基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和子空間的非線性系統(tǒng)載荷識別*

龐志雅，馬志賽，丁千

（1.天津大學(xué)機械工程學(xué)院天津，300350）

（2.天津市非線性動力學(xué)與控制重點實驗室 天津，300350）

引言

非線性系統(tǒng)廣泛存在于現(xiàn)實世界中，例如物體之間的接觸和滑動會引起摩擦非線性［1］，加工超差、裝配誤差和使用磨損等因素會造成結(jié)構(gòu)連接部位出現(xiàn)間隙非線性［2-3］等。隨著工程應(yīng)用領(lǐng)域的不斷拓展和設(shè)計需求的日益增長，非線性系統(tǒng)的動力學(xué)反問題受到了越來越多的關(guān)注。結(jié)構(gòu)動力學(xué)反問題包括系統(tǒng)辨識和載荷識別2類基本問題，但在處理和解決實際工程問題時，系統(tǒng)辨識和載荷識別常常是相互耦合的。

通過系統(tǒng)辨識手段描述非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性和行為是解決其動力學(xué)問題的關(guān)鍵，非線性系統(tǒng)辨識已逐漸成為結(jié)構(gòu)動力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點之一。文獻(xiàn)［4-5］回顧了近幾十年來結(jié)構(gòu)動力學(xué)中非線性系統(tǒng)辨識的研究進(jìn)展，并對線性化、時域、頻域、時頻分析、非線性模態(tài)分析、黑箱建模和模型更新等參數(shù)估計方法進(jìn)行了綜述，其中時域法由于無需將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換至頻域，憑借可有效避免泄露和混頻等優(yōu)點得到了迅速發(fā)展。文獻(xiàn)［6-7］提出了一種將非線性項視作標(biāo)稱線性系統(tǒng)的內(nèi)反饋力，進(jìn)而利用線性子空間理論對非線性系統(tǒng)進(jìn)行辨識的時域方法，即時域非線性子空間辨識方法，該方法具有良好的調(diào)節(jié)和計算能力，可以同時辨識多個非線性項，并且克服了由于信號相關(guān)性增加導(dǎo)致非線性項和標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)在共振區(qū)附近估計精度較低的缺點。No?l等［8］采用時域非線性子空間方法對含強非線性特征的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)進(jìn)行了辨識，得到其標(biāo)稱線性系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)和非線性項，并在辨識精度和計算效率等方面與頻域非線性子空間方法進(jìn)行了比較。Sun等［9］采用時域非線性子空間辨識法對全動舵面進(jìn)行了辨識，指出該方法由于利用幾何框架和數(shù)值線性代數(shù)分解，具有一定的魯棒性和高性能。Zhang等［10］將非線性系統(tǒng)分為標(biāo)稱線性系統(tǒng)和局部非線性部分，分2步估計標(biāo)稱線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)和非線性部分的系數(shù)，提高了時域非線性子空間方法的精度與可靠性。

雖然子空間方法具有優(yōu)良的性能，但對于非線性系統(tǒng)來說，非線性描述函數(shù)的選定仍然是辨識過程中的難點之一。例如，現(xiàn)有的多項式擬合法［11］、三線性函數(shù)法［12］等都會使辨識過程變得繁瑣，且具有一定的局限性。此外，不同的激勵水平往往會激發(fā)出具有明顯差異的非線性恢復(fù)力，使得每一次實驗都需要重復(fù)繁瑣的選定過程，這也在一定程度上造成了人力與時間的耗費。

在進(jìn)行系統(tǒng)辨識時，時域非線性子空間辨識方法通常需要已知響應(yīng)和外載荷數(shù)據(jù)，但在某些情況下，外載荷是未知或難以測量的。準(zhǔn)確了解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所承受的真實外載荷特性，對于結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測、設(shè)計優(yōu)化及故障診斷等都具有重要意義［13-14］。因此，載荷識別問題受到了許多學(xué)者的關(guān)注，并已發(fā)展出多種辨識方法［15-18］。楊智春等［19］對動載荷的識別方法進(jìn)行了述評，并介紹了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在載荷識別中的應(yīng)用。程光等［20］將一種改進(jìn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法用于雙跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的載荷識別，通過拾取實驗信號進(jìn)行預(yù)測證明了方法的有效性。然而，上述這些方法大多集中于處理與線性系統(tǒng)有關(guān)的載荷識別問題，但在實際工程中非線性系統(tǒng)更為普遍［21］，且由于非線性恢復(fù)力的存在，其載荷識別問題往往更為困難。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以通過自適應(yīng)訓(xùn)練過程來學(xué)習(xí)變量之間的關(guān)系，進(jìn)而代替?zhèn)鹘y(tǒng)的機理建模［22］。經(jīng)過大量數(shù)據(jù)訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以等效代替響應(yīng)-非線性恢復(fù)力映射關(guān)系，只需已知非線性位置的響應(yīng)即可獲得非線性恢復(fù)力，可有效避免重復(fù)繁瑣的辨識過程。

因此，針對外載荷難以測量的情況，筆者旨在結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和子空間法對非線性系統(tǒng)載荷識別方法進(jìn)行研究，并開展相應(yīng)的數(shù)值與實驗驗證。

1 時域非線性子空間辨識方法

1.1 狀態(tài)空間模型

對于一個包含h自由度的非線性時不變系統(tǒng)，其動力學(xué)方程可以表示為

其中：M，Cv和K分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；下標(biāo)v表示黏性；z(t)，(t)，(t)分別為連續(xù)時間t時刻的位移向量、速度向量和加速度向量；f(t)為載荷向量；非線性項由p個分量的總和構(gòu)成；μj為非線性參數(shù)；gj(t)為非線性描述函數(shù)，代表非線性類型；Lnj為非線性元素的位置向量，通常Lnj中元素的取值為1，0或-1。

引入狀態(tài)向量x(t)=[z(t)，z˙(t)]T，則式（1）的狀態(tài)空間模型形式可以表示為

其中：u(t)=[f(t)，-g1(t)，…，-gp(t)]T為擴展輸入向量；下標(biāo)c表示連續(xù)時間。

1.2 時域非線性子空間辨識

在實際測量中，采樣都是基于離散時間點的，故可以將式（2）描述的連續(xù)時間狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為離散時間狀態(tài)空間模型

其中：k為時間序列；A，B，C和D分別為離散時間狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和反饋矩陣。

離散時間的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣與連續(xù)時間的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣的關(guān)系為

子空間方法的思想在于：通過未知的確定性系統(tǒng)生成測量數(shù)據(jù)總長度為s的輸入向量和輸出向量，利用線性代數(shù)工具辨識離散時間狀態(tài)空間模型中的狀態(tài)空間矩陣，一旦狀態(tài)已知，辨識問題就成為了未知系統(tǒng)矩陣中的線性最小二乘問題［23］。實現(xiàn)狀態(tài)空間矩陣的辨識首先需要確定擴展可觀測矩陣Γi。通過對式（3）進(jìn)行迭代，可得到

根據(jù)式（5），輸入-輸出矩陣方程可以寫為

其中：下標(biāo)p表示過去；f表示未來；塊行數(shù)i由用戶定義，應(yīng)大于辨識系統(tǒng)的階數(shù)n。

類似于未來的輸入和輸出，未來狀態(tài)序列表示為Xf，狀態(tài)序列定義為

式（6）中的擴展可觀測矩陣Γi為

式（6）中的擴展下三角Toeplitz矩陣Hi為

將輸入、輸出數(shù)據(jù)收集到塊Hankel矩陣中

當(dāng)列數(shù)l滿足l=s-2i+1時，意味著給定長度的數(shù)據(jù)可被充分利用。

根據(jù)式（10）和式（11），可將過去的輸入、輸出數(shù)據(jù)收集到塊Hankel矩陣Wp=def[Up/Yp]。Yf的行空間沿著Uf的行空間在Wp的行空間上的斜投影可定義為?i

其中：符號‘⊥’表示正交補；‘?’表示廣義逆［23］。

對加權(quán)斜投影進(jìn)行奇異值分解

其中：W1和W2為用戶定義的權(quán)重矩陣，W1需滿秩，W2需遵循rank(Wp)=rank(WpW2)［23］。

當(dāng)無噪聲存在時，斜投影只有n個非零奇異值；當(dāng)噪聲存在時，則有n個以上非零奇異值。通過觀察奇異值可以確定模型階數(shù)n，進(jìn)而確定U1和S1?？捎^測矩陣則通過得到。

系統(tǒng)矩陣A通過確定，輸出矩陣C由Γi的前No行確定，No為輸出的數(shù)量；輸入矩陣B和反饋矩陣D則采用最小二乘求解以下線性方程組確定

在完成非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間矩陣的估計后，可進(jìn)一步計算擴展頻響函數(shù)［6］，即

其中：HL=(K+iωCv-ω2M)-1為非線性系統(tǒng)中的標(biāo)稱線性頻響函數(shù)；下標(biāo)L表示標(biāo)稱線性；E表示擴展。

由式（15）可辨識得到標(biāo)稱頻響函數(shù)及非線性參數(shù)。

2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的載荷識別

2.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練

為解決時域非線性子空間辨識過程中非線性描述函數(shù)選定困難造成的辨識過程重復(fù)繁瑣、計算耗時長等問題，本節(jié)旨在訓(xùn)練一個從非線性位置響應(yīng)信號映射到非線性恢復(fù)力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，用以代替非線性描述函數(shù)的選定過程和時域非線性子空間辨識過程，如圖1所示。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等效代替辨識過程的示意圖Fig.1 Schematic diagram of identification process equivalently represented by neural network models

針對非線性系統(tǒng)，基于大量數(shù)據(jù)對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練，網(wǎng)絡(luò)的輸入為非線性位置的響應(yīng)，期望輸出為時域非線性子空間辨識中采用三線性函數(shù)法重構(gòu)的非線性恢復(fù)力，使用所需的網(wǎng)絡(luò)層數(shù)、神經(jīng)元個數(shù)、激活函數(shù)和訓(xùn)練算法等參數(shù)構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)模型［19］，然后進(jìn)行迭代訓(xùn)練，直到實際輸出與期望輸出之間的誤差達(dá)到可接受的范圍。訓(xùn)練數(shù)據(jù)越多且標(biāo)定質(zhì)量越好，訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型表征能力越強，越能以高精度逼近復(fù)雜的輸入-輸出關(guān)系。若對結(jié)果精度有更高的要求，可以采取增加隱含層或神經(jīng)元的數(shù)量，獲得更大的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，嘗試不同的訓(xùn)練算法等方式。

需要注意的是增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)有助于提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的逼近精度，但付出的代價是網(wǎng)絡(luò)模型可能會更加復(fù)雜，所需要的訓(xùn)練時間也更長。因此，在用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等效描述響應(yīng)-非線性恢復(fù)力映射關(guān)系時，通常需要在逼近精度和計算效率之間做適當(dāng)折中。

2.2 載荷識別

根據(jù)非線性項視作反饋力的思想，式（1）可以寫為

其中：fsum(t)為非線性恢復(fù)力fnl(t)與外載荷f(t)的合力，此時系統(tǒng)可看作是一個受合力的線性系統(tǒng)；下標(biāo)nl表示非線性。

與式（6）同理，載荷識別模型可以寫為

根據(jù)零初始條件x(0)=0，式（17）可以重寫為

一旦獲得標(biāo)稱線性系統(tǒng)狀態(tài)空間矩陣AL，BL，CL和DL，就可以確定矩陣H，對式（18）進(jìn)行最小二乘法估計，即可得到輸入合力fsum(t)。

根據(jù)式（16）可以計算作用在系統(tǒng)上的外載荷為

由基于子空間法建立的載荷識別模型可知，非線性恢復(fù)力是識別非線性系統(tǒng)外載荷的關(guān)鍵。因此，利用訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測非線性恢復(fù)力，可使非線性系統(tǒng)載荷識別得以實現(xiàn)。需要注意的是，本研究識別的載荷為時域的時間歷程數(shù)據(jù)。

3 數(shù)值算例

間隙作為一種常見的非線性現(xiàn)象，廣泛存在于工程結(jié)構(gòu)中。間隙的存在會改變工程結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，進(jìn)而導(dǎo)致動力學(xué)響應(yīng)預(yù)測困難，甚至引發(fā)工程結(jié)構(gòu)出現(xiàn)精度低、壽命短等問題。在系統(tǒng)辨識中，間隙相關(guān)非線性參數(shù)的確定是非常關(guān)鍵的，也是消除和控制間隙的必要條件［24］。對于間隙非線性系統(tǒng)來說，需要辨識的非線性參數(shù)包括間隙值和接觸剛度。由于間隙值很小的誤差就會導(dǎo)致接觸剛度值出現(xiàn)較大的誤差［24］，確定間隙值成為辨識間隙接觸剛度的前提。本節(jié)以3自由度間隙非線性結(jié)構(gòu)為例，說明所提方法的過程和性能。

3.1 3自由度間隙非線性結(jié)構(gòu)

考慮一個3自由度間隙非線性結(jié)構(gòu)，如圖2所示，其動力學(xué)方程為

圖2 3自由度間隙非線性結(jié)構(gòu)的示意圖Fig.2 Schematic diagram of a three degrees-of-freedom structure with clearance nonlinearity

其中：M，Cv和K分別為3自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；zh(t)，(t)和(t)分別為各自由度的位移、速度和加速度；fnl(t)為間隙非線性恢復(fù)力；fh(t)為各自由度的外載荷。

非線性恢復(fù)力可表示為

其中：kc為間隙接觸剛度；dc為間隙值；z2為非線性位置的位移響應(yīng)。

式（21）表示的間隙非線性的恢復(fù)力曲線如圖3所示。

圖3 間隙非線性的恢復(fù)力曲線Fig.3 Restoring force curve of clearance nonlinearity

該3自由間隙非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的基本參數(shù)如表1所示。

表1 數(shù)值算例的系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters of the numerical example

3.2 時域非線性子空間的系統(tǒng)辨識

對該結(jié)構(gòu)的每個自由度各施加一個激勵，選取的激勵均為零均值高斯白噪聲，即在任意兩個不同時刻的采樣信號均是統(tǒng)計獨立的。利用Runge-Kutta方法數(shù)值仿真得到振動位移響應(yīng)。仿真過程中，采樣頻率設(shè)置為1 kHz，采樣時長為10 s，生成樣本數(shù)據(jù)長度為104。以1組激勵信號的均方根（root mean square，簡稱RMS）分別為39.445 4，40.178 3和39.839 8 N的仿真數(shù)據(jù)為例對辨識過程進(jìn)行詳細(xì)說明。

對于間隙非線性系統(tǒng)來說，間隙值的確定是辨識間隙接觸剛度的前提。目前，已經(jīng)發(fā)展了很多辨識間隙的方法，包括三線性函數(shù)法［6］、概率密度函數(shù)導(dǎo)數(shù)圖法［24］和恢復(fù)力曲面法［25］等。筆者使用三線性函數(shù)法對間隙值進(jìn)行辨識。根據(jù)仿真響應(yīng)數(shù)據(jù)，將正位移范圍［0，max（z（t））］劃分為11個等距的間隔[dj-1，dj]。只有當(dāng)測量的正位移超過用戶定義的值時，每個非線性描述函數(shù)才有非零貢獻(xiàn)。參考式（21），11個非線性恢復(fù)力可被定義為

其中：dj為用戶定義的間隙值；fnlj和μj分別為第j個非線性項的非線性恢復(fù)力和非線性參數(shù)。

利用時域非線性子空間辨識方法，可以分別得到每個非線性項中非線性恢復(fù)力的貢獻(xiàn)和接觸剛度的貢獻(xiàn)，貢獻(xiàn)較大且集中的區(qū)域即為間隙值附近。區(qū)間［0，max（z（t））］內(nèi)的非線性恢復(fù)力和非線性參數(shù)分布如圖4和圖5所示。

圖4 區(qū)間[0,max(z(t))]內(nèi)的非線性恢復(fù)力分布Fig.4 Distribution of nonlinear restoring force in[0,max(z(t))]

圖5 區(qū)間[0,max(z(t))]內(nèi)的非線性參數(shù)分布Fig.5 Distribution of nonlinear parameters in[0,max(z(t))]

為了得到更精確的間隙值，可以進(jìn)一步縮小選定間隙范圍為［0.8 mm，1.2 mm］，等距劃分為4份，如圖6和圖7所示。從圖中可以看出，間隙值主要集中在1 mm附近。圖8給出了重構(gòu)的非線性恢復(fù)力特性曲線與真實非線性恢復(fù)力特性曲線的對比。同時，該方法也可以辨識結(jié)構(gòu)的狀態(tài)空間矩陣，進(jìn)而得到標(biāo)稱線性頻響函數(shù)，如圖9所示。

圖6 區(qū)間[0.8 mm，1.2 mm]內(nèi)的非線性恢復(fù)力分布Fig.6 Distribution of nonlinear restoring force in[0.8 mm，1.2 mm]

圖7 區(qū)間[0.8 mm，1.2 mm]內(nèi)的非線性參數(shù)分布Fig.7 Distribution of nonlinear parameters in[0.8 mm，1.2 mm]

圖8 重構(gòu)的非線性恢復(fù)力特性曲線與真實曲線Fig.8 The reconstructed and true nonlinear restoring force characteristic curve

圖9 辨識得到的標(biāo)稱線性頻響函數(shù)H22曲線與真實曲線Fig.9 The identified and true nominal linear frequency response function H22 curve

結(jié)果表明，時域非線性子空間辨識方法可以獲取準(zhǔn)確的非線性參數(shù)值，然而過程較為繁瑣，且每一次實驗都需要重復(fù)上述辨識過程。

3.3 響應(yīng)-非線性恢復(fù)力映射關(guān)系的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練

使用25組不同激勵水平的載荷作用在結(jié)構(gòu)上，利用時域非線性子空間辨識方法和三線性函數(shù)法重構(gòu)對應(yīng)的響應(yīng)-非線性恢復(fù)力映射關(guān)系。用以訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型示意圖如圖10所示。

圖10 響應(yīng)-非線性恢復(fù)力映射關(guān)系的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型示意圖Fig.10 Schematic diagram of the neural network models for nonlinear restoring force-response mapping relations

圖10顯示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型含有2個隱含層，每個隱含層有10個神經(jīng)元，使用Levenberg-Marquardt訓(xùn)練算法，圖中w表示權(quán)重參數(shù)，b表示偏置參數(shù)。由于訓(xùn)練過程中使用的數(shù)據(jù)較少，且響應(yīng)-非線性恢復(fù)力映射關(guān)系較為簡單，在網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)選取時，通過對多種不同層數(shù)、單元數(shù)及激活函數(shù)進(jìn)行預(yù)實驗以確定最優(yōu)模型。從結(jié)果和計算效率的角度綜合考慮，選擇具有2個隱含層、每層10個神經(jīng)元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練即可達(dá)到較高精度。另外，反向傳播訓(xùn)練算法Levenberg-Marquardt有利于梯度形式較簡單的激活函數(shù)，且激活函數(shù)的梯度計算涉及到優(yōu)化過程，結(jié)合間隙非線性特征，筆者選取Positive linear函數(shù)作為激活函數(shù)，其中輸入為25組不同激勵水平下的非線性位置響應(yīng)，輸出為時域非線性子空間辨識方法和三線性函數(shù)法重構(gòu)的非線性恢復(fù)力。將輸入-輸出數(shù)據(jù)隨機分成3個集合，其中70%用于訓(xùn)練，15%用于驗證，15%用于完全獨立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型泛化測試。使用與上節(jié)系統(tǒng)辨識所用的相同仿真數(shù)據(jù)，通過訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行預(yù)測，發(fā)現(xiàn)預(yù)測值與真實值吻合良好，如圖11所示。

圖11 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測的非線性恢復(fù)力特性曲線與真實曲線Fig.11 Predicted by neural network models and true nonlinear restoring force characteristic curve

結(jié)果表明，訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以等效代替響應(yīng)-非線性恢復(fù)力映射關(guān)系，即不論激勵水平大小如何，只需已知非線性位置的響應(yīng)即可獲取非線性恢復(fù)力。

3.4 載荷識別

利用3.3節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測的非線性恢復(fù)力和測量的振動響應(yīng)可以對非線性系統(tǒng)的外載荷進(jìn)行識別。同樣以激勵信號RMS分別為39.445 4，40.178 3和39.839 8 N的仿真數(shù)據(jù)為例對識別過程進(jìn)行詳細(xì)說明。根據(jù)式（18）表示的基于子空間方法建立的載荷識別模型計算各自由度的合力，其中非線性位置的識別合力與真實合力對比結(jié)果如圖12所示。圖13為訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測的非線性恢復(fù)力-時間關(guān)系。由式（19）可知，3自由度外載荷計算公式為

圖12 非線性位置識別的合力與真實合力Fig.12 Identified and true resultant force at the nonlinear position

為了量化非線性系統(tǒng)載荷識別結(jié)果的精度，引入平均絕對誤差評價指標(biāo)（mean absolute error，簡稱MAE）

其中：q為數(shù)據(jù)總數(shù)量；f^為識別值；f為真實值。

結(jié)合圖12和圖13，可識別出非線性位置的外載荷與真實載荷，如圖14所示，其MAE值為3.243 2。對于1，3自由度來說，由于沒有非線性恢復(fù)力的存在，識別出的合力即為外載荷，以第1自由度載荷識別結(jié)果為例，如圖15所示，其MAE值為1.274 4。結(jié)果表明，識別出的外載荷曲線與真實載荷曲線吻合良好，驗證了所提載荷識別方法的有效性和可行性。

圖13 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測的非線性恢復(fù)力與真實非線性恢復(fù)力Fig.13 Predicted by neural network models and true nonlinear restoring force

圖14 非線性位置處識別的外載荷與真實載荷Fig.14 Identified and true external force at the nonlinear position

圖15 第1自由度處識別的外載荷與真實載荷Fig.15 Identified and true external force at the first degree of freedom

4 實驗驗證

本節(jié)設(shè)計并搭建了1個3自由度間隙非線性實驗結(jié)構(gòu)，用于對所提出的載荷識別方法進(jìn)行實驗驗證。圖16和圖17分別為3自由度間隙非線性實驗結(jié)構(gòu)的原理圖和裝置圖。該結(jié)構(gòu)由3個鋁質(zhì)質(zhì)量塊、4根薄梁以及鋼質(zhì)底座組成。由于鋁塊的質(zhì)量相對較大，薄梁可以看作無質(zhì)量彈性梁，質(zhì)量塊的水平位移只與豎直薄梁的抗彎剛度有關(guān)，因而所研究結(jié)構(gòu)可視為3自由度振動系統(tǒng)。由于實際條件限制，無法在每個自由度施加激勵，為識別非線性位置的外載荷，激振器作用在第2層。調(diào)節(jié)間隙大小的螺栓也設(shè)置在結(jié)構(gòu)第2層。當(dāng)激勵足夠大時，第2層鋁塊撞擊到具有固定間隙的螺栓，從而產(chǎn)生非線性行為。激振器上布有力傳感器用以測量實驗中真實外載荷，同時利用3個電渦流傳感器測量各層的位移響應(yīng)，如圖17所示。進(jìn)行不同激勵水平的實驗，每次采集數(shù)據(jù)時長為10 s，采樣頻率為1 kHz。

圖16 3自由度間隙非線性實驗結(jié)構(gòu)的原理圖Fig.16 Schematic diagram of a three degrees-of-freedom experimental structure with clearance nonlinearity

圖17 3自由度間隙非線性實驗結(jié)構(gòu)的裝置圖Fig.17 Set-up of the three degrees-of-freedom experimental structure with clearance nonlinearity

利用時域非線性子空間辨識方法重構(gòu)的25組不同激勵水平下的非線性恢復(fù)力數(shù)據(jù)以及測量的非線性位置位移響應(yīng)數(shù)據(jù)，對圖10所示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練。使用RMS為4.190 0 N的白噪聲隨機激勵作用在實驗結(jié)構(gòu)上，測量非線性位置響應(yīng)，使用訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對非線性恢復(fù)力進(jìn)行預(yù)測，發(fā)現(xiàn)預(yù)測結(jié)果與時域非線性子空間辨識結(jié)果幾乎一致，如圖18所示。圖19給出了標(biāo)稱線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)辨識結(jié)果。

圖18 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測的非線性恢復(fù)力特性曲線與重構(gòu)曲線Fig.18 Predicted by neural network models and reconstructed nonlinear restoring force characteristic curve

圖19 辨識得到的標(biāo)稱線性頻響函數(shù)H22曲線Fig.19 The identified nominal linear frequency response function H22 curve

基于等效代替響應(yīng)-非線性恢復(fù)力映射關(guān)系的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和實測的振動位移響應(yīng)數(shù)據(jù)對外載荷進(jìn)行識別。圖20為基于式（17）中載荷識別模型獲取的非線性位置合力識別結(jié)果。圖21為訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測的非線性恢復(fù)力。結(jié)合圖20和圖21，根據(jù)式（23）可識別系統(tǒng)外載荷，如圖22所示，其中藍(lán)實線代表非線性位置的識別載荷，紅虛線代表實際測量的外載荷，MAE值為1.879 0。兩者趨勢基本一致，吻合良好，進(jìn)一步驗證了所提載荷識別方法的有效性和可行性。

圖20 非線性位置識別的合力Fig.20 Identified resultant force at the nonlinear position

圖21 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測的非線性恢復(fù)力Fig.21 Nonlinear restoring force predicted by neural network models

圖22 非線性位置識別的外載荷與實際測量的外載荷Fig.22 Identified and measured external force at the nonlinear position

5 結(jié)論

1）針對非線性描述函數(shù)選定困難，導(dǎo)致在不同激勵水平下時域非線性子空間方法辨識過程重復(fù)繁瑣的問題，采用多次重構(gòu)的不同激勵水平下的非線性恢復(fù)力數(shù)據(jù)和非線性位置響應(yīng)數(shù)據(jù)對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練，用以等效代替響應(yīng)-非線性恢復(fù)力映射關(guān)系。該方法避免了辨識過程對系統(tǒng)模型的依賴性，使得系統(tǒng)不論受到的激勵水平大小如何，只需已知非線性位置的響應(yīng)即可獲得非線性恢復(fù)力，提高了計算效率。

2）針對外載荷難以測量的情況，利用訓(xùn)練后的響應(yīng)-非線性恢復(fù)力神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射模型預(yù)測非線性恢復(fù)力，提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和子空間法的非線性系統(tǒng)載荷識別方法，并通過間隙非線性結(jié)構(gòu)的數(shù)值與實驗研究驗證了所提載荷識別方法的有效性和可行性。

3）本研究僅基于間隙非線性系統(tǒng)對所提出的載荷識別方法進(jìn)行了驗證，但理論上該方法也適用于其他類型的非線性系統(tǒng)。