(xiàn)表明，在共振區(qū)域，即 α=0 附近，振幅a明顯增大，且共振區(qū)域左側(cè)為單解，右側(cè)為多解，出現(xiàn)共振分岔現(xiàn)象。圖2(a)、圖2(c)、圖2(e)和圖2(f)中曲線(xiàn)表明，隨著圓板旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速、圓板體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、板厚和陶瓷測(cè)溫度的增加共振曲線(xiàn)出現(xiàn)內(nèi)縮現(xiàn)象，共振區(qū)域逐漸變窄。圖2(b)和圖2(d)中曲線(xiàn)表明，隨著激勵(lì)力和圓板半徑的增大，共振曲線(xiàn)出現(xiàn)外擴(kuò)現(xiàn)象，共振區(qū)域逐漸變寬。分析幅頻關(guān)系式(30)可見(jiàn)，由于含有轉(zhuǎn)速、板厚、陶瓷側(cè)溫度等參數(shù)的平方項(xiàng)和幅值的四次方項(xiàng)，故存在相同特定調(diào)諧值而其它參數(shù)不同時(shí)，幅值相等的情況。因此，導(dǎo)致圖2(a)、圖2(c)、圖2(d)、圖2(e)、圖2(f)中左支曲線(xiàn)間出現(xiàn)相交現(xiàn)象，即在交點(diǎn)左側(cè)振幅隨相應(yīng)參數(shù)的增加而減小，而在交點(diǎn)右側(cè)振幅隨相應(yīng)參數(shù)的增加而增加。即：圖2(f)中曲線(xiàn)表明，隨著溫度的增加，在調(diào)諧值小于某一值時(shí)，共振幅值逐漸減小。在調(diào)諧值大于某一值時(shí)，上支曲線(xiàn)表示的共振幅值隨溫度的增加而增大，下支下半部分曲線(xiàn)表示的穩(wěn)定的共振幅值隨溫度的增加而減小，下支上半部分表示的不穩(wěn)定的共振幅值隨溫度增加而增大。

4.2 振幅隨溫度變化規(guī)律

選取功能梯度圓板的半徑為R=0.4 m，厚度h=0.008 m ， 激勵(lì)力F0=2000 N/m2，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)n=1 ， 圓板內(nèi)各點(diǎn)起始溫度T0=300 K，轉(zhuǎn)速，調(diào)諧值 α=0.01。分別繪制不同轉(zhuǎn)速、激勵(lì)力、體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、調(diào)諧值、半徑和板厚下振幅隨陶瓷側(cè)溫度變化曲線(xiàn)，如圖3(a)～圖3(f)所示。圖中曲線(xiàn)表明，隨著陶瓷側(cè)溫度增加，上支實(shí)曲線(xiàn)所示穩(wěn)定振幅和虛線(xiàn)所示不穩(wěn)定振幅先減小后增加，每支曲線(xiàn)有一個(gè)極小值。下支實(shí)曲線(xiàn)所示穩(wěn)定振幅先增大后減小，每支曲線(xiàn)有一極大值。

從圖3(a)、圖3(d)、圖3(e)和圖3(f)中可知，在同一溫度時(shí)，隨著圓板轉(zhuǎn)速、調(diào)諧值、圓板半徑和厚度的增加，上支實(shí)線(xiàn)表示的穩(wěn)定振幅也在增大。從圖3(b)、圖3(e)中可知，在同一陶瓷側(cè)溫度時(shí)，隨著激勵(lì)力和圓板半徑的增大，下支曲線(xiàn)表示的穩(wěn)定振幅也在增大。從圖3(a)、圖3(d)、圖3(f)中可知，在同一溫度時(shí)，隨著圓板轉(zhuǎn)速、調(diào)諧值、厚度的增大，下支曲線(xiàn)表示的穩(wěn)定振幅減小。

4.3 振幅隨激勵(lì)力變化規(guī)律

圖4 給出了熱環(huán)境中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)功能梯度圓板共振幅值隨激勵(lì)力變化的幅頻響應(yīng)特性曲線(xiàn)。選取圓板的半徑R=0.4 m ， 厚度h=0.008 m，轉(zhuǎn)速Ω=2000 r/min ， 體積分?jǐn)?shù)指數(shù)n=1 ， 調(diào)諧值α=0.01 ， 陶瓷側(cè)溫度Tc=400 K，圓板內(nèi)各點(diǎn)起始溫度T0=300 K。

由圖4(a)～圖4(f)可知，不同調(diào)諧值、轉(zhuǎn)速、體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、陶瓷測(cè)溫度、圓板半徑和厚度下，功能梯度圓板共振幅值具有多解，隨著激勵(lì)力增大到某一值時(shí)，共振幅值由多解變?yōu)閱谓狻?/p>

圖4(d)中曲線(xiàn)表明，當(dāng)激勵(lì)力在0 N/m2～1000 N/m2范圍內(nèi)，激勵(lì)力取一定值時(shí)，上支曲線(xiàn)表示的穩(wěn)定的振幅、下支曲線(xiàn)表示的穩(wěn)定和不穩(wěn)定振幅都隨圓板半徑的增大而減小。

圖4(a)、圖4(b)、圖4(c)、圖4(e)和圖4(f)中曲線(xiàn)表明，當(dāng)激勵(lì)力在一定范圍內(nèi)取一定值，上支曲線(xiàn)表示的穩(wěn)定的振幅和下支曲線(xiàn)上半部分表示的不穩(wěn)定的幅值分別隨調(diào)諧值、轉(zhuǎn)速、功能梯度指數(shù)、板厚和陶瓷測(cè)溫度的增大而增大，下支下半部分曲線(xiàn)表示的穩(wěn)定的幅值分別隨上述參數(shù)的增大而減小。

4.4 多值解臨界分岔點(diǎn)曲線(xiàn)

圖5(a)～圖5(f)是共振幅值由單解多解突變臨界點(diǎn)繪制的分岔點(diǎn)趨勢(shì)圖，圖中光滑曲線(xiàn)兩側(cè)為共振幅值的多解區(qū)域和單解區(qū)域，曲線(xiàn)上的點(diǎn)表示的是振幅的多解區(qū)域與單解區(qū)域的過(guò)渡幅值，曲線(xiàn)的存在表明了振動(dòng)具有非線(xiàn)性特征。

圖5(a)表示隨著激勵(lì)力的逐漸增大，分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的調(diào)諧值也在增大，且增大趨勢(shì)在減緩。圖5(b)表示隨著圓板轉(zhuǎn)速的逐漸增大，分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的調(diào)諧值在逐漸減小，并且減小趨勢(shì)在減緩。圖5(c)表示隨著圓板陶瓷側(cè)溫度的逐漸增大，分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的調(diào)諧值先增大后減小，并且在897 K 時(shí)達(dá)到極大值。圖5(d)表示隨著圓板轉(zhuǎn)速的增大，分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的激勵(lì)力也在逐漸增大，并且增加趨勢(shì)在增大。圖5(e)表示隨著圓板陶瓷側(cè)溫度的增大，分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的激勵(lì)力先減小后增大。并且在893 K時(shí)，分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的激勵(lì)力最小。且曲線(xiàn)的上半?yún)^(qū)域?yàn)閱谓鈪^(qū)域，曲線(xiàn)的下半?yún)^(qū)域?yàn)槎嘟鈪^(qū)域。圖5(f)表明，隨著圓板陶瓷側(cè)溫度逐漸增大，分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓板轉(zhuǎn)速先增大后減小，并且溫度在663 K時(shí)，分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速達(dá)到最大。且曲線(xiàn)的上半?yún)^(qū)域?yàn)槎嘟鈪^(qū)域，曲線(xiàn)的下半?yún)^(qū)域?yàn)閱谓鈪^(qū)域。

4.5 結(jié)果對(duì)比與驗(yàn)證

選取功能梯度圓板的調(diào)諧值α=0.01，半徑R=0.4 m，h=0.008 m，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)n=1，激勵(lì)力F0=2000 N/m2，陶瓷側(cè)溫度Tc=300 K。繪制轉(zhuǎn)速Ω=2000 r/min 時(shí)解析解對(duì)應(yīng)的時(shí)程圖和相圖，如圖6 所示。圖中的幅值與圖3(a)中溫度Tc=300 K，轉(zhuǎn)速Ω=2000 r/min 時(shí)的幅值大小一致。

由時(shí)程圖6(a)可知，系統(tǒng)做穩(wěn)定的往復(fù)周期運(yùn)動(dòng)，穩(wěn)定解一和穩(wěn)定解二的幅值相差較大，不穩(wěn)定解的幅值與穩(wěn)定解一的幅值較為接近，三個(gè)解的振動(dòng)頻率相同。系統(tǒng)在波谷時(shí)振動(dòng)幅值要大于波峰時(shí)的振動(dòng)幅值，這是由于振動(dòng)微分方程的解析解的表達(dá)式(31)包含一項(xiàng)負(fù)常數(shù)。由圖6(b)的相圖可知，相軌跡為橢圓形環(huán)繞曲線(xiàn)，且振動(dòng)幅值負(fù)的振幅略大于正的振幅。

作為理論驗(yàn)證，為對(duì)比本文與文獻(xiàn)[25]，特將本文中的功能梯度圓板的物性參數(shù)設(shè)成與該文獻(xiàn)一致。假設(shè)圓板轉(zhuǎn)速為 0，且不考慮溫度效應(yīng)，選取功能梯度圓板半徑R=0.3 m ， 厚度h=0.004 m，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)n=2 ， 激勵(lì)力幅值F0=100 N/m2，繪制了圖7 所示相圖。由圖可見(jiàn)，本文的解析解與該文獻(xiàn)數(shù)值解得到的響應(yīng)圖結(jié)果基本一致，從而驗(yàn)證了本文理論結(jié)果的正確性。

5 結(jié)論

考慮旋轉(zhuǎn)因素和熱效應(yīng)作用，針對(duì)功能梯度薄板結(jié)構(gòu)強(qiáng)非線(xiàn)性共振問(wèn)題進(jìn)行了研究。推得強(qiáng)非線(xiàn)性振動(dòng)方程，應(yīng)用改進(jìn)的多尺度法得到圓板幅頻響應(yīng)方程和解析解。算例結(jié)果表明：

(1) 當(dāng)圓板轉(zhuǎn)速、激勵(lì)力、功能梯度指數(shù)、陶瓷側(cè)溫度、半徑和厚度為定值時(shí)，隨著調(diào)諧值由負(fù)及正逐漸變化，幅值出現(xiàn)分岔點(diǎn)，且由單解變?yōu)槎嘟猓舱癖憩F(xiàn)出典型非線(xiàn)性特征。

(2) 當(dāng)其他參數(shù)為定值時(shí)，隨著圓板陶瓷側(cè)溫度從零逐漸增大，上支曲線(xiàn)表示的穩(wěn)定振幅先減小后增加，每支曲線(xiàn)有一個(gè)極小值。下支曲線(xiàn)實(shí)線(xiàn)表示的穩(wěn)定的振幅先增大后減小，每支曲線(xiàn)有一個(gè)極大值。

(3) 當(dāng)激勵(lì)力在一定范圍內(nèi)，其他參數(shù)取一定值時(shí)，隨圓板半徑的增大，穩(wěn)定和不穩(wěn)定的振幅都在減小。