矩形舵面應(yīng)變模態(tài)測(cè)試中的傳感器優(yōu)化布置

吳向余，賀旭東，屈沖霄，陳懷海

（1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016）

（2.江蘇金風(fēng)軟件技術(shù)有限公司 無(wú)錫，214028）（3.中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院 西安，710089）

引言

矩形舵面結(jié)構(gòu)在航空航天工程中應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)于新型飛行器的翼面、空氣舵等典型部件。這類結(jié)構(gòu)自身重量較輕，進(jìn)行模態(tài)測(cè)試時(shí)易受周圍環(huán)境干擾。應(yīng)變片與傳統(tǒng)的加速度傳感器相比，重量輕，體積小，對(duì)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量影響較小，可以避免加速度傳感器附加質(zhì)量的干擾，因此更適用于薄板類型的舵面結(jié)構(gòu)模態(tài)測(cè)試場(chǎng)合。近年來(lái)，基于結(jié)構(gòu)應(yīng)變信號(hào)的模態(tài)測(cè)試受到廣泛關(guān)注，并獲得了實(shí)際應(yīng)用，在模態(tài)參數(shù)識(shí)別［1］、光纖光柵測(cè)量［2］和結(jié)構(gòu)損傷探測(cè)［3］等方面取得良好效果。由于結(jié)構(gòu)表面的應(yīng)變信號(hào)通常較弱，在測(cè)試時(shí)，受到測(cè)量噪聲的影響，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變響應(yīng)信號(hào)信噪比相對(duì)較差，影響模態(tài)測(cè)試結(jié)果，甚至出現(xiàn)模態(tài)階次遺漏現(xiàn)象，所以在應(yīng)變模態(tài)測(cè)試中，有必要對(duì)傳感器做優(yōu)化布置。

傳感器優(yōu)化布置對(duì)于模態(tài)測(cè)試中的信號(hào)采集有著至關(guān)重要的影響。常規(guī)傳感器位置優(yōu)化的方法有：模態(tài)動(dòng)能法（modal kinetic energy，簡(jiǎn)稱MKE）［4］，EI法［5-7］、MinMAC法［8-9］和SVD法［10-11］等。上述方法中，MKE法根據(jù)測(cè)點(diǎn)處結(jié)構(gòu)動(dòng)能最大化進(jìn)行優(yōu)化，不能直接應(yīng)用于應(yīng)變測(cè)試場(chǎng)合。

首先，將矩形舵面簡(jiǎn)化成薄板模型，建立應(yīng)變傳感器布置的動(dòng)力學(xué)模型，得到位移振型與應(yīng)變振型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；其次，研究了EI法、MinMAC法和SVD法，基于薄板應(yīng)變振型設(shè)計(jì)3種傳感器優(yōu)化布置方案，并綜合邊界條件從中選擇合適的測(cè)點(diǎn)，作為最終測(cè)點(diǎn)位置；最后，在舵面模型的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中，對(duì)比優(yōu)化前后應(yīng)變響應(yīng)信號(hào)的模態(tài)指示函數(shù)（modal indicator function，簡(jiǎn)稱MIF）曲線［12］，以及結(jié)構(gòu)的固有頻率、阻尼比和振型向量識(shí)別結(jié)果，驗(yàn)證了傳感器優(yōu)化布置的必要性和有效性。

1 應(yīng)變傳感器布置的動(dòng)力學(xué)模型

應(yīng)變傳感器優(yōu)化布置的前提是建立結(jié)構(gòu)應(yīng)變響應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型，獲取應(yīng)變振型。在全局坐標(biāo)下，有限元模型的位移響應(yīng)應(yīng)滿足如下的振動(dòng)微分方程

其中：u為總體位移響應(yīng)向量；M，K分別為系統(tǒng)總體質(zhì)量矩陣和總體剛度矩陣。

對(duì)式（1）求解廣義特征值問(wèn)題可獲得系統(tǒng)的固有頻率和位移振型矩陣Φ。

記系統(tǒng)總體應(yīng)變響應(yīng)為ε，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變振型矩陣為Φε，則根據(jù)應(yīng)變模態(tài)理論可知應(yīng)變振型矩陣與位移振型矩陣之間有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系［13］

其中：B為總體應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣，通過(guò)單元應(yīng)變矩陣Be組裝形成。

為簡(jiǎn)化問(wèn)題，筆者采用四結(jié)點(diǎn)矩形板單元建立薄板有限元模型，見(jiàn)圖1，單元的位移向量可表示為

圖1 四結(jié)點(diǎn)矩形單元示意圖Fig.1 Four node rectangular element

其中：ui=[wiθxiθyi]T為結(jié)點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角位移；下標(biāo)i=1，2，3，4為結(jié)點(diǎn)編號(hào)。

在薄板彎曲問(wèn)題中只需考慮εx，εy，γxy這3個(gè)應(yīng)變分量，記結(jié)點(diǎn)應(yīng)變向量為εi=[εxiεyiγxyi]T，根據(jù)板單元的幾何方程和單元形函數(shù)方程，可得

其中：Bie為第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的單元應(yīng)變矩陣。

其中：Bj(j=1，2，3，4)為對(duì)應(yīng)于板單元第j個(gè)結(jié)點(diǎn)的應(yīng)變矩陣塊，與單元的幾何尺寸有關(guān)。

對(duì)于如圖1所示單元，其厚度為z，長(zhǎng)度和寬度分別為2a和2b，則中第j個(gè)應(yīng)變矩陣塊［14］可表示為

其中：ξi，ηi，ξj，ηj為各結(jié)點(diǎn)在局部坐標(biāo)系ξ=x/a，η=y/b下的坐標(biāo)值。

記板單元的應(yīng)變向量為εe=，由式（4）可得單元應(yīng)變向量εe與單元位移向量ue之間的關(guān)系為

其中：Be為單元應(yīng)變矩陣。

Be由各結(jié)點(diǎn)單元應(yīng)變矩陣組合而成，即

式（7）建立了矩形板單元結(jié)點(diǎn)應(yīng)變響應(yīng)與位移響應(yīng)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系與單元結(jié)點(diǎn)力向量和位移向量之間的關(guān)系具有相同的表達(dá)形式，因此可通過(guò)類似于總體剛度矩陣組裝的過(guò)程，對(duì)單元應(yīng)變矩陣Be進(jìn)行組裝得到總體應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣B，然后根據(jù)式（2）從位移振型矩陣Φ即可得到應(yīng)變振型矩陣Φε。

2 應(yīng)變測(cè)試的傳感器布置方法

傳感器優(yōu)化布置的目的是：①提高測(cè)試信號(hào)的信噪比；②選擇能夠使模態(tài)振型保持最大獨(dú)立性的自由度作為最優(yōu)測(cè)點(diǎn)位置［15］。

傳感器數(shù)量一般由模態(tài)實(shí)驗(yàn)要求確定。理論上傳感器數(shù)量最少應(yīng)等于結(jié)構(gòu)待識(shí)別的模態(tài)數(shù)，但考慮到信噪比、模態(tài)識(shí)別精度及可視化等要求，實(shí)際使用的傳感器一般多于待識(shí)別模態(tài)數(shù)。但是過(guò)多的傳感器采集的信息也會(huì)被噪聲淹沒(méi)，所以傳感器數(shù)量并不是越多越好［16］。

筆者假設(shè)已經(jīng)獲得薄板結(jié)構(gòu)的正應(yīng)變振型矩陣Φε，以此為基礎(chǔ)，對(duì)EI法、MinMAC法和SVD法的實(shí)施過(guò)程進(jìn)行討論分析，為薄板結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)測(cè)試實(shí)現(xiàn)傳感器優(yōu)化布置。

2.1 有效獨(dú)立法

EI法從所有可能測(cè)點(diǎn)出發(fā)，利用模態(tài)矩陣形成信息陣，根據(jù)各位置測(cè)點(diǎn)對(duì)模態(tài)振型獨(dú)立性的作用大小為序，逐個(gè)去掉對(duì)信息矩陣秩的作用最小的待選位置，從而使模態(tài)振型線性無(wú)關(guān)性增強(qiáng)。

EI法計(jì)算過(guò)程為：

1）按應(yīng)變測(cè)試方向，選擇全部正應(yīng)變自由度為初始測(cè)點(diǎn)，根據(jù)應(yīng)變振型矩陣Φε和初始測(cè)點(diǎn)建立模態(tài)矩陣Φs；

2）由式（9）計(jì)算有效獨(dú)立系數(shù)

3）根據(jù)ED中最小的元素所對(duì)應(yīng)的位置刪除模態(tài)矩陣Φs中的行，即去掉對(duì)模態(tài)振型獨(dú)立性作用最小的測(cè)點(diǎn)位置，并更新模態(tài)矩陣Φs；

4）返回步驟2，直至剩余測(cè)點(diǎn)數(shù)目與傳感器數(shù)量相同，便是最優(yōu)的傳感器測(cè)試位置。

2.2 MinMAC法

模態(tài)保證準(zhǔn)則矩陣（modal ass urance criteria，簡(jiǎn)稱MAC）可用來(lái)表征振型間的相關(guān)性，其計(jì)算公式為

其中：MACij是MAC矩陣的第(i，j)個(gè)元素；φi，φj分別為第i，j階振型向量。

MAC矩陣非對(duì)角元的值越小，表征各振型間相關(guān)性越小，即相關(guān)模態(tài)的可分辨程度越高。Min-MAC法采取逐漸減小MAC矩陣非對(duì)角元的方式，從傳感器待選測(cè)點(diǎn)中獲得最優(yōu)位置。

MinMAC法具體過(guò)程如下：

1）結(jié)合結(jié)構(gòu)特征與經(jīng)驗(yàn)選擇初始測(cè)點(diǎn)（初始測(cè)點(diǎn)數(shù)小于所需傳感器數(shù)），由應(yīng)變振型矩陣和初始測(cè)點(diǎn)建立模態(tài)矩陣Φs；

2）遍歷所有剩下的可選測(cè)點(diǎn)，新增1個(gè)測(cè)點(diǎn)并更新Φs，按式（10）計(jì)算模態(tài)保證準(zhǔn)則矩陣，選擇非對(duì)角元最大值最小的測(cè)點(diǎn)作為新增測(cè)點(diǎn)；

3）返回步驟2，直至新增的測(cè)點(diǎn)數(shù)等于傳感器數(shù)。

MinMAC法每一次增加的新測(cè)點(diǎn)位置都可以使得最新的MAC矩陣的非對(duì)角元最大值最小，盡可能滿足各階模態(tài)振型的獨(dú)立性。

2.3 奇異值分解法

與EI法類似，SVD法計(jì)算的對(duì)象也是Fisher信息陣。該方法通過(guò)分解信息陣，選擇使最小奇異值最大化的測(cè)點(diǎn)作為傳感器位置。該方法也是逐次增加新的測(cè)點(diǎn)，具體過(guò)程為：

1）選擇第1階模態(tài)中絕對(duì)值最大的點(diǎn)作為初選測(cè)點(diǎn)，根據(jù)振型矩陣和初始測(cè)點(diǎn)建立模態(tài)矩陣Φs，并記Fisher信息陣為；2）遍歷所有剩余可選測(cè)點(diǎn)，每次新增1個(gè)測(cè)點(diǎn)并更新Q，然后對(duì)Q進(jìn)行奇異值分解，選擇最小奇異值最大的測(cè)點(diǎn)作為新增的傳感器位置；

3）返回步驟2，每次都留下一個(gè)最小奇異值較大的測(cè)點(diǎn)位置，直至達(dá)到傳感器數(shù)目為止。

2.4 3種方法的比較與分析

由于上述3種方法所使用的計(jì)算原理都不一樣，最終給出的測(cè)點(diǎn)布置方案也都不盡相同。

EI法和SVD法計(jì)算對(duì)象都是由模態(tài)矩陣形成的信息陣，得到對(duì)模態(tài)信息貢獻(xiàn)最優(yōu)的測(cè)點(diǎn)，這兩種方法得到的測(cè)點(diǎn)具有較好的信噪比，但EI法還使感興趣的模態(tài)向量盡可能保持線性無(wú)關(guān)。MinMAC法主要從振型的線性無(wú)關(guān)性出發(fā)，得到的測(cè)點(diǎn)在信噪比方面不如另外2個(gè)方法。

綜上所述，在實(shí)際應(yīng)用中建議優(yōu)先選擇EI法確定的測(cè)點(diǎn)，這也是目前傳感器優(yōu)化布置中使用最廣泛的一種方法，然后依次選擇MinMAC法和SVD法測(cè)點(diǎn)。此外，還應(yīng)考慮振型的可視化要求，避免測(cè)點(diǎn)集中現(xiàn)象。

3 矩陣舵面模型驗(yàn)證

筆者利用振動(dòng)臺(tái)對(duì)矩形舵面模型試件進(jìn)行基礎(chǔ)白噪聲激勵(lì)，在結(jié)構(gòu)上布置若干應(yīng)變測(cè)點(diǎn)，采用隨機(jī)子空間方法對(duì)應(yīng)變響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行工作模態(tài)分析，通過(guò)對(duì)比實(shí)際工況下舵面結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率、阻尼比和振型向量MAC的測(cè)試結(jié)果，驗(yàn)證傳感器優(yōu)化布置方法在應(yīng)變模態(tài)測(cè)試中的必要性和有效性。

圖2為鋁合金材質(zhì)的舵面模型實(shí)驗(yàn)照片，舵面下端用夾具安裝于振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面，板長(zhǎng)為0.19 m，寬為0.15 m，厚為4 mm，信號(hào)采集設(shè)備為M+P系統(tǒng)，分析頻率為800 Hz，譜線數(shù)為800，頻率分辨率為1 Hz。應(yīng)變片根據(jù)測(cè)點(diǎn)布置粘貼于模型懸臂薄板的表面，為了對(duì)比模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度，在板的另一面布置1個(gè)加速度傳感器，用于常規(guī)加速度信號(hào)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

圖2 矩形舵面模型驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)照片F(xiàn)ig.2 Photo of rectangular rudder surface model verification experiment

首先用矩形板單元建立如圖3所示有限元模型，單元長(zhǎng)和寬均為10 mm。通過(guò)有限元分析可知該結(jié)構(gòu)在800 Hz頻帶內(nèi)具有3階模態(tài)，然后通過(guò)應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣，得到正應(yīng)變的振型矩陣。不失一般性，本例中選擇y向應(yīng)變振型對(duì)傳感器進(jìn)行優(yōu)化布置。

圖3為優(yōu)化前傳感器布置示意圖，其中：六邊形為加速度傳感器測(cè)點(diǎn)位置；正方形為應(yīng)變傳感器測(cè)點(diǎn)位置，各測(cè)點(diǎn)間距均勻布置。圖4為測(cè)點(diǎn)優(yōu)化前應(yīng)變MIF曲線，MIF的實(shí)質(zhì)是實(shí)測(cè)應(yīng)變響應(yīng)譜矩陣的最大奇異值［12］。MIF曲線反映了結(jié)構(gòu)的第1階和第3階應(yīng)變模態(tài)，但第2階模態(tài)的信息不明顯，模態(tài)參數(shù)識(shí)別時(shí)將會(huì)出現(xiàn)模態(tài)階次遺漏的問(wèn)題，說(shuō)明有必要對(duì)原有測(cè)點(diǎn)布置進(jìn)行優(yōu)化。

圖3 優(yōu)化前傳感器布置示意圖Fig.3 Sensor layout before optimization

圖4 測(cè)點(diǎn)優(yōu)化前應(yīng)變MIF曲線Fig.4 Strain MIF curve before optimization of measuring points

根 據(jù) 前 文 所 述 的EI法、MinMAC法 和SVD法計(jì)算步驟，編制程序?qū)?yīng)變測(cè)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，得到如圖5所示的3種測(cè)點(diǎn)優(yōu)化布置方案和最終測(cè)點(diǎn)。由圖可知，3種方法由于計(jì)算原理不同，所得到的測(cè)點(diǎn)位置也不盡相同。EI法綜合了振型的線性無(wú)關(guān)性和測(cè)試信噪比要求，該方法所得的測(cè)點(diǎn)位置分布相對(duì)比較分散；MinMAC法主要考慮振型的線性無(wú)關(guān)性，測(cè)點(diǎn)分布有一定程度的集中現(xiàn)象；SVD法主要考慮應(yīng)變信號(hào)的信噪比，所得測(cè)點(diǎn)位置主要分布在懸臂薄板的根部，測(cè)點(diǎn)集中現(xiàn)象較為嚴(yán)重。

圖5 3種測(cè)點(diǎn)優(yōu)化布置方案和最終測(cè)點(diǎn)Fig.5 Three optimal layout schemes and final measuring points

在上述3種計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上，優(yōu)先選擇EI法的測(cè)點(diǎn)，同時(shí)兼顧其他兩種方法的結(jié)果，以滿足振型線性無(wú)關(guān)性、測(cè)試信噪比和振型可視化等要求。還要注意到某些測(cè)點(diǎn)位于薄板的邊緣處，不利于應(yīng)變片的安裝粘貼，對(duì)于這種情況可以選擇板內(nèi)鄰近位置作為實(shí)際測(cè)點(diǎn)。圖5中正方形所標(biāo)示的位置即為最終經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的實(shí)際應(yīng)變測(cè)點(diǎn)。

圖6為優(yōu)化后應(yīng)變響應(yīng)的MIF曲線，與未優(yōu)化的測(cè)點(diǎn)方案相比，第2階的應(yīng)變模態(tài)信息更為明顯，說(shuō)明了對(duì)傳感器測(cè)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化布置，有助于提高模態(tài)信息的識(shí)別能力。

圖6 測(cè)點(diǎn)優(yōu)化后應(yīng)變響應(yīng)的MIF曲線Fig.6 Strain MIF curve after optimization of measuring points

用工作模態(tài)分析中的隨機(jī)子空間法對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)。表1為根據(jù)實(shí)測(cè)加速度信號(hào)、測(cè)點(diǎn)優(yōu)化前后應(yīng)變信號(hào)得到的結(jié)構(gòu)前3階模態(tài)頻率和阻尼比，經(jīng)過(guò)對(duì)比表明，測(cè)點(diǎn)優(yōu)化后的應(yīng)變信號(hào)能有效識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，解決模態(tài)識(shí)別階次遺漏的問(wèn)題，識(shí)別精度與常規(guī)加速度信號(hào)的工作模態(tài)分析結(jié)果保持一致。圖7為實(shí)測(cè)y向應(yīng)變振型的MAC圖。由圖可知，經(jīng)過(guò)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化布置后，各階實(shí)測(cè)應(yīng)變振型向量的正交性有明顯改善。

圖7 測(cè)點(diǎn)優(yōu)化前后實(shí)測(cè)y向應(yīng)變振型MAC圖Fig.7 MAC diagram of measured y-direction strain mode before and after optimization points

表1 懸臂薄板模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比識(shí)別結(jié)果Tab.1 Identification results of modal frequency and damping ratio of cantilever thin plate

4 結(jié)論

1）結(jié)構(gòu)的應(yīng)變振型是進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)，在實(shí)際應(yīng)用中只需導(dǎo)出正應(yīng)變的振型分量。

2）針對(duì)應(yīng)變模態(tài)測(cè)試，研究了EI法、MinMAC法和SVD法3種傳感器優(yōu)化布置方法，實(shí)際應(yīng)用時(shí)建議優(yōu)選EI法測(cè)點(diǎn)，并根據(jù)實(shí)際情況確定最終的測(cè)點(diǎn)布置，滿足信噪比、振型向量獨(dú)立性和可視化等要求。

3）在矩形舵面模型的應(yīng)變模態(tài)實(shí)驗(yàn)中，對(duì)比傳感器優(yōu)化布置前后工作模態(tài)分析結(jié)果，表明測(cè)點(diǎn)優(yōu)化后的應(yīng)變信號(hào)能有效識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，防止模態(tài)識(shí)別階次遺漏的問(wèn)題，改善模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度，驗(yàn)證了傳感器優(yōu)化布置的必要性和有效性。

4）本研究成果可為舵面的顫振試飛、利用飛行數(shù)據(jù)進(jìn)行工作模態(tài)識(shí)別等后續(xù)工作提供實(shí)驗(yàn)測(cè)點(diǎn)布置方案，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。