2022年全國乙卷理科導(dǎo)數(shù)題的解法探究與拓展

湖南省長沙市雷鋒學(xué)校(410217)童繼稀 曾文樂

一、試題分析與反思

題目1(2022年高考全國乙卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當(dāng)a=1 時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

分析本題以求曲線的切線方程判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為設(shè)問,考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).第(1)問所求切線方程為y=2x,過程略.第(2)問可直接對參數(shù)a分類討論,并對自變量x分段研究,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助零點(diǎn)存在性定理判斷求解.

解法1(分類討論)易知f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞),且

(2)設(shè)g(x)=ex+a(1-x2),x ＞-1,則g(0)=a+1,且g′(x)=ex-2ax.

若a ＞0,當(dāng)x ∈(-1,0)時(shí),g(x)＞0,即f′(x)＞0,可得f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,有f(x)＜f(0)=0,則f(x)在(-1,0)上沒有零點(diǎn),不合題意.

若-1 ≤a≤0, 當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí),g′(x)＞0, 可得g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,有g(shù)(x)＞g(0)=1+a≥0,即f′(x)＞0,從而f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,有f(x)＞f(0)=0,故f(x)在(0,+∞)上沒有零點(diǎn),不合題意.

以下考慮a ＜-1 的情形.

①當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí),g′(x)＞0, 則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 而g(0)=1+a ＜0,g(1)=e＞0,存在m ∈(0,1),使得g(m)=0,即f′(m)=0.

圖1

當(dāng)x ∈(0,m)時(shí),f′(x)＜0, 則f(x)單調(diào)遞減, 有f(x)＜f(0)=0, 即f(x)沒有零點(diǎn); 當(dāng)x ∈(m,+∞)時(shí),f′(x)＞0,則f(x)單調(diào)遞增,且x →+∞時(shí),f(x)→+∞,可知f(x)在(m,+∞)上有唯一零點(diǎn).從而可得f(x)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn).

②當(dāng)x ∈(-1,0)時(shí),設(shè)h(x)=g′(x)=ex -2ax,則h′(x)=ex -2a ＞0, 可得g′(x)在(-1,0)單調(diào)遞增.而g′(-1)=+2a ＜0,g′(0)=1＞0,存在n ∈(-1,0),使得g′(n)=0.

當(dāng)x ∈(-1,n)時(shí),g′(x)＜0, 則g(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x ∈(n,0)時(shí),g′(x)＞0,則g(x)單調(diào)遞增,有g(shù)(x)＜g(0)=1+a ＜0.又g(-1)=＞0, 存在t ∈(-1,n), 使得g(t)=0,即f′(t)=0.

當(dāng)x ∈(-1,t)時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x ∈(t,0)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,有f(x)＞f(0)=0.又x →-1 時(shí),f(x)→-∞,則f(x)在(-1,t)上有唯一零點(diǎn),而(t,0)上無零點(diǎn),即f(x)在(-1,0)上有唯一零點(diǎn).

綜上,可知a的取值范圍為(-∞,-1).

這是一道探究參數(shù)對函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)影響的問題,求解關(guān)鍵是對a的范圍進(jìn)行合理分類.在參數(shù)a的不同取值范圍情況下,解答過程并未對函數(shù)f(x)在(-1,0)與(0,+∞)兩個(gè)區(qū)間段中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行全面的分析,從而產(chǎn)生以下問題.

問題1當(dāng)a ＞0 時(shí),f(x)在(0,+∞)上的零點(diǎn)情況如何?

問題2當(dāng)-1 ≤a≤0 時(shí),f(x)在(-1,0)上的零點(diǎn)情況如何?

先對問題1 進(jìn)行探討.

當(dāng)x ∈(0,1]時(shí),g(x)＞0, 則f(x)單調(diào)遞增, 可得f(x)＞f(0)=0,即f(x)在(0,1]上無零點(diǎn).以下討論f(x)在(1,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)x ∈(1,x1)時(shí),g′(x)＜0, 則g(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x ∈(x1,+∞)時(shí),g′(x)＞0, 則g(x)單調(diào)遞增, 有g(shù)min=g(x1)=ex1+a(1)=2ax1+a(1)=a(1+2x1).

當(dāng)x ∈(1,x2)時(shí),f′(x)＞0,則f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x ∈(x2,x3)時(shí),f′(x)＜0, 則f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x ∈(x3,+∞)時(shí),f′(x)＞0,則f(x)單調(diào)遞增,易知f(x)在(1,x2]上無零點(diǎn).又則f(x)在(x2,+∞)上無零點(diǎn), 即f(x)在(1,+∞)上無零點(diǎn).

綜上可知,當(dāng)a ＞0 時(shí),f(x)在(0,+∞)上無零點(diǎn).

以上對問題1 的探究用的是分類討論思想,但用同樣的方法探究問題2 時(shí),卻很繁雜,無法根據(jù)參數(shù)a的不同范圍得到結(jié)果,從而引出另一問題.

問題3例1 有沒有別的解法,可以減少或規(guī)避對參數(shù)a的分類討論?

問題4對于這類含單參數(shù)零點(diǎn)問題的導(dǎo)數(shù)題,解法是否具備常規(guī)性?

二、其它解法的探究

針對這類含單參數(shù)零點(diǎn)問題的導(dǎo)數(shù)題,我們一般可以將參數(shù)a分離,利用導(dǎo)數(shù)研究具體的不含參函數(shù)的圖象,再討論它與直線y=a的交點(diǎn)情況(見解法2);還可將該函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,利用數(shù)形結(jié)合來解決(見解法3),以下給出詳細(xì)解析.

圖2

圖3

解法3(數(shù)形結(jié)合)將f(x)=ln(1+x)+axe-x=0,變形為ax=-ex ·ln(1+x), 則問題轉(zhuǎn)化為曲線y=-ex ·ln(1+x)與直線y=ax的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題, 其中參數(shù)a表示直線的斜率.

直線y=ax為過原點(diǎn)的直線,如圖4 所示,當(dāng)直線斜率小于曲線在原點(diǎn)處的切線的斜率,即在l1位置時(shí),滿足題意.又F′(0)=-1, 則a ＜-1.

圖4

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想,特別是對函數(shù)單調(diào)性的分類討論是歷年高考的必考點(diǎn),也是我們高考備考中不能回避的問題,思路簡單,使用范圍廣,但有點(diǎn)繁雜;參數(shù)分離,可構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù),解題思路清晰,但求導(dǎo)時(shí)復(fù)雜,而且要用到極限思想;借助參數(shù)的幾何意義,數(shù)形結(jié)合求解形象直觀,但對函數(shù)曲線作圖要求很高.以上解法2 與解法3,對于我們來說非常熟悉,不但解決了問題3,而且問題2 與問題1 都迎刃而解,具體過程如下:

由解法2 中函數(shù)G(x)的圖象(如圖3),

問題1 與問題2 也可由解法3 中函數(shù)F(x)的圖象與過原點(diǎn)的直線y=ax的交點(diǎn)情況來討論,通過圖4 便可得出結(jié)論,詳細(xì)過程留給讀者完成.

三、方法拓展

題目1 的求解需對參數(shù)a分類討論,同時(shí)也需對自變量x分段討論,兩種討論的結(jié)合對考生的運(yùn)算與推理能力要求很高,而且經(jīng)常出現(xiàn)在歷年高考導(dǎo)數(shù)題中,比如:

題目2(2015年全國I卷理科第21 題)已知函數(shù)

(1)當(dāng)a為何值時(shí),x軸為曲線y=f(x)的切線;

(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x ＞0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

分析第(1)問從略.第(2)中涉及最值函數(shù), 分類與分段討論是解決最值函數(shù)問題的一個(gè)方向.不難發(fā)現(xiàn), 當(dāng)x ∈(1,+∞)時(shí),g(x)＜0, 則h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)＜0,即h(x)在(1,+∞)無零點(diǎn);當(dāng)x=1 時(shí),g(x)=0,需要結(jié)合f(1)的符號討論;當(dāng)x ∈(0,1)時(shí),g(x)＞0,則問題轉(zhuǎn)化為討論f(x)在(0,1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

在平時(shí)的模擬考試中,關(guān)于含參函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論也是熱門問題,而討論過程往往涉及隱零點(diǎn)的討論.尤其是例1中a≥-1 時(shí),f(x)在(-1,0)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論時(shí),隱零點(diǎn)c無法用參數(shù)a表示,類似的處理在以下一道聯(lián)考題中給出了很好的處理.

題目3(2022 屆湖北省七市州3月聯(lián)考第22 題)已知函數(shù)

(1)證明: 函數(shù)f(x)在(1,+∞)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn);

(2)假設(shè)常數(shù)λ ＞1,且滿足f(λ)=0,試討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).